第06講 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程-2024年新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假提升講義（人教版 學(xué)習(xí)新知）

第06講實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+8個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1.會(huì)分析實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,找出等量關(guān)系,列出一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題,并根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義,取符合實(shí)際意義的解作答2.經(jīng)歷分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,體會(huì)一元二次方程的數(shù)學(xué)建模作用3.體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐,反過(guò)來(lái)又作用于實(shí)踐,增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)知識(shí)點(diǎn)1：列一元二次方程解應(yīng)用題1.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.2.解決應(yīng)用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）答(寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)).要點(diǎn)詮釋?zhuān)毫蟹匠探鈱?shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.知識(shí)點(diǎn)2：常見(jiàn)相關(guān)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系及表示方法題型1：增長(zhǎng)率問(wèn)題列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題：平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)(2)降低率問(wèn)題：平均降低率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)題型2：面積問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.題型3：數(shù)字問(wèn)題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.題型4：利潤(rùn)（銷(xiāo)售）問(wèn)題利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)題型6：傳播問(wèn)題比賽問(wèn)題：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．傳播問(wèn)題：，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的人數(shù)．考點(diǎn)1：增長(zhǎng)率問(wèn)題【例1】（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）我國(guó)通過(guò)藥品集中采購(gòu)，大大減輕了群眾的醫(yī)藥負(fù)擔(dān)．如果某種藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，藥價(jià)從每盒元下調(diào)至元，求平均每次降價(jià)的百分率是多少？【變式1-1】（23-24九年級(jí)上·陜西西安·期末）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛(ài)讀書(shū)的習(xí)慣，陜西某學(xué)校抽出一部分資金用于購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍.已知2021年該學(xué)校用于購(gòu)買(mǎi)圖書(shū)的費(fèi)用為3000元，2023年用于購(gòu)買(mǎi)圖書(shū)的費(fèi)用是3630元，求該校用于買(mǎi)書(shū)的資金的年平均增長(zhǎng)率.【變式1-2】（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展．某市2020年底有用戶(hù)2萬(wàn)戶(hù)，計(jì)劃到2022年底，全市用戶(hù)數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬(wàn)戶(hù)．(1)求全市用戶(hù)數(shù)的年平均增長(zhǎng)率．(2)按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)2023年底全市用戶(hù)數(shù)累計(jì)達(dá)到多少萬(wàn)戶(hù)？【變式1-3】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）某種植戶(hù)2016年投資20萬(wàn)元種植中藥材，到2018年3年共累計(jì)投資95萬(wàn)元，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長(zhǎng)率相同．(1)求該種植戶(hù)每年投資的增長(zhǎng)率；(2)按這樣的投資增長(zhǎng)率，請(qǐng)你預(yù)測(cè)2019年該種植戶(hù)投資多少萬(wàn)元種植中藥材．考點(diǎn)2：面積問(wèn)題【例2】如圖所示，要在米寬，米長(zhǎng)的矩形耕地上修筑同樣寬的三條小路（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直），把耕地分成大小不等的六塊花田，要使花田面積為，則道路應(yīng)修多寬？【變式2-1】（23-24九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，借助一面墻（最長(zhǎng)可利用）圍成一個(gè)矩形花園，在墻上要預(yù)留寬的入口（如圖中所示），入口不用砌墻，假設(shè)有砌長(zhǎng)墻的材料且恰好用完，設(shè)的長(zhǎng)為．(1)填空：砌段墻時(shí)，需______長(zhǎng)的砌墻材料（用含x的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)矩形花園的面積為時(shí)，墻的長(zhǎng)為多少米？【變式2-2】．（23-24九年級(jí)上·四川宜賓·期末）近年來(lái)，宜賓市聚焦打造鄉(xiāng)村振興，某農(nóng)戶(hù)要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的邊靠墻（墻長(zhǎng)度等于），另外三邊用木欄圍成，木欄總長(zhǎng)，設(shè)雞場(chǎng)邊的長(zhǎng)為，雞場(chǎng)面積為．

(1)養(yǎng)雞場(chǎng)面積__________（用含x的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)雞場(chǎng)面積為時(shí)，求邊的長(zhǎng)；(3)若農(nóng)戶(hù)想圍成的雞場(chǎng)，可以實(shí)現(xiàn)嗎？說(shuō)明理由．【變式2-3】．（23-24九年級(jí)上·陜西商洛·期末）勞動(dòng)是財(cái)富的源泉，也是幸福的源泉．某中學(xué)對(duì)勞動(dòng)教育進(jìn)行積極探索和實(shí)踐，創(chuàng)建學(xué)生勞動(dòng)教育基地，該中學(xué)有面積為的矩形空地，計(jì)劃在矩形空地上一邊增加，另一邊增加構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域．

