2024高考數(shù)學(xué)-余弦定理、正弦定理

2024高考數(shù)學(xué)一余弦定理、正弦定理

目錄

1.教學(xué)大綱....................................................................2

2.第一課時(shí)余弦定理.........................................................2

2.1.［思考發(fā)現(xiàn)］...............................................................2

2.2.［系統(tǒng)歸納］...............................................................3

2.3.已知兩邊及一角解三角形的兩種情況.......................................4

2.4.［變式訓(xùn)練］...............................................................4

2.5.已知三角形三邊解三角形的方法............................................5

2.6.［變式訓(xùn)練］...............................................................5

2.7.利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng).............................7

2.8.［變式訓(xùn)練］...............................................................7

2.9.測(cè)試題..................................................................8

2.9.1.A級(jí)——學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練.......................................8

2.9.2.B級(jí)——面向全國(guó)卷高考高分練......................................10

2.9.3.C級(jí)——拓展探索性題目應(yīng)用練.......................................12

3.第二課時(shí)正弦定理..........................................................13

3.1.［思考發(fā)現(xiàn)］.............................................................13

3.2.［系統(tǒng)歸納］.............................................................14

3.3.已知任意兩角和一邊，解三角形的步驟...................................15

3.4.［變式訓(xùn)練］.............................................................15

3.5.已知三角形兩邊和一邊的對(duì)角解三角形的方法.............................16

3.6.［變式訓(xùn)練］.............................................................16

3.7.判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng).......................................18

3.8.［變式訓(xùn)練］.............................................................18

3.9.利用正、余弦定理解三角形的注意點(diǎn).....................................19

3.10.［變式訓(xùn)練］............................................................19

3.11.測(cè)試題................................................................19

3.11.1.A級(jí)——學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練....................................19

3.11.2.B級(jí)——面向全國(guó)卷高考高分練....................................22

3.11.3.C級(jí)——拓展探索性題目應(yīng)用練....................................25

4.第三課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例.......................................25

4.1.［思考發(fā)現(xiàn)］..............................................................25

第1頁共39頁

4.2.［系統(tǒng)歸納I............................................................................................................................27

4.2.1.運(yùn)用正、余弦定理解決實(shí)際問題的基本步驟...........................27

4.2.2.測(cè)量距離的基本類型及方案..........................................28

4.3.［變式訓(xùn)練］..............................................................28

4.4.測(cè)量高度問題的解題策略.................................................30

4.5.［變式訓(xùn)練］..............................................................30

4.6.測(cè)量角度問題的基本思路.................................................31

4.7.［變式訓(xùn)練］..............................................................31

4.8.測(cè)試題..................................................................32

4.8.1.A級(jí)——學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練.....................................32

4.8.2.B級(jí)——面向全國(guó)卷高考高分練......................................35

4.8.3.C級(jí)——拓展探索性題目應(yīng)用練......................................38

1.教學(xué)大綱

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

1借.助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與1.弄清正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)思

角度的關(guān)系.路，并在此基礎(chǔ)上掌握正、余弦定理的

2掌.握余弦定理、正弦定理.本質(zhì).

3.能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)2.在求解三角形問題時(shí)要注意養(yǎng)成

單的實(shí)際問題.作圖分析的習(xí)慣.

2.第一課時(shí)余弦定理

2.1.［思考發(fā)現(xiàn)］

1.在△A3C中，符合余弦定理的是（）

A.c2=a2-\-b2—2abcosCB.c2=a2—b2—2bccosA

次+/+

C.b2=a2—c2-2feccosAD-cosC=-2ab-

解析：選A由余弦定理及其推論知只有A正確.故選A.

2.在△A3C中，已知a=9,b=2y［3,C=150°,則c等于（）

A.^39B.8小

第2頁共39頁

C.1072D.7小

解析：選D由余弦定理得：

C=［92+(2小)2—2X9X2/Xcos150°=寸詬=7/.故選D.

