高中數(shù)學(xué)解題技巧歸納1

高中數(shù)學(xué)破題技巧主講人:徐德樺（紹興一中）一、列舉法【方法闡釋】列舉法就是通過枚舉集合中所有的元素,然后根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解的方法。這種方法適用于數(shù)集的有關(guān)運(yùn)算以及集合類型的新定義運(yùn)算問題,也適用于一些集合元素比較少而且類型比較單一類型的題目,如排列組合等等?！镜湫蛯?shí)例】設(shè)P,Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合,定義集合P*Q={z|z=a/b,a∈P,b∈Q},若P={-1,0,1},Q={-2,2},則集合P*Q中元素的個(gè)數(shù)是（） A.2B.3C.4D.5二、定義法【方法闡釋】利用定義判斷充分條件和必要條件的方法就是最基本的、最常規(guī)的方法（回憶一下這些條件的判斷方法）,一般拿到陌生的題目或者一些新定義類型的題目都需要從定義和性質(zhì)出發(fā)尋找突破口。【典型實(shí)例】“（m-1）(a-1)>0”是“l(fā)ogam>0”的（）（logam意思就是以a為底m的對(duì)數(shù)）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件三、特殊函數(shù)法【方法闡釋】對(duì)于一些小題目（譬如,選擇題和填空題）一般不需要詳細(xì)的過程和步驟,只要有一種預(yù)感和能說服自己的理由可以嘗試地使用一些特定的函數(shù)或者說特殊值。給定函數(shù)f(x)具備的一些性質(zhì)來研究它另外的一些性質(zhì)。對(duì)于能看出來是定值的題目一般也宜用特殊值法?！镜湫蛯?shí)例】定義在R上的函數(shù)f（x）關(guān)于（2,0）對(duì)稱,且在[2,+無窮）上單調(diào)遞增,如果x1+x2>4,且（x1-2）(x2-2)<0,則f(x1)+f(x2)與0的大小關(guān)系是（）A.f(x1)+f(x2)>0B.f(x1)+f(x2)=0C.f(x1)+f(x2)<0D.無法判斷四、換元法【方法闡釋】這是一種高中階段最常用的數(shù)學(xué)解題方法,貫穿于高中所有的階段。解題過程就是將復(fù)雜的抽象的難以分辨和討論的問題轉(zhuǎn)化為簡單具體直接而且熟悉的問題。例如,求函數(shù)y=x^4+2x^2-8的最值,就可以t=x^2(t>=0),這里t的范圍需要特別注意?！镜湫蛯?shí)例】若2=<x<=8,則函數(shù)y=（log1/4x）^2+log1/4x^2+5的最大值為______,最小值為_______.五、單調(diào)性分析法【方法闡釋】單調(diào)性一直是函數(shù)里面考察的重點(diǎn),單調(diào)性分析方法就是利用函數(shù)的單調(diào)性來解決零點(diǎn)問題的方法,主要涉及兩個(gè)方法的問題:一是根據(jù)函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；二是根據(jù)“在單調(diào)區(qū)間上存在零點(diǎn)的函數(shù),在零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值的符號(hào)相反”這一性質(zhì)求解參數(shù)的取值范圍?！镜湫蛯?shí)例】函數(shù)f(x)為分段函數(shù),在x>0,為2x-6+lnx,在x<=0,為x^2-2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_________.構(gòu)造函數(shù)法【方法闡釋】導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問題的一個(gè)有力的工具,但是有些與函數(shù)有關(guān)的問題無法直接用導(dǎo)數(shù)直接來處理,而需要通過構(gòu)造新的函數(shù)才能解決問題。特定地,當(dāng)給定關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等關(guān)系時(shí),常常需要構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)?！镜湫蛯?shí)例】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對(duì)任意x∈R,f’(x)>2,則f(x)>2x+4的解集()(-1,1)B.(-1,+無窮)C.(-無窮,-1)D.(-無窮,+無窮)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+無窮)上滿足f’(x)>0,則滿足f(x^2-2x)<f(x)的x的取值范圍（）（-3,1）（-無窮,-3)∪（3,+無窮）（-3,3）（1,3）拆分變角法【方法闡釋】拆分變角法一般常用于特征比較明顯的題目,三角的題目里面,“1”的代換,二倍角公式等等一些應(yīng)用。拆分變角法是指將已知角靈活的拆分,配湊成待求角或那種形式的方法。多做一些題目,都是一個(gè)樣的解題步驟和模式,熟能生巧。常見的變換有:(1.)單角變?yōu)楹筒罱莤=(x-y)+y,y=1/2(x+y)-1/2(x-y)...(2)倍角化為和差角,2x=(x+y)+(x-y),2y=(x+y)-(x-y),（3.)未知和差角化為已知和差角,如:2x+y=(x+y)+x,2x-y=(x-y)+x...【典型實(shí)例】已知tan(x+y)=2/5,tan(y-π/4)=1/4,則tan(π/4+x)的值為_______.已知銳角A,B滿足2tanA=tan(A+B),則tanB的最大值（）二根號(hào)二根號(hào)二二分之根號(hào)二四分之根號(hào)二變角互化法【方法闡釋】這一類型的題目一般有一個(gè)特點(diǎn)就是比較煩,計(jì)算量可能比較大,但是只要有想法有方法還是很容易拿全分的,一般出現(xiàn)在大題目第一題。