高三數(shù)學一輪復習第八章解析幾何培優(yōu)專題13與圓有關的綜合問題學案

與圓有關的綜合問題[培優(yōu)技法]1．圓的幾種特殊弦(1)過圓內一點的最長弦和最短弦圓的最長弦一定是直徑，因此求過圓內一點的最長弦所在直線方程就是求過圓心和該點連線的方程；由垂徑定理知最短弦滿足其所在直線與前面所說的最長弦所在直線垂直．(2)以圓內一點為中點的弦根據(jù)圓的幾何性質知，弦的中點與圓心的連線與弦所在直線垂直，因此求以圓內一點為中點的弦所在直線方程的方法如下：先求出中點(已知點)與圓心連線的斜率(若不存在，則所求直線的斜率為0)，從而得出所求直線的斜率(若前面所求斜率為0，則此處斜率不存在)，再根據(jù)直線的點斜式方程寫出所求直線方程即可．(3)兩圓相交時的公共弦求兩相交圓的公共弦所在的直線方程，只需將兩個圓的一般方程直接相減消去二次項即可，弦長的求解還是運用垂徑定理．2．圓上的點到定點或定直線的距離的最值問題(1)圓上的點到圓外定點的距離的最值設圓C的半徑為r，點Q為圓外一點，點P為圓C上任意一點，則|PQ|的最小值為|QC|－r，最大值為|QC|＋r.當P，Q，C三點共線，即點P與點N或點M重合時，分別取得最小值和最大值，如圖所示．(2)圓上的點到定直線的距離的最值已知直線l和圓C，圓C的半徑為r，點P為圓C上任意一點．過圓心C作直線l的垂線，垂足為點Q，交圓C于點M，N.①若直線l與圓相離或相切，則點P到直線l的距離的最小值為|NQ|＝|CQ|－r，最大值為|MQ|＝|CQ|＋r，如圖1和圖2所示．②若直線l與圓相交，則點P到直線l的距離的最小值為0，最大值為|MQ|＝|CQ|＋r，劣弧上的點到直線l的最大距離為|NQ|＝r－|CQ|，如圖3所示．[培優(yōu)案例][例1]已知圓O：x2＋y2＝2，直線l：y＝kx－2.(1)若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當∠AOB為銳角時，求k的取值范圍；(2)若k＝12，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC，PD，切點為C，D，探究：直線CD[解](1)設A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，將直線l：y＝kx－2代入x2＋y2＝2，整理得(1＋k2)x2－4kx＋2＝0，Δ＝(－4k)2－8(1＋k2)＞0，即k2＞1，∴x1＋x2＝4k1+k2，x1x2當∠AOB為銳角時，OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4＝6-2k21+k2＞0，解得k2＜3，又k2＞1，∴－3故k的取值范圍為(－3，－1)∪(1，3)．(2)由題意知O，P，C，D四點共圓且在以OP為直徑的圓上．設Pt，12t-2，以OP為直徑的圓的方程為x(x∴x2－tx＋y2－12t又C，D在圓O：x2＋y2＝2上，兩圓作差得lCD：tx＋12t即x+y2t－2由x+y2∴直線CD過定點12立足直線與圓的位置關系，將幾何問題代數(shù)化是求解本類題目的關鍵．同時，在坐標運算中，借助圓的幾何性質，可以大大提高運算速度．[例2]如圖，在△ABC中，AB＝2，AC＝2BC.(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求頂點C的軌跡方程；(2)求△ABC的面積的最大值．[解](1)以直線AB為x軸，線段AB的中點為坐標原點O，建立平面直角坐標系，如圖所示．則A(－1，0)，B(1，0)，設C(x，y)，則由AC＝2BC，得x+12+y化簡整理得(x－3)2＋y2＝8.故頂點C的軌跡方程為(x－3)2＋y2＝8(y≠0)．(2)當點C位于圓D：(x－3)2＋y2＝8的最高點(如圖所示中的點C，且CD⊥x軸)時，△ABC的面積最大，且最大值為12×2×22＝22在直線與圓的問題中，題設條件通常不明確給出圓的相關信息，而是需要通過分析、轉化等途徑發(fā)現(xiàn)其中隱含的圓，再利用圓的性質解決問題，我們稱這類問題為“隱圓問題”，此類問題在近年的高考及?？贾薪?jīng)常出現(xiàn)，難度為中高檔，解決此類問題的關鍵是能夠從題干中挖掘出“隱圓”．發(fā)現(xiàn)“隱圓”的途徑主要有：(1)利用圓的定義確定“隱圓”；(2)動點到兩定點的張角為直角構造“隱圓”；(3)平面內，已知兩定點A，B，若動點P滿足|PA|＝λ|PB|(λ>0且λ≠1)，則動點P的軌跡是圓．培優(yōu)訓練(十三)與圓有關的綜合問題1．(2024·哈爾濱模擬預測)圓O：x2＋y2＝4與直線l：x＋(λ－1)y－λ＝0交于M，N，當|MN|最小時，λ的值為()A．－2B．2C．－1D．1B[直線l：x＋(λ－1)y－λ＝0，即(y－1)λ＋(x－y)＝0，令y-1=0即直線l恒過定點C(1，1)，又12＋12＝2<4，所以點C(1，1)在圓內，如圖所示，當OC⊥l時弦|MN|最小，因為kOC＝1，所以kl＝－1，即11解得λ＝2.故選B.]2．已知點P是曲線1-x2－y＝0上的動點，則點P到直線3xA．1，75C．