理論力學(xué)重慶大學(xué)出版社

1第五章摩擦靜力學(xué)第五章摩擦

前幾章我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。當(dāng)物體的接觸表面確實比較光滑，或有良好的潤滑條件，以致摩擦力與物體所受其它力相比的確很小時，可以忽略。然而，在很多日常生活和工程實際問題中，摩擦成為主要因素，摩擦力不僅不能忽略，而且還應(yīng)作為重點來研究。

由于摩擦是一種十分復(fù)雜的物理現(xiàn)象，涉及面廣，本章只限于討論工程中常用的近似理論，主要介紹滑動摩擦和滾動摩阻定律，重點研究有摩擦存在時物體的平衡問題。2(a)(b)靜力學(xué)第五章摩擦定義：兩個相接觸物體，當(dāng)其接觸處產(chǎn)生相對滑動或相對滑動趨勢時，其接觸處產(chǎn)生的阻礙物體相對滑動的力叫滑動摩擦力。

§5-1

滑動摩擦1.靜滑動摩擦力及最大靜滑動摩擦力

如圖(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，當(dāng)水平方向無拉力時，顯然有P=FN?，F(xiàn)在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，如圖(b)所示，當(dāng)拉力F由零逐漸增加但又不很大時，物體仍能維持平衡。3(a)(b)由此可見，支承面對物體的約束力除了法向約束力FN外還有一個阻礙物體沿水平面向右滑動的切向約束力Fs，此力即靜滑動摩擦力，簡稱靜摩擦力。顯然有Fs=F，因此靜摩擦力也是約束力，隨著F的增大而增大。然而，它并不能隨F的增大而無限地增大。而有一個最大值Fmax，稱為最大靜摩擦力，此時物體處于平衡的臨界狀態(tài)。當(dāng)主動力F大于Fmax時，物體將失去平衡而滑動。即靜力學(xué)第五章摩擦4靜力學(xué)第五章摩擦實驗表明上式稱為庫侖摩擦定律，是計算最大靜摩擦力的近似公式。式中fs稱為靜摩擦因數(shù)，它是一個無量綱的量。一般由實驗來確定。2.動滑動摩擦力

當(dāng)接觸處出現(xiàn)相對滑動時，接觸物體之間仍有阻礙相對滑動的阻力，這種阻力稱為動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力，以Fd

表示，大小可用下式計算。式中fd是動摩擦因數(shù)，通常情況下，5靜力學(xué)第五章摩擦6靜力學(xué)第五章摩擦§5-2摩擦角和自鎖現(xiàn)象1.摩擦角

當(dāng)有摩擦?xí)r，支承面對物體的約束力有法向約束力FN和切向約束力Fs，這兩個力的合力稱為全約束力FR。它的作用線與接觸處的公法線成一偏角j,如圖所示，當(dāng)靜摩擦力達最大時，j

也達到最大值jf,稱jf為摩擦角。7靜力學(xué)第五章摩擦2.自鎖現(xiàn)象

由于全約束力的作用線與接觸處公法線的夾角j不能大于摩擦角，即變化范圍為0

j

jf，因此可得：

如果作用于物體的全部主動力的合力的作用線與公法線的夾角q<jf，則無論這個力多么大，物體必保持靜止，這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。

利用摩擦角的概念，可用簡單的試驗方法測定摩擦因數(shù)。

反之如果q>jf，則無論這個力多么小，物體必不能保持平衡。8靜力學(xué)第五章摩擦摩擦角就是物塊處于臨界狀態(tài)時斜面的傾角q,即下面的螺旋千斤頂就利用了自鎖的概念。9靜力學(xué)第五章摩擦§5-3考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題

考慮有摩擦的平衡問題時，其解法與前幾章基本一樣。但需指出的是，在受力分析和列平衡方程時要將摩擦力考慮在內(nèi)，因而除平衡方程外，還需增加補充方程0

Fs

fsFN，因此有摩擦的平衡問題的解通常是一個范圍。為了避免解不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)（Fs

=fsFN），求得結(jié)果后再討論解的平衡范圍。應(yīng)該強調(diào)的是摩擦力的方向在臨界狀態(tài)下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對運動趨勢來判斷，只有摩擦力是待求未知數(shù)時，可以假設(shè)其方向。