3.AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=小，c=2,cos

2

A=y則b=()

A.^2B.小

C.2D.3

21

解析：選D由余弦定理得5=〃+4—2X人X2X§,解得人=3或〃=一§

(舍去).故選D.

4.在△ABC中，若〃2—/+02=必，貝ijcosC=.

212=12222—

解析：Va-c+bab9c=cr-Vb—ab.^*/c=a+Z?2abcosC,；?

2cosC=l.AcosC=g.

答案：I

2.2.［系統(tǒng)歸納］

1.余弦定理與勾股定理的關(guān)系

余弦定理可以看作是勾股定理的推廣,勾股定理可以看作是余弦定理的特

例.

2.余弦定理的特點(diǎn)

(1)適用范圍：余弦定理對(duì)任意的三角形都成立,、

(2)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間

的關(guān)系,它含有四個(gè)不同的量，知道其中的三個(gè)量，就可求得第四個(gè)量.

3.利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題

(1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形.

⑵若已知兩邊和一邊的對(duì)角,可以用余弦定理解三角形?

——---_------------------------------------

---------------JI■

已知兩邊及一角解

第3頁共39頁

三角形

［例1］(1)在△ABC中，已知〃=60cm,c=604cm,A=^,則a=

________cm；

l9

(2)在△ABC中，若AB=小,AC=5,且cosC=正，貝ij3C=.

［解析］(1)由余弦定理得：

a=q602+(6即)2-2X60x6MX遍

=-j4X602-3X602=60(cm).

(2)由余弦定理得：(小)2=52+802—2X5X3。湍，

所以8。2—98。+20=0,解得BC=4或BC=5.

［答案］(1)60(2)4或5

2.3.已知兩邊及一角解三角形的兩種情況

(1)若已知角是其中一邊的對(duì)角，可用余弦定理列出關(guān)于第三邊的一元二次

方程求解.

(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，再用余弦

定理和三角形內(nèi)角和定理求其它角.

2.4.［變式訓(xùn)練］

1.在△A3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=3,b=2,cos(A

+B)=|.則c=()

A.4B.V15

C.3D.V17

解析：選DcosC=—cos(A+B)=—又由余弦定理得，-2=/+序-2abcos

C=9+4-2X3X2X(—￡)=17,所以，=行.故選D.

2.在△ABC中，a=2?,=般+6，8=45。，解這個(gè)三角形.

解：根據(jù)余弦定理得，b2=a2+c2~2<zccosB=(2^3)2+(^6+^2)2-2X2^/3

第4頁共39頁

X（V6+V2）Xcos45°=8,

:.b=2也

〃8+（加+也）2-（2?。?1

又VCOSA=2bc=2X2V2X（V6+^）=2-

.?.A=60°,C=180°—（A+8）=75°.

已知三邊解

"—三角形

［例2］在△ABC中，已知a=2#,b=6+2y［3,c=44,求A,B,C.

〃+廿一/

［解］根據(jù)余弦定理，得cosA=-詼一

（6+2S）2+（4小）2-（2加《仍

2（6+24）（4?。﹡2,

71

,■,AG（0,兀），，A=d，

序+.2——Q&y+（6+2小產(chǎn)―（4?。?

cosC—2ab—2X2#X（6+2市）

=蛆

一2，

7T

'/Ce（o,7i）,?"=［

?八兀兀7

兀c7一兀

..A=%,B=萬兀，C=%

2.5.已知三角形三邊解三角形的方法

先利用余弦定理的推論求出一個(gè)角的余弦，從而求出第一個(gè)角；再利用余弦

定理的推論（或由求得的第一個(gè)角利用正弦定理）求出第二個(gè)角；最后利用三角形

的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.

2.6.［變式訓(xùn)練］

1.［變條件］己知AABC中，a：b：c=2:#:（小+1）,求AABC中各角的

度數(shù).

第5頁共39頁

解：已知a：b：c=2:冊(cè)：(小+1),令a=2Z,b=#k,c=(小+1)Z(A>

0),由余弦定理的推論，得

/72+c2—a2(-\/6)2+(A/3+1)2—22g

COsA=2bc=2XV6X(V3+1)=2,

V0°<A<180°,AA=45°.

