高三數(shù)一輪復(fù)習(xí) 專家講壇 盤點(diǎn)古典概型與幾何概型中的三類錯(cuò)誤 文

盤點(diǎn)古典概型與幾何概型中的三類錯(cuò)誤盤點(diǎn)古典概型與幾何概型中的三類錯(cuò)誤古典概型與幾何概型是高考中的?？贾R(shí)點(diǎn)．對(duì)于古典概型，列舉法仍是求解其概率的主要方法；對(duì)于幾何概型除掌握其定義外，其題型的重點(diǎn)主要體現(xiàn)在兩種常見的幾何度量——長(zhǎng)度、面積，難度不會(huì)太大，但題型可能較靈活，背景更新穎．如下幾個(gè)類型易錯(cuò)：類型一：知識(shí)性錯(cuò)誤[例1]設(shè)袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地摸出2只球．(1)求這2只球都是白球的概率；(2)求這2只球中1只是白球1只是黑球的概率．[錯(cuò)解]一次摸出2只球，觀察結(jié)果的顏色只能是(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3種情況，(1)用A表示“2只球都是白球”這一事件，則A＝{(白，白)}，所以P(A)＝eq\f(1,3).(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則B＝{(白，黑)}，所以P(B)＝eq\f(1,3).[錯(cuò)因分析]在上述錯(cuò)解中(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)3種結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的．[正解]我們不妨把4只白球標(biāo)以1,2,3,4號(hào)，2只黑球標(biāo)以5,6號(hào)，則基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,1)，(2,3)，…，(2,6)，…，(6,1)，(6,2)，…，(6,5)，共30個(gè)．(1)用A表示“2只球都是白球”這一事件，則A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}共12個(gè)．所以P(A)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(2)用B表示“2只球中1只是白球1只是黑球”這一事件，則B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)}共16個(gè)．所以P(B)＝eq\f(16,30)＝eq\f(8,15).類型二：數(shù)學(xué)思維方法應(yīng)用錯(cuò)誤[例2]有6個(gè)房間安排4個(gè)旅客住，每個(gè)人可以住進(jìn)任一房間，且住進(jìn)各房間是等可能的．(1)指定的4個(gè)房間中各有1人住的事件的概率為________；(2)指定的房間有2人住的事件的概率為________．[錯(cuò)解]所有基本事件的個(gè)數(shù)為6×5×4×3＝360.(1)指定的4個(gè)房間中各有1人住，有4×3×2×1＝24種，故所求的概率為eq\f(1,15)；(2)從4人中選2人去指定的房間，有6種方法，余下2人每人去5個(gè)房間中的任一間，有5×4＝20種方法，故所求的概率為eq\f(6×20,6×5×4×3)＝eq\f(1,3).[錯(cuò)因分析]本題錯(cuò)誤地理解了基本事件的個(gè)數(shù)，忽視了基本事件可以包含多個(gè)人住一個(gè)房間的情況．[正解]每人可以進(jìn)住任一房間，且進(jìn)住各房間都有6種等可能的方法，故所有可能的情況有64種，(1)指定的4個(gè)房間中各有1人住，有4×3×2×1＝24種，故所求的概率為eq\f(24,64)＝eq\f(1,54)；(2)從4人中選2人去指定的房間，有6種方法，余下2人每人去5個(gè)房間中的任一間，有52種方法，故所求的概率為eq\f(6×52,64)＝eq\f(25,216).類型三：審題錯(cuò)誤[例3]在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM<AC的概率．[錯(cuò)解]如圖，點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上，故線段AB的長(zhǎng)為基本事件的度量，當(dāng)M位于線段AC′(AC′＝AC)上時(shí)，AM<AC，故線段AC′的長(zhǎng)為所求事件的度量．故P(AM<AC)＝P(AM<AC′)＝eq\f(AC′,AB)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(2),2).答：AM的長(zhǎng)小于AC的概率是eq\f(\r(2),2).[錯(cuò)因分析]由于本題是在∠ACB作射線CM，等可能分布的是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置，因此基本事件的度量應(yīng)是∠ACB的大小而不是線段AB的長(zhǎng)，這是類似問題由于等可能的視角不同造成的，概率也會(huì)不一樣．[正解]據(jù)題意知AM<AC的概率應(yīng)為滿足條件的∠ACM與∠ACB大小的比，即P(AM<AC)＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).幾點(diǎn)建議1．重視錯(cuò)題病例“錯(cuò)誤是最好的老師”，錯(cuò)題病例也是財(cái)富，它有時(shí)暴露我們的知識(shí)缺陷，有時(shí)暴露我們的思維不足，有時(shí)暴露我們的方法不當(dāng)．毛病暴露出來了，也就有治療的方向，提供了糾錯(cuò)的機(jī)會(huì)，只有認(rèn)真地追根溯源查找錯(cuò)因，教訓(xùn)才會(huì)深刻．建議在復(fù)習(xí)過程中做到建立錯(cuò)題集，特別是那些概念理解不深刻、知識(shí)記憶錯(cuò)誤、思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)、方法使用不當(dāng)?shù)鹊湫湾e(cuò)誤收集成冊(cè)，并加以評(píng)注，指出錯(cuò)誤原因，經(jīng)常翻閱，常常提醒，以絕后患．注意收集錯(cuò)題也有個(gè)度的問題，對(duì)于那些一時(shí)粗心的偶然失誤，或一時(shí)情緒波動(dòng)而產(chǎn)生的失誤應(yīng)另作他論．2．培養(yǎng)良好的審題能力解題時(shí)審題要慢，要看清楚，步步為營，