新教材2024高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.3余弦定理正弦定理6.4.3.3余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例第2課時(shí)高度角度問題分層演練新人教A版必修第二冊(cè)

6.4.3.3余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例第2課時(shí)高度、角度問題A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.某人向正東走了xkm后向左轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走了3km,結(jié)果離動(dòng)身點(diǎn)恰好3km,那么x的值是 ()A.3 B.23 C.3 D.23或3解析:依據(jù)題意畫出示意圖如圖所示,由正弦定理,得sin∠CAB=BCsinBAC=3sin30因?yàn)锽C>AC,所以∠CAB>B,B=30°,所以∠CAB=60°或∠CAB=120°.當(dāng)∠CAB=60°時(shí),∠ACB=90°,x=23;當(dāng)∠CAB=120°時(shí),∠ACB=30°,x=3.故選D.答案:D2.如圖所示,某工程中要將一個(gè)長(zhǎng)為100m,傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡,并保持坡高不變,則坡底需加長(zhǎng) ()A.1002m B.1003mC.50(2+6)m D.200m解析:如圖所示.由條件知AD=100sin75°=100sin(45°+30°)=100(sin45°cos30°+cos45°sin30°)=25(6+2)(m),CD=100cos75°=25(6-2)(m),所以BD=ADtan30°=25(6+2)所以BC=BD-CD=25(32+6)-25(6-2)=1002(m).答案:A3.如圖所示,當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20nmile的B處,有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救,甲船馬上前往營(yíng)救,同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°相距10nmileC處的乙船,乙船馬上朝北偏東θ+30°角的方向沿直線前往B處營(yíng)救,則sinθ的值為 ()A.22 B.32 C.21解析:如圖所示,連接BC.在△ABC中,AC=10nmile,AB=20nmile,∠CAB=120°,依據(jù)余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB=100+400+200=700,所以BC=107nmile.依據(jù)正弦定理,得BCsin∠CAB即10732所以sin∠ACB=217,所以sinθ=21答案:C4.學(xué)校里有一棵樹,甲同學(xué)在A地測(cè)得樹尖的仰角為45°,乙同學(xué)在B地測(cè)得樹尖的仰角為30°,量得AB=AC=10m,樹根部為C(A,B,C在同一水平面上),則∠ACB=.

解析:如圖所示,AC=10m,∠DAC=45°,所以DC=10m.因?yàn)椤螪BC=30°,所以BC=103m,cos∠ACB=102+(103)答案:30°5.如圖所示,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MAN=60°,點(diǎn)C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從點(diǎn)C測(cè)得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,求山高M(jìn)N.解:如圖所示,在Rt△ABC中,BC=100m,∠CAB=45°,所以AC=1002m.在△AMC中,∠CAM=75°,∠ACM=60°,所以∠AMC=45°.已知AC=1002m,所以由正弦定理,知AMsin60°=所以AM=1003m.在Rt△AMN中,∠NAM=60°,所以MN=AM·sin60°=1003×32=150(m)B級(jí)實(shí)力提升6.在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為θ,對(duì)著山峰在地面上前進(jìn)600m后測(cè)得仰角為2θ,接著在地面上前進(jìn)2003m以后測(cè)得山峰的仰角為4θ,則該山峰的高度為m.

解析:如圖所示,△BED,△BDC為等腰三角形,BD=ED=600m,BC=DC=2003m.在△BCD中,由余弦定理可得cos2θ=6002+所以2θ=30°,4θ=60°.在Rt△ABC中,AB=BC·sin4θ=2003×32=300(m)答案:3007.一只蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕獲到一只小蟲,然后向右轉(zhuǎn)105°,爬行10cm捕獲到另一只小蟲,這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°爬行可回到它的動(dòng)身點(diǎn),那么x=cm.

解析:如圖所示,在△ABC中,AB=x,BC=10,∠ABC=180°-105°=75°,∠BCA=180°-135°=45°,所以∠BAC=180°-75°-45°=60°.由正弦定理,得xsin45°=10sin60°,所以答案:108.某海島四周42nmile有暗礁,一輪船由西向東航行,初測(cè)此島在北偏東60°方向,航行30nmile后測(cè)得此島在東北方向,若不變更航向,則此輪船觸礁危急(填“有”或“無”).

解析:如圖所示,由題意可知,在△ABC中,AB=30nmile,∠BAC=30°,∠ABC=135°,所以∠ACB=15°.由正弦定理,得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=30sin30°sin15°在Rt△BDC中,CD=22BC=15(3+1)<42所以此船有觸礁的危急.答案:有9.據(jù)氣象臺(tái)預(yù)報(bào),在S島正東距S島300km的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成,并以每小時(shí)30km的速度向北偏西30°的方向移動(dòng),在距臺(tái)風(fēng)中心270km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺(tái)風(fēng)的影響.問:S島是否受其影響?若受到影響,從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時(shí)S島起先受到臺(tái)風(fēng)的影響?持續(xù)時(shí)間多久?說明理由.解:如圖所示,設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過th到達(dá)點(diǎn)B,由題意得∠SAB=90°-30°=60°.在△SAB中,SA=300,AB=30t,由余弦定理,得SB2=SA2+AB2-2SA·AB·cos∠SAB=3002+(30t)2-2×300×30tcos60°.若S島受到臺(tái)風(fēng)影響,則應(yīng)滿意條件|SB|≤270,即SB2≤2702,化簡(jiǎn)整理得t2-10t+19≤0,解得5-6≤t≤5+6,所以從現(xiàn)在起,經(jīng)過(5-6)hS島起先受到影響,(5+6)h后影響結(jié)束,持續(xù)時(shí)間:(5+6)-(5-6)=26(h),即S島受到影響,從現(xiàn)在起經(jīng)過(5-6)hS島起先受到臺(tái)風(fēng)影響,且持續(xù)時(shí)間為26h.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.多空題如圖所示,在離地面高400m的熱氣球上,觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°,山腳A處的俯角為45°.已知∠BAC=60°,則∠MCA=.山的高度BC=m.

解析:如圖所示,過點(diǎn)M作MD⊥AB,垂足為D.在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400m,AM=MDsin45°=4002在△MAC中