(1)求正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)；(2)在實(shí)際建造時(shí)，從校園美觀和實(shí)用的角度考慮，按圖②的方式進(jìn)行改造，先在正方形區(qū)域一側(cè)建成寬的畫(huà)廊，再在余下地方建成寬度相等的兩條小道后，其余地方栽種鮮花，如果栽種鮮花區(qū)域的面積，求小道的寬度．考點(diǎn)3：數(shù)字問(wèn)題【例3】已知兩個(gè)數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個(gè)數(shù)是多少．【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·廣西來(lái)賓·期末）【閱讀與理解】已知整數(shù)a與b的平方之和可以表示為，現(xiàn)有兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)：(1)若這兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中，較小的數(shù)是3，求它們的平方之和是多少？(2)若這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方之和是41，求這兩個(gè)正整數(shù)分別是多少？【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·山西臨汾·階段練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大4，把這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字對(duì)調(diào)后，得到新的兩位數(shù)，原兩位數(shù)與其十位數(shù)字的乘積加上10正好等于新的兩位數(shù)，求原來(lái)的兩位數(shù)．【變式3-3】．（22-23九年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）年7月1日是建黨周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)（如圖所示），若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為，求這個(gè)最小數(shù)（請(qǐng)用方程知識(shí)解答）．考點(diǎn)4：利潤(rùn)（銷(xiāo)售）問(wèn)題【例4】（23-24九年級(jí)上·云南楚雄·期末）網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售已經(jīng)成為一種熱門(mén)的銷(xiāo)售方式，某果園在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上直播銷(xiāo)售獼猴桃．已知該獼猴桃的成本為5元/，銷(xiāo)售價(jià)格不高于14元/，且每售賣(mài)需向網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)支付1元的相關(guān)費(fèi)用．該果園經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的直播銷(xiāo)售發(fā)現(xiàn)，每日銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售價(jià)格x（元/）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)獼猴桃的銷(xiāo)售價(jià)格定為多少元/時(shí)，銷(xiāo)售這種獼猴桃的日利潤(rùn)恰好為900元？【變式4-1】．（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）為滿足市場(chǎng)需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購(gòu)進(jìn)價(jià)格為3元/個(gè)的某品牌粽子，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，該品牌粽子每個(gè)售價(jià)4元時(shí)，每天能出售500個(gè)，并且售價(jià)每上漲元，其銷(xiāo)售量將減少10個(gè)，為了維護(hù)消費(fèi)者利益，物價(jià)部門(mén)規(guī)定，該品牌粽子售價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)幫助超市給該品牌粽子定價(jià)，使超市每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為800元．【變式4-2】（23-24九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）第屆亞運(yùn)會(huì)于月日在杭州盛大開(kāi)幕，亞運(yùn)會(huì)吉祥物“江南憶”由三只靈動(dòng)的機(jī)器人組成．某電商在對(duì)一款成本價(jià)為元的亞運(yùn)會(huì)吉祥物進(jìn)行直播銷(xiāo)售，如果按每件元銷(xiāo)售，每天可賣(mài)出件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件售價(jià)每降低元，日銷(xiāo)售量增加件．如果日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷(xiāo)售完該款亞運(yùn)會(huì)吉祥物造型商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？【變式4-3】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）某水果店以每千克2元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種水果，然后以每千克4元的價(jià)格出售，每天可銷(xiāo)售100千克．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果每千克的售價(jià)每降低0.1元，每天可多售出20千克．為了保證每天至少售出260千克該種水果，水果店店主決定降價(jià)銷(xiāo)售．(1)若將該種水果每千克的售價(jià)降價(jià)x元，則每天的銷(xiāo)售量是千克（用含x的代數(shù)式表示）；(2)若銷(xiāo)售這種水果要想每天盈利300元，則應(yīng)將每千克的售價(jià)降低多少元？考點(diǎn)5：傳播問(wèn)題【例5】（23-24九年級(jí)上·天津·階段練習(xí)）某校要組織一次足球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行一場(chǎng)比賽），共要比賽45場(chǎng)．求有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？【變式5-1】．（23-24九年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）某教育局組織教職工男子籃球比賽．(1)本次比賽采用單循環(huán)賽制（參賽的每?jī)芍ш?duì)之間要比賽一場(chǎng)），共安排了28場(chǎng)比賽，問(wèn)：有多少支隊(duì)參加比賽?(2)在比賽場(chǎng)地邊，東南西北四個(gè)角落分別劃分一個(gè)大小一樣的正方形觀眾席，已知觀眾席的總面積是400平方米，求每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．【變式5-2】．（23-24九年級(jí)上·廣東惠州·期末）今年秋冬季是支原體肺炎的感染高發(fā)期，如果外出時(shí)能夠戴上口罩、做好防護(hù)，可以有效遏制支原體肺炎病毒的傳染，現(xiàn)在，有一個(gè)人患了支原體肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有49人患了支原體肺炎(假設(shè)每個(gè)人每輪傳染的人數(shù)同樣多)，求每輪傳染巾平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？【變式5-3】．（23-24九年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）冬春季是傳染病高發(fā)季節(jié)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，去年冬春之交，有一人患了流感，在沒(méi)有采取醫(yī)療手段的情況下，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人患流感．(1)求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了多少人？(2)若不及時(shí)控制，則第三輪感染后，患流感的共有多少人？考點(diǎn)6：行程問(wèn)題【例6】（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿著一條直線且加速度不變的運(yùn)動(dòng)，叫做勻變速直線運(yùn)動(dòng)．在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)時(shí)間段的平均速度為初速度和末速度的算術(shù)平均數(shù)，路程等于時(shí)間與平均速度的乘積．若一個(gè)小球以5米/秒的速度開(kāi)始向前滾動(dòng)，并且均勻減速，4秒后小球停止運(yùn)動(dòng)．(1)小球的滾動(dòng)速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動(dòng)5米用了多少秒？（精確到0.1，，）【變式6-1】.（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6m/s后保持勻速運(yùn)動(dòng)．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時(shí)間的變化而變化的情況，小明在4s時(shí)第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時(shí)，平均速度，距離）(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運(yùn)動(dòng)方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫(xiě)出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【變式6-2】（2023·四川成都·成都實(shí)外?？家荒＃榍袑?shí)推進(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場(chǎng)、走進(jìn)大自然、走到陽(yáng)光下，積極參加體育鍛煉，陽(yáng)光體育長(zhǎng)跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運(yùn)動(dòng)．學(xué)生堅(jiān)持長(zhǎng)跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時(shí)從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)地．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達(dá)地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到地（整個(gè)過(guò)程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開(kāi)始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過(guò)30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過(guò)程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【變式6-3】（2023春·重慶云陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時(shí)從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達(dá)B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)過(guò)程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開(kāi)始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過(guò)30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過(guò)程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．考點(diǎn)7：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【例7】（23-24九年級(jí)上·山西臨汾·階段練習(xí)）如圖，在直角中，，，，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段運(yùn)動(dòng)，速度為，到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

(1)當(dāng)時(shí)，求的面積.(2)多少秒時(shí)，的面積為？【變式7-1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)秒時(shí)，線段__．（2）當(dāng)__秒時(shí)，的面積是24．【變式7-2】．（23-24九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為．(1)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，點(diǎn)P，Q相距？(2)的面積能等于嗎？為什么？【變式7-3】．（23-24九年級(jí)上·吉林·期末）如圖，矩形紙片，，，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以的速度，點(diǎn)沿方向，到終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)沿方向，到終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，連接，將矩形在左下方的部分紙片沿折疊得到如圖，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，重疊部分圖形的面積為．(1)當(dāng)點(diǎn)落到邊上時(shí)，求的值；(2)求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若以為腰的等腰三角形，直接寫(xiě)出的值．考點(diǎn)8：規(guī)律探究問(wèn)題【例8】（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個(gè)圖形中一共有4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有14個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有22個(gè)圓．……按此規(guī)律排列下去，現(xiàn)已知第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是134個(gè)，則(

)．

A．9 B．10 C．11 D．12【變式8-1】．（23-24九年級(jí)上·湖南常德·期中）觀察思考結(jié)合圖案中“★”和“◎”的排列方式及規(guī)律，則第個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)比“◎”的個(gè)數(shù)的3倍少35個(gè)．【變式8-2】（23-24九年級(jí)上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖是用棋子擺成的圖案

根據(jù)圖中棋子的排列規(guī)律解決下列問(wèn)題：(1)第4個(gè)圖形中有__________顆棋子，第個(gè)圖形中有__________顆棋子；(2)請(qǐng)求出第幾個(gè)圖形中棋子是274顆．【變式8-3】（23-24九年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）【問(wèn)題提出】：某校要舉辦足球賽，若有5支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（即全部比賽過(guò)程中任何一隊(duì)都要分別與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)且只比賽一場(chǎng)），則該校一共要安排多少場(chǎng)比賽？【構(gòu)建模型】：生活中的許多實(shí)際問(wèn)題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來(lái)解決問(wèn)題．為解決上述問(wèn)題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫(huà)出5個(gè)點(diǎn)（任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），其中每個(gè)點(diǎn)各代表一支足球隊(duì)，兩支球隊(duì)之間比賽一場(chǎng)就用一條線段把他們連接起來(lái)，由于每支球隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)，即每個(gè)點(diǎn)與另外4個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成條線段，而每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次，實(shí)際只有10條線段，所以該校一共要安排10場(chǎng)比賽．(1)若學(xué)校有6支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排_(tái)______場(chǎng)比賽；根據(jù)以上規(guī)律，若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排_(tái)______場(chǎng)比賽；(2)實(shí)際應(yīng)用：往返于青島和濟(jì)南的同一輛高速列車(chē)，中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個(gè)車(chē)站（每種車(chē)票票面都印有上車(chē)站名稱(chēng)與下車(chē)站名稱(chēng)），那么在這段線路上往返行車(chē)，要準(zhǔn)備車(chē)票的種數(shù)為_(kāi)______種；(3)書(shū)本習(xí)題變式：一個(gè)凸多邊形共有14條對(duì)角線，它是幾邊形？是否存在有33條對(duì)角線的凸多邊形？如果存在，它是幾邊形？如果不存在，說(shuō)明得出結(jié)論的道理．易錯(cuò)點(diǎn)1：建立方程模型時(shí)，分類(lèi)討論不全面導(dǎo)致錯(cuò)誤【例9】.如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)或點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止移動(dòng)，如果P、Q分別是從A、B同時(shí)出發(fā)，t秒鐘后．

