2024秋高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2隨機(jī)變量4.2.5正態(tài)分布課后習(xí)題新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

PAGEPAGE14.2.5正態(tài)分布必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1.正態(tài)曲線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),當(dāng)且僅當(dāng)它所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的期望為()A.1 B.-1C.0 D.不確定2.已知隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(2,σ2),若P(ξ<3)=0.84,則P(ξ≤1)等于()A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.843.某次市教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),甲、乙、丙三科考試成果聽(tīng)從正態(tài)分布,相應(yīng)的正態(tài)曲線如圖所示,則下列說(shuō)法中正確的是()A.三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差相同B.甲、乙、丙三科的總體的平均數(shù)不相同C.丙科總體的平均數(shù)最小D.甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小4.工人制造機(jī)器零件尺寸在正常狀況下,聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ,σ2),在一次正常試驗(yàn)中,取1000個(gè)零件時(shí),不屬于[μ-3σ,μ+3σ]這個(gè)尺寸范圍的零件個(gè)數(shù)可能為()A.3 B.6C.7 D.105.已知隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(ξ≥2)=a,P(0<ξ≤1)=1-3a,則P(ξ≤0)=()A.14 B.1C.12 D.6.已知正態(tài)分布N(μ,σ2)的密度函數(shù)是f(x)=1σ2πe-(x①對(duì)隨意x∈R,f(μ+x)=f(μ-x)成立;②假如隨機(jī)變量X聽(tīng)從N(108,100),那么X的期望是108,標(biāo)準(zhǔn)差是100;③隨機(jī)變量X聽(tīng)從N(μ,σ2),P(X<1)=12,P(X≥2)=p,則P(0<X<2)=1-2其中,真命題的序號(hào)是.

關(guān)鍵實(shí)力提升練7.已知X~N(4,σ2),且P(X≤2)=0.3,則P(X<6)=()A.0.3 B.0.4 C.0.85 D.0.78.已知隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,則P(-2<ξ<1)=()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.69.(多選題)甲、乙兩類(lèi)水果的質(zhì)量(單位:kg)分別聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ2A.甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kgB.甲類(lèi)水果的質(zhì)量比乙類(lèi)水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C.甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量比乙類(lèi)水果的質(zhì)量小D.乙類(lèi)水果的質(zhì)量聽(tīng)從正態(tài)分布的參數(shù)σ2=1.9910.(多選題)4月23日為世界讀書(shū)日,已知某高校學(xué)生每周閱讀時(shí)間X聽(tīng)從正態(tài)分布X~N(9,4),則()A.該校學(xué)生每周平均閱讀時(shí)間為9小時(shí)B.該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為4C.該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間少于3小時(shí)的人數(shù)約占0.3%D.若該校有10000名學(xué)生,則每周閱讀時(shí)間在3~5小時(shí)的人數(shù)約為215(附:X~N(μ,σ2),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.)11.若隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(9,16),則μ+σ=,P(-3≤ξ≤13)=.

參考數(shù)據(jù):若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.997.12.探討某市某種作物,其單株生長(zhǎng)果實(shí)個(gè)數(shù)ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(90,σ2),且P(ξ<70)=0.1,從中隨機(jī)抽取10株,果實(shí)個(gè)數(shù)在[90,110]的株數(shù)記作隨機(jī)變量X,假設(shè)X聽(tīng)從二項(xiàng)分布,則X的方差為.

