(人教A版2019選擇性必修第一冊)重難點題型精講專題2.13直線與圓的位置關(guān)系(原卷版+解析)

專題2.13直線與圓的位置關(guān)系-重難點題型精講1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當(dāng)d<r時，直線與圓相交；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d>r時，直線與圓相離.2．圓的切線及切線方程(1)自一點引圓的切線的條數(shù)：

①若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；

②若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；

③若點在圓內(nèi)，則過此點不能作圓的切線.

(2)求過圓上的一點的圓的切線方程：

①求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.

②重要結(jié)論：

a.經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

b.經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

c.經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為.3．圓的弦長問題設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點坐標(biāo)分別為A,B.

①若交點坐標(biāo)簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.

②若交點坐標(biāo)無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長公式.4．解與圓有關(guān)的最值問題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題

求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當(dāng)直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；

②如圖2-5-1-4②，當(dāng)直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；

③如圖2-5-1-4③，當(dāng)直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.

①形如u=的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

③形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.

(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點的最長弦就是經(jīng)過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.5．直線與圓的方程的應(yīng)用(1)解決實際問題的步驟：

(2)建系原則

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系要把握兩個原則：

①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標(biāo)原點，對稱軸所在的直線為坐標(biāo)軸.到兩個定點的距離問題，可以選擇兩個定點所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標(biāo)軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則可選其為坐標(biāo)軸.

②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點在坐標(biāo)軸上.如與三角形有關(guān)的問題，可以考慮將三角形的三個頂點全部放在坐標(biāo)軸上.