求解時，根據(jù)具體的問題采用解析法或幾何法求解，下面舉例說明10

取物塊A為研究對象，受力分析如圖。列平衡方程。解:例題5-1靜力學(xué)第五章摩擦qAF聯(lián)立求解得最大靜摩擦力所以作用在物體上的摩擦力為因為

小物體A重P=10N，放在粗糙的水平固定面上，它與固定面之間的靜摩擦因數(shù)fs=0.3。今在小物體A上施加F=4N的力，q

=30°，試求作用在物體上的摩擦力。yAxqPFFNFs11(a)

構(gòu)件A及B用楔塊C聯(lián)結(jié)，如圖(a)所示，楔塊自重不計，。已知楔塊與構(gòu)件間的摩擦系數(shù)fs=0.1,求能自鎖的傾斜角q。解：(1)解析法研究楔塊C，受力如圖(b)，考慮臨界平衡例題5-2靜力學(xué)第五章摩擦

再考慮補充方程聯(lián)立解之得(b)12(c)靜力學(xué)第五章摩擦(2)幾何法

仍考慮臨界平衡狀態(tài),在此情況下,楔塊C

兩端所受的全約束力必大小相等,方向相反且作用線在一條直線上;與作用點處的法線的夾角均等于摩擦角jf如圖(c)所示。由幾何關(guān)系不難得以上是考慮臨界狀態(tài)所得結(jié)果，稍作分析即可得例題5-213靜力學(xué)第五章摩擦例題5-3FAFNBFBFNAABCFxxyhOFBhdBAFx平衡方程為取支架為研究對象,受力分析如圖。（1）解析法解:一活動支架套在固定圓柱的外表面，且h=20cm。假設(shè)支架和圓柱之間的靜摩擦因數(shù)fs=0.25。問作用于支架的主動力F

的作用線距圓柱中心線至少多遠才能使支架不致下滑（支架自重不計）。14聯(lián)立求解得補充方程靜力學(xué)第五章摩擦例題5-3解得（2）幾何法

由以上二個例子可以看出，當(dāng)有摩擦處的約束力以全約束力形式給出，如能利用二力平衡條件和三力平衡匯交定理且?guī)缀侮P(guān)系又較簡單，用幾何法往往較方便。支架受力分析如圖所示。由幾何關(guān)系得15hCabFP

寬a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C在其幾何中心，柜與地面間的靜摩擦因數(shù)是fs，在柜的側(cè)面施加水平向右的力F，求柜發(fā)生運動時所需推力F

的最小值。靜力學(xué)第五章摩擦例題5-416yABCxFPFBFAFNBFNA1.假設(shè)不翻倒但即將滑動，考慮臨界平衡。解:取矩形柜為研究對象,受力分析如圖。聯(lián)立求解得柜子開始滑動所需的最小推力補充方程列平衡方程靜力學(xué)第五章摩擦例題5-4172.假設(shè)矩形柜不滑動但將繞B

翻倒。柜繞B

翻倒條件：

FNA=0使柜翻倒的最小推力為列平衡方程ABCxFPFBFAFNBFNA解得靜力學(xué)第五章摩擦例題5-4綜上所述使柜發(fā)生運動所需的最小推力為18

長為l的梯子AB一端靠在墻壁上，另一端擱在地板上，如圖所示。假設(shè)梯子與墻壁的接觸是完全光滑的，梯子與地板之間有摩擦，其靜摩擦因數(shù)為fs。梯子的重量略去不計。今有一重為P的人沿梯子向上爬，如果保證人爬到頂端而梯子不致下滑，求梯子與墻壁的夾角q。qlaABP靜力學(xué)第五章摩擦例題5-519

以梯子AB為研究對象，人的位置用距離a表示，梯子的受力如圖。解：使梯子保持靜止，必須滿足下列平衡方程：yqlaABxFsFNAPFNB同時滿足物理條件靜力學(xué)第五章摩擦例題5-5聯(lián)立解之得因