75，135D[曲線1-x2－y＝0是圓心為(0，0)，半徑為1的圓的上半部分，如圖所示，點P是曲線1-x2－y＝0上的動點，原點O到直線3x－4y－10＝0的距離為1032+-42＝2，設點P到直線3x－4y－10＝0的距離為d由圖可知，dmax＝2＋r＝2＋1＝3，所以點P到直線3x－4y－10＝0距離的取值范圍是753．(2024·山東師范大學附中?？寄M預測)在平面直角坐標系Oxy中，點A(0，3)，直線l：y＝2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，則圓心C的橫坐標a的取值范圍為()A．0，125C．-125，12D[因為圓心C的橫坐標為a，則圓心C的坐標為(a，2a－4)，則圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1，設M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，可得x2+y-32＝2x2+則圓(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1與圓x2＋(y＋1)2＝4有公共點，則2－1≤0-a即1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a≤1254．(2023·新高考Ⅰ卷)過點(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝()A．1B．154C．104B[如圖，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圓心坐標為(2，0)，半徑r＝5，所以圓心到點(0，－2)的距離為2-02+0+22＝22，由于圓心與點(0，－2)的連線平分角α，所以sinα2＝r22＝522＝104，所以cosα2＝]5．(多選)(2024·浙江杭州模擬預測)已知圓O：x2＋y2＝1，P是直線l：x－y＋2＝0上一點，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為M，N，則()A．直線MN恒過定點B．|MN|的最小值為2C．點(2，0)到直線MN的距離的最大值為5D．∠MPN是銳角AB[設P(x0，x0＋2)，則以OP為直徑的圓的方程為x-x022化簡得x2－x0x－(x0＋2)y＋y2＝0，與x2＋y2＝1聯(lián)立，可得MN所在直線方程：x0x＋(x0＋2)y＝1，即x0(x＋y)＋2y－1＝0，故可知恒過定點-12，12，A正確；O到過定點-12，12的直線MN距離的最大值為：-12-02+12-02＝22，|MN|min＝21-222＝2，故最小值為2，B正確；當點(2，0)與定點-12，12的連線與直線MN垂直時，此時點(2，0)到直線MN的距離最大，且最大值為-12-22+12-02＝262，故C錯誤；圓心O到直線x－y＋2＝0的距離為226．(2024·黑龍江哈爾濱市尚志中學期中)已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－2)2＝2，若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得PA⊥PB，則實數(shù)a的取值范圍是________．[－2，2][根據(jù)題意，PA，PB為圓O的兩條切線，切點分別為A，B，則OA⊥PA，OB⊥PB，又PA⊥PB，則四邊形OAPB為正方形，則|OP|＝2，則P的軌跡是以O為圓心，半徑r＝2的圓，其方程為x2＋y2＝2.若圓M上存在這樣的點P，則圓M與圓x2＋y2＝2有公共點，則有2-2≤a2+4≤7．已知圓C：(x－2)2＋y2＝1及點A(0，2)，點P，Q分別是直線x＋y＝0和圓C上的動點，則|PA|＋|PQ|的最小值為________．3[作出點A關于直線x＋y＝0的對稱點A′，如圖．設點A′(x0，y0)，則有y解得x即A′(－2，0)，而C(2，0)，連接PA′，則(|PA|＋|PQ|)min＝|A′C|－1＝3，故|PA|＋|PQ|的最小值為3.]8．(2024·赤峰模擬預測)已知直線l：ax＋by＋c＝0，其中a，b，c成等差數(shù)列，則直線l恒過定點________，若P(－1，0)，N(2，1)，過點P作直線l的垂線，垂足為M，則|MN|的最大值為________．(1，－2)32[由題意得：a＋c＝2b，所以ax＋by＋c＝0恒過點A(1，－2)，因為過點P作直線l的垂線，垂足為M，所以點M的軌跡為以PA為直徑的圓，圓心為B-1+12，0-22，即B(0，－1)，半徑為-1-02+0+12＝2，所以M的軌跡方程為：x2＋(y＋1)2＝2，則|MN|的最大值為NB的長度加上半徑，由于|9．已知直線l經(jīng)過點P(－2，3)，且其傾斜角α的余弦值為25(1)求直線l的方程；(2)判斷直線l與圓C：________的位置關系；如果相交，記交點A，B，求經(jīng)過A，B兩點的圓的面積的最小值；如果相離，過直線l上的點E作圓C的切線，切點為F，求EF長的最小值．現(xiàn)給出兩個條件：①(x＋3)2＋y2＝25；②(x－2)2＋y2＝16，從中選出一個條件填在橫線上，寫出一種方案即可．[解](1)因為直線l的傾斜角的余弦值為255，則傾斜角的正切值為12，所以直線l的斜率k＝12，即直線l的方程為y－3＝12(x(2)選①.