高考數(shù)學(xué)微專題集專題8仿射變換在圓錐曲線中的應(yīng)用微點1仿射變換的定義、性質(zhì)及其在圓錐曲線中的應(yīng)用(一)(原卷版+解析)

專題8仿射變換在圓錐曲線中的應(yīng)用微點1仿射變換的定義、性質(zhì)及其在圓錐曲線中的應(yīng)用（一）專題8利用仿射變換輕松解決圓錐曲線問題微點1仿射變換的定義、性質(zhì)及其在圓錐曲線中的應(yīng)用（一）【微點綜述】仿射變換，即平行投影變換，是幾何學(xué)中的一個重要變換，是從運動變換過渡到射影變換的橋梁．在初等幾何中，仿射圖形經(jīng)過平面仿射變換，可以由對特殊幾何圖形的證明，得出對一般幾何圖形的證明．而且，根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，可以把特殊圖形的命題推廣到一般圖形，從而達到事半功倍的效果．本文將探討應(yīng)用仿射變換中的仿射不變性質(zhì)與仿射不變量來解決解析幾何一些較難問題．一、仿射變換概述先看一個引例：引例．（《人教A版選擇性必修第一冊》第115頁“綜合應(yīng)用”第9題）如圖，軸，垂足為D，點M在DP的延長線上，且，當(dāng)點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，點，由題意可知，則由題可得，即，點P在圓上運動，，即點的軌跡方程為，點的軌跡為橢圓，除去與軸的交點．這個問題就是用仿射變換把圓變換為橢圓．在高中數(shù)學(xué)解析幾何題中，我們可以利用仿射變換將一部分有關(guān)橢圓的問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，這樣就可以借助圓中的特有的一些性質(zhì)解決問題，從而使問題的解決過程大大簡化．二、仿射變換定義解析幾何中的仿射變換（AffineTransformation）是?種?維坐標(biāo)到?維坐標(biāo)之間的線性變換，保持?維圖形的“平直性”（譯注：straightness，即變換后直線還是直線，不會打彎，圓弧還是圓?。┖汀捌?性”（譯注：parallelness，其實是指保持?維圖形間的相對位置關(guān)系不變，平?線還是平?線，相交直線還是相交直線，另外特別注意向量間的夾角可能會發(fā)生變化．）仿射變換可以通過?系列的原?變換的復(fù)合來實現(xiàn)，包括：平移（Translation）、縮放（Scale）、翻轉(zhuǎn)（Flip）、旋轉(zhuǎn)（Rotation）和剪切（Shear）．下面是字母R的反射變換效果圖：三、仿射變換性質(zhì)仿射變換有如下性質(zhì)：1．同素性：在經(jīng)過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；2．結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；3．其它不變關(guān)系．我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì)．橢圓，經(jīng)過仿射變換，則橢圓變?yōu)榱藞A，并且變換過程有如下對應(yīng)關(guān)系：（1）點變?yōu)?；?）直線斜率k變?yōu)?，對?yīng)直線的斜率比不變（見例4）（3）圖形面積S變?yōu)?，對?yīng)圖形面積比不變（見例7～例10）；（4）點、線、面位置不變（平?直線還是平?直線，相交直線還是相交直線，中點依然是中點，相切依然是相切等，見例1）；（5）弦長關(guān)系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點共線的比不變（見例6）．總結(jié)可得下表：變換前變換后方程橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)斜率面積弦長不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點分線段的比仿射變換一般而言主要應(yīng)用于選填中快速得出結(jié)果，對于解答題可以利用仿射變換快速得出結(jié)果但是容易丟掉步驟分，因此還是用正常解法寫出過程．四、仿射變換的應(yīng)用當(dāng)出現(xiàn)以下幾個場景的時候就可以聯(lián)想仿射變換去處理：①面積問題（尤其是有一個頂點是坐標(biāo)原點的時候）；②斜率之積出現(xiàn)之類；③同一條線段的比例問題；④其他與之相關(guān)聯(lián)的問題．