高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)專題例題及知識點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)數(shù)專題一、導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用（一）研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值基本思路：定義域→→疑似極值點(diǎn)→→單調(diào)區(qū)間→→極值→→最值基本方法： 一般通法：利用導(dǎo)函數(shù)研究法 特殊方法：（1）二次函數(shù)分析法；（2）單調(diào)性定義法第一組本組題旨在強(qiáng)化對函數(shù)定義域的關(guān)注，以及求導(dǎo)運(yùn)算和分類討論的能力與技巧【例題1】已知函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間．解：．令，得．當(dāng)，即時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時，的變化情況如下表：0當(dāng)，即時，的變化情況如下表：0所以，時，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，函數(shù)在和上單調(diào)遞減．時，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．第二組本組題旨在強(qiáng)化對導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)進(jìn)行分類討論的意識、能力和技巧【例題2】已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.（Ⅰ）求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值.解：（Ⅰ）由函數(shù)圖象過點(diǎn)，得，………①由，得，則；而圖象關(guān)于軸對稱，所以－，所以，代入①得.于是.由得或，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，；由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令得或.當(dāng)變化時，、的變化情況如下表：f'(x)＋0－0＋f(x)增極大值減極小值增由此可得：當(dāng)時，在內(nèi)有極大值，無極小值；當(dāng)時，在內(nèi)無極值；當(dāng)時，在內(nèi)有極小值，無極大值；當(dāng)時，在內(nèi)無極值.綜上所述，當(dāng)時，有極大值，無極小值；當(dāng)時，有極小值，無極大值；當(dāng)或時，無極值.點(diǎn)評：本題是前面兩個例題的變式，同樣考查了對導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的分類討論，但討論的直接對象變?yōu)榱撕瘮?shù)自變量的研究范圍，故此題思路不難，旨在幫助學(xué)生加深對此類問題本質(zhì)的認(rèn)識，并提升其詳盡分類，正確計(jì)算的水平.【例題3】已知函數(shù)，a＞0，(I)討論的單調(diào)性;(II)設(shè)a=3，求在區(qū)間[1，]上值域.其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù).解：（Ⅰ）由于,令得當(dāng)，即時，恒成立，∴在上都是增函數(shù).當(dāng)，即時，由得或∴或或又由得，∴綜上,當(dāng)在上都是增函數(shù)；當(dāng)在及上都是增函數(shù)，在是減函數(shù).（2）當(dāng)時，由（1）知，在[1，2]上是減函數(shù)，在[上是增函數(shù).又∴函數(shù)在區(qū)間[1，]上的值域?yàn)?點(diǎn)評：（1）第一問在前面例題的理論基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加大了運(yùn)算的難度，涉及到了換元法，分母有理化等代數(shù)技巧；（2）第二問將問題延伸到了函數(shù)值域上，過程比較簡單，是一個承上啟下的過渡性問題.（二）利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，求參數(shù)取值范圍基本思路：定義域→→單調(diào)區(qū)間、極值、最值→→不等關(guān)系式→→參數(shù)取值范圍基本工具：導(dǎo)數(shù)、含參不等式解法、均值定理等【例題4】已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是.（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應(yīng)的自變量的值.解：（I）由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有,即 ……①又，由已知得……②聯(lián)立①②，解得.所以函數(shù)的解析式為（II）因?yàn)?令當(dāng)函數(shù)有極值時，方程有實(shí)數(shù)解.則，得.①當(dāng)時，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故無極值②當(dāng)時，有兩個實(shí)數(shù)根情況如下表：+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在時，函數(shù)有極值；當(dāng)時，有極大值；當(dāng)時，有極小值；點(diǎn)評：本題第一問是求曲線切線的逆向設(shè)問，解題過程進(jìn)一步強(qiáng)化了對切點(diǎn)的需求.本題第二問是函數(shù)求極值的逆向設(shè)問，解題方法本質(zhì)仍然是求含參數(shù)的函數(shù)的極值，難度不大.【例題5】設(shè)，函數(shù)．（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；（Ⅱ）若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍．解：（Ⅰ）．因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，即，因此．經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時，是函數(shù)的極值點(diǎn)．（Ⅱ） 由題設(shè)，．當(dāng)在區(qū)間上的最大值為時，，即．故得反之，當(dāng)時，對任意，，而，故在區(qū)間上的最大值為．綜上，的取值范圍為．點(diǎn)評：本題是求函數(shù)最值的逆向問題，答案所用的解法是一種比較特殊的方法，具有一定的思維難度.