初中數(shù)學(xué)幾何輔助線秘籍2

第二章角平分線模型的構(gòu)造

你會不會熟練應(yīng)用角平分線四大基本模型解題？

一、考情分析

三角形內(nèi)外角平分線的概念是處理與角相關(guān)問題的基本依據(jù)和方法，在中考題中經(jīng)常利

用角平分線的性質(zhì)去證明線段、角相等或三角形全等.隨著課改的深入，中考的題型也發(fā)生

了變化.利用角平分線的對稱性把圖形翻折，再進(jìn)行推理計算；以及與角平分線有關(guān)的探究

題、綜合題成為近幾年中考的熱點題型.

二、名師講堂

知識點睛

角平分線

(1)定義：如圖所示，如果/AOB=NBOC,那么/AOC=2/AOB=2NBOC,像OB這

樣，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫作這個角的角平分線.

(2)角平分線的性質(zhì)定理

①如果一條射線是一個角的平分線，那么它把這個角分成兩個相等的角.

②在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

(3)角平分線的判定定理

①在角的內(nèi)部，如果一條射線的端點與角的頂點重合，且把一個角分成兩個等角，那么這條

射線是這個角的平分線.

②在角的內(nèi)部，到一個角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.

技巧提煉

與角平分線有關(guān)的常用輔助線作法，即角平分線的四大基本模型.

已知P是NMON平分線上一點，

(1)若PALOM于點A,如圖(a)所示，可以過P點作PBLON于點B,則PB=PA.可

記為“圖中有角平分線，可向兩邊作垂線”.

(2)若點A是射線OM上任意一點，如圖(b)所示，可以在ON上截取OB=OA,連接

PB,構(gòu)造aoPB絲aoPA.可記為“圖中有角平分線，可以將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)”.

(3)若APLOP于點P,如圖(c)所示，可以延長AP交ON于點B,構(gòu)造AAOB是等腰

三角形，P是底邊AB的中點.可記為“角平分線加垂線，三線合一試試看”.

(4)若過P點作PQ〃ON交0M于點Q,如圖(d)所示，可以構(gòu)造APOQ是等腰三角形,

可記為“角平分線十平行線，等腰三角形必呈現(xiàn)”.

例題精講

例1

[]

如圖(a)所示，在4ABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,

BC=6cm,BD=4cm,那么點D到直線AB的距離是

________cm.

⑵如圖(b)所示，已知：N1=N2,Z3=Z4,

求證：AP平分NBAC.

A

(a)⑸

【思路點撥】（1）過點D作AB的垂線

（2）過點P分別作直線AB,BC,AC的垂線，利用角平分線的性質(zhì)得證.

例2

[11000022]如圖（a）所示，在RtAABC中，ZACB=90°,CDXAB,垂足為D.AF

平分/CAB,交CD于點E,交CB于點F.

（1）求證：CE=CF.

（2）將圖（a）中的4ADE沿AB向右平移到4A'D'E'的位置，使點E'落在BC邊上，

其他條件不變，如圖（b）所示.試猜想：BE'與CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論.

等腰三角形.

第（2）問遇到角平分線通?？紤]過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，所以過點E作AC

的垂線，構(gòu)造全等三角形解題，也可以過點F作AB的垂線.

例3

[]閱讀下列學(xué)習(xí)材料:

如圖（a）所示，OP平分NMON,A為OM上一點，C為OP上一點.連接AC,在射線

ON上截取OB=OA,連接BC（如圖（b）所示），易證△AOCg/XBOC.

請根據(jù)上面的學(xué)習(xí)材料?，解答下列各題：

（1）如圖（c）所示，在aABC中，AD是ABAC的外角平分線，P是AD上異于點A的

任意一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由.

（2）如圖（d）所示，AD是AABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC—PB與AC

-AB的大小，并說明理由.

【思路點撥】根據(jù)材料提供的信息，第（1）問，在BA的延長線上截取AE=AC,連接PE,

構(gòu)造全等三角形，利用三角形的三邊關(guān)系得證.

第（2）問，在AC上截取AE=AB,連接PE,構(gòu)造全等三角形，利用三角形的三邊關(guān)系得

證.

例4

【11000023】如圖所示，己知等腰直角三角形ABC中，NA=90°,AB=AC,BD平分/

ABC,CE±BD,垂足為點E,求證：BD=2CE.

A

E

BC

【思路點撥】本題的主要條件是“角平分線十垂線”，所以考慮利用模型（3）構(gòu)造等腰三角

形，即延長CE,BA相交于點F,構(gòu)造全等三角形，此題還有更多證明方法，讀者可自行探

究.

例5

[11000024]（1）如圖（a）所示，BD、CE分別是AABC的外角平分線，過點A作ADL

BD、AE_LCE,垂足分別為D、E,連接DE.求證：DE〃BC,DE=-（AB+BC+AC）；

2

（2）如圖（b）所示，BD、CE分別是aABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變；

（3）如圖（c）所示，BD為aABC的內(nèi)角平分線，CE為AABC的外角平分線，其他條件

不變.