【題型1直線與圓的位置關(guān)系及判定】【方法點撥】①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當(dāng)d<r時，直線與圓相交；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d>r時，直線與圓相離.【例1】(2023·江西省高一階段練習(xí)（理））直線mx-2y-m+1=0與圓x2+y2-4x-2y+1=0的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式1-1】(2023·河南·高二階段練習(xí)）對于任意實數(shù)k，圓C:x2+y2A．相交 B．相切C．相離 D．與k的取值有關(guān)【變式1-2】(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l:x?y+2=0與圓C:x2+y2A．?∞,0 C．?∞,?1【變式1-3】(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知點Ma,bab≠0在圓x2+y2=r2內(nèi)，直線mA．l//m且與圓相離 B．C．l//m且與圓相交 D．【題型2圓的切線問題及切線方程的求解】【方法點撥】①當(dāng)一條直線l與圓C相切時，毫無疑問地要用到圓心C到直線l的距離d=r(r為圓C的半徑).②當(dāng)一條直線l與圓C相切于點P時，則lPC.③過圓外一點P向圓C作切線，切點為Q，則必定會用到.【例2】(2023·全國·高三專題練習(xí)）過點M(3,1)作圓x2+y2?2x?6y+2=0的切線lA．x+y?4=0 B．x+y?4=0或x=3C．x?y?2=0 D．x+y?2=0或x=3【變式2-1】（2023·山西大同·高三階段練習(xí)（文））已知圓心在x軸上，半徑為22的圓上有一點M1,2，則圓在點M處的切線方程是（A．x?y+1=0 B．2x?y=0或x+y?3=0C．x+y?3=0 D．x?y+1=0或x+y?3=0【變式2-2】(2023·安徽蚌埠·一模）過直線x+y=5上的點作圓C:x2+A．32 B．23 C．15 【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y?32=2，點A是x軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓C于PA．273,22 B．2143【題型3圓的弦長問題】【方法點撥】當(dāng)直線與圓相交時，因幾何法求弦長較方便，一般不用代數(shù)法.用幾何法求解圓的弦長的一般步驟：第一步：確定圓的半徑r；第二步：求解圓心到直線的距離d；第三步：代入公式求解弦長.【例3】(2023·全國·高二課時練習(xí)）直線l:3x+4y?1=0被圓C:x2+A．25 B．4 C．23 【變式3-1】(2023·全國·高三專題練習(xí)）過點A2,2，作傾斜角為π3的直線l，則直線l被圓O:xA．1?32 B．2?3 C．3?【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l：mx?y?3m+1=0恒過點P，過點P作直線與圓C：(x?1)2+(y?2)2=25相交于A，BA．45 B．2 C．4 D．【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O：?x2+y2=10，已知直線l：?ax+by=2a?ba,b∈R與圓O的交點分別M，N，當(dāng)直線A．352 B．552 C．【題型4直線與圓有關(guān)的最值問題】【方法點撥】解直線與圓的最值問題主要有以下兩種思路：①代數(shù)法：利用平面幾何中的有關(guān)公式，構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，然后根據(jù)函數(shù)最值的求法進行求解.在轉(zhuǎn)化過程中常用到向量的數(shù)量積、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、換元等知識和方法.②幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標(biāo)系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的位置變化情況，找到最大、最小取值點.【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C：x2+y2?4x?2y+1=0，點P是直線y=4上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，BA．253 B．453 C．【變式4-1】(2023·全國·高三專題練習(xí)）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB=AC，點B(?1,1)，點C(3,5)，過其“歐拉線”上一點Р作圓O：x2+y2=4的兩條切線，切點分別為M，NA．2 B．22 C．3 D．【變式4-2】(2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點Q在圓M:x+32+y?32=4上，直線l:2x?3y+6=0與x軸、y軸分別交于點①點Q到直線l的距離小于4.5②點Q到直線l的距離大于1③當(dāng)∠QRP最小時，RQ④當(dāng)∠QRP最大時，RQA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-3】（2023·湖北·高二期中）已知圓C1:(x?2)2+(y+3)2=1，圓C2:(x?3)2+(y?4)2=9，A．52+4 C．52 D．【題型5直線與部分圓的相交問題】【方法點撥】一條直線和一個圓的一部分有交點時，如果用代數(shù)法去研究，則要轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的取值情況，過程比較繁瑣，因此這類問題一般采用數(shù)形結(jié)合的方法去研究，研究應(yīng)抓住兩類直線：一是切線；二是過端點的直線.【例5】(2023·湖南·高二階段練習(xí)）若直線l:kx?y?2=0與曲線C:1?y?12=x?1有兩個交點，則實數(shù)A．43,2 C．?2,43∪【變式5-1】（2023·山東泰安·高二期中）設(shè)點P(x,y)是曲線y=?4?(x?1)2上的任意一點，則y?2A．[0，125] B．[25，【變式5-2】（2023·天津高二階段練習(xí)）設(shè)曲線x=1?(1?y)2上的點到直線x?y?2=0的距離的最大值為a，最小值為b，則a?bA．2 B．2?22 C．2 【變式5-3】（2023·山東·高二階段練習(xí)）過點2,?1引直線l與曲線y=1?x2相交于A?B兩點，則直線lA．?1,?34 B．?43,?1 【題型6直線與圓的方程的應(yīng)用】【方法點撥】用坐標(biāo)法解決幾何問題時應(yīng)注意以下幾點：①應(yīng)在利于解題的原則下建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，不可隨便建立；②在實際問題中，有些量具有一定的限制條件，轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題時要注意取值范圍；③最后一定要將代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化成幾何結(jié)論.【例6】(2023·全國·高二課時練習(xí)）如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過O，A，B(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險?【變式6-1】(2023·湖北·高二期末）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向22km處設(shè)立觀測點A，在平臺O的正東方向12km處設(shè)立觀測點B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點的圓以及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x(1)試寫出A，B的坐標(biāo)，并求兩個觀測點A，B之間的距離；(2)某日經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在該平臺O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時87【變式6-2】(2023·浙江·高二期末）如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）.規(guī)劃在公路l上選兩個點P?Q，并修建兩段直線型道路PB?QA.規(guī)劃要求，線段PB?QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A,B到直線l的距離分別為AC和BD（C,D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）.(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；(2)在規(guī)劃要求下，點Q能否選在D處？并說明理由.【變式6-3】(2023·全國·高二課時練習(xí)）為了保證我國東海油氣田海域的海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的正東方向設(shè)立了兩個觀測站A、B（點A在點O、點B之間），它們到平臺O的距離分別為3海里和12海里，記海平面上到兩觀測站距離PA，PB之比為12的點P的軌跡為曲線E，規(guī)定曲線E(1)以O(shè)為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線E的方程；(2)某日在觀測站B處發(fā)現(xiàn)，在該海上平臺正南211海里的C處，有一艘輪船正以每小時10海里的速度向北偏東30專題2.13直線與圓的位置關(guān)系-重難點題型精講1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當(dāng)d<r時，直線與圓相交；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d>r時，直線與圓相離.2．圓的切線及切線方程(1)自一點引圓的切線的條數(shù)：