常解決的方法就是利用正弦和余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊的關(guān)系或者通過因式分解、配方等得出相應(yīng)的關(guān)系【典型實(shí)例】在三角形ABC中,設(shè)a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且直線bx+ycosA+cosB=0與ax+ycosB+cosA=0平行,則三角形ABC一定是（）銳角三角形等腰三角形直角三角形等腰或直角三角形在三角形ABC中,tanA+tanB+根號(hào)三=根號(hào)三tanAtanB,且sinAcosA=根號(hào)三/4,則此三角形為（）銳角三角形直角三角形等邊三角形鈍角三角形特殊值法【方法闡釋】由于選擇題僅要求結(jié)論正確,以至于如何獲得這個(gè)結(jié)論并不重要,雖然特殊代替不了一般情況,但是就像馬克思主義哲學(xué)里面講的特殊反應(yīng)普遍性,所以在特定情況下,特殊值法是一種常用而且高效的一種解決小題的方法?！镜湫蛯?shí)例】對(duì)于任意向量a,b,c,下列命題中正確的是（）|ab|=|a||b||a+b|=|a|+|b|(ab)c=a(bc)aa=|a|^2若a,b,c均為單位向量,且（a+2b）^2=5,則|a+b-c|的最小值為（）A.根號(hào)二-1B.1C.根號(hào)二+1D..根號(hào)二數(shù)形結(jié)合法【方法闡述】這時(shí)高中階段考察最為頻繁的一種數(shù)學(xué)思想方法,可以說幾乎每一張數(shù)學(xué)試卷都會(huì)重點(diǎn)考察這種方法,我們要養(yǎng)成一種習(xí)慣就是拿到一道題目要盡量的將其轉(zhuǎn)化為圖形模型,因?yàn)橹挥袌D形是最為客觀最容易觀察的【典型實(shí)例】若直線y=kx+1與圓x^2+y^2=1相交于P,Q兩點(diǎn),且∠POQ=120°（其中O為原點(diǎn)）,則k值為（）±根號(hào)根號(hào)三±根號(hào)二根號(hào)二“a=3”是“直線ax+2y+2a=0和直線3x+(a-1)y-a+7=0”的（）充分不必要條件必要不充分條件沖要條件既不充分也不必要判別式法【方法闡釋】判別式法就是將直線與曲線方程聯(lián)立,得到一個(gè)一元二次方程,通過判別式建立所含參數(shù)的不等式【典型實(shí)例】直線y=x+2,與橢圓x^2/m+y^2/3=1,有兩個(gè)公共點(diǎn),則m的取值范圍是（）m>1m>1且m≠3m>3m>0且m≠3已知雙曲線x^2/14-y^2/2=1,的左右焦點(diǎn)為F1,F2,P為雙曲線左支上一點(diǎn),M為雙曲線漸近線上一地（漸近線的斜率大于0）,則|PF2|+|PM|的最小值為___________十二、定義法【方法闡釋】定義方法就是直接利用我們學(xué)習(xí)的知識(shí)來做題目,一般我們遇到陌生的題目我們就會(huì)先采用這種方法【典型實(shí)例】已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2.a4的等差中項(xiàng),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）A.2nB.2^nC.2^(n-1)D.2n+1在等比數(shù)列{an}中,若a4,a8是方程x^2-3x+2=0的兩個(gè)根,則a6的值為（）A.正負(fù)根號(hào)二B.負(fù)根號(hào)二C.根號(hào)二D.正負(fù)二十三、錯(cuò)位相減法【方法闡釋】這是數(shù)列里面最常用的一種手法,也是最基本的方法。必須熟練掌握,仔細(xì)運(yùn)算【典型實(shí)例】已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1/4,公比q=1/4,設(shè)bn+2=3log1/4an(n∈N*),數(shù)列{cn}滿足cn=an*bn.則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn=___.十四、分類討論法【方法闡釋】分類討論也是高中數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)思想方法,我們運(yùn)用分類討論的方法,必須要抓住要討論的源頭在哪里,抓住這個(gè)源頭再來分情況討論那么思路就會(huì)順勢而來【典型實(shí)例】不等式|x-2-|-|x-1|>0的解集（）A.（-無窮,3/2）B.(-無窮,-3/2)C.(3/2,+無窮)D.(-3/2,+無窮)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax^2-4x+c(x∈R)的值域?yàn)閇0,+無窮）,則1/(c+1)+9/(a+9)的最大值（）A.6/5B.根號(hào)五/4C.4/3D.2十五、等價(jià)轉(zhuǎn)化法【方法闡釋】等價(jià)轉(zhuǎn)化法就是把所求的問題轉(zhuǎn)化為已有的知識(shí)法范圍內(nèi)的可解問題的一種極為重要的思想方法【典型實(shí)例】一元二次方程x^2+ax+2b=0有兩個(gè)根,一個(gè)根在（0,1）內(nèi),一個(gè)在區(qū)間（1,2)內(nèi),則點(diǎn)（a,b）對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積為（）A.1/2B.1C.2D.3/2實(shí)數(shù)x,y滿足y>=|x-1|和y<=1,則不等式所組成的圖形的面積為（）A.4B.2C.1/2D.1割補(bǔ)法【方法闡釋】割補(bǔ)法常用于求解不規(guī)則幾何體的體積或者用于分析,通過割或者補(bǔ)對(duì)幾何體的體積之和或差來表示【典型實(shí)例】向量法【方法闡釋】一般用在空間幾何的題目上面,在建立空間直角坐標(biāo)系后,就可以用坐標(biāo)表示相關(guān)的向量,這樣,線面關(guān)系的邏輯推理就轉(zhuǎn)化為了相應(yīng)的直線方向向量和平面的法向量之間的坐標(biāo)代數(shù)運(yùn)算,用代數(shù)運(yùn)算代替了空