（一）初識仿射變換例1．（一般情況下的標(biāo)準(zhǔn)橢圓與直線）已知直線，橢圓，討論直線與橢圓的位置關(guān)系．【解析】作變換，直線變?yōu)?，橢圓變?yōu)閳A，圓心到直線的距離為，由直線與圓的位置關(guān)系易得：（1）當(dāng)，即時，直線與圓相切，當(dāng)時，直線與橢圓相切；（2）當(dāng)，即時，直線與圓相離，當(dāng)時，直線與橢圓相離；（3）當(dāng)，即時，直線與圓相交，當(dāng)時，直線與橢圓相交．【推廣】標(biāo)準(zhǔn)變換后，直線變?yōu)?，此結(jié)論可以作為公式記熟，提高做題速度．例2．已知橢圓的方程為，點的坐標(biāo)為．（1）設(shè)直線交橢圓于兩點，交直線于點．若，證明：為的中點；（2）對于橢圓上的點，如果橢圓上存在不同的兩個交點滿足，寫出求作點的步驟．【解析】（1）證法一：設(shè)，則可得，又，，而由題意知，，即，即線段的中點在直線上，也即直線與的交點為線段的中點．證法二：由方程組，消y得方程，因為直線交橢圓于兩點，，即，設(shè)的中點坐標(biāo)為，則，由方程組，消y得方程，又因為，所以，故為的中點．（2）求作點的步驟：1取的中點；2連接，求出直線OE的斜率；3由知為的中點，根據(jù)（1）可得的斜率；4從而得直線的方程：；5將直線與橢圓的方程聯(lián)立，方程組的解即為點的坐標(biāo)．下面利用仿射變換解決這個問題：（1）作仿射變換：，橢圓方程變?yōu)?，則，，由垂徑定理得為的中點，是的中點．（2）如圖，求作點的步驟：1以為圓心，橢圓的長半軸長為半徑作圓；2作射線，使，射線與圓交于；3過圓與軸正方向的交點作軸的垂線，過圓與軸負(fù)方向的交點作軸的垂線，兩垂線交于點；4連接，取其中點；5連接，過作的垂線，交圓于；6過點作作軸的垂線，交橢圓于點即為所求．證明：上述作圖相當(dāng)于作了縱軸方向上的伸縮變換，易證線段與互相平分，而伸變換不改變線段的比例，因此與互相平分，．【說明】題（1）表明中點弦問題由點差法得到的結(jié)論可以看作是橢圓的“垂徑定理”；題（2）利用仿射變換完成純幾何作圖，注意橢圓的參數(shù)方程在仿射變換圖形下獲得了確定的幾何意義．例3．(2023年高考湖北理21）1．設(shè)是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與軸的交點，點在直線上，且滿足.當(dāng)點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標(biāo)；（2）過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點.是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.（二）凸顯隱含幾何條件利用仿射變換可以將一些題目中“平凡”的條件轉(zhuǎn)化為對解題很有利的“特殊”條件，比如：①利用仿射變換可以改變斜率，從而可以使得某些與橢圓相關(guān)的平行四邊形轉(zhuǎn)化成矩形，達到簡化問題的目的；②利用仿射變換可以將橢圓變成圓，從而可以使得某些與橢圓相關(guān)的平行四邊形轉(zhuǎn)化為菱形，達到簡化問題的目的．例4．2．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(1)設(shè)動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．(2)設(shè)動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在點，使得點到的距離與到直線的距離之比為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（三）利用仿射變換處理斜率問題例5．3．已知，平面內(nèi)一動點滿足．(1)求點運動軌跡的軌跡方程；(2)已知直線與曲線交于，兩點，當(dāng)點坐標(biāo)為時，恒成立，試探究直線的斜率是否為定值？若為定值請求出該定值，若不是定值請說明理由．（四）利用仿射變換處理弦長問題例6．(2023年高考遼寧理20）4．本小題滿分12分）如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.