（1）求出△PBQ的面積；

（2）當(dāng)△PBQ的面積等于8平方厘米時(shí)，求t的值；

（3）是否存在△PBQ的面積等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，說(shuō)明理由．AABCDPQ易錯(cuò)點(diǎn)2：忽略所求方程的根是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求【例10】如圖，將一塊長(zhǎng)50厘米，寬40厘米的鐵皮剪去四個(gè)正方形的角，就可以折成一個(gè)長(zhǎng)方形的無(wú)蓋盒子，如果盒子的底面積為600平方厘米，求盒子的高度.一、單選題1．（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大，則這個(gè)兩位數(shù)為（

）A．25 B．36 C．25或36 D．或2．（23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長(zhǎng)35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開(kāi)辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）某農(nóng)家前年水蜜桃畝產(chǎn)量為900千克，今年的畝產(chǎn)量為1200千克．設(shè)從前年到今年平均增長(zhǎng)率都為x，則可列方程（

）A． B．C． D．4．（23-24九年級(jí)上·云南昆明·期末）2023年10月8日，杭州亞運(yùn)會(huì)乒乓球比賽全部結(jié)束，國(guó)乒攬獲除女雙項(xiàng)目外的6塊金牌，展現(xiàn)了我國(guó)乒乓球隊(duì)員強(qiáng)大的實(shí)力，某小組賽采用單循環(huán)制（每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行一場(chǎng)比賽），比賽總場(chǎng)數(shù)為場(chǎng)．若設(shè)參賽隊(duì)伍有支，則可列方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期末）某人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了人，則正確的方程是（

）A． B． C． D．6．（23-24九年級(jí)上·廣西桂林·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)沿邊從點(diǎn)出發(fā)向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)沿邊從點(diǎn)出發(fā)向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是(

)A． B．或 C． D．或二、填空題7．（23-24九年級(jí)上·貴州黔東南·階段練習(xí)）如圖，利用一面墻（墻長(zhǎng)度不超過(guò)45m），另三邊用80m長(zhǎng)的籬笆圍一個(gè)面積為的矩形場(chǎng)地，則矩形的長(zhǎng)是，寬是．8．（23-24九年級(jí)上·甘肅張掖·階段練習(xí)）老舊小區(qū)改造是重要的民生工程，與人民群眾的生活息息相關(guān)．甘州區(qū)開(kāi)展老舊小區(qū)改造，2020年投入此項(xiàng)工程的專(zhuān)項(xiàng)資金為1000萬(wàn)元，2022年投入資金達(dá)到1440萬(wàn)元．設(shè)該區(qū)這兩年投入老舊小區(qū)改適工程專(zhuān)項(xiàng)資金的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，可列方程．9．（23-24九年級(jí)上·江西上饒·期末）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問(wèn)甲乙各行幾何？”大意是說(shuō)：“甲、乙二人同從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為，乙的速度為，乙一直向東走，甲先向南走步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若設(shè)甲乙兩人相遇的時(shí)間為，則可列方程是．三、解答題10．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）冬季來(lái)臨，某超市以每件35元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某款棉帽，并以每件58的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，10月份的銷(xiāo)售量為256只，12月份的銷(xiāo)售量為400只．(1)求該款棉帽10月份到12月份銷(xiāo)售量的月平均增長(zhǎng)率；(2)經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，下個(gè)月份的銷(xiāo)售量將與12月份持平，現(xiàn)超市為了減少庫(kù)存，采用降價(jià)促銷(xiāo)方式，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該棉帽每降價(jià)1元，月銷(xiāo)售量就會(huì)增加20只．當(dāng)該棉帽售價(jià)為多少元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)8400元？11．（23-24九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）等腰直角中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向移動(dòng)．過(guò)點(diǎn)作平行于的直線與分別交于．當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，求的長(zhǎng)．12．（23-24九年級(jí)上·重慶開(kāi)州·期末）城開(kāi)高速公路即重慶市城口縣至開(kāi)州區(qū)的高速公路，是國(guó)家高速銀百高速公路（銀川至百色）的一段，線路全長(zhǎng)公里，甲、乙兩工程隊(duì)共同承建該高速公路某隧道工程，隧道總長(zhǎng)2100米，甲、乙分別從隧道兩端向中間施工，計(jì)劃每天各施工6米．因地質(zhì)結(jié)構(gòu)不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米隧道施工成本為8萬(wàn)元；乙每合格完成1米隧道施工成本為9萬(wàn)元．(1)若工程結(jié)算時(shí)乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米？(2)實(shí)際施工開(kāi)始后地質(zhì)情況比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m萬(wàn)元時(shí)，則每天可多挖米，乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖米，若最終每天實(shí)際總成本比計(jì)劃多萬(wàn)元，求的值．

第06講實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+8個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1.會(huì)分析實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,找出等量關(guān)系,列出一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題,并根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義,取符合實(shí)際意義的解作答2.經(jīng)歷分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程,體會(huì)一元二次方程的數(shù)學(xué)建模作用3.體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐,反過(guò)來(lái)又作用于實(shí)踐,增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)知識(shí)點(diǎn)1：列一元二次方程解應(yīng)用題1.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.2.解決應(yīng)用題的一般步驟：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）答(寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)).要點(diǎn)詮釋?zhuān)毫蟹匠探鈱?shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.知識(shí)點(diǎn)2：常見(jiàn)相關(guān)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系及表示方法題型1：增長(zhǎng)率問(wèn)題列一元二次方程解決增長(zhǎng)(降低)率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.(1)增長(zhǎng)率問(wèn)題：平均增長(zhǎng)率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.)(2)降低率問(wèn)題：平均降低率公式為(a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)題型2：面積問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.題型3：數(shù)字問(wèn)題(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1，x+1.幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x，則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2，x+2.題型4：利潤(rùn)（銷(xiāo)售）問(wèn)題利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題利潤(rùn)(銷(xiāo)售)問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)題型6：傳播問(wèn)題比賽問(wèn)題：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán)