①若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；

②若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；

③若點在圓內(nèi)，則過此點不能作圓的切線.

(2)求過圓上的一點的圓的切線方程：

①求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.

②重要結(jié)論：

a.經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

b.經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

c.經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為.3．圓的弦長問題設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點坐標(biāo)分別為A,B.

①若交點坐標(biāo)簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.

②若交點坐標(biāo)無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長公式.4．解與圓有關(guān)的最值問題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題

求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當(dāng)直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；

②如圖2-5-1-4②，當(dāng)直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；

③如圖2-5-1-4③，當(dāng)直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.

①形如u=的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

③形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.

(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點的最長弦就是經(jīng)過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.5．直線與圓的方程的應(yīng)用(1)解決實際問題的步驟：

(2)建系原則

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系要把握兩個原則：

①對稱性原則.可以選擇對稱中心為坐標(biāo)原點，對稱軸所在的直線為坐標(biāo)軸.到兩個定點的距離問題，可以選擇兩個定點所在的直線以及線段的垂直平分線為坐標(biāo)軸等.有兩條相互垂直的直線的問題則可選其為坐標(biāo)軸.

②集中性原則.可以讓曲線上盡可能多的特殊點在坐標(biāo)軸上.如與三角形有關(guān)的問題，可以考慮將三角形的三個頂點全部放在坐標(biāo)軸上.