本題若用一般方法，則可求出g(0)=0，將問題轉(zhuǎn)化為g(x)≤0的恒成立問題，此種解法的計(jì)算量將有所加大.（三）導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例題6】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）證明：曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值.解：（Ⅰ）方程可化為，當(dāng)時，；又，于是，解得，故（Ⅱ）設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，由知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即令，得，從而得切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為；令，得，從而得切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為；所以點(diǎn)處的切線與直線所圍成的三角形面積為；故曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線所圍成的三角形面積為定值6.二、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的變式與轉(zhuǎn)化（一）函數(shù)的零點(diǎn)存在與分布問題問題設(shè)置：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程實(shí)數(shù)根的個數(shù)求參數(shù)取值范圍基本方法： 通性通法：函數(shù)最值控制法特殊方法：（1）二次函數(shù)判別式法；（2）零點(diǎn)存在性定理第一組 二次函數(shù)本組題旨在加深對二次函數(shù)零點(diǎn)存在性與分布問題的認(rèn)識；本題旨在提升對函數(shù)與方程關(guān)系問題的認(rèn)識水平；研究二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題時，除了判別式法以外，應(yīng)補(bǔ)充極值（最值）控制法，為三次函數(shù)零點(diǎn)分布研究做方法上的鋪墊.【例題7】設(shè)函數(shù)．（1）略；（2）若方程有且僅有一個實(shí)根，求的取值范圍.解：因?yàn)楫?dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,;所以當(dāng)時,取極大值;當(dāng)時,取極小值;故當(dāng)或時,方程僅有一個實(shí)根.解得或.點(diǎn)評：本題是零點(diǎn)問題的方程形式，用函數(shù)最值控制法解答，屬于本類問題的原型題.【例題8】已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在=－1處取得最小值m－1(m).設(shè)函數(shù)（1）若曲線上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為,求m的值；（2）如何取值時,函數(shù)存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn).解：（1）設(shè)，則；又的圖像與直線平行，解得又在取極小值，∴，解得，解得；所以，設(shè)，則,解得；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）由，得當(dāng)時，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)；當(dāng)時，方程有二解，若，，有兩個零點(diǎn)；若，，有兩個零點(diǎn)；當(dāng)時，方程有一解，即,有一零點(diǎn)點(diǎn)評：本題第一問是涉及均值定理的最值問題，題目計(jì)算量中等，思維難度不大；第二問涉及到的函數(shù)為二次函數(shù)，故而用含參二次方程的根系關(guān)系研究根的分布問題，是本部分的原型問題和重點(diǎn)問題.【例題9】已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.解：若,,顯然函數(shù)在上沒有零點(diǎn).若，令,解得①當(dāng)時,恰有一個零點(diǎn)在上;②當(dāng)，即時，在上也恰有一個零點(diǎn).③當(dāng)在上有兩個零點(diǎn)時,則或解得或，綜上，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是或.點(diǎn)評：本題以二次函數(shù)為載體，設(shè)定在區(qū)間范圍上的零點(diǎn)存在性問題，解答時依零點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行分類討論，涉及到含參二次方程根的分布研究、零點(diǎn)存在性定理.是原型問題和重點(diǎn)題.【例題10】已知函數(shù)．（II）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍．解：（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價于 導(dǎo)函數(shù)在既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù) 即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有 ，即： 整理得：，解得第二組 三次函數(shù)本組題旨在加深對二次函數(shù)零點(diǎn)存在性與分布問題的認(rèn)識；本題旨在提升對函數(shù)與方程關(guān)系問題的認(rèn)識水平；本組題旨在加深對二次函數(shù)、三次函數(shù)零點(diǎn)分布問題的認(rèn)識，進(jìn)而深化對導(dǎo)數(shù)方法、極值、最值的理解.【例題11】已知函數(shù)（I）求的單調(diào)區(qū)間；（II）若在處取得極值，直線y=m與的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，對，有所以的單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時，由解得或，由解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）因?yàn)樵谔幦〉脴O大值，所以所以由解得.由（1）中的單調(diào)性可知，在處取得極大值1，在處取得極小值-3.因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，所以的取值范圍是.