圓心C(－3，0)，r＝5，則圓心C到直線l的距離d＝-3+81+4＝5<5，所以直線l與圓易知以AB為直徑時，所求圓的面積最?。蓌-2y+8=0，x+3不妨令A(－8，0)，B(0，4)，則|AB|＝64+16＝45，面積最小值為π×選②.圓心C(2，0)，r＝4，則圓心C到直線l的距離d＝2+81+4＝25>4，所以直線l與圓C因為|EF|＝CE2-r所以當CE⊥l，即|CE|＝d＝25時，|EF|最小，此時|EF|＝20-10．已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1)求圓C的方程；(2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．[解](1)設圓心C(a，0)a>-52，則4a+105＝2?a＝0或a＝－5(舍)，所以圓C的方程為x2(2)當直線AB的斜率不存在，即AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB.當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2+y2=4，y=kx-1，得(k2Δ＝(－2k2)2－4(k2＋1)(k2－4)＝12k2＋16>0，所以x1＋x2＝2k2k2+1，x1若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN?y1x1-t+y2x2-t＝0?kx1-1x1-t+kx2-1x2-t＝0?2x綜上，存在定點N(4，0)滿足題意．【教師備用】課本習題是如何變?yōu)楦呖碱}的？1．(人教B版選擇性必修第一冊P120)探索與研究：同時與兩個圓相切的直線稱為兩圓的公切線，探索平面內兩個圓的公切線條數(shù)與它們的位置有什么關系，并求出圓C1：x2＋y2＝2與圓C2：(x－2)2＋y2＝8的公切線．[提示]兩圓的公切線是指與兩圓都相切的直線，可分為外公切線和內公切線．兩圓的公切線有如圖所示的5種情況：(1)外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內公切線；(2)外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內公切線；(3)相交時，有2條外公切線；(4)內切時，有1條外公切線；(5)內含時，無公切線．[解]圓C1的圓心為C1(0，0)，半徑為2，圓C2的圓心為C2(2，0)，半徑為22，故可判斷兩圓相交，有2條公切線，且兩條公切線的斜率都存在，設公切線方程為y＝kx＋b，則由C1到公切線的距離為2和C2到公切線的距離為22，列方程組得b解得k=1，b=2所以公切線方程為x－y＋2＝0和x＋y＋2＝0.2.(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程______________．y＝－34x＋54或y＝724x－25[圓x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑為1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心O1為(3,4)，半徑為4，兩圓圓心距為32如圖，當切線為l時，因為kOO1＝43，所以kl＝－34，設直線l的方程為y＝－34O到直線l的距離d＝t1+916＝1，解得t＝54，所以直線l的方程為y＝－3當切線為m時，設直線m的方程為kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，由題意p解得k=-724，p=2524，所以直線m當切線為n時，易知切線方程為x＝－1.]階段提能(十五)直線與圓、圓與圓1．(北師大版選擇性必修第一冊P46復習題一C組T3)已知直線l與圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0交于A，B兩點，是否存在斜率為1的直線l使得以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．[解]存在．設直線l的方程為y＝x＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點，所以OA·即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，所以2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0.由x得x2＋(x＋b)2－2x＋4(x＋b)－4＝0，整理得2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0，所以Δ＝(2b＋2)2－4×2(b2＋4b－4)>0，即b2＋6b－9<0(*)．而x1＋x2＝－2b+22＝－b－1，x1x2＝b所以b2＋4b－4＋b(－b－1)＋b2＝0，所以b＝1或b＝－4，滿足(*)式，所以直線l的方程為y＝x＋1或y＝x－4.2．(人教A版選擇性必修第一冊P98習題2.5T4)求圓心在直線3x－y＝0上，與x軸相切，且被直線x－y＝0截得的弦長為27的圓的方程．