【題型1直線與圓的位置關(guān)系及判定】【方法點撥】①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當(dāng)d<r時，直線與圓相交；當(dāng)d=r時，直線與圓相切；當(dāng)d>r時，直線與圓相離.【例1】(2023·江西省高一階段練習(xí)（理））直線mx-2y-m+1=0與圓x2+y2-4x-2y+1=0的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【解題思路】先根據(jù)圓的方程求出圓心和半徑，然后根據(jù)不等式恒成立的法則可知3m2+2m+15>0對任意【解答過程】解：由題意得：已知圓的方程可化為x?22+y?12圓心(2,1)到直線mx?2y?m+1=0的距離為d=當(dāng)d<2時，即m?1m2+4<2，則m?12當(dāng)d≥2時，即m?1m故直線mx-2y-m+1=0與圓x2+y2-4x-2y+1=0的位置關(guān)系是相交；故選：A.【變式1-1】(2023·河南·高二階段練習(xí)）對于任意實數(shù)k，圓C:x2+y2A．相交 B．相切C．相離 D．與k的取值有關(guān)【解題思路】根據(jù)直線方程得到直線經(jīng)過定點4,3，再通過比較點到圓心的距離和半徑的大小得到點P在圓的內(nèi)部，從而得到直線與圓的位置關(guān)系.【解答過程】∵直線l的方程kx?y?4k+3=0，整理得kx?4?y+3=0，令x?4=0?y+3=0，解得x=4y=3，∴直線∵圓C的方程為x2+y∴圓C的圓心C（3，∴圓心C（3，4）∴點P在圓C的內(nèi)部，直線與圓的位置關(guān)系是相交.故選：A.【變式1-2】(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知直線l:x?y+2=0與圓C:x2+y2A．?∞,0 C．?∞,?1【解題思路】由圓心到直線的距離大于半徑即可求解.【解答過程】由x2+y∵直線l:x?y+2=0與圓C:x∴2m+1>0,0?1+22>∴實數(shù)m的取值范圍是?1故選:D．【變式1-3】(2023·全國·高二課時練習(xí)）已知點Ma,bab≠0在圓x2+y2=r2內(nèi)，直線mA．l//m且與圓相離 B．C．l//m且與圓相交 D．【解題思路】由圓的性質(zhì)可確定直線m的斜率，進而得到m方程，可知l//m；結(jié)合點在圓內(nèi)的特點，利用點到直線距離公式可確定圓心到直線l的距離【解答過程】∵直線m以M為中點，∴直線m的斜率k=?a∴直線m的方程為：y?b=?abx?a，即ax+by?∵M在圓內(nèi)，∴a則圓心到直線l的距離d=r2a故選：A.【題型2圓的切線問題及切線方程的求解】【方法點撥】①當(dāng)一條直線l與圓C相切時，毫無疑問地要用到圓心C到直線l的距離d=r(r為圓C的半徑).②當(dāng)一條直線l與圓C相切于點P時，則lPC.③過圓外一點P向圓C作切線，切點為Q，則必定會用到.【例2】(2023·全國·高三專題練習(xí)）過點M(3,1)作圓x2+y2?2x?6y+2=0的切線lA．x+y?4=0 B．x+y?4=0或x=3C．x?y?2=0 D．x+y?2=0或x=3【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)圓x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圓心為C，分析可得點M在圓上，求出直線MC的斜率，即可得切線的斜率k，由直線的點斜式方程分析可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，設(shè)圓x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圓心為C，圓x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即x?12+y?32=8又由點M的坐標(biāo)為（3，1），有3?12+1?3則kMC=1?33?1=?1則切線的方程為y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；故選：C．【變式2-1】（2023·山西大同·高三階段練習(xí)（文））已知圓心在x軸上，半徑為22的圓上有一點M1,2，則圓在點M處的切線方程是（A．x?y+1=0 B．2x?y=0或x+y?3=0C．x+y?3=0 D．x?y+1=0或x+y?3=0【解題思路】求得圓心坐標(biāo)，根據(jù)點斜式求得切線方程.【解答過程】設(shè)圓心Cx,0則MC=x?12+2當(dāng)x=?1時，C?1,0，kMC=1當(dāng)x=3時，C3,0，kMC=?1所以切線方程為x?y+1=0或x+y?3=0.故選：D.【變式2-2】(2023·安徽蚌埠·一模）過直線x+y=5上的點作圓C:x2+A．32 B．23 C．