（1）設(shè)，求與的比值；（2）當(dāng)e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由【針對訓(xùn)練】5．橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為_________________．6．如圖，，P，Q是橢圓上的兩點（點Q在第一象限），且直線PM，QM的斜率互為相反數(shù)．若，則直線QM的斜率為__________．7．已知橢圓的右端點為A，O為坐標(biāo)原點，若在橢圓上存在一點P使得OP⊥PA，則此橢圓離心率的取值范圍是________.8．MN是橢圓上一條不過原點且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，P是MN的中點，則_________，A，B是該橢圓的左右頂點，Q是橢圓上不與A，B重合的點，則_________．CD是該橢圓過原點O的一條弦，直線CQ，DQ斜率均存在，則_________．(2023年高考浙江卷21）9．如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；(2)求的最小值．10．已知橢圓的離心率為為橢圓上一點，為橢圓上不同兩點，為坐標(biāo)原點，（1）求橢圓的方程；（2）線段的中點為，當(dāng)面積取最大值時，是否存在兩定點，使為定值？若存在，求出這個定值；若不存在，請說明理由．專題8仿射變換在圓錐曲線中的應(yīng)用微點1仿射變換的定義、性質(zhì)及其在圓錐曲線中的應(yīng)用（一）專題8利用仿射變換輕松解決圓錐曲線問題微點1仿射變換的定義、性質(zhì)及其在圓錐曲線中的應(yīng)用（一）【微點綜述】仿射變換，即平行投影變換，是幾何學(xué)中的一個重要變換，是從運動變換過渡到射影變換的橋梁．在初等幾何中，仿射圖形經(jīng)過平面仿射變換，可以由對特殊幾何圖形的證明，得出對一般幾何圖形的證明．而且，根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，可以把特殊圖形的命題推廣到一般圖形，從而達到事半功倍的效果．本文將探討應(yīng)用仿射變換中的仿射不變性質(zhì)與仿射不變量來解決解析幾何一些較難問題．一、仿射變換概述先看一個引例：引例．（《人教A版選擇性必修第一冊》第115頁“綜合應(yīng)用”第9題）如圖，軸，垂足為D，點M在DP的延長線上，且，當(dāng)點P在圓上運動時，求點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，點，由題意可知，則由題可得，即，點P在圓上運動，，即點的軌跡方程為，點的軌跡為橢圓，除去與軸的交點．這個問題就是用仿射變換把圓變換為橢圓．在高中數(shù)學(xué)解析幾何題中，我們可以利用仿射變換將一部分有關(guān)橢圓的問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，這樣就可以借助圓中的特有的一些性質(zhì)解決問題，從而使問題的解決過程大大簡化．二、仿射變換定義解析幾何中的仿射變換（AffineTransformation）是?種?維坐標(biāo)到?維坐標(biāo)之間的線性變換，保持?維圖形的“平直性”（譯注：straightness，即變換后直線還是直線，不會打彎，圓弧還是圓?。┖汀捌?性”（譯注：parallelness，其實是指保持?維圖形間的相對位置關(guān)系不變，平?線還是平?線，相交直線還是相交直線，另外特別注意向量間的夾角可能會發(fā)生變化．）仿射變換可以通過?系列的原?變換的復(fù)合來實現(xiàn)，包括：平移（Translation）、縮放（Scale）、翻轉(zhuǎn)（Flip）、旋轉(zhuǎn)（Rotation）和剪切（Shear）．下面是字母R的反射變換效果圖：三、仿射變換性質(zhì)仿射變換有如下性質(zhì)：1．同素性：在經(jīng)過變換之后，點仍然是點，線仍然是線；2．結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點仍然在直線上；3．其它不變關(guān)系．我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì)．