．傳播問(wèn)題：，a表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的人數(shù)．考點(diǎn)1：增長(zhǎng)率問(wèn)題【例1】（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）我國(guó)通過(guò)藥品集中采購(gòu)，大大減輕了群眾的醫(yī)藥負(fù)擔(dān)．如果某種藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，藥價(jià)從每盒元下調(diào)至元，求平均每次降價(jià)的百分率是多少？【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題中的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是，藥價(jià)從每盒元下調(diào)經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格可表示為元，由此可列方程并求解驗(yàn)證，即得答案．【詳解】解：設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是，則，解得，（舍去），答：平均每次降價(jià)的百分率是．【變式1-1】（23-24九年級(jí)上·陜西西安·期末）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛(ài)讀書(shū)的習(xí)慣，陜西某學(xué)校抽出一部分資金用于購(gòu)買(mǎi)書(shū)籍.已知2021年該學(xué)校用于購(gòu)買(mǎi)圖書(shū)的費(fèi)用為3000元，2023年用于購(gòu)買(mǎi)圖書(shū)的費(fèi)用是3630元，求該校用于買(mǎi)書(shū)的資金的年平均增長(zhǎng)率.【答案】【分析】設(shè)年該校用于買(mǎi)書(shū)資金的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)年買(mǎi)書(shū)資金年買(mǎi)書(shū)資金建立方程，解方程即可得．本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)年該校用于買(mǎi)書(shū)資金的年平均增長(zhǎng)率為，由題意得：，解得或（不符合題意，舍去），答：該校用于買(mǎi)書(shū)的資金的年平均增長(zhǎng)率為．【變式1-2】（2024·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展．某市2020年底有用戶(hù)2萬(wàn)戶(hù)，計(jì)劃到2022年底，全市用戶(hù)數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬(wàn)戶(hù)．(1)求全市用戶(hù)數(shù)的年平均增長(zhǎng)率．(2)按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)2023年底全市用戶(hù)數(shù)累計(jì)達(dá)到多少萬(wàn)戶(hù)？【答案】(1)(2)萬(wàn)戶(hù)【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)全市用戶(hù)數(shù)年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)該市2020年底用戶(hù)的數(shù)量及計(jì)劃到2022年底全市用戶(hù)數(shù)累計(jì)達(dá)到8.72萬(wàn)戶(hù)，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)2023年底全市用戶(hù)累計(jì)數(shù)量年底全市用戶(hù)累計(jì)數(shù)量加上三年所增長(zhǎng)的用戶(hù)累，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)全市用戶(hù)數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得，整理得，解得（不合題意，舍去）答：全市用戶(hù)數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為；（2）解：（萬(wàn)戶(hù)）答：預(yù)計(jì)年底全市用戶(hù)數(shù)累計(jì)達(dá)到萬(wàn)戶(hù)．【變式1-3】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）某種植戶(hù)2016年投資20萬(wàn)元種植中藥材，到2018年3年共累計(jì)投資95萬(wàn)元，若在這兩年內(nèi)每年投資的增長(zhǎng)率相同．(1)求該種植戶(hù)每年投資的增長(zhǎng)率；(2)按這樣的投資增長(zhǎng)率，請(qǐng)你預(yù)測(cè)2019年該種植戶(hù)投資多少萬(wàn)元種植中藥材．【答案】(1)(2)67.5萬(wàn)元【分析】主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握增長(zhǎng)率問(wèn)題中的一般公式為，其中為共增長(zhǎng)了幾年，為第一年的原始數(shù)據(jù)，是增長(zhǎng)率．（1）設(shè)這兩年該種植戶(hù)每年投資的年平均增長(zhǎng)率為．根據(jù)題意2017年種植投資為萬(wàn)元，2018年種植投資為萬(wàn)元．根據(jù)題意得方程求解；（2）用種植戶(hù)每年投資的增長(zhǎng)率即可預(yù)測(cè)2019年該種植戶(hù)投資額．【詳解】（1）解：設(shè)這兩年該種植戶(hù)每年投資的年平均增長(zhǎng)率為，則2017年種植投資為萬(wàn)元，2018年種植投資為萬(wàn)元，根題意得：，解得：（舍去）或．該種植戶(hù)每年投資的增長(zhǎng)率為；（2）解：2019年該種植戶(hù)投資額為：（萬(wàn)元）．答：預(yù)測(cè)2019年該種植戶(hù)投資67.5萬(wàn)元種植中藥材．考點(diǎn)2：面積問(wèn)題【例2】如圖所示，要在米寬，米長(zhǎng)的矩形耕地上修筑同樣寬的三條小路（兩條縱向，一條橫向，橫向與縱向互相垂直），把耕地分成大小不等的六塊花田，要使花田面積為，則道路應(yīng)修多寬？【答案】1米【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；設(shè)道路應(yīng)修寬，根據(jù)花田面積為，建立方程，解方程結(jié)合題意取舍的值，即可求解．【詳解】解：設(shè)道路應(yīng)修寬，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去），答：道路應(yīng)修寬．【變式2-1】（23-24九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期末）如圖，借助一面墻（最長(zhǎng)可利用）圍成一個(gè)矩形花園，在墻上要預(yù)留寬的入口（如圖中所示），入口不用砌墻，假設(shè)有砌長(zhǎng)墻的材料且恰好用完，設(shè)的長(zhǎng)為．(1)填空：砌段墻時(shí)，需______長(zhǎng)的砌墻材料（用含x的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)矩形花園的面積為時(shí)，墻的長(zhǎng)為多少米？【答案】(1)(2)米【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意：砌段墻用料為米．（2）設(shè)矩形花園的長(zhǎng)為米，則其段墻用料為米，依題意列方程求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意：的長(zhǎng)為，因?yàn)槿肟诓挥闷鰤?，所以砌段墻用料為米，∴段墻用料為故答案為：．?）由題意：，，，，∵墻最長(zhǎng)可利用，∴，答：面積為時(shí)，墻的長(zhǎng)為米．【變式2-2】．（23-24九年級(jí)上·四川宜賓·期末）近年來(lái)，宜賓市聚焦打造鄉(xiāng)村振興，某農(nóng)戶(hù)要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的邊靠墻（墻長(zhǎng)度等于），另外三邊用木欄圍成，木欄總長(zhǎng)，設(shè)雞場(chǎng)邊的長(zhǎng)為，雞場(chǎng)面積為．

(1)養(yǎng)雞場(chǎng)面積__________（用含x的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)雞場(chǎng)面積為時(shí)，求邊的長(zhǎng)；(3)若農(nóng)戶(hù)想圍成的雞場(chǎng)，可以實(shí)現(xiàn)嗎？說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)不能實(shí)現(xiàn)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了列代數(shù)式及一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題中的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．（1）先求出的長(zhǎng)，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積求解即可；（2）根據(jù)雞場(chǎng)面積為，列一元二次方程并求解，即得答案；（3）根據(jù)雞場(chǎng)面積為，列一元二次方程并求解，即可判斷答案．【詳解】（1），，；故答案為：．（2）由題意得，解得，，又，舍去，邊的長(zhǎng)為；（3）不能實(shí)現(xiàn)，理由如下：令，化簡(jiǎn)得，，該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，不能實(shí)現(xiàn)．【變式2-3】．（23-24九年級(jí)上·陜西商洛·期末）勞動(dòng)是財(cái)富的源泉，也是幸福的源泉．某中學(xué)對(duì)勞動(dòng)教育進(jìn)行積極探索和實(shí)踐，創(chuàng)建學(xué)生勞動(dòng)教育基地，該中學(xué)有面積為的矩形空地，計(jì)劃在矩形空地上一邊增加，另一邊增加構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域．