15 【解題思路】要切線長最小，就要直線上的點到圓心的距離最小，則此最小值為圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用勾股定理可求出切線長的最小值.【解答過程】圓C:(x?1)2+(y+2)2因為圓心1,?2到直線x+y=5的距離d=1?2?5所以切線長最小值為l=d故選：B.【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y?32=2，點A是x軸上的一個動點，AP，AQ分別切圓C于PA．273,22 B．2143【解題思路】設(shè)AC=x，利用面積相等得到PQ=2×PC?APAC=22?【解答過程】設(shè)AC=x，則x≥3，由PC⊥AP可知AP=A∵AC垂直平分PQ，∴PQ=2×PC?AP∴當(dāng)x=3時，PQ取得最小值22又1?2x2<1∴214故選：B．.【題型3圓的弦長問題】【方法點撥】當(dāng)直線與圓相交時，因幾何法求弦長較方便，一般不用代數(shù)法.用幾何法求解圓的弦長的一般步驟：第一步：確定圓的半徑r；第二步：求解圓心到直線的距離d；第三步：代入公式求解弦長.【例3】(2023·全國·高二課時練習(xí)）直線l:3x+4y?1=0被圓C:x2+A．25 B．4 C．23 【解題思路】直接利用直線被圓截得的弦長公式求解即可.【解答過程】由題意圓心C1,2，圓C故C到l:3x+4y?1=0的距離為3+8?13故所求弦長為23故選：A.【變式3-1】(2023·全國·高三專題練習(xí)）過點A2,2，作傾斜角為π3的直線l，則直線l被圓O:xA．1?32 B．2?3 C．3?【解題思路】由題，由點斜式寫出直線，由點線距離公式求出圓心到直線距離，可結(jié)合垂徑定理得出所截弦長【解答過程】依題意，直線l的方程為y?2=3x?2，即3x?y?23+2=0，則圓心O到直線l的距離d=故選：D.【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l：mx?y?3m+1=0恒過點P，過點P作直線與圓C：(x?1)2+(y?2)2=25相交于A，BA．45 B．2 C．4 D．【解題思路】寫出直線的定點坐標(biāo)并判斷與圓的位置關(guān)系，進而確定|AB|最小時直線與直線CP的位置關(guān)系，即可得結(jié)果.【解答過程】由m(x?3)?y+1=0恒過P(3,1)，又(3?1)2+(1?2)2=5<25要使|AB|最小，只需圓心C(1,2)與P的連線與該直線垂直，所得弦長最短，由|CP|=5所以|AB|=2×25?5故選：A.【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓O：?x2+y2=10，已知直線l：?ax+by=2a?ba,b∈R與圓O的交點分別M，N，當(dāng)直線A．352 B．552 C．【解題思路】直線過定點A2,?1，當(dāng)直線與OA【解答過程】直線l：?ax+by=2a?ba,b∈R，即ax?2+by+1=0，所以直線過定點A2,?1點A在圓O內(nèi)，所以當(dāng)直線與OA垂直的時候，|MN|最短，此時|MN|=2r故選：C．【題型4直線與圓有關(guān)的最值問題】【方法點撥】解直線與圓的最值問題主要有以下兩種思路：①代數(shù)法：利用平面幾何中的有關(guān)公式，構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，然后根據(jù)函數(shù)最值的求法進行求解.在轉(zhuǎn)化過程中常用到向量的數(shù)量積、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、換元等知識和方法.②幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標(biāo)系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的位置變化情況，找到最大、最小取值點.【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C：x2+y2?4x?2y+1=0，點P是直線y=4上的動點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，BA．253 B．453 C．【解題思路】利用面積相等求出|AB|=4|AP||CP|.設(shè)|CP|=x，得到|AB|=41?4x2.利用幾何法【解答過程】圓C：x2+y2?4x?2y+1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：x?2過點P引圓C的兩條切線,切點分別為點A、B,如圖：在△PAC中,有S△PAC=12×|CA|×|AP|=設(shè)|CP|=x，則|AB|=4所以當(dāng)|CP|的值即x最小時，4x2的值最大，此時而|CP|的最小值為點C到直線y=4的距離，即|CP|所以|AB|故選：B.