2024新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.5全稱量詞與存在量詞1.5.1全稱量詞與存在量詞1.5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定練習(xí)新人教A版必修第一冊(cè)

.5全稱量詞與存在量詞1．5.1全稱量詞與存在量詞1．5.2全稱量詞命題和存在量詞命題的否定學(xué)問點(diǎn)一全稱量詞命題和存在量詞命題1．下列命題中全稱量詞命題的個(gè)數(shù)是()①隨意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)；②有的平行四邊形的對(duì)角線相互垂直；③三角形的內(nèi)角和是180°.A．0B．1C．2D．3答案C解析①中含有全稱量詞“隨意一個(gè)”，故①為全稱量詞命題；②中含有存在量詞“有的”，故②為存在量詞命題；③可描述為“全部三角形的內(nèi)角和為180°”，其中“全部”為全稱量詞，故③為全稱量詞命題．故選C.2．以下四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是()A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2≤0C．兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使eq\f(1,x)>2答案B解析選項(xiàng)A中銳角三角形的內(nèi)角都是銳角，所以是假命題；選項(xiàng)B中當(dāng)x＝0時(shí)，x2＝0，所以B既是存在量詞命題又是真命題；選項(xiàng)C中因?yàn)閑q\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命題；選項(xiàng)D中對(duì)于隨意一個(gè)負(fù)數(shù)x，都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命題．3．下列命題是“?x∈R，x2>3”的另一種表達(dá)方式的是()A．有一個(gè)x∈R，使得x2>3B．對(duì)有些x∈R，使得x2>3C．任選一個(gè)x∈R，使得x2>3D．至少有一個(gè)x∈R，使得x2>3答案C解析“?”和“任選一個(gè)”都是全稱量詞．4．(多選)給出四個(gè)命題：①末尾數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在實(shí)數(shù)x，x>0；④對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x,2x＋1是奇數(shù)，下列說法正確的是()A．四個(gè)命題都是真命題B．①②是全稱量詞命題C．②③是存在量詞命題D．四個(gè)命題中有一個(gè)假命題答案CD解析①末尾數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除，是全稱量詞命題，是真命題；②有的菱形是正方形，是存在量詞命題，是真命題；③存在實(shí)數(shù)x，x>0，是存在量詞命題，是真命題；④對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x,2x＋1是奇數(shù)，是全稱量詞命題，是假命題．故A，B錯(cuò)誤，C，D正確．故選CD.5．命題“有些負(fù)數(shù)滿意不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“?”寫成存在量詞命題為________．答案?x＜0，(1＋x)(1－9x2)＞0解析命題可分兩部分，條件“有些負(fù)數(shù)”寫為“?x<0”，結(jié)論“不等式(1＋x)(1－9x2)>0”寫為“(1＋x)(1－9x2)>0”．6．用量詞符號(hào)“?”“?”表述下列命題．(1)全部實(shí)數(shù)x都能使x2＋x＋1>0成立；(2)對(duì)全部實(shí)數(shù)a，b，方程ax＋b＝0恰有一個(gè)解；(3)肯定有整數(shù)x，y，使得3x－2y＝10成立；(4)全部的有理數(shù)x都能使eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理數(shù)．解(1)?x∈R，x2＋x＋1>0.(2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一個(gè)解．(3)?x，y∈Z,3x－2y＝10.(4)?x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理數(shù)．7．指出下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題，并推斷真假．(1)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使等式x2＋x＋8＝0成立．(2)每個(gè)二次函數(shù)的圖象都與x軸相交．(3)?x∈R，eq\r(x)<0.(4)存在實(shí)數(shù)x，eq\r(x2)＝－x.解(1)存在量詞命題．因?yàn)閤2＋x＋8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(31,4)>0，所以該命題為假命題．(2)全稱量詞命題．如函數(shù)y＝x2＋1的圖象與x軸不相交，所以該命題為假命題．(3)存在量詞命題．非負(fù)數(shù)有算術(shù)平方根，且仍為非負(fù)數(shù)，所以該命題為假命題．(4)存在量詞命題．當(dāng)x<0時(shí)，eq\r(x2)＝－x，所以該命題為真命題．學(xué)問點(diǎn)二全稱量詞命題和存在量詞命題的否定8．命題“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”的否定是()A．負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)B．