橢圓，經(jīng)過仿射變換，則橢圓變?yōu)榱藞A，并且變換過程有如下對應(yīng)關(guān)系：（1）點變?yōu)?；?）直線斜率k變?yōu)?，對?yīng)直線的斜率比不變（見例4）（3）圖形面積S變?yōu)?，對?yīng)圖形面積比不變（見例7～例10）；（4）點、線、面位置不變（平?直線還是平?直線，相交直線還是相交直線，中點依然是中點，相切依然是相切等，見例1）；（5）弦長關(guān)系滿足，因此同一條直線上線段比值不變，三點共線的比不變（見例6）．總結(jié)可得下表：變換前變換后方程橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)斜率面積弦長不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點分線段的比仿射變換一般而言主要應(yīng)用于選填中快速得出結(jié)果，對于解答題可以利用仿射變換快速得出結(jié)果但是容易丟掉步驟分，因此還是用正常解法寫出過程．四、仿射變換的應(yīng)用當(dāng)出現(xiàn)以下幾個場景的時候就可以聯(lián)想仿射變換去處理：①面積問題（尤其是有一個頂點是坐標(biāo)原點的時候）；②斜率之積出現(xiàn)之類；③同一條線段的比例問題；④其他與之相關(guān)聯(lián)的問題．（一）初識仿射變換例1．（一般情況下的標(biāo)準(zhǔn)橢圓與直線）已知直線，橢圓，討論直線與橢圓的位置關(guān)系．【解析】作變換，直線變?yōu)?，橢圓變?yōu)閳A，圓心到直線的距離為，由直線與圓的位置關(guān)系易得：（1）當(dāng)，即時，直線與圓相切，當(dāng)時，直線與橢圓相切；（2）當(dāng)，即時，直線與圓相離，當(dāng)時，直線與橢圓相離；（3）當(dāng)，即時，直線與圓相交，當(dāng)時，直線與橢圓相交．【推廣】標(biāo)準(zhǔn)變換后，直線變?yōu)?，此結(jié)論可以作為公式記熟，提高做題速度．例2．已知橢圓的方程為，點的坐標(biāo)為．（1）設(shè)直線交橢圓于兩點，交直線于點．若，證明：為的中點；（2）對于橢圓上的點，如果橢圓上存在不同的兩個交點滿足，寫出求作點的步驟．【解析】（1）證法一：設(shè)，則可得，又，，而由題意知，，即，即線段的中點在直線上，也即直線與的交點為線段的中點．證法二：由方程組，消y得方程，因為直線交橢圓于兩點，，即，設(shè)的中點坐標(biāo)為，則，由方程組，消y得方程，又因為，所以，故為的中點．（2）求作點的步驟：1取的中點；2連接，求出直線OE的斜率；3由知為的中點，根據(jù)（1）可得的斜率；4從而得直線的方程：；5將直線與橢圓的方程聯(lián)立，方程組的解即為點的坐標(biāo)．下面利用仿射變換解決這個問題：（1）作仿射變換：，橢圓方程變?yōu)?，則，，由垂徑定理得為的中點，是的中點．（2）如圖，求作點的步驟：1以為圓心，橢圓的長半軸長為半徑作圓；2作射線，使，射線與圓交于；3過圓與軸正方向的交點作軸的垂線，過圓與軸負(fù)方向的交點作軸的垂線，兩垂線交于點；4連接，取其中點；5連接，過作的垂線，交圓于；6過點作作軸的垂線，交橢圓于點即為所求．證明：上述作圖相當(dāng)于作了縱軸方向上的伸縮變換，易證線段與互相平分，而伸變換不改變線段的比例，因此與互相平分，．【說明】題（1）表明中點弦問題由點差法得到的結(jié)論可以看作是橢圓的“垂徑定理”；題（2）利用仿射變換完成純幾何作圖，注意橢圓的參數(shù)方程在仿射變換圖形下獲得了確定的幾何意義．例3．(2023年高考湖北理21）1．設(shè)是單位圓上的任意一點，是過點與軸垂直的直線，是直線與軸的交點，點在直線上，且滿足.當(dāng)點在圓上運動時，記點M的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，判斷曲線為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標(biāo)；（2）過原點且斜率為的直線交曲線于，兩點，其中在第一象限，它在軸上的射影為點，直線交曲線于另一點.是否存在，使得對任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.