學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練13.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).依據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)閱歷,可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,假如出現(xiàn)了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異樣狀況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,試用所學(xué)學(xué)問(wèn)說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性.附:若隨機(jī)變量Z聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997,0.99716≈0.9531.14.某高校為了解全校學(xué)生的閱讀狀況,隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間X(單位:小時(shí))并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表);(2)由直方圖可以認(rèn)為,目前該校學(xué)生每周的閱讀時(shí)間X聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù)x,σ2近似為樣本方差s2.①一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算:若X~N(μ,σ2),令Y=X-μσ,則Y~N(0,1),且P(X≤a)=PY≤a-μσ.利用直方圖得到的正態(tài)分布,求②從該高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取20名,記Z表示這20名學(xué)生中每周閱讀時(shí)間超過(guò)10小時(shí)的人數(shù),求P(Z≥2)(結(jié)果精確到0.0001)以及Z的數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):178≈403,0.773419≈0.0076.若Y~N(0,1),則P(Y≤0.75)=0參考答案4.2.5正態(tài)分布1.C因?yàn)閤=μ為其對(duì)稱(chēng)軸,所以μ=0.2.A由P(ξ<3)=0.84?P(ξ≥3)=1-0.84=0.16,因?yàn)檎龖B(tài)分布N(2,σ2)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2,所以P(ξ≤1)=P(ξ≥3)=0.16.故選A.3.D由圖象知甲、乙、丙三科的平均分一樣,但標(biāo)準(zhǔn)差不同,σ甲<σ乙<σ丙.故選D.4.A由于機(jī)器零件的尺寸聽(tīng)從正態(tài)分布,依據(jù)正態(tài)分布的3σ原則,有99.7%的產(chǎn)品只存在[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi),所以不屬于[μ-3σ,μ+3σ]這個(gè)尺寸范圍的零件個(gè)數(shù)可能為1000×0.3%=3,故選A.5.A因?yàn)殡S機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(1,σ2),由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性知,P(0<ξ≤1)=P(1≤ξ<2),又P(ξ≥1)=12,P(ξ≥1)=P(1≤ξ<2)+P(ξ所以a+1-3a=12,解得a=14,從而P(ξ≤0)=P(ξ≥2)=14,6.①③假如隨機(jī)變量X聽(tīng)從N(108,100),那么X的期望是108,標(biāo)準(zhǔn)差是10,故②是假命題,其余都是真命題.7.D因?yàn)閄~N(4,σ2),正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為x=4,因?yàn)镻(X≤2)=0.3,所以P(X≥6)=P(X≤2)=0.3,所以P(X<6)=1-P(X≥6)=1-0.3=0.7.故選D.8.C由題意可知μ=1,正態(tài)曲線關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng),P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1,依據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知,P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.故選C.9.ABC由圖象可知,甲類(lèi)水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kg,乙類(lèi)水果的平均質(zhì)量μ2=0.8kg,故A,C正確;甲圖象比乙圖象更高瘦,所以甲類(lèi)水果的質(zhì)量比乙類(lèi)水果的質(zhì)量更集中于平均值左右,故B正確;乙類(lèi)水果的質(zhì)量聽(tīng)從的正態(tài)分布的最大值為1.99,即1σ22π=1.99,σ2≠1.99,故故選ABC.10.AD因?yàn)棣?9,σ=2,所以平均數(shù)是9,標(biāo)準(zhǔn)差為2,A正確,B不正確;因?yàn)镻(7≤X≤11)≈0.683,P(5≤X≤13)≈0.954,P(3≤X≤15)≈0.997,結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可得,該校學(xué)生每周閱讀時(shí)間少于3小時(shí)的人數(shù)約占1-P(3≤X≤15)2≈1-0.99720.0215×10000=215,所以D正確.故選AD.11.130.84依題意,ξ~N(9,42),其中μ=9,σ=4,∴μ+σ=13,故P(-3≤ξ≤13)=P(μ-3σ≤ξ≤μ+σ)=P(μ-3σ12.2.4因?yàn)棣蝵N(90,σ2),所以P(90≤ξ≤110)=12-P(ξ>110),而P(ξ>110)=P(ξ<70)=0.1所以P(90≤ξ≤110)=0.4,而X~B(10,0.4),所以D(X)=10×0.4×0.6=2.4.13.解(1)由題可知尺寸落在[μ-3σ,μ+3σ]之內(nèi)的概率約為0.997,則落在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率為1-0.997=0.003,因?yàn)镻(X=0)=C160×(1-0.997)0×0.99716所以P(X≥1)=1-P(X=0)=0.0469,又因?yàn)閄~B(16,0.003),所以E(X)=16×0.003=0.048.(2)假如生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.003,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.0469,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種狀況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異樣狀況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的.14.解(1)x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11×0.09+12×0.04=9,s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12-9)2×0.04=1.78.(2)①由(1)知μ=9,σ2=1.78,∴