/+。2―〃22+（蟲+I）—?（加）2j

cosB=2-=2X2X（V3+1）=5'

V0o<B<180°,...8=60°.

二C=180。一A—B=180°-45°-60°=75°.

2.［變條件，變?cè)O(shè)問］若三角形三邊長(zhǎng)之比是1：?。?,則其所對(duì)角之比是

（）

A.1：2：3B.1：小：2

C.1：正：小D.y/2:?。?

解析：選A設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為相，小"2,2"?（能>0）,最大角為A,則

一+（小加）2-（2附2

cosA=rz=0,

AA=90°.

設(shè)最小角為用則cosi中牛匕金祭

AB=30°,AC=60°.

故三角形三角之比為1：2：3.故選A.

3.［變條件，變?cè)O(shè)問］在△ABC中，已知/+，=。2+砒，且sinA:sinC=

（V3+1）：2,求角C.

解：Vc^+cr=kr+ac,a2+c2—b2=2accosB.

/.2accosB—ac,cos

V0o<B<180°,

...8=60°,A+C=120°.

..sinA小+1

=(小+

,sinC=22sinAl)sinC.

2sin(120°-C)=(V3+1)sinC.

第6頁共39頁

.\2sin120°cos。-2cos120°sinC=(小+l)sinC.

sinC=cosC.

AtanC=l.V00<C<180°.

AC=45°.

判斷三角形

的形狀

[例3]在AABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,試判斷△ABC的

形狀.

［解］將已知等式變形為

后(1—cos2C)4-c2(l—COS2B)=2Z?CCOSBCOSC.

由余弦定理并整理，得

222

P-C?a+c—b\

、2acJ

層+/一左層+從一，

=2bcX_2ac-~,

[(次+/一C'2)+(a2+c2-/72)]24a4

=4.

4a2一4〃

...4=90?！筧43。是直角三角形.

2.7.利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)

(1)利用余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出

邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解.

2.8.［變式訓(xùn)練］

在5c中，acosA+bcosB=ccosC,試判斷5c的形狀.

〃+〃-a2

解：由余弦定理知cosA=------------

/+/一〃6Z2+/72—C2

cosB=2ca,cosC=2ab

代人已知條件得

第7頁共39頁

〃+/一層。2+。2一匕2。2一屋一。2

a'-2bc-+b'-2ca―+c-lab—=0'

通分得

。2（〃2+/—。2）+。2（〃2+，—^2）+^（/一/—力2）=0,

展開整理得（/一層）2=c4

a2-Z?2=±c2,即a1=b1+c2或b2=a2+c1.

根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形.

2.9.測(cè)試題

2.9.1.A級(jí)——學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練

1.△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=巾，b=3,c

=2,則A=（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

/+/_〃2

解析：選C,:a=巾,b=3,c=2,...由余弦定理得，cosA=—荻一

9+4—71

又由A￡（0°,180°）,得A=60。.故選C.

2.在△ABC中，若AB=y[H,BC=3,ZC=120°,則AC=（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選A在AABC中，若AB=g,BC=3,ZC=120°,AB2=3（^+

AC2~2ACBCCOSC,可得：13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4（舍去）.故

選A.

3.如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為（）

3

B-

A.4

7

D-

8

解析：選D設(shè)三角形的原邊長(zhǎng)為a,則周長(zhǎng)為5a..?.等腰三角形腰的長(zhǎng)為

2a.設(shè)頂角為a,由余弦定理，得cosa=(2a宜?故選D-

第8頁共39頁

4.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若一通一>0,則

△ABC()

A.一定是銳角三角形B.一定是直角三角形

C.一定是鈍角三角形D.是銳角或直角三角形

心一足―/?"

解析：選C由一麗一〉0得一cosOO,所以cosC<0,從而。為鈍角，

因此△A3C一定是鈍角三角形.故選C.