(1)求正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)；(2)在實(shí)際建造時(shí)，從校園美觀和實(shí)用的角度考慮，按圖②的方式進(jìn)行改造，先在正方形區(qū)域一側(cè)建成寬的畫(huà)廊，再在余下地方建成寬度相等的兩條小道后，其余地方栽種鮮花，如果栽種鮮花區(qū)域的面積，求小道的寬度．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)為，則矩形空地長(zhǎng)為，寬為，依題意得，，計(jì)算求出滿足要求的解即可；（2）設(shè)小道的寬度為，則栽種鮮花的區(qū)域可合成長(zhǎng)，寬的矩形，依題意得，，計(jì)算求出滿足要求的解即可．【詳解】（1）解：設(shè)正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)為，則矩形空地長(zhǎng)為，寬為，依題意得，，整理得：，∴，解得：（舍去），∴正方形區(qū)域的邊長(zhǎng)為；（2）解：設(shè)小道的寬度為，則栽種鮮花的區(qū)域可合成長(zhǎng)，寬的矩形，依題意得，，整理得，，∴，解得：（舍去），∴小道的寬度為．考點(diǎn)3：數(shù)字問(wèn)題【例3】已知兩個(gè)數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個(gè)數(shù)是多少．【解析】設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)可表示為(12-x)，依題意得x(12-x)＝32，整理得x2-12x+32＝0解得x1＝4，x2＝8，當(dāng)x＝4時(shí)12-x＝8；當(dāng)x＝8時(shí)12-x＝4．所以這兩個(gè)數(shù)是4和8．【總結(jié)升華】數(shù)的和、差、倍、分等關(guān)系，如果設(shè)一個(gè)數(shù)為x，那么另一個(gè)數(shù)便可以用x表示出來(lái)，然后根據(jù)題目條件建立方程求解．【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·廣西來(lái)賓·期末）【閱讀與理解】已知整數(shù)a與b的平方之和可以表示為，現(xiàn)有兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)：(1)若這兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中，較小的數(shù)是3，求它們的平方之和是多少？(2)若這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方之和是41，求這兩個(gè)正整數(shù)分別是多少？【答案】(1)(2)這兩個(gè)正整數(shù)分別是4和5【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）首先求出這兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中較大的數(shù)是4，然后列式求解即可；（2）設(shè)較小的整數(shù)是，則較大的整數(shù)是，根據(jù)題意列出方程，然后解方程即可．【詳解】（1）∵這兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)中，較小的數(shù)是3，∴較大的數(shù)是4，∴它們的平方之和為；（2）設(shè)較小的整數(shù)是，則較大的整數(shù)是，由題可得：，方程可化為：，把方程左邊因式分解，得：，解得：，（舍去），答：這兩個(gè)正整數(shù)分別是4和5．【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·山西臨汾·階段練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大4，把這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字對(duì)調(diào)后，得到新的兩位數(shù)，原兩位數(shù)與其十位數(shù)字的乘積加上10正好等于新的兩位數(shù)，求原來(lái)的兩位數(shù)．【答案】原來(lái)的兩位數(shù)為26．【分析】設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)十位上的數(shù)字為，根據(jù)“原兩位數(shù)與其十位數(shù)字的乘積加上10正好等于新的兩位數(shù)”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)原來(lái)的兩位數(shù)的十位數(shù)字為，，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），，答：原來(lái)的兩位數(shù)為26．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，讀懂題意，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】．（22-23九年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）年7月1日是建黨周年紀(jì)念日，在本月日歷表上可以用一個(gè)方框圈出4個(gè)數(shù)（如圖所示），若圈出的四個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為，求這個(gè)最小數(shù)（請(qǐng)用方程知識(shí)解答）．【答案】4【分析】設(shè)圈出的四個(gè)數(shù)中最小數(shù)為x，則最大的數(shù)為，根據(jù)圈出的四個(gè)數(shù)中最小數(shù)與最大數(shù)的積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值．【詳解】解：設(shè)圈出的四個(gè)數(shù)中最小數(shù)為x，則最大的數(shù)為，根據(jù)題意得：，得，解得，(不合題意舍去)，故這個(gè)最小數(shù)是4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：利潤(rùn)（銷(xiāo)售）問(wèn)題【例4】（23-24九年級(jí)上·云南楚雄·期末）網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售已經(jīng)成為一種熱門(mén)的銷(xiāo)售方式，某果園在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上直播銷(xiāo)售獼猴桃．已知該獼猴桃的成本為5元/，銷(xiāo)售價(jià)格不高于14元/，且每售賣(mài)需向網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)支付1元的相關(guān)費(fèi)用．該果園經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的直播銷(xiāo)售發(fā)現(xiàn)，每日銷(xiāo)售量與銷(xiāo)售價(jià)格x（元/）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)獼猴桃的銷(xiāo)售價(jià)格定為多少元/時(shí)，銷(xiāo)售這種獼猴桃的日利潤(rùn)恰好為900元？【答案】(1)(2)元/【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用．（1）設(shè)與的函數(shù)解析式為，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，即可求出與的函數(shù)解析式；（2）利用總利潤(rùn)每千克的銷(xiāo)售利潤(rùn)日銷(xiāo)售量，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：設(shè)與的函數(shù)解析式為，將代入得:，解得：，∴與的函數(shù)解析式為；（2）根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，又∵銷(xiāo)售價(jià)格不高于元/，∴．答：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為元/時(shí)，銷(xiāo)售這種獼猴桃的日利潤(rùn)恰好為元．【變式4-1】．（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）為滿足市場(chǎng)需求，新生活超市在端午節(jié)前夕購(gòu)進(jìn)價(jià)格為3元/個(gè)的某品牌粽子，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，該品牌粽子每個(gè)售價(jià)4元時(shí)，每天能出售500個(gè)，并且售價(jià)每上漲元，其銷(xiāo)售量將減少10個(gè)，為了維護(hù)消費(fèi)者利益，物價(jià)部門(mén)規(guī)定，該品牌粽子售價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)幫助超市給該品牌粽子定價(jià)，使超市每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為800元．【答案】每個(gè)粽子的定價(jià)為5元時(shí)，每天的利潤(rùn)為800元．【分析】本題考查了一元二次方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理清題中的數(shù)量關(guān)系正確列式．設(shè)每個(gè)粽子的定價(jià)為元時(shí)，由于每天的利潤(rùn)為800元，根據(jù)利潤(rùn)（定價(jià)進(jìn)價(jià)）銷(xiāo)售量，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每個(gè)粽子的定價(jià)為x元時(shí)，每天的利潤(rùn)為800元．根據(jù)題意，得，解得，，售價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的2倍，．即，，答：每個(gè)粽子的定價(jià)為5元時(shí)，每天的利潤(rùn)為800元．【變式4-2】（23-24九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）第屆亞運(yùn)會(huì)于月日在杭州盛大開(kāi)幕，亞運(yùn)會(huì)吉祥物“江南憶”由三只靈動(dòng)的機(jī)器人組成．某電商在對(duì)一款成本價(jià)為元的亞運(yùn)會(huì)吉祥物進(jìn)行直播銷(xiāo)售，如果按每件元銷(xiāo)售，每天可賣(mài)出件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件售價(jià)每降低元，日銷(xiāo)售量增加件．如果日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷(xiāo)售完該款亞運(yùn)會(huì)吉祥物造型商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】元．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為元，根據(jù)題意，可列得方程，解方程即可求解，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)每件售價(jià)應(yīng)定為元，根據(jù)題意，得，整理得，，解這個(gè)方程，得，，商家想盡快銷(xiāo)售完該款亞運(yùn)會(huì)吉祥物造型商品，不合題意，舍去，∴，答：每件售價(jià)應(yīng)定為元．【變式4-3】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）某水果店以每千克2元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某種水果，然后以每千克4元的價(jià)格出售，每天可銷(xiāo)售100千克．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果每千克的售價(jià)每降低0.1元，每天可多售出20千克．為了保證每天至少售出260千克該種水果，水果店店主決定降價(jià)銷(xiāo)售．(1)若將該種水果每千克的售價(jià)降價(jià)x元，則每天的銷(xiāo)售量是千克（用含x的代數(shù)式表示）；(2)若銷(xiāo)售這種水果要想每天盈利300元，則應(yīng)將每千克的售價(jià)降低多少元？【答案】(1)(2)1元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．注意：（1）問(wèn)審題不清，如沒(méi)有找到降價(jià)的金額和水果銷(xiāo)售量之間的關(guān)系，導(dǎo)致出錯(cuò)；第（2）問(wèn)忽視題設(shè)中每天至少售出260千克這個(gè)限制條件，導(dǎo)致出錯(cuò)．（1）設(shè)水果店將每千克的售價(jià)降低元，根據(jù)每千克的售價(jià)每降低0.1元，每天可多售出20千克，列出代數(shù)式即可；（2）利用總利潤(rùn)每千克的銷(xiāo)售利潤(rùn)每天的銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合每天至少售出260千克，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)水果店將每千克的售價(jià)降低元，所以每天可售出(千克)．（2）解：根據(jù)題意，得，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意．答：水果店需將每千克的售價(jià)降低1元．考點(diǎn)5：傳播問(wèn)題【例5】（23-24九年級(jí)上·天津·階段練習(xí)）某校要組織一次足球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行一場(chǎng)比賽），共要比賽45場(chǎng)．求有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？【答案】10個(gè)隊(duì)【分析】設(shè)這次有個(gè)隊(duì)參加比賽，由于賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），則此次比賽的總場(chǎng)數(shù)為：場(chǎng)．