（二）凸顯隱含幾何條件利用仿射變換可以將一些題目中“平凡”的條件轉(zhuǎn)化為對解題很有利的“特殊”條件，比如：①利用仿射變換可以改變斜率，從而可以使得某些與橢圓相關(guān)的平行四邊形轉(zhuǎn)化成矩形，達到簡化問題的目的；②利用仿射變換可以將橢圓變成圓，從而可以使得某些與橢圓相關(guān)的平行四邊形轉(zhuǎn)化為菱形，達到簡化問題的目的．例4．2．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(1)設(shè)動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．(2)設(shè)動點滿足：，其中，是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在點，使得點到的距離與到直線的距離之比為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（三）利用仿射變換處理斜率問題例5．3．已知，平面內(nèi)一動點滿足．(1)求點運動軌跡的軌跡方程；(2)已知直線與曲線交于，兩點，當(dāng)點坐標(biāo)為時，恒成立，試探究直線的斜率是否為定值？若為定值請求出該定值，若不是定值請說明理由．（四）利用仿射變換處理弦長問題例6．(2023年高考遼寧理20）4．本小題滿分12分）如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.（1）設(shè)，求與的比值；（2）當(dāng)e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由【針對訓(xùn)練】5．橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為_________________．6．如圖，，P，Q是橢圓上的兩點（點Q在第一象限），且直線PM，QM的斜率互為相反數(shù)．若，則直線QM的斜率為__________．7．已知橢圓的右端點為A，O為坐標(biāo)原點，若在橢圓上存在一點P使得OP⊥PA，則此橢圓離心率的取值范圍是________.8．MN是橢圓上一條不過原點且不垂直于坐標(biāo)軸的弦，P是MN的中點，則_________，A，B是該橢圓的左右頂點，Q是橢圓上不與A，B重合的點，則_________．CD是該橢圓過原點O的一條弦，直線CQ，DQ斜率均存在，則_________．(2023年高考浙江卷21）9．如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．(1)求點P到橢圓上點的距離的最大值；(2)求的最小值．10．已知橢圓的離心率為為橢圓上一點，為橢圓上不同兩點，為坐標(biāo)原點，（1）求橢圓的方程；（2）線段的中點為，當(dāng)面積取最大值時，是否存在兩定點，使為定值？若存在，求出這個定值；若不存在，請說明理由．參考答案：1．（1）答案見解析；（2）存在，.【解析】（1）設(shè)，，則由，可得與，與的關(guān)系，所以代入，得所求曲線的方程再討論m的取值范圍.（2），設(shè)，，則，，把，兩點坐標(biāo)代入橢圓方程，點差法可得，由，，三點共線，即，再由，而等價于，即，又，得可得答案.【詳解】（1）如圖1，設(shè)，，則由，且可得，，所以，①，因為點在單位圓上運動，所以②，將①式代入②式即得所求曲線的方程為且，因為，所以當(dāng)時，，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標(biāo)分別為，；當(dāng)時，，曲線是焦點在軸上的橢圓，兩焦點坐標(biāo)分別為.（2）存在，理由如下：如圖2?3，，設(shè)，，則，，因為，兩點在橢圓上，所以兩式相減可得，③依題意，由點在第一象限可知，點也在第一象限，且，不重合，故，于是由③式可得，④又，，三點共線，所以，即，于是由④式可得，而等價于，即，又，得，故存在，使得在其對應(yīng)的橢圓上，對任意的，都有.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；考查分類討論的數(shù)學(xué)思想以及運算求解的能力.本題是一個橢圓模型，求解標(biāo)準(zhǔn)方程時注意對焦點的位置分類討論，不要漏解；對于探討性問題一直是高考考查的熱點，一般先假設(shè)結(jié)論成立，再逆推所需要求解的條件，對運算求解能力和邏輯推理能力有較高的要求.2．