有些負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)C．全部負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)D．有些負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)答案D解析該命題的否定：有些負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)．9．命題“有些實(shí)數(shù)的肯定值是正數(shù)”的否定是()A．?x∈R，|x|>0 B．?x∈R，|x|>0C．?x∈R，|x|≤0 D．?x∈R，|x|≤0答案C解析由詞語“有些”知原命題為存在量詞命題，故其否定為全稱量詞命題，而命題的否定只否定結(jié)論．10．已知命題p：?x>0，(x＋1)ex>1，則p為()A．?x≤0，(x＋1)ex≤1B．?x＞0，(x＋1)ex≤1C．?x＞0，(x＋1)ex≤1D．?x≤0，(x＋1)ex≤1答案B解析全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．因此p為?x＞0，(x＋1)ex≤1.故選B.11．命題“?x∈?RQ，x3∈Q”的否定是()A．?x??RQ，x3∈QB．?x∈?RQ，x3?QC．?x??RQ，x3∈QD．?x∈?RQ，x3?Q答案D解析存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．因此選D.12．寫出下列命題p的否定，并推斷p的否定的真假．(1)p：?x＞0，x＋eq\f(1,x)≥2；(2)p：全部矩形的對(duì)角線相等；(3)p：不論m取什么實(shí)數(shù)，x2＋x－m＝0必有實(shí)數(shù)根；(4)p：某些平行四邊形是菱形；(5)p：?x，y∈Z，eq\r(2)x＋y＝3.解(1)p：?x＞0，x＋eq\f(1,x)＜2.假命題．(2)p：有的矩形的對(duì)角線不相等．假命題．(3)p：存在實(shí)數(shù)m，使x2＋x－m＝0沒有實(shí)數(shù)根．真命題．(4)p：每一個(gè)平行四邊形都不是菱形．假命題．(5)p：?x，y∈Z，eq\r(2)x＋y≠3.假命題．學(xué)問點(diǎn)三全稱量詞命題、存在量詞命題的綜合應(yīng)用13．已知?x1∈{x|0≤x≤2}，m>x1，?x2∈{x|6≤x≤8}，m<x2，那么m的取值范圍是()A．2<m<8B．0<m<8C．0<m<6D．2<m<6答案A解析由?x1∈{x|0≤x≤2}，m>x1，可得m>2；由?x2∈{x|6≤x≤8}，m<x2，可得m<8，所以2<m<8.14．已知命題p：?x∈{x|1<x<3}，使得x－a≥0成立；若p是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)<1B．a(chǎn)>3C．a(chǎn)≤3D．a(chǎn)≥3答案D解析p是真命題，所以p是假命題，所以?x∈{x|1<x<3}，使得x－a≥0無解，所以當(dāng)1<x<3時(shí)，a≤x不成立，所以a≥3.15．若?x∈R，x2－x＋3(m－1)≠0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．m<－eq\f(13,12) B．m>eq\f(13,12)C．－eq\f(13,12)≤m<eq\f(13,12) D．m≤－eq\f(13,12)或m≥eq\f(13,12)答案B解析因?yàn)?x∈R，x2－x＋3(m－1)≠0，即關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋3(m－1)＝0無解，所以Δ＝(－1)2－4×1×3(m－1)<0.解得m>eq\f(13,12).故實(shí)數(shù)m的取值范圍為m>eq\f(13,12).16．已知命題p：?x∈R，(a－3)x＋1＝0，若p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值集合是________．答案{a∈R|a≠3}解析因?yàn)閜是假命題，所以命題p：?x∈R，(a－3)x＋1＝0是真命題，所以關(guān)于x的方程(a－3)x＋1＝0有實(shí)數(shù)解，所以a－3≠0，即a≠3，所以實(shí)數(shù)a的取值集合是{a∈R|a≠3}．17．已知函數(shù)y＝x2－2x＋5.(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式m＋y>0對(duì)于隨意x∈R恒成立，并說明理由；(2)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使不等式m－x2＋2x－5＞0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)不等式m＋y>0可化為m>－y，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4對(duì)于隨意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在實(shí)數(shù)m，使不等式m＋y>0對(duì)于隨意x∈R恒成立，此時(shí)，只需m>－4.(2)不等式m－x2＋2x－5>0可化為m>x2－2x＋5，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>ymin.又y＝(x－1)2＋4，∴ymin＝4，∴m>4.∴所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>4.易錯(cuò)點(diǎn)一對(duì)含有一個(gè)量詞的命題否定不完全致錯(cuò)已知命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得xeq\o\al(2,0)－x0－2<0，寫出p.易錯(cuò)分析該命題是存在量詞命題，其否定應(yīng)是全稱量詞命題，應(yīng)將存在量詞改為全稱量詞，并且對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定，此題簡單忽視其中一項(xiàng)而造成錯(cuò)解．