[解]由題意，設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－3a)2＝r2，則圓心(a，3a)到直線x－y＝0的距離d＝a-3a2＝2依題意，r=3a，2a所以所求圓的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.3．(人教A版選擇性必修第一冊P103復習參考題2T20)已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.(1)求證：直線l恒過定點；(2)直線l被圓C截得的弦何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時m的值以及最短弦長．[解](1)證明：直線l的方程(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，整理得m(2x＋y－7)＋(x＋y－4)＝0.由2x+y-7=0所以直線l恒過定點D(3，1)．(2)由(1)知直線l恒經(jīng)過圓C內的定點D，所以當直線l經(jīng)過圓心C時被截得的弦最長，它是圓的直徑；當直線l垂直于CD時被截得的弦最短．由C(1，2)，D(3，1)，可知kCD＝－12所以當直線l被圓C截得的弦最短時，直線l的斜率為2，于是有－2m+1m+1＝2，解得m＝－3此時直線l的方程為y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0.又|CD|＝1-32所以，最短弦長為2×25-5＝4所以直線l被圓C截得的弦長最短時，m的值是－34，最短弦長是454．(人教B版選擇性必修第一冊P116練習BT4)已知直線x－y＋1＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0交于A，B兩點．(1)求線段AB的垂直平分線的方程；(2)若|AB|＝22，求m的值；(3)在(2)的條件下，求過點P(4，4)的圓C的切線方程．[解](1)依題意，所求直線過圓心且與x－y＋1＝0垂直，易得圓心C(2，1)，所以所求直線方程為y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3.(2)圓心(2，1)到直線AB：x－y＋1＝0的距離d＝2-1+11由垂徑定理可得圓的半徑為2，則12-4(3)由題意，知點P(4，4)不在圓上，①當所求切線的斜率存在時，設切線方程為y－4＝k(x－4)，即kx－y－4k＋4＝0，由圓心到切線的距離等于半徑2，即2k-1+4-4kk所以所求切線方程為5x－12y＋28＝0.②當所求切線的斜率不存在時，切線方程為x＝4.綜上，所求切線的方程為x＝4或5x－12y＋28＝0.5．(2021·北京卷)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝kx＋m，若當k的值發(fā)生變化時，直線被圓C所截的弦長的最小值為2，則m的取值為()A．±2B．±2C．±3D．±3C[因為直線l截得圓C弦長的最小值為2，所以圓心C(0，0)到直線l的最大距離dmax＝22-12×22＝3，由題意知直線l的方程為kx－y＋m＝0，圓心C(0，0)到直線l的距離d＝mk2+1，當k＝0時，d6．(2020·全國Ⅰ卷)已知圓x2＋y2－6x＝0，過點(1，2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為()A．1B．2C．3D．4B[將圓的方程x2＋y2－6x＝0化為標準方程(x－3)2＋y2＝9，設圓心為C，則C(3，0)，半徑r＝3.設點(1，2)為點A，過點A(1，2)的直線為l，因為(1－3)2＋22<9，所以點A(1，2)在圓C的內部，則直線l與圓C必相交，設交點分別為B，D.易知當直線l⊥AC時，直線l被該圓所截得的弦的長度最小，設此時圓心C到直線l的距離為d，則d＝|AC|＝3-12+0-22＝22，所以|7．(2020·全國Ⅱ卷)若過點(2，1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為()A．55B．255C．B[因為圓與兩坐標軸都相切，點(2，1)在該圓上，所以可設該圓的方程為(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圓心的坐標為(1，1)或(5，5)，所以圓心到直線2x－y－3＝0的距離為2×1-1-322+8．(2022·新高考Ⅱ卷)設點A(－2，3)，B(0，a)，直線AB關于直線y＝a的對稱直線為l，已知l與圓C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點，則a的取值范圍為________．13，32[由題意知，點A(－2，3)關于直線y＝a的對稱點為A′(－2，2a－3)，所求直線l的方程為y＝2a-3-a-2-0x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0，所以3a-3+4+2a4+3-9．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直線x－my＋1＝