【寒假自學(xué)課】蘇教版2024年高一數(shù)學(xué)寒假第11講二倍角的三角函數(shù)(原卷版+解析)

第11講二倍角的三角函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用．2、通過二倍角的正弦、余弦和正切公式的推導(dǎo)，體會轉(zhuǎn)化化歸、由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法．【考點目錄】考點一：二倍角的正弦公式考點二：二倍角的余弦公式考點三：二倍角的正切公式【基礎(chǔ)知識】知識點一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知識點詮釋：（1）公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當(dāng)及時才成立；（2）倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的．要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運用公式的關(guān)鍵．如：；2、和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式，，中，當(dāng)時，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：知識點二：二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：知識點三：升（降）冪縮（擴）角公式升冪公式：，降冪公式：，知識點詮釋：利用二倍角公式的等價變形：，進行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．【考點剖析】考點一：二倍角的正弦公式例1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）若，且，則（

）A． B． C． D．例2．(2023·北京·高一期末）已知是第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．例3．(2023·安徽池州·高一期末）若，則（

）A．-1 B．1 C．2 D．0或2考點二：二倍角的余弦公式例4．(2023·江西省豐城中學(xué)高一期中）若，則（

）．A． B． C． D．例5．(2023·陜西渭南·高一期末）已知角滿足，且，則（

）A．1 B． C． D．例6．(2023·河北保定·高一階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．考點三：二倍角的正切公式例7．(2023·江蘇蘇州·高一期末）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．例8．(2023·云南昆明·高一期末）已知，為第二象限角，則（

）A． B． C． D．例9．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．例10．(2023·廣東佛山·高一期末）若則（

）A． B． C． D．【真題演練】1．(2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增2．（2023·北京·高考真題）函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為3．（2023·全國·高考真題（文））（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高考真題（文））若，則（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高考真題（理））已知，且，則（

）A． B．C． D．7．（2023·全國·高考真題（文））已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．8．(2023·湖北·高考真題（文））已知，，則（

）A． B． C． D．9．（2023·江蘇·高考真題）已知=，則的值是____．10．(2023·天津·高考真題（理））已知．（1）求的值；（2）求的值．11．(2023·全國·高考真題（理））求的值．【過關(guān)檢測】一、單選題1．(2023·貴州六盤水·高一期末）若，，則（

）A． B． C． D．2．(2023·湖北·襄陽四中高一階段練習(xí)）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．3．(2023·湖北武漢·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．24．(2023·全國·高一課時練習(xí)）化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．5．(2023·湖北武漢·高一期末）已知角，，則（

）A． B． C． D．6．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．7．(2023·江蘇南通·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．8．(2023·江蘇常州·高一期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．(2023·甘肅蘭州·高一期末）下列各式的值是的是（

）A． B．C． D．10．(2023·全國·高一課時練習(xí)）若，且，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．11．(2023·江西景德鎮(zhèn)·高一期末）若函數(shù)，則該函數(shù)（

）A．最小值為 B．最大值為 C．在上是減函數(shù) D．奇函數(shù)12．(2023·江蘇宿遷·高一期末）下列各式中值為的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．(2023·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)（理））函數(shù)的最大值為___________．14．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知，則的值為__________．15．(2023·全國·高一課時練習(xí)）若，則_______________．16．(2023·全國·高一課時練習(xí)）求值：_______________．四、解答題17．(2023·上?！?fù)旦附中高一期末）已知向量，其中，且．（1）求和的值；（2）若，且，求角的值．18．(2023·江蘇·興化市楚水實驗學(xué)校高一階段練習(xí)）已知是方程的兩根，求下列各式的值：（1）（2）；（3）．19．(2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，若，求．20．(2023·江蘇蘇州·高一期末）已知角的終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)為，且，求下列式子的值：（1）；（2）．21．(2023·江蘇·南京市中華中學(xué)高一期末）由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式，對于cos3x，我們有cos3x＝cos（2x＋x）＝cos2xcosx－sin2xsinx＝（2cos2x－1）cosx－2（sinxcosx）sinx＝2cos3x－cosx－2（1－cos2x）cosx＝4cos3x－3cosx可見cos3x可以表示為cosx的三次多項式．一般地，存在一個n次多項式Pn（t），使得cosnx＝Pn（cosx），這些多項式Pn（t）稱為切比雪夫多項式．（1）求證：sin3x＝3sinx－4sin3x；（2）請求出P4（t），即用一個cosx的四次多項式來表示cos4x；（3）利用結(jié)論cos3x＝4cos3x－3cosx，求出sin18°的值．第11講二倍角的三角函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用．2、通過二倍角的正弦、余弦和正切公式的推導(dǎo)，體會轉(zhuǎn)化化歸、由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法．【考點目錄】考點一：二倍角的正弦公式考點二：二倍角的余弦公式考點三：二倍角的正切公式【基礎(chǔ)知識】知識點一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知識點詮釋：（1）公式成立的條件是：在公式中，角可以為任意角，但公式中，只有當(dāng)及時才成立；（2）倍角公式不僅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是適用的．要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運用公式的關(guān)鍵．如：；2、和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式，，中，當(dāng)時，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式，它們的內(nèi)在聯(lián)系如下：知識點二：二倍角公式的逆用及變形1、公式的逆用；．．．2、公式的變形；降冪公式：升冪公式：知識點三：升（降）冪縮（擴）角公式升冪公式：，降冪公式：，知識點詮釋：利用二倍角公式的等價變形：，進行“升、降冪”變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升冪”變換，逆用上述公式即為“降冪”變換．【考點剖析】考點一：二倍角的正弦公式例1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）若，且，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為，故，所以，，且，即.所以，所以.故選：A.例2．(2023·北京·高一期末）已知是第二象限角，且，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因為是第二象限角，且，則，因此，.故選：B.例3．(2023·安徽池州·高一期末）若，則（