正解p：對(duì)隨意的實(shí)數(shù)x，都有x2－x－2≥0.易錯(cuò)點(diǎn)二寫命題的否定時(shí)忽視隱含的量詞致錯(cuò)寫出下列命題的否定：(1)可以被5整除的數(shù)，末位是0；(2)能被3整除的數(shù)，也能被4整除．易錯(cuò)分析(1)(2)均為省略了全稱量詞的全稱量詞命題，因此寫其否定時(shí)，要補(bǔ)全量詞，不能只否定結(jié)論，不變更量詞．正解(1)省略了全稱量詞“任何一個(gè)”，命題的否定為：有些可以被5整除的數(shù)，末位不是0.(2)省略了全稱量詞“全部”，命題的否定為：存在一個(gè)能被3整除的數(shù)，不能被4整除．一、單項(xiàng)選擇題1．下列命題中存在量詞命題的個(gè)數(shù)是()①有些自然數(shù)是偶數(shù)；②正方形是菱形；③能被6整除的數(shù)也能被3整除；④對(duì)于隨意x∈R，總有|sinx|≤1.A．0B．1C．2D．3答案B解析命題①含有存在量詞；命題②可以敘述為“全部的正方形都是菱形”，故為全稱量詞命題；命題③可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)都能被3整除”，是全稱量詞命題；而命題④是全稱量詞命題．故有一個(gè)存在量詞命題．2．下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是()A．?x∈R,2x＋1>0B．若2x為偶數(shù)，則?x∈NC．全部菱形的四條邊都相等D．π是無理數(shù)答案C解析對(duì)于A，是全稱量詞命題，但不是真命題，故A不正確；對(duì)于B，是假命題，也不是全稱量詞命題，故B不正確；對(duì)于C，是全稱量詞命題，也是真命題，故C正確；對(duì)于D，是真命題，但不是全稱量詞命題，故D不正確．3．設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集．若命題p：?x∈A,2x∈B，則()A．p：?x∈A,2x?BB．p：?x?A,2x?BC．p：?x?A,2x∈BD．p：?x∈A,2x?B答案D解析全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，則命題p：?x∈A,2x∈B的否定是p：?x∈A,2x?B.4．命題p：?x>0，x＋eq\f(1,x)＝2，則p為()A．?x>0，x＋eq\f(1,x)＝2 B．?x>0，x＋eq\f(1,x)≠2C．?x≤0，x＋eq\f(1,x)＝2 D．?x≤0，x＋eq\f(1,x)≠2答案B解析該命題的否定p：?x>0，x＋eq\f(1,x)≠2.5．下列四個(gè)命題：①?zèng)]有一個(gè)無理數(shù)不是實(shí)數(shù)；②空集是任何一個(gè)非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一個(gè)整數(shù)x，使得x2－x＋1是整數(shù)．其中是真命題的為()A．①②③④ B．①②③C．①②④ D．②③④答案C解析①中表述的為全部無理數(shù)都是實(shí)數(shù)，正確；②空集是任何一個(gè)非空集合的真子集，正確；③1＋1＝2，故1＋1＜2為假命題；④當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，x2－x＋1即為整數(shù)，正確．故選C.6．設(shè)非空集合P，Q滿意，P∩Q＝Q且P≠Q(mào)，則下列命題是假命題的是()A．?x∈Q，有x∈PB．?x∈P，有x?QC．?x?Q，有x∈PD．?x?Q，有x?P答案D解析因?yàn)镻∩Q＝Q且P≠Q(mào)，所以QP，所以集合Q中的元素都是集合P的元素，但是集合P中有集合Q中沒有的元素，所以A，B，C正確，D錯(cuò)誤．7．已知命題p：?x∈R，x2＋x＋a＝0，若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)>eq\f(1,4)B．a(chǎn)≤eq\f(1,4)C．a(chǎn)<eq\f(1,4)D．a(chǎn)≥eq\f(1,4)答案A解析假設(shè)命題p為真，則?x∈R，x2＋x＋a＝0，即關(guān)于x的一元二次方程x2＋x＋a＝0有解，所以Δ＝12－4a≥0.解得a≤eq\f(1,4).因?yàn)槊}p是假命題，所以a>eq\f(1,4).故選A.8．已知命題p：?x1∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x1，命題q：?x2∈{x|1≤x≤3}，使m≥x2，若命題p為真命題，q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．{m|m≤1}B．{m|1≤m≤3}C．{m|m≥3}D．{m|m≥1}答案C解析由題意知命題p，q都是真命題．由?x1∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x1成立，只需m大于或等于x1的最大值，即m≥3.由?x2∈{x|1≤x≤3}，使m≥x2成立，只需m大于或等于x2的最小值，即m≥1，因?yàn)閮烧咄瑫r(shí)成立，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}．二、多項(xiàng)選擇題9．下列命題中是存在量詞命題且是真命題的是()A．對(duì)全部實(shí)數(shù)x，都有2x2－3x＋4>0B．存在正整數(shù)m，使m為29的約數(shù)C．命題“全部四邊形的內(nèi)角和都是360°”的否定D．命題“對(duì)全部實(shí)數(shù)a，都有|a|>0”的否定答案BD解析對(duì)于A，是全稱量詞命題，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是存在量詞命題，當(dāng)x＝1時(shí)，x為29的約數(shù)成立，所以B為真命題，故B正確；對(duì)于C，命題的否定為“有的四邊形的內(nèi)角和不是360°”，是存在量詞命題，是假命題，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，命題的否定為“存在實(shí)數(shù)a，使|a|≤0”，是存在量詞命題，當(dāng)a＝0時(shí)，此命題成立，所以為真命題，故D正確．