0≤a≤l，

當(dāng)a=l時，上式左邊達到最大值。所以或即為所求20

重為P=100N的勻質(zhì)滾輪夾在無重桿AB和水平面之間，在桿端B作用一垂直于AB的力FB，其大小為FB=50N。A為光滑鉸鏈，輪與桿間的摩擦因數(shù)為fs1=0.4。輪半徑為r，桿長為l，當(dāng)q=60°時，AC=CB=0.5l，如圖所示。如要維持系統(tǒng)平衡，（1）若D處靜摩擦因數(shù)fs2=0.3，求此時作用于輪心O處水平推力F的最小值;（2）若fs2=0.15,此時F

的最小值又為多少？ABCDOrqPFFB靜力學(xué)第五章摩擦例題5-621解：

此題在C，D兩處都有摩擦，兩個摩擦力之中只要有一個達到最大值，系統(tǒng)即處于臨界狀態(tài)。假設(shè)C處的摩擦先達到最大值，輪有水平向右滾動的趨勢。靜力學(xué)第五章摩擦例題5-6ABCFAxFAyFCFNCFBq1.以桿AB為研究對象，受力分析如圖。解得列平衡方程補充方程22靜力學(xué)第五章摩擦例題5-62.以輪為研究對象，列平衡方程。DOCFNDFDPFq當(dāng)fs2=0.3時，D處最大摩擦力為

由于故D處無滑動所以維持系統(tǒng)平衡的最小水平推力為F=26.6N。代入上面各式解得F=26.6N，F(xiàn)ND=184.6N將23解方程得最小水平推力為受力圖不變，補充方程應(yīng)改為此時C處最大摩擦力為因此當(dāng)fs2=0.15時，維持系統(tǒng)平衡的最小水平推力改為所以C處無滑動。由于

說明前面假定不成立，D處應(yīng)先達到臨界狀態(tài)。3.當(dāng)

fs2=0.15時,靜力學(xué)第五章摩擦例題5-624靜力學(xué)第五章摩擦

由實踐可知，使?jié)L子滾動比使它滑動省力，如果仍用下圖的力學(xué)模型來分析就存在問題。即無論水平力F

多么小，此物體均不能平衡，因?qū)cA的矩的平衡方程不滿足，即§5-4滾動摩阻的概念

出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實際接觸面并不是剛體，它們在力的作用下都會發(fā)生一些變形，有一個接觸面，如圖所示。這是與實際情況不符的，說明此力學(xué)模型有缺陷，需要修正。25此力系向A點簡化

與靜滑動摩擦力相似，滾動摩阻力偶矩Mf隨主動力F的增大而增大；但有一個最大值Mmax,即或靜力學(xué)第五章摩擦且最大滑動摩阻力偶矩上式即是滾動摩阻定律，d稱為滾動摩阻系數(shù)，具有長度的量綱

，單位一般用mm。與滾子和支承面的材料的硬度和濕度等有關(guān)。與滾子的半徑無關(guān)。26靜力學(xué)第五章摩擦滾動摩阻動畫27靜力學(xué)第五章摩擦滾阻系數(shù)的物理意義如下由力的平移定理與比較得

一般情況下，相對滑動摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計。28取輪子為研究對象,受力分析如圖。由平衡方程解:靜力學(xué)第五章摩擦例題5-7勻質(zhì)輪子的重量P=3kN，半徑r=0.3m；今在輪中心施加平行于斜面的拉力FH，使輪子沿與水平面成q=30°的斜面勻速向上作純滾動。已知輪子與斜面的滾阻系數(shù)δ=0.05cm，試求力FH的大小。聯(lián)立求解補充方程qFHArOqFHAOqMmaxPFsFNyx29

如圖所示，總重為P的拖車在牽引力F作用下要爬上傾角為θ

的斜坡。設(shè)車輪半徑為r，輪胎與路面的滾動摩阻系數(shù)為δ，其它尺寸如圖所示。求拖車所需的牽引力。靜力學(xué)第五章摩擦例題5-8aCxybθh2h1FθPAO30

拖車的兩對輪子都是從動輪，因此滑動摩擦力的方向都朝后。設(shè)拖車處于開始向上滾動的臨界狀態(tài)，因此前后輪的滾