點(diǎn)評：本題是三次函數(shù)零點(diǎn)存在性問題的典型變式題，涉及圖象交點(diǎn)向函數(shù)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化關(guān)系；本題最終將問題轉(zhuǎn)化為研究三次函數(shù)根的分布，采用極值（最值）控制法；在這里應(yīng)結(jié)合上面例題進(jìn)一步揭示研究二次方程與三次方程實(shí)根分布問題在方法上的本質(zhì)關(guān)系，以便進(jìn)一步加深對函數(shù)極值（最值）的認(rèn)識和對利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).（二）不等式恒成立與存在解問題問題設(shè)置：當(dāng)不等關(guān)系在某個區(qū)間范圍內(nèi)恒成立或存在解為條件，求參數(shù)的取值范圍基本思路：轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與參數(shù)之間的不等關(guān)系問題基本方法： 通性通法：變量分離法、變量轉(zhuǎn)換、最值控制法特殊方法：二次函數(shù)判別式法、二次函數(shù)根的分布研究【例題12】設(shè)函數(shù)為實(shí)數(shù).（Ⅱ）若對任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：法一（變量轉(zhuǎn)換，最值控制法）：對任意都成立.即對任意都成立設(shè)，則對任意，為單調(diào)遞增函數(shù)所以對任意，恒成立的充分必要條件是.即，，于是的取值范圍是法二（變量分離法）：由題設(shè)知：對任意都成立，即對任意都成立.于是對任意都成立，即.解得的取值范圍是.點(diǎn)評：變量分離法可以任何一個變量分離出來，例如本題也可以求出二次方程的根，這樣就是將變量x分離出來了，但過程較復(fù)雜，不宜在此處選用.【例題13】已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：f(x)≥g(x)，其中x>0．解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．，，由題意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，則．于是當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，．故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．（Ⅱ）設(shè)，則．故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是．故當(dāng)時，有，即當(dāng)時，．點(diǎn)評：本題以曲線的切線問題的載體，在第一問中考查了函數(shù)最值的求法；第二問是恒成立問題的應(yīng)用.兩函數(shù)比較大小通過相減構(gòu)造新函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識（三）“零點(diǎn)存在與分布問題”與“恒成立、存在解問題”之間的關(guān)系研究對象的本質(zhì)相同，因此解題方向一致：函數(shù)的極值或最值控制是解決這兩類問題的通性通法，針對特殊類型的函數(shù)，如二次函數(shù)，又都可以用相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行研究；研究對象的載體不同，因此解題方法不同：前者是函數(shù)與其所對應(yīng)的方程之間關(guān)系的問題，后者是函數(shù)與其所對應(yīng)的不等式之間關(guān)系的問題；（3）原型問題是根本，轉(zhuǎn)化命題是關(guān)鍵：二者都可以進(jìn)一步衍生出其他形式的問題，因此往往需要先將題目所涉及的問題轉(zhuǎn)化為原型問題，然后利用通性通法加以解決，在轉(zhuǎn)化過程中應(yīng)注意命題的等價性.【例題14】設(shè)函數(shù)（Ⅰ）略；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅲ）已知函數(shù)有三個互不相同的零點(diǎn)0，，且.若對任意的，恒成立，求m的取值范圍.解：（2），令，得到因?yàn)?，?dāng)x變化時，的變化情況如下表：+0-0+極小值極大值在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù).函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=（3）解：由題設(shè)，所以方程=0由兩個相異的實(shí)根，故，且，解得因?yàn)槿簦?，不合題意若則對任意的有則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對任意的，恒成立的充要條件是,解得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m綜上，m的取值范圍是四、其它形式的問題【例題15】設(shè)函數(shù)其中實(shí)數(shù)．（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)與的圖象只有一個公共點(diǎn)且存在最小值時，記 的最小值為，求的值域；（Ⅲ）若與在區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)，求的取值范圍．解：（Ⅰ），又，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．（Ⅱ）由題意知，即恰有一根（含重根）．≤，即≤≤，又，．當(dāng)時，才存在最小值，．，∴.∴的值域?yàn)椋á螅┊?dāng)時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．由題意得，解得≥；當(dāng)時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．由題意得，解得≤；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．【例題16】已知函數(shù)有三個極值點(diǎn).（I）證明：；（II）若存在實(shí)數(shù)c，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍.解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)有三個極值點(diǎn)，所以有三個互異的實(shí)根.設(shè)則當(dāng)時，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，在上為減函數(shù)；當(dāng)時，在上為增函數(shù)；所以函數(shù)在時取極大值，在時取極小值