故選BD.10．已知a>0，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c.若x0滿意關(guān)于x的方程2ax＋b＝0，則下列命題中為真命題的是()A．?x∈R，y≤yx＝x0B．?x∈R，y≥yx＝x0C．?x∈R，y≤yx＝x0D．?x∈R，y≥yx＝x0答案ABD解析由題意，知x0＝－eq\f(b,2a)是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程，因?yàn)閍>0，所以yx＝x0為函數(shù)的最小值，即對(duì)全部的實(shí)數(shù)x，都有y≥yx＝x0，因此A，B，D均為真命題，C為假命題．11．對(duì)下列命題的否定說法正確的是()A．p：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；p：存在一個(gè)能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)B．p：有些矩形是正方形；p：全部的矩形都不是正方形C．p：有的三角形為正三角形；p：全部的三角形不都是正三角形D．p：?n∈N,2n≤100；p：?n∈N,2n>100.答案ABD解析由全稱量詞命題的否定和存在量詞命題的否定，知A，B，D正確；C中p：全部的三角形都不是正三角形，故C錯(cuò)誤．12．命題p：“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a>0”的否定為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()A．a(chǎn)>4B．a(chǎn)≤4C．a(chǎn)≥5D．a(chǎn)<5答案AC解析由題可知p：“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題，即?x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題的充要條件為a≥4，故其充分不必要條件即為集合{a|a≥4}的真子集，由選項(xiàng)可知A，C符合題意．故選AC.三、填空題13．命題“對(duì)隨意x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．答案存在x∈R，|x－2|＋|x－4|≤3解析“隨意x∈R”改為“存在x∈R”，“|x－2|＋|x－4|>3”的否定為“|x－2|＋|x－4|≤3”．14．若命題“?x∈R，x2＋4x＋c≤0”為假命題，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________．答案c>4解析因?yàn)槊}“?x∈R，x2＋4x＋c≤0”為假命題，所以該命題的否定“?x∈R，x2＋4x＋c>0”為真命題，故Δ＝42－4×1×c<0.解得c>4.15．已知命題p：存在k∈R，使得函數(shù)y＝(k－3)x＋k的圖象不經(jīng)過定點(diǎn)M，若命題p是假命題，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為________．答案(－1,3)解析∵p是假命題，∴p是真命題，即對(duì)隨意k∈R，函數(shù)y＝(k－3)x＋k的圖象恒過定點(diǎn)M，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1,3)．16．下列命題：①偶數(shù)都可以被2整除；②角平分線上的任一點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；③有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其內(nèi)角和大于180°.既是全稱量詞命題又是真命題的是________，既是存在量詞命題又是真命題的是________(填上全部滿意要求的序號(hào))．答案①②③④解析①是全稱量詞命題，是真命題；②是全稱量詞命題，是真命題；③含存在量詞“有的”，是存在量詞命題，是真命題；④是存在量詞命題，是真命題；⑤是存在量詞命題，是假命題，因?yàn)殡S意三角形內(nèi)角和為180°.四、解答題17．命題p是“對(duì)某些實(shí)數(shù)x，若x－a>0，則x－b≤0”，其中a，b是常數(shù)．(1)寫出命題p的否定；(2)當(dāng)a，b滿意什么條件時(shí)，命題p的否定為真？解(1)命題p的否定：對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，若x－a>0，則x－b>0.(2)當(dāng)a，b滿意條件b≤a時(shí)，命題p的否定為真．18．已知集合A＝{x|－3≤x≤6}，B＝{x|m＋3≤x≤2m＋4}，且B≠?.(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍；(2)若命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍．解(1)由于命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，所以B?A，又B≠?，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3≤2m＋4，,m＋3≥－3，,2m＋4≤6，))解得－1≤m≤1.即m的取值范圍是{m|－1≤m≤1}．(2)q為真，則A∩B≠?，因?yàn)锽≠?，所以m≥－1.若A∩B＝?，則m＋3>6或2m＋4<－3，解得m>3或m<－eq\f(7,2)，其補(bǔ)集為－eq\f(7,2)≤m≤3，又因?yàn)閙≥－1，所以m的取值范圍是{m|－1≤m≤3}．19．已知函數(shù)y1＝xeq\o\al(2,1)，y2＝－2x2－m，若?x1∈{x|－1≤x≤3}，?x2