根據(jù)題意可知：此次比賽的總場(chǎng)數(shù)場(chǎng)，依此等量關(guān)系列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這次有個(gè)隊(duì)參加比賽，則此次比賽的總場(chǎng)數(shù)為場(chǎng)，根據(jù)題意列出方程得：，解得：，（不合題意舍去），∴這次有10個(gè)隊(duì)參加比賽．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．需注意賽制是“單循環(huán)形式”，需使兩兩之間比賽的總場(chǎng)數(shù)除以2．【變式5-1】．（23-24九年級(jí)上·廣東清遠(yuǎn)·期末）某教育局組織教職工男子籃球比賽．(1)本次比賽采用單循環(huán)賽制（參賽的每?jī)芍ш?duì)之間要比賽一場(chǎng)），共安排了28場(chǎng)比賽，問(wèn)：有多少支隊(duì)參加比賽?(2)在比賽場(chǎng)地邊，東南西北四個(gè)角落分別劃分一個(gè)大小一樣的正方形觀眾席，已知觀眾席的總面積是400平方米，求每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．【答案】(1)有8支隊(duì)參加比賽(2)每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為米【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，算術(shù)平方根的意義；（1）設(shè)有支隊(duì)參加比賽，根據(jù)采用單循環(huán)賽制，共安排了28場(chǎng)比賽列方程求解即可；（2）先求出每個(gè)正方形的面積，再根據(jù)算術(shù)平方根的意義求出每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)．【詳解】（1）解：設(shè)有支隊(duì)參加比賽，由題意得：，解得：，（舍去），答：有8支隊(duì)參加比賽；（2）每個(gè)正方形的面積是平方米，則每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為米．【變式5-2】．（23-24九年級(jí)上·廣東惠州·期末）今年秋冬季是支原體肺炎的感染高發(fā)期，如果外出時(shí)能夠戴上口罩、做好防護(hù)，可以有效遏制支原體肺炎病毒的傳染，現(xiàn)在，有一個(gè)人患了支原體肺炎，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有49人患了支原體肺炎(假設(shè)每個(gè)人每輪傳染的人數(shù)同樣多)，求每輪傳染巾平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，列方程計(jì)算．【詳解】解：設(shè)每輪傳染巾平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，列方程得：，解得：，（舍去），答：每輪傳染巾平均一個(gè)人傳染了個(gè)人．【變式5-3】．（23-24九年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·期末）冬春季是傳染病高發(fā)季節(jié)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，去年冬春之交，有一人患了流感，在沒(méi)有采取醫(yī)療手段的情況下，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人患流感．(1)求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了多少人？(2)若不及時(shí)控制，則第三輪感染后，患流感的共有多少人？【答案】(1)7(2)512【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，先求出每輪傳染中平均每人傳染了多少人數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了人，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人患了流感，可求出；（2）用第二輪每輪傳染中平均每人傳染的人數(shù)，可求出第三輪過(guò)后，患流感的人數(shù)．【詳解】（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了人，或(舍去)．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人；（2）(人．答：第三輪感染后，患流感的共有512人．考點(diǎn)6：行程問(wèn)題【例6】（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿著一條直線且加速度不變的運(yùn)動(dòng)，叫做勻變速直線運(yùn)動(dòng)．在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)時(shí)間段的平均速度為初速度和末速度的算術(shù)平均數(shù)，路程等于時(shí)間與平均速度的乘積．若一個(gè)小球以5米/秒的速度開(kāi)始向前滾動(dòng)，并且均勻減速，4秒后小球停止運(yùn)動(dòng)．(1)小球的滾動(dòng)速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動(dòng)5米用了多少秒？（精確到0.1，，）【答案】(1)小球的滾動(dòng)速度平均每秒減少(2)小球滾動(dòng)約用了秒【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)以的速度開(kāi)始向前滾動(dòng)，并且均勻減速，后小球停止運(yùn)動(dòng)列式計(jì)算即可；（2）設(shè)小球滾動(dòng)約用了秒，由時(shí)間速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：小球的滾動(dòng)速度平均每秒減少，答：小球的滾動(dòng)速度平均每秒減少．（2）解：設(shè)小球滾動(dòng)約用了秒，此時(shí)速度為，由題意得：，整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，不符題意，舍去，，答：小球滾動(dòng)約用了秒．【變式6-1】.（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6m/s后保持勻速運(yùn)動(dòng)．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時(shí)間的變化而變化的情況，小明在4s時(shí)第一次追上球．（提示：當(dāng)速度均勻變化時(shí)，平均速度，距離）(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運(yùn)動(dòng)方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m，寫(xiě)出小明踢球次數(shù)共有____次，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)7，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)利用待定系數(shù)法即可得到答案；（2）先求出球前4秒的平均速度，再求出小明前a秒的平均速度和a秒后速度為，利用小明在4s時(shí)第一次追上球可得方程，解方程即可得到答案；（3）根據(jù)題意找到速度、時(shí)間、路程的變化規(guī)律，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)代入得，，解得，∴關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：對(duì)于球來(lái)說(shuō)，，小明前a秒的平均速度為，a秒后速度為，由小明在4s時(shí)第一次追上球可得，，解得，即圖中a的值為；（3）小明第一次踢球已經(jīng)帶球跑了16米，還需要跑米，由（1）知，，假設(shè)每次踢球t從0開(kāi)始計(jì)算，因?yàn)榍蛟诓莸厣蠞L動(dòng)時(shí)，速度變化情況相同，則第二次踢球后變化規(guī)律為，，，則，，第二次踢后，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過(guò)了米，，第三次踢后，變化規(guī)律為，，，則，，第三次追上，則，（舍去），，此時(shí)又經(jīng)過(guò)了米，，又開(kāi)始下一個(gè)循環(huán)，故第四次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過(guò)24米，故第五次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過(guò)48米，故第六次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過(guò)24米，故第七次踢球所需時(shí)間為，經(jīng)過(guò)48米，∵，，∴帶球走過(guò)200米，在第七次踢球時(shí)實(shí)現(xiàn)，故小明小明踢球次數(shù)共有七次，故答案為：7【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023·四川成都·成都實(shí)外?？家荒＃榍袑?shí)推進(jìn)廣大青少年學(xué)生走向操場(chǎng)、走進(jìn)大自然、走到陽(yáng)光下，積極參加體育鍛煉，陽(yáng)光體育長(zhǎng)跑是如今學(xué)校以及當(dāng)代年輕人選擇最多的運(yùn)動(dòng)．學(xué)生堅(jiān)持長(zhǎng)跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時(shí)從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達(dá)地．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達(dá)地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到地（整個(gè)過(guò)程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開(kāi)始，前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過(guò)30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過(guò)程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)480米(2)70分鐘【分析】（1）設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；（2）設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，再根據(jù)熱量的消耗規(guī)律建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：設(shè)小齊每分鐘跑米，則小明每分鐘跑米，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，既是所列分式方程的解也符合題意，則，答：小明每分鐘跑480米．（2）解：設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：小明從地到地鍛煉共用70分鐘．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程和一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·重慶云陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時(shí)從A地出發(fā)，勻速跑向距離處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達(dá)B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地（整個(gè)過(guò)程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開(kāi)始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過(guò)30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個(gè)鍛煉過(guò)程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【答案】(1)；(2)【分析】（1）分別設(shè)小紅和小明的速度，根據(jù)等量關(guān)系（小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地）列出等量關(guān)系式，按照分式方程即可求解，求解后檢驗(yàn)所求解是不是方程解．（2）先求出小明前30分鐘中的5分鐘是從B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的熱量列方程，最后求解．【詳解】（1）解：設(shè)小紅的速度為，則小明的速度為，依據(jù)題意列方程得，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原式方程的解．．小紅的速度為，小明的速度為．故答案為：；．（2）解：小明的速度為，小明從A地道B地需要的時(shí)間為：．小明在他從跑步開(kāi)始前30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，．設(shè)B地到C地的距離為，依據(jù)題意列方程得，，，，，或（舍去）．A地到C地所需要時(shí)間為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)題意列出等量關(guān)系式，解題的重點(diǎn)在于是否能了解小明的前30分鐘內(nèi)的最后5分鐘是屬于B地到C地時(shí)間．考點(diǎn)7：動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題【例7】（23-24九年級(jí)上·山西臨汾·階段練習(xí)）如圖，在直角中，，，，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段運(yùn)動(dòng)，速度為，到點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.

