備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)好題精練第八章平面解析幾何突破2圓錐曲線中的最值范圍問(wèn)題

突破2圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題1.[2024河南省安陽(yáng)市階段性測(cè)試]已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M（0，2）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOB為銳角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求l的斜率的取值范圍.解析（1）由題可知ca＝32，b=1，a2＝（2）依題意，直線l的斜率必存在，設(shè)l的方程為y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程得x24＋y2=1，y＝kx+2，消去y整理得（1＋4k因?yàn)橹本€與橢圓相交，所以Δ＞0，即256k2－48（1＋4k2）＞0，解得k＜－32或k＞3由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝－16k1+4k2，x1所以y1y2＝（kx1＋2）（kx2＋2）＝k2x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＝12k21+4k2＋－當(dāng)∠AOB為銳角時(shí)，OA·OB＞0，即x1x2＋y1y2＞0，所以121+4k2＋4－4k21+4k2＞0，即k2－4所以k∈（－2，－32）∪（32，22.[2024陜西寶雞模擬]設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0），直線x－2y＋1＝0與C交于A，B兩點(diǎn)，且｜AB｜＝415.（1）求p；（2）設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，若MF·NF＝0，求△MNF面積的最小值.解析（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由x－2y+1=0，y2=2px，可得y所以y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，所以｜AB｜＝5｜y1－y2｜＝5×（y1＋y即2p2－p－6＝0，因?yàn)閜＞0，所以p＝2.（2）由（1）得拋物線C：y2＝4x，則F（1，0），明顯直線MN的斜率不行能為零，設(shè)直線MN：x＝my＋n，M（x3，y3），N（x4，y4），由y2=4x，x＝my＋n，可得y2－4my－4n＝0，所以y3＋y4＝4mΔ＝16m2＋16n＞0，得m2＋n＞0，因?yàn)镸F·NF＝0，所以（x3－1）（x4－1）＋y3y4＝0，即（my3＋n－1）（my4＋n－1）＋y3y4＝0，即（m2＋1）y3y4＋m（n－1）（y3＋y4）＋（n－1）2＝0，將y3＋y4＝4m，y3y4＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，即4（m2＋n）＝（n－1）2＞0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，解得n≥3＋22或n≤3－22，設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，則d＝｜n｜MN｜＝1+m2｜y3－y4｜＝1+m216m2+16n＝1+m2所以△MNF的面積S＝12×｜MN｜×d＝12×21+m2×｜n－1｜×｜n－1｜又n≥3＋22或n≤3－22，所以當(dāng)n＝3－22時(shí)，Smin＝（2－22）2＝12－82.3.[2024吉林長(zhǎng)春一模]已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)M（0，m），若存在實(shí)數(shù)m，使得OA＋3OB＝4OM，求m的取值范圍.解析（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為32，所以有ca＝32，c2a2＝34，a2－在方程x2a2＋y2b2＝1中，令x＝±c，解得y2＝b2（1y＝±b2因?yàn)檫^(guò)橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦的長(zhǎng)度為1，所以有b2a－（－b2a）＝1②所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24＋y2（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，于是有x24＋y2=1，y＝kx＋m，（1＋4k2）x可得Δ＝64k2m2－4（1＋4k2）（4m2－4）＞0，化簡(jiǎn)得4k2－m2＋1＞0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），于是有x1＋x2＝－8km1+4k2，x1x因?yàn)镺A＋3OB＝4OM，所以（x1，y1）＋3（x2，y2）＝4（0，m），得x1＋3x2＝0，得x1＝－3x2，代入x1＋x2＝－8km1+4k2中，得－3x2＋x2＝－8km1+4于是有（－3x2）·x2＝4m2－41+4k2，－3化簡(jiǎn)得k2＝m2代入4k2－m2＋1＞0中，得4×m2－14－16m2－m2＋1＞0所以m∈（12，1）∪（－1，－124.[2024重慶市名校聯(lián)考]已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）與雙曲線x2－y2＝1有相同的漸近線，A，F(xiàn)分別為雙曲線C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)B，△ABF的面積為2（1）求雙曲線C的方程；（2）若直線y＝kx－1與C的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn)，與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點(diǎn)，｜MN｜＝λ｜PQ｜，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解析（1）因?yàn)殡p曲線C與雙曲線x2－y2＝1有相同的漸近線，所以a＝b.設(shè)B（xB，yB），則xB＝c＝2a.由已知，將xB＝2a代入x2a2－y2b2＝1由12×｜BF｜×｜AF｜＝2（2＋1），得12×a×（a＋c）＝12×a×（a＋2a）＝2（2＋1），所以a故雙曲線C的方程為x24－y（2）由題意，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由y＝kx－1，x24－y24=1，消去y并整理得，（1所以1解得－1＜k＜1，則x所以｜MN｜＝1+k2｜x1－x2｜＝1+k2·不妨設(shè)點(diǎn)P在漸近線y＝x上，點(diǎn)Q在漸近線y＝