(1)存在；點坐標(biāo)為(2)存在；分析：（1）根據(jù)仿射變換進行換元，令，即可得到新的軌跡方程，得到.然后根據(jù)題意找到的軌跡方程，結(jié)合橢圓定義即可解題；（2）結(jié)合第一小問，找到的軌跡方程，結(jié)合橢圓定義即可解題.（1）設(shè)橢圓上一點為，橢圓上的點，，令，橢圓的方程為，，可得是以為圓心，半徑為2的圓上的點，記仿射變換下，在圓上對應(yīng)的點為，，直線與的斜率之積為．可得.，四邊形為正方形，于是，則點的軌跡方程為，因此點的軌跡方程為，即.，由橢圓的定義可得，存在符合題意的點，坐標(biāo)為（即橢圓的兩個焦點）．（2），由（1）可知，此時四邊形為矩形，于是，點的軌跡方程為，因此點的軌跡方程為，即.，，直線為橢圓的右準(zhǔn)線.由橢圓的定義可得，存在符合題意的點，坐標(biāo)為（即橢圓的右焦點）．3．(1)(2)是定值；分析：對于小問1，設(shè)點，代入，整理化簡得點軌跡方程；對于小問2，設(shè)出直線：，聯(lián)立曲線的方程，結(jié)合韋達定理，代入，整理得到和的關(guān)系，進而判斷直線是否過定點．（1）設(shè)，則，所以點軌跡方程為：．（2）顯然直線不垂直于軸，故設(shè)：，，代入并整理得：，∴，整理得：，若，此時過，不合題意；若，即符合題意，故直線的斜率為．4．（1）（2）當(dāng)時，不存在直線l，使得BO//AN；當(dāng)時，存在直線l使得BO//AN【詳解】（1）因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè).設(shè)直線分別和C1，C2聯(lián)立，求得.當(dāng)時，，分別用yA，yB表示A、B的縱坐標(biāo)，可知|BC|:AD|=（2）t=0時的l不符合題意，t≠0時，BO//AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即，解得.因為，又，所以，解得.所以當(dāng)時，不存在直線l，使得BO//AN；當(dāng)時，存在直線l使得BO//AN.5．分析：設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，利用點差法可得答案.【詳解】設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，設(shè)中點坐標(biāo)為，則，所以，兩式相減可得，，即，由于在橢圓內(nèi)部，由得，所以時，即直線與橢圓相切，此時由解得或，所以，所求得軌跡方程為．故答案為：．6．分析：延長，交橢圓于點，由橢圓的對稱性和直線PM，QM的斜率互為相反數(shù)可知：，設(shè)出直線的斜率，寫出直線的直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消得到一元二次方程，結(jié)合,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出點坐標(biāo)，并代入橢圓方程中，求出直線的斜率，也就能求出直線QM的斜率.【詳解】延長，交橢圓于點，由橢圓的對稱性和直線PM，QM的斜率互為相反數(shù)可知：，如下圖所示：設(shè)直線的斜率為，所以直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立得：，消元得，，設(shè)，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得：，，，所以，把代入橢圓方程中得，，解得，所以直線QM的斜率為.【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運算能力.7．分析：根據(jù)題意，求出點的軌跡，再與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在區(qū)間內(nèi)有一個根，結(jié)合圖像即可得到，關(guān)系，進而得到離心率的取值范圍.【詳解】由題意得，點P在以為直徑的圓上，因，，則以為直徑的圓方程為：，即，聯(lián)立，得，令，則，，結(jié)合圖像可知，要使OPPA，只需方程在區(qū)間內(nèi)有一個根，根據(jù)二次函數(shù)根的分布，得，即，因，故，即，又因，所以.故答案為：.【點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)