5.若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊a,b,c滿足(a+b)2—,2=4,且C

=60°,則"的值為()

AjB.8—4小

C.1D.|

(a+b)2—cr=4,A

解析：選A依題意，,,,,兩式相減得以=可.故

a2+/?2—c2=2a/?cos60°=ab,3

選A.

6.在△ABC"中，若a=2,/?+c=7,cosB――不則。=.

解析：由余弦定理得/=4+(7—32-2><2義(7—")><(一；|,解得8=4.

答案:4

7.已知a,b,c為△ABC的三邊，5=120°,則層+/+這一扶=.

11

解析：?.?〃=Q2+C2—2accosB=a+c—2^ccos120°

=a2+(?+^(:,a2+c2+ac—b2=0.

答案：0

8.在△ABC中，若(。-c)m+c)=〃(〃+c),則4=.

解析：:(a—c)(a+c)=b(b+c),

222212

Aa—c=b+bcf即b+c-a=—he.

.Z?2+c2-—be1

??.cosA=—醞—=^bc=~2-

V0°</l<180o,.,.A=120°.

第9頁共39頁

答案：120。

9.在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求。

解：在△ABC中，-：A+C=2B,A+8+C=180。，

...3=60°.

由余弦定理，得

b2=a1+c1-2accosB=（a+c）2—lac—2accosB

=82-2X15-2X15X1=19.

：.b=\[]9.

10.在△ABC中，已知a—Z?=4,a+c=2b,且最大角為120。，求三邊長(zhǎng).

a~b=4,[a=b+4,

解：由上.得,,

[a+c=2b,[c=b—4.

：.a>b>c,：.A=120°,

/.a2=b2+c2—2hccos120°,

即（。+4）2=序+（匕-4）2—2伏/?一4）*（一；），

即/一10b=0,解得b=0（舍去）或b=10.

當(dāng)/?=10時(shí)，a=14,c=6.

2.9.2.B級(jí)——面向全國(guó)卷高考高分練

1.在△ABC中，AC=2,BC=2啦，ZACB=135°,過點(diǎn)C作CDLAB交

45于點(diǎn)。.則CO=()

A邛

B.6

C.小D.小

5H上I-人，+eAC2+BC2-AB2y/2

解析：選A根據(jù)余弦定理cos^ACB=~~亍篙、—=一沒，又

Z-/1C-￡>CZ

=2,

BC=2也代入公式得AB=2小，再由等積法可得gx2小.CD=92&

X2X乎，解得。。=苓.故選A.

2.銳角△ABC中，b=\,c=2,則a的取值范圍是()

第10頁共39頁

A.l<a<3B.l<a<5

C.-\l3<a<y]5D.不確定

解析：選C若。為最大邊，則〃+。2—4〉0,即。2＜5,二加小，若。為

最大邊，則/+〃＞/,即序＞3,:.a＞小,故，§＜。＜小.故選C.

3.在△A3C中，$皿弓=方二，則△ABC的形狀為（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形

1—cosAc~bb序+/一層

2

解析：選’?s;n2^.=--------------=------->cosA=—=zv

B?sm222c,c2bccr+b

=c2,符合勾股定理.故選B.

4.在△ABC中，AB=5,BC=7,AC=8,則AB?8C的值為（）

A.79B.69

C.5D.-5

AB2+BC2-AC252+72-821

解析：選D由余弦定理得：cosZABC=

2ABBC2X5X7T

因?yàn)橄蛄颗c1｝的夾角為180°-ZABC,所以

「cos（180。一NABO=5X7X（—）=-5.故選D.

5.在△ABC中，AB=2,AC=#,BC=1+小，A。為邊BC上的高，則

AD的長(zhǎng)是.

△…..8（^+AC2-AB2J2V2

斛析：.cosC—2BC-AC=2，**s^nC=?，

：.AD=ACsinC=yf3.

答案：小

6.已知△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=34c=小，

且cosc=7,則a=,AABC的面積為.

5

-

解析：?；a=36,6，c~=屋+〃一2abcosC,

15

2+-

升6化簡(jiǎn)得次=9,解得。=3或。=一3（舍）.又CW（O,7t）,

第11頁共39頁

AsinC=勺1-cos2c貝ISziABc=；a/?sinC=^^.