(1)當(dāng)時(shí)，求的面積.(2)多少秒時(shí)，的面積為？【答案】(1)(2)或6或7秒時(shí)，的面積為【分析】（1）根據(jù)題意表示出、直接求解即可得到答案；（2）分，兩類(lèi)討論列出方程求解即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，，，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得：，，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，解得：，，綜上：或6或7秒時(shí)，的面積為；【點(diǎn)睛】本題考查三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵化動(dòng)為靜表示出相應(yīng)的線段結(jié)合三角形面積公式求解．【變式7-1】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)后，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)秒時(shí)，線段__．（2）當(dāng)__秒時(shí)，的面積是24．【答案】202或3/3或2【分析】（1）當(dāng)秒時(shí)，根據(jù)題意可得，，再根據(jù)勾股定理即可求解．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則，，根據(jù)的面積是24列出方程，求解即可．【詳解】解：（1）∵當(dāng)秒時(shí)，，根據(jù)勾股定理得．故答案為：20．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，此時(shí)，，，∵的面積是24，∴，整理得，，解得：，∴當(dāng)秒或3秒時(shí)，的面積是24．故答案為：2或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、列代數(shù)式、一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，列出方程是解題關(guān)鍵．【變式7-2】．（23-24九年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期末）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為．(1)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，點(diǎn)P，Q相距？(2)的面積能等于嗎？為什么？【答案】(1)運(yùn)動(dòng)秒或秒時(shí)，點(diǎn)P，Q相距(2)的面積不能等于．理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了勾股定理，一元二次方程的應(yīng)用：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，則，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；（2）根據(jù)三角形面積公式建立方程，看方程是否有解即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則，則．∵在中，，，∴，即：．解得：，．∴運(yùn)動(dòng)秒或秒時(shí)，點(diǎn)P，Q相距．（2）解：的面積不能等于．理由如下：當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，則，∴，即：．∵．∴方程無(wú)實(shí)數(shù)解．∴的面積不能等于．【變式7-3】．（23-24九年級(jí)上·吉林·期末）如圖，矩形紙片，，，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以的速度，點(diǎn)沿方向，到終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)沿方向，到終點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，連接，將矩形在左下方的部分紙片沿折疊得到如圖，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，重疊部分圖形的面積為．(1)當(dāng)點(diǎn)落到邊上時(shí)，求的值；(2)求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若以為腰的等腰三角形，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（）當(dāng)點(diǎn)落到邊上時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，從而有，即可求出得值；（）分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)情況討論即可求解；（）當(dāng)時(shí)（）時(shí)，（）時(shí)（）時(shí)，（），討論即可求解；此題考查了矩形的折疊與動(dòng)點(diǎn)，勾股定理，解一元二次方程，熟練掌握以上知識(shí)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)落到邊上時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，如圖，，當(dāng)時(shí)，如圖，，當(dāng)時(shí)，如圖，，綜上可知：；（3）如圖，，（）時(shí)，即，整理得：，解得：（舍去），，（），即，無(wú)解，如圖，當(dāng)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，（）時(shí)，即，解得：，，以上解均不符合題意，（），即，整理得：，解得：（舍去），，綜上可知：或．考點(diǎn)8：規(guī)律探究問(wèn)題【例8】（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個(gè)圖形中一共有4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有14個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有22個(gè)圓．……按此規(guī)律排列下去，現(xiàn)已知第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是134個(gè)，則(