）A．-1 B．1 C．2 D．0或2答案：D【解析】因為，所以，即，故或，當(dāng)時，；當(dāng)時，顯然，此時.所以或故選：D考點二：二倍角的余弦公式例4．(2023·江西省豐城中學(xué)高一期中）若，則（

）.A． B． C． D．答案：C【解析】由已知，所以，故選：C.例5．(2023·陜西渭南·高一期末）已知角滿足，且，則（

）A．1 B． C． D．答案：A【解析】由，得，，因為，所以，故選：A例6．(2023·河北保定·高一階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由得，因此，故選：A考點三：二倍角的正切公式例7．(2023·江蘇蘇州·高一期末）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意可得：，整理得，即∴故選：C．例8．(2023·云南昆明·高一期末）已知，為第二象限角，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，為第二象限角，則，所以，，因此，.故選：D.例9．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因為，所以，所以.故選：C.例10．(2023·廣東佛山·高一期末）若則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】.故選：D【真題演練】1．(2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增答案：C【解析】因為.對于A選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，D錯.故選：C.2．（2023·北京·高考真題）函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為答案：D【解析】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時，取最大值.故選：D.3．（2023·全國·高考真題（文））（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意，.故選：D.4．（2023·全國·高考真題（文））若，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，，，，解得，，.故選：A.5．（2023·全國·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．6．（2023·全國·高考真題（理））已知，且，則（

）A． B．C． D．答案：A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.7．（2023·全國·高考真題（文））已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=A． B．C． D．答案：B【解析】，．，又，，又，，故選B．8．(2023·湖北·高考真題（文））已知，，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由，又，所以，所以，又，所以或（舍去），所以.故選：A．9．（2023·江蘇·高考真題）已知=，則的值是____.答案：【解析】故答案為：10．(2023·天津·高考真題（理））已知．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）由題意得，解得.（2）由題意得，分子分母同除得.故原式.11．(2023·全國·高考真題（理））求的值．【解析】.【過關(guān)檢測】一、單選題1．(2023·貴州六盤水·高一期末）若，，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，由于，所以，所以.故選：D2．(2023·湖北·襄陽四中高一階段練習(xí)）下列各式中，值為的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】，不成立；B.，不成立C.，不成立；D.，成立故選：D.3．(2023·湖北武漢·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．2答案：C【解析】依題意，，，，，，.故選：C4．(2023·全國·高一課時練習(xí)）化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】原式.故選：B.5．(2023·湖北武漢·高一期末）已知角，，則（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，因為角，即和，.因此可得，，，解得或2（舍去），因此．故選：B6．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因為，所以，所以.故選：C.7．(2023·江蘇南通·高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由，得，即，兩邊平方，得，即.故選：A.8．(2023·江蘇常州·高一期末）已知，且，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，所以，整理得：，，，因為，所以，所以，解得：故選：D.二、多選題9．(2023·甘肅蘭州·高一期末）下列各式的值是的是（

）A． B．C． D．答案：ABC【解析】對于A，，A正確；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：ABC.10．(2023·全國·高一課時練習(xí)）若，且，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．答案：AD【解析】因為，所以，解得．又，所以，從而，于是．故選：AD.11．(2023·江西景德鎮(zhèn)·高一期末）若函數(shù)，則該函數(shù)（

）A．最小值為 B．最大值為 C．在上是減函數(shù) D．奇函數(shù)答案：AC【解析】選項A：當(dāng)時，函數(shù)取得最小值.判斷正確；選項B：當(dāng)時，函數(shù)取得最大值.判斷錯誤；選項C：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上是減函數(shù).判斷正確；選項D：由可得函數(shù)為偶函數(shù).判斷錯誤.故選：AC12．(2023·江蘇宿遷·高一期末）下列各式中值為的是（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】因為，故選項A正確；因為，故選項B錯誤；因為，故選項C正確；因為，整理得，，故選項D錯誤；故選：AC.三、填空題13．(2023·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)（理））函數(shù)的最大值為___________.答案：【解析】，當(dāng)時，.故答案為：.14．(2023·全國·高一課時練習(xí)）已知，則的值為__________．答案：【解析】因為，所以．故答案為：.15．(2023·全國·高一課時練習(xí)）若，則_______________．答案：【解析】

，由于，所以，當(dāng)時，，原式，當(dāng)時，，原式，綜上，原式．故答案為：.16．(2023·全國·高一課時練習(xí)）求值：_______________.答案：【解析】.故答案為：四、解