答案:3呼

7.在AABC中，BC=a,AC=b,a,。是方程x2—2小龍+2=0的兩個(gè)根,

且2cos(A+3)=1.

(1)求角C的度數(shù);

(2)求A8的長(zhǎng)度.

解：(1)COSC=COS[TT—(/+6]=—COS(A+B)=-4，又0。＜。＜180。，所以。

=120°.

(2)因?yàn)閍,b是方程_?一2小x+2=0的兩個(gè)根,

a+b=2y[3,

所以《

ab=2.

所以由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACBCCOSC

=b2+a1-2ahcos120°

=a2+b2+ab=(a+b)2—ab=(2yl3)2—2=10.

所以A8=??

2.9.3.C級(jí)----拓展探索性題目應(yīng)用練

在△ABC中，a,b,，分別是角A,B,C的對(duì)邊，且舞!一六.

⑴求8的大小；

(2)若〃=[15,a+c=4,求a的值.

解：(1)由余弦定理得

?+。2—序?+/一02

cosB=-2ac-，cosC=-2ab-，

.盾式“標(biāo)+”一'2abb

..原式化為丁+/—天

2ac2。+。'

整理得a2+c2—b2+ac=0,

.。2+/一02—ac]

==~^=一彳,

??cosB2ac2ac2

第12頁共39頁

又.??B=W.

(2)#b=y[13,Q+C=4,3=中，

代入b2=a2-l-c2—2accosB得，

13="+(4—。)2—2。(4—〃)?cos專,

即42—44+3=0.解得〃=1或〃=3.

3.第二課時(shí)正弦定理

3.1.［思考發(fā)現(xiàn)］

1.有關(guān)正弦定理的敘述：

①正弦定理只適用于銳角三角形；

②正弦定理不適用于鈍角三角形；

③在某一確定的三角形中，各邊與它的對(duì)角的正弦的比是定值;

④在△A3C中，sinA：sin8：sinC=ahc.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B正弦定理適用于任意三角形，故①②均不正確；由正弦定理可

知，三角形一旦確定，則各邊與其所對(duì)角的正弦的比就確定了，故③正確；由比

例性質(zhì)和正弦定理可推知④正確.故選B.

2.在△ABC中，a=15,。=10,A=60。，則sinB=()

BR.亞3

C坐D坐

解析：選A由于看=磊，故卷=焉，

第13頁共39頁

解得sin3=手.故選A.

3.在△ABC中，a：b：c=\：5：6,則sinA：sin8：sinC等于()

A.1：5：6B.6：5：1

C.6：1：5D.不確定

解析：選A由正弦定理，知sinA：sinB：sinC=a：/?：c=l：5：6.故選

A.

4.在△ABC中，A=30°,a=3,b=2,則這個(gè)三角形有()

A.一解B.兩解

C.無解D.無法確定

解析：選A'：b<a,A=30°,.\B<30°,故三角形有一解.故選A.

5.在△ABC中，若8=30。，b=2,則一.

sinA

解析：卷=島=：=4.

2

答案：4

3.2.［系統(tǒng)歸納］

1.正弦定理的特點(diǎn)

(1)適用范圍：正弦定理對(duì)任意的三角形都成立

(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長(zhǎng)，分母為相應(yīng)邊所對(duì)角的正弦的連笠式」

(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)

三角形中邊角關(guān)系的互化

2.正弦定理的常見變形

(l)“=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R為/\ABC外接圓的半徑).

(2)sinA=/，sin8=點(diǎn)，sin。=蘇(7?為△ABC外接圓的半徑).

(3)三角形的邊長(zhǎng)之比等于對(duì)應(yīng)角的正弦比，即“AL鼻而A'sinJ?Win

Q.

?+b+c________a_____b_____￡_

⑷sinA+sin3+sinC—sinA-sinB-sinC

(5)asin反三擾］。A2asinC三csinAzOsinC亍csinB.