)．

A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根據(jù)前幾個(gè)圖形圓的個(gè)數(shù)，找出一般求出規(guī)律，得出第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)，然后列出方程，解方程即可．【詳解】解：因?yàn)榈?個(gè)圖形中一共有個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有4×(4+1)+2=22個(gè)圓；可得第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是；，解得（舍），，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出一般規(guī)律，列出方程．【變式8-1】．（23-24九年級(jí)上·湖南常德·期中）觀察思考結(jié)合圖案中“★”和“◎”的排列方式及規(guī)律，則第個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)比“◎”的個(gè)數(shù)的3倍少35個(gè)．【答案】7或10【分析】本題考查了規(guī)律探索，一元二次方程的應(yīng)用，利用枚舉法，確定“★”的規(guī)律；再確定“◎”的規(guī)律，根據(jù)題意，列出方程解答即可．【詳解】根據(jù)題意，得第1個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)為：1；第2個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)為：；第3個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)為：；…，所以第n個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)為：．第1個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)為：；第2個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)為：；第3個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)為：；…，所以第n個(gè)圖案中的個(gè)數(shù)為：．由題知，，解得或，故答案為：7或10．【變式8-2】（23-24九年級(jí)上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖是用棋子擺成的圖案

根據(jù)圖中棋子的排列規(guī)律解決下列問(wèn)題：(1)第4個(gè)圖形中有__________顆棋子，第個(gè)圖形中有__________顆棋子；(2)請(qǐng)求出第幾個(gè)圖形中棋子是274顆．【答案】(1)22，(2)第16個(gè)圖形中的棋子是274個(gè)【分析】（1）觀察圖形發(fā)現(xiàn)圖形規(guī)律，然后利用規(guī)律寫(xiě)出第4個(gè)和第個(gè)圖形的棋子數(shù)即可；（2）令，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：觀察圖形可得：第1個(gè)圖形有：顆棋子，第2個(gè)圖形有：顆棋子，第3個(gè)圖形有：顆棋子，第4個(gè)圖形有：顆棋子，第個(gè)圖形有：顆棋子，故答案為：22，；（2）解：令，解得：或（不符合題意，舍去），第16個(gè)圖形中的棋子是274個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類(lèi)規(guī)律探索，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是觀察圖形得到第個(gè)圖形有：顆棋子，理解題意，正確得出一元二次方程．【變式8-3】（23-24九年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）【問(wèn)題提出】：某校要舉辦足球賽，若有5支球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（即全部比賽過(guò)程中任何一隊(duì)都要分別與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)且只比賽一場(chǎng)），則該校一共要安排多少場(chǎng)比賽？【構(gòu)建模型】：生活中的許多實(shí)際問(wèn)題，往往需要構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用模型的思想來(lái)解決問(wèn)題．為解決上述問(wèn)題，我們構(gòu)建如下數(shù)學(xué)模型：如圖①，我們可以在平面內(nèi)畫(huà)出5個(gè)點(diǎn)（任意3個(gè)點(diǎn)都不在同一條直線上），其中每個(gè)點(diǎn)各代表一支足球隊(duì)，兩支球隊(duì)之間比賽一場(chǎng)就用一條線段把他們連接起來(lái)，由于每支球隊(duì)都要與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)，即每個(gè)點(diǎn)與另外4個(gè)點(diǎn)都可連成一條線段，這樣一共連成條線段，而每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的線段都重復(fù)計(jì)算了一次，實(shí)際只有10條線段，所以該校一共要安排10場(chǎng)比賽．(1)若學(xué)校有6支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，借助圖②，我們可知該校一共要安排_(tái)______場(chǎng)比賽；根據(jù)以上規(guī)律，若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則該校一共要安排_(tái)______場(chǎng)比賽；(2)實(shí)際應(yīng)用：往返于青島和濟(jì)南的同一輛高速列車(chē)，中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個(gè)車(chē)站（每種車(chē)票票面都印有上車(chē)站名稱(chēng)與下車(chē)站名稱(chēng)），那么在這段線路上往返行車(chē)，要準(zhǔn)備車(chē)票的種數(shù)為_(kāi)______種；(3)書(shū)本習(xí)題變式：一個(gè)凸多邊形共有14條對(duì)角線，它是幾邊形？是否存在有33條對(duì)角線的凸多邊形？如果存在，它是幾邊形？如果不存在，說(shuō)明得出結(jié)論的道理．【答案】(1)15，(2)30，(3)七，不存在，見(jiàn)詳解【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、判別式的意義、多邊形的對(duì)角線的條數(shù)：（1）結(jié)合圖中的數(shù)學(xué)模型，得6支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，即，根據(jù)以上規(guī)律，若學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，則，即可作答．（2）中途經(jīng)過(guò)4個(gè)車(chē)站，共6個(gè)站往返行車(chē)，再根據(jù)以上規(guī)律即可得結(jié)論．（3）先設(shè)一個(gè)凸多邊形共有14條對(duì)角線，它是邊形，根據(jù)，解出即可作答．再設(shè)存在有33條對(duì)角線的凸多邊形為邊形，根據(jù)，解出即可作答．【詳解】（1）解：依題意，6支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，即（場(chǎng)），∵學(xué)校有n支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，∴（場(chǎng)）則該校一共要安排場(chǎng)比賽；（2）解：中途經(jīng)青島北站、濰坊、青州、淄博4個(gè)車(chē)站（每種車(chē)票票面都印有上車(chē)站名稱(chēng)與下車(chē)站名稱(chēng)），那么在這段線路上往返行車(chē)，要準(zhǔn)備車(chē)票的種數(shù)為：（種）．故答案為：30；（3）解：依題意，設(shè)一個(gè)凸多邊形共有14條對(duì)角線，它是邊形，得∴則（舍去）∴一個(gè)凸多邊形共有14條對(duì)角線，它是七邊形；不存在有33條對(duì)角線的凸多邊形：設(shè)存在有33條對(duì)角線的凸多邊形為邊形，且為正整數(shù)，得則∵不是整數(shù)，∴不是整數(shù)所以不存在33條對(duì)角線的凸多邊形．易錯(cuò)點(diǎn)1：建立方程模型時(shí)，分類(lèi)討論不全面導(dǎo)致錯(cuò)誤【例9】.如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AB邊向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)或點(diǎn)Q到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止移動(dòng)，如果P、Q分別是從A、B同時(shí)出發(fā)，t秒鐘后．

（1）求出△PBQ的面積；

（2）當(dāng)△PBQ的面積等于8平方厘米時(shí)，求t的值；

（3）是否存在△PBQ的面積等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，說(shuō)明理由．AABCDPQ【答案】（1）；（2）或；（3）不存在．【解析】（1）根據(jù)題意可得，，則有；令，解得：，；令，方程無(wú)解．【總結(jié)】考查幾何類(lèi)問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意把圖像中的相應(yīng)線段長(zhǎng)度用字母表示出來(lái)根據(jù)題意求解即可．易錯(cuò)點(diǎn)2：忽略所求方程的根是否符合實(shí)際問(wèn)題的要求【例10】如圖，將一塊長(zhǎng)50厘米，寬40厘米的鐵皮剪去四個(gè)正方形的角，就可以折成一個(gè)長(zhǎng)方形的無(wú)蓋盒子，如果盒子的底面積為600平方厘米，求盒子的高度.【分析】要求盒子的高度也就是求減去的四個(gè)角的邊長(zhǎng).根據(jù)關(guān)系式“鐵皮總面積—四個(gè)正方形角圍成矩形的面積=盒子的底面積”列方程.【答案】設(shè)盒子的高度為.得到方程：解方程組，得（舍去）所以盒子的高度為10厘米.一、單選題1．（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大，則這個(gè)兩位數(shù)為（

）A．25 B．36 C．25或36 D．或【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)十位上的數(shù)字為，則個(gè)位上的數(shù)字為，根據(jù)“一個(gè)兩位數(shù)等于它的個(gè)位數(shù)的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)十位上的數(shù)字為，則個(gè)位上的數(shù)字為，由題意得：，整理得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這個(gè)兩位數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這個(gè)兩位數(shù)為，綜上所述，這個(gè)兩位數(shù)為25或36，故選：C．2．（23-24九年級(jí)上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長(zhǎng)35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開(kāi)辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．若設(shè)小道的寬為x米，則陰影部分可合成長(zhǎng)為米，寬為米的矩形，利用矩形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解【詳解】解：依題意，得：．故選：C．3．（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）某農(nóng)家前年水蜜桃畝產(chǎn)量為900千克，今年的畝產(chǎn)量為1200千克．設(shè)從前年到今年平均增長(zhǎng)率都為x，則可列方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程，設(shè)從前年到今年平均增長(zhǎng)率都為x，則去年的產(chǎn)量為千克，則今年的產(chǎn)量為千克，據(jù)此列出方程即可．【詳解】解：設(shè)從前年到今年平均增長(zhǎng)率都為x，由題意得，，故選：C．4．（23-24九年級(jí)上·云南昆明·期末）2023年10月8日，杭州亞運(yùn)會(huì)乒乓球比賽全部結(jié)束，國(guó)乒攬獲除女雙項(xiàng)目外的6塊金牌，展現(xiàn)了我國(guó)乒乓球隊(duì)員強(qiáng)大的實(shí)力，某小組賽采用單循環(huán)制（每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行一場(chǎng)比賽），比賽總場(chǎng)數(shù)為場(chǎng)．若設(shè)參賽隊(duì)伍有支，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，由參賽隊(duì)伍有支，知每只參賽隊(duì)伍參加場(chǎng)比賽，根據(jù)題意可列出方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握單循環(huán)制的特點(diǎn)：若參賽隊(duì)伍有支，則比賽總場(chǎng)數(shù)為場(chǎng)，對(duì)于雙循環(huán)制，若參賽隊(duì)伍有支，則比賽總場(chǎng)數(shù)為場(chǎng)．【詳解】解：設(shè)參賽隊(duì)伍有支，則每只隊(duì)伍參加場(chǎng)比賽，根據(jù)題意得：，故選：．5．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期末）某人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了人，則正確的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由每一輪傳染中平均每人傳染了人，可以得到第一輪傳染中有人被傳染，第二輪傳染中有人被傳染，結(jié)合已知的總感染人數(shù)即可列出一元二次方程，本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意找出等量關(guān)系．【詳解】解：有一人患了流感，每一輪傳染中平均每人傳染了人，第一輪傳染中有人被傳