【變式4-1】(2023·全國·高三專題練習(xí)）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，AB=AC，點B(?1,1)，點C(3,5)，過其“歐拉線”上一點Р作圓O：x2+y2=4的兩條切線，切點分別為M，NA．2 B．22 C．3 D．【解題思路】求BC中垂線方程，結(jié)合點線距離判斷“歐拉線”與圓O的位置關(guān)系并求出圓心到直線的距離，由幾何關(guān)系判斷|MN|的最小時P的位置，進而求|MN|的最小值.【解答過程】由題設(shè)，B,C中點為(1,3)，“歐拉線”斜率為k=?1所以“歐拉線”方程為y?3=?(x?1)，即x+y?4=0，又O到x+y?4=0的距離為d=42>2要使|MN|的最小，則在Rt△PMO與Rt△PNO中∠MOP=∠NOP最小，即∠MPN最大，而僅當(dāng)OP⊥“歐拉線”時∠MPN最大，所以d=|OP|=22，則|MN|=2rsin∠NOP，且圓O半徑r=2所以sin∠NOP=22故選：B.【變式4-2】(2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點Q在圓M:x+32+y?32=4上，直線l:2x?3y+6=0與x軸、y軸分別交于點①點Q到直線l的距離小于4.5②點Q到直線l的距離大于1③當(dāng)∠QRP最小時，RQ④當(dāng)∠QRP最大時，RQA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】計算出點Q到直線l的距離的最大值和最小值，可判斷①②的正誤；利用∠QRP最小和最大時，確定點Q的位置，求出RQ的值，可判斷③④的正誤.【解答過程】圓M的圓心為M?3,3，半徑為r=2，圓心M到直線l的距離為?6?9+6所以，直線l與圓M相離，點Q到直線l的距離的最大值為91313+2因為91313?2<1，91313直線l:2x?3y+6=0交x軸于點P?3,0，交y軸于點R0,2，過點R作圓M的兩條切線，切點分別為E、N，如下圖所示：當(dāng)∠QRP最小時，點Q與點E重合，此時QR=當(dāng)∠QRP最大時，點Q與點N重合，此時QR=RM2故選：C.【變式4-3】（2023·湖北·高二期中）已知圓C1:(x?2)2+(y+3)2=1，圓C2:(x?3)2+(y?4)2=9，A．52+4 C．52 D．【解題思路】根據(jù)兩圓及P的位置關(guān)系，將|PN|?|PM|的最大轉(zhuǎn)化為求|PC2|?|PC1|最大，再應(yīng)用將軍飲馬模型作C1【解答過程】要使|PN|?|PM|的最大，需|PN|盡可能大，|PM|盡可能小，∴連接PC2、PC1，讓兩直線與兩圓的交點，N離P盡可能遠(yuǎn)，在△PC1C2中|PC2|?|PC1∴|PC2|?|PC|最大，故P,C,C2∴|PN|?|PM|的最大值為|CC故選：D.【題型5直線與部分圓的相交問題】【方法點撥】一條直線和一個圓的一部分有交點時，如果用代數(shù)法去研究，則要轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的取值情況，過程比較繁瑣，因此這類問題一般采用數(shù)形結(jié)合的方法去研究，研究應(yīng)抓住兩類直線：一是切線；二是過端點的直線.【例5】(2023·湖南·高二階段練習(xí)）若直線l:kx?y?2=0與曲線C:1?y?12=x?1有兩個交點，則實數(shù)A．43,2 C．?2,43∪【解題思路】確定直線l:kx?y?2=0恒過定點0,?2，確定曲線C:1?y?12=x?1表示以點1,1為圓心，1為半徑，且位于直線x=1右側(cè)的半圓，包括點【解答過程】直線l:kx?y?2=0恒過定點0,?2，曲線C:1?y?12=x?1表示以點1,1為圓心，1為半徑，且位于直線x=1右側(cè)的半圓，包括點如圖，當(dāng)直線l經(jīng)過點1,0時，l與曲線C有兩個交點，此時k=2，直線記為l1當(dāng)l與半圓相切時，由k?3k2+1=1，得由圖可知當(dāng)43<k≤2時，l與曲線故選：A．【變式5-1】（2023·山東泰安·高二期中）設(shè)點P(x,y)是曲線y=?4?(x?1)2上的任意一點，則y?2A．[0，125] B．[25，【解題思路】點P(x,y)是曲線y=?4?(x?1)2上的任意一點，故點P滿足方程(x?1)2+y2【解答過程】曲線y=?4?(x?1)2表示以(1,0)y?2x?4可表示點P(x,y)與點Q(4,2)連線斜率當(dāng)直線PQ與圓相切時：設(shè)直線方程為y?2=k(x?4)，即kx?y?4k+2=0圓心到直線距離d=|k?4k+2|解得k=125或又y≤0，所以k=12當(dāng)直線經(jīng)過點A(?1,0)時，y?2x?4綜上k∈[2故選：B.【變式5-2】（2023·天津高二階段練習(xí)）設(shè)曲線x=1?(1?y)2上的點到直線x?y?2=0的距離的最大值為a，最小值為b，則a?bA．2 B．2?22 C．