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關(guān)鍵能力?重點(diǎn)培優(yōu)課堂講練設(shè)計(jì)，舉一能通類題

GUANJIANNENGLIZHONGDIANPEIYOU

已知兩角及一邊解

三角形

［例1］在△ABC中，已知a=8,B=60。，C=75°,求A,c.

［解］A=180。一(8+0=180。一(60°+75°)=45°.

ac-asinC8Xsin75°

2

所以A=45°,c=4(小+1).

3.3.已知任意兩角和一邊，解三角形的步驟

(1)求角：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；

(2)求邊：根據(jù)正弦定理，求另外的兩邊.

已知內(nèi)角不是特殊角時(shí)，往往先求出其正弦值，再根據(jù)以上步驟求解.

3.4.［變式訓(xùn)練］

已知在△ABC中，c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B.

解.??‘一=」一

用牛.’sinAsinC

csinA10Xsin45°廣

a=sinC=sin30°=10^2'

B=180°-(A4-O=180o-(45o+30o)=105°.

人5,sinsinC

csinBlOXsin105°

：./?=-77=———=20sin75°

=20X亞要^=5(#+啦).

已知兩邊及一邊的對(duì)角解

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三角形

［例2］在△ABC中,已知a=2,c=#,C=?求A，B,b.

2A/6

sinC'?，sinA一近

2

、/2TT7T

解得：sinA=?又?.?々Vc,C=2,

.八，八兀兀5兀

.?3=71—4—。=兀-1一1=夜,

加+啦

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=^~~《1

.Dmsin7?

sinC.71W十L

sin3

3.5.已知三角形兩邊和一邊的對(duì)角解三角形的方法

(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值.

(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊

的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一.

(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角,

這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論.

3.6.［變式訓(xùn)練］

TT

1.［變條件，變?cè)O(shè)問］若把本例中。=2改為8=不求A,a,8的值.

TT7TSTT

解：由三角形內(nèi)角和定理知A=7t—g—［=夜.

ch

又由正弦定理砧=而?

.DV6Xsin?

csinB^——4=

付"sinC.Ji;

sin3

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一si人加Xs喏

a

又由得a=#+1.

sinA-sinC'sinC.7i

sin3

2.在△ABC中，a=l,8=小，A=30°,求邊c的長(zhǎng).

解：由嵩=磊，得sin8=Z?sinA

a2.

\'a<b,：.B>A=3Q°,

：.B為60?；?20°.

①當(dāng)8=60°時(shí)，C=180°-60°-30°=90°.

此時(shí)，c=,屋+/=3+3=2.

②當(dāng)B=120°時(shí),

C=180°-120°-30°=30°.此時(shí)，c=a=l.

綜上知c=l或2.

判斷三角形

的形狀

[例3]在△ABC中，若sinA=2sinBcosC,且sin2A=sin25+sin2。,試判

斷△ABC的形狀.

ab

［解］法一：根據(jù)正弦定理，得不

nAsinBsinC'

「sin2A=sin2B+sin2C,a2=h2+c2,

是直角，B+C=90°,

.'.2sinBcosC=2sinBcos(90°—B)=2sin2B=sinA=1,

；.sinB=*.

V0°<B<90°,.?.8=45°,C=45°,

△ABC是等腰直角三角形.

nhc

法二：根據(jù)正弦定理，得無淳=而萬=而不

sin2A=sin2B+sin2C,

.\a1=b2+c1,.\A是直角.

VA=180°-(B+C),sinA=2sinScosC,

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/.sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,

.\sin(B-C)=0.

又一90°VB-CV90°,：.B~C=Q,：.B=C,

...AABC是等腰直角三角形.

3.7.判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)

(1)利用余弦定理、正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊(或角)的關(guān)系，通過因式分

解、配方等得出邊(或角)的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(2)統(tǒng)一成邊(或角)的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)

漏解.

3.8.［變式訓(xùn)練］

在△A3C中，已知3A=24§asinB,且cos3=cosC,角A是銳角，則△A8C

的形狀是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

解析：選D由肪=2小asinB,得扁根據(jù)正弦定理，得扁=

billij

a

A,所以4=2*",即sinA=噂.又角A是銳角，所以A=60°.又cos3=

sinAsinAJz

cosC,且B,C都為三角形的內(nèi)角，所以B=C.故△ABC為等邊三角形，故選

D.

正、余弦定理的簡(jiǎn)

單綜合

［例4］設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且加inA={5acos

B.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若2=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

［解］(l)'.'/?sin/l=-\/3acosB,

由正弦定理得sinBsinA=，§sinAcosB.

在△ABC中，sinAWO,

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即得tanB=全

(2)VsinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,

由余弦定理/?2=?2+c2—2accosB,

兀

即9=a2+4tz2—2tz-2izcos亨

解得.*.c=2a=2，5.

ODO?

3.9.利用正'余弦定理解三角形的注意點(diǎn)

正余弦定理都是用來解三角形的，但在解題過程中要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)

定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，應(yīng)抓住兩個(gè)定理的特點(diǎn)：正弦定理“邊對(duì)

角”，余弦定理“邊夾角”，正確選擇定理是解決此類題目的關(guān)鍵.

3.10.［變式訓(xùn)練］

(2019?山東臨沂高二檢測(cè))/\48。的內(nèi)角4，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

asinA+csinC—也asinC=/?sinB.

(1)求角B的大??；

(2)若A=75°,h=2,求a,c.

解：(1)由正弦定理得屋+c2—&qc=〃.

由余弦定理得/=/+，-2accosB.

故cos3=乎，因此8=45°.

(2)sinA=sin(30°+45°)

?^2+A/6

=sin30°cos450+cos30°sin45°=^~~4丫.

故由正弦定理得然V=1+小.

由已知得，C=180o-45°-75o=60°,

sinC-、，sin60°r-

C=b'^B=2X^￥=^-

3.11.測(cè)試題

3.11.1.A級(jí)——學(xué)考合格性考試達(dá)標(biāo)練

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1.在△ABC中，a=5,b=3,則sinA：sin8的值是（）

53

A-3B5

C.,D,^

解析：選A根據(jù)正弦定理得需=*=|.故選A.

2.在△ABC中，a=bsinA,則△ABC一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

解析：選B由題意有S:A=「=sinB'則sin8=1,

即角8為直南，故△A3C是直角三角形.故選B.

3.在△ABC中，若a=2,。=25，A=30。，則8為（）

A.60°B.60°或120°

C.30°D.30?；?50°

解析：選B由正弦定理可知癮=磊，.入皿^二如乎二二三二半，

VBG（0°,180°）,.?.8=60°或120°.故選B.

4.已知△ABC中，。=4小，c=2,C=30。，那么此三角形（）

A.有一解B.有兩解

C.無解D.解的個(gè)數(shù)不確定

解析：選C由正弦定理和已知條件得照=瓷市，，sin8=5>1,...

此三角形無解.故選C.

5.已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，C=?c=y[2,

a=x,若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則x的取值范圍是（）

,1B.（卷2）

C.（1,2）D.（1,的

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解析：選B在△ABC中，根據(jù)正弦定理扁'=焉即焉=C，所以siiM

0I1I2XS111.7L

哂

=；x,由題意可得，當(dāng)AG（；,牛）時(shí)，滿足條件的△ABC有兩個(gè)，所以乎<5<1,

解得也<x<2.則x的取值范圍是（啦，2）.故選B.

6.在△ABC中，若BC=小，sinC=2sinA,則48=.

解析：由正弦定理，得*BC=2BC=2小.

答案：2小

7.在△ABC中，若A=105。，C=30°,b=l,則c=.

I?

解析：由題意，知8=180。-105°—30°=45°.由正弦定理，得c=空%=

sinD

IXsin30°V2

sin45。=2,

冬變.

木：2

8.已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，若。=1,b=小，A

+C=2B,則sinA=.

jr

解析：'：A+C=2B,A+B+C=