2 【解題思路】將曲線化成圓的方程的形式，結(jié)合圖像，過曲線上任意一點作平行于直線x?y?2=0的直線l，可得到當(dāng)直線l的方程為x?y?2=0時，直線l與直線x?y+2=0的距離為a，然后利用圓心到直線x?y?2=0的距離減去半徑可得b，進而可得到答案.【解答過程】由x=1?(1?y)2≥0可知，x2過曲線x=1?(1?y)2上任一點作平行于直線x?y?2=0其中實線為直線x?y?2=0，虛線為直線l，曲線x=1?(1?y)2上的點到直線x?y?2=0的距離可轉(zhuǎn)化為直線l結(jié)合圖像易知，當(dāng)直線l過(0,2)時，直線l與直線x?y?2=0之間的距離最大，即曲線x=1?(1?y)2上的點到直線x?y?2=0的距離最大，易知此時直線l由平行線間的距離公式可得，a=|0?2?2|因為(0,1)到直線x?y?2=0的距離為d=|0?1?2|所以曲線x=1?(1?y)2上的點到直線x?y?2=0從而a?b=2故選：D.【變式5-3】（2023·山東·高二階段練習(xí)）過點2,?1引直線l與曲線y=1?x2相交于A?B兩點，則直線lA．?1,?34 B．?43,?1 【解題思路】畫出曲線表示的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求出.【解答過程】設(shè)直線l為y=kx?2曲線y=1?如圖：當(dāng)直線l與圓相切于第一象限時，則由2k+1k解得k=0（舍去）或k=?4又kPM因為直線l與曲線y=1?x2相交于A所以數(shù)形結(jié)合可得?4故選：B.【題型6直線與圓的方程的應(yīng)用】【方法點撥】用坐標(biāo)法解決幾何問題時應(yīng)注意以下幾點：①應(yīng)在利于解題的原則下建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，不可隨便建立；②在實際問題中，有些量具有一定的限制條件，轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題時要注意取值范圍；③最后一定要將代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化成幾何結(jié)論.【例6】(2023·全國·高二課時練習(xí)）如圖，某海面上有O，A，B三個小島（面積大小忽略不計），A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過O，A，B(1)求圓C的方程；(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，正沿著北偏東45°方向行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險?【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，求出點A，B的坐標(biāo)，設(shè)出圓C的一般方程，利用待定系數(shù)法求解作答.（2）求出船D的航線所在直線的方程，再利用點到直線距離公式計算判斷作答.【解答過程】（1）依題意，因A島在O島的北偏東45°方向距O島402千米處，則點A又B島在O島的正東方向距O島20千米處，則B20,0設(shè)過O，A，B三點的圓C的方程為x2則F=0402+所以圓C的方程為x2（2）因船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處，則D?20,?20而船D沿著北偏東45°方向行駛，則船D的航線所在直線l的斜率為1，直線l的方程為x?y+20?203由（1）知，圓C的圓心為C10,30，半徑r=10則圓心C到直線l的距離d=10?30+20?2032所以該船有觸礁的危險.【變式6-1】(2023·湖北·高二期末）為了保證我國東海油氣田海域海上平臺的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺O的北偏西45°方向22km處設(shè)立觀測點A，在平臺O的正東方向12km處設(shè)立觀測點B，規(guī)定經(jīng)過O、A、B三點的圓以及其內(nèi)部區(qū)域為安全預(yù)警區(qū)．如圖所示：以O(shè)為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x(1)試寫出A，B的坐標(biāo)，并求兩個觀測點A，B之間的距離；(2)某日經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在該平臺O正南10kmC處，有一艘輪船正以每小時87【解題思路】（1）先求出A，B的坐標(biāo)，再由距離公式得出A，B之間的距離；（2）由A,O,B三點的坐標(biāo)列出方程組得出經(jīng)過O,A,B三點的圓的方程，設(shè)輪船航線所在的直線為l，再由幾何法得出直線l與圓截得的弦長，進而得出安全警示區(qū)內(nèi)行駛時長.【解答過程】(1)由題意得A(?2,2