則在圖（b）、圖（c）兩種情況下，DE與BC還平行嗎？它與aABC三邊又有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？請寫出你的猜測，并對其中的一種情況進(jìn)行證明.

【思路點撥】本題的主要條件是“角平分線+垂線”，所以考慮利用模型（3）構(gòu)造等腰三角

形，第（1）問，延長AD,AE交直線BC于G,F兩點，構(gòu)造全等三角形和等腰三角形，

再利用三角形中位線的性質(zhì)得證.

第（2）（3）間的解法與（1）相同.

變式

[110000251

如圖所示，在aABC中，AB=3AC,NBAC的平分線交BC于點D,

過點B作BEJ_AD,垂足為E,求證：AD=DE.

【思路點撥】延長BE,AC相交于點F,構(gòu)造全等三角形，取CF的中點M,連接EM,利

用三角形的中位線得證.

例6

[11000026]

如圖(a)所示，AB=AC,BD,CD分別平分NABC,NACB.問：

(1)圖(a)中有幾個等腰三角形？

(2)過D點作EF〃BC,如圖(b)所示，交AB于點E,交AC于點F,

圖中又增加了幾個等腰三角形？

(3)如圖(c)所示，若將題中的AABC改為不等邊三角形，

其他條件不變，圖中有幾個等腰三角形？直接寫出線段

EF與BE、CF有什么關(guān)系？

(4)如圖(d)所示，BD平分NABC,CD平分外角NACG.

DE〃BC交AB于點E,交AC于點F.線段EF與BF、CF

有什么關(guān)系？并說明理由.

(5)如圖(e)所示，BD、CD為外角NCBM、NBCN的平分線，

DE〃BC交AB延長線于點E,交AC延長線于點F,直接寫

出線段EF與BE、CF有什么關(guān)系？

【思路點撥】“角平分線+平行線”，所以考慮利用模型（4）得出等腰三角形，合理的利用

△BDE和4CDF是等腰三角形進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化.

例7

【11000027］如圖所示，已知在aABC中，AC=BC,ZC=90°,AD平分NCAB,求證:

AB=AC+CD.

【思路點撥】AD是角平分線，DC_LAC,所以可以考慮過點D作AB的垂線，或者在射線

AC上截取AE=AB,連接DE,構(gòu)造全等三角形.

變式1

【11000028］如圖所示，已知AABC中，AB=AC,NA=108°,BD平分/ABC.求證:

BC=AB+CD.

【思路點撥】在BC上截取BE=BA,連接DE,構(gòu)造全等三角形，或者在射線BA上截取

BE=BC,連接DE,構(gòu)造全等三角形.

變式2

［11000029］如圖所示，已知aABC中，AB=AC,ZA=100°,BD平分NABC,求證:

BC=BD+AD.

例8

[11000030)

如圖(a)所示，0P是NM0N的平分線，請你利用該圖形畫一對

以0P所在直線為對稱軸的全等三角形.

請你參考上圖構(gòu)造全等三角形的方法，解答下列問題：

(1)如圖(b)所示，在AABC中，NACB是直角，ZB=60°,

AD、CE分別是NBAC、NBCA的平分線，AD、CE相交于點F.

請你判斷寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖(c)所示，在aABC中，如果NACB不是直角，而(1)

中的其他條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否依然

成立？若成立請證明；若不成立，請說明理由.

【思路點撥】在AC上截取AG=AE,連接FG,證明4AEF^4AGF,Z\CDF0Z\CGF即

可或者過點F作AB,AC,BC的垂線，再證明三角形全等.

三、牛刀小試

小試1

[110000311

(1)如圖(a)所示，在AABC中，/ABC與/ACB的角平分線

相交于點F,過點F作DE//BC,交AB于點D,交AC于點

E,若BD+CE=9,則線段DE之長為.

(2)如圖(b)所示，在AABC中，BD、CD分別平分/ABC和

ZACB,DE//AB,FD//AC.如果BC=6,求ADEF的周長.

小試2

[11000032]已知：如圖所示，NBAD=/CAD,AB>AC,CD1.AD于點D,H是BC的

中點.

求證：DH=工（AB一AC）.

2

A

小試3

[11000033]

已知：如圖所示，四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,BC=CD.

求證：AC平分NBAD.

小試4

[11000034]如圖所示，^ABC的外角/ACD的平分線CP與內(nèi)角NABC的平分線BP交

于點P,連接AP、CP,若NBPC=40°,求NCAP的度數(shù).

A

BD

小試5

[110000351已知：如圖所示，在四邊形中，BOAB,AD=CD,BD平分NABC.求證:

ZA+ZC=180°.

小試6

[11000036]如圖（a）所示，BP平分NMBN,點D在BP上，NADC的兩邊分別交射線

BM、BN于A、C兩點，且NADC+NMBN=180°.

（1）猜想AD與DC之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論.

（2）圖（b）是/ADC繞著點D旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，

請證明；若不成立，說明理由.

M

小試7

[11000037]（1）如圖（a）所示，在RtZXABC中，ZC=90°,ZB=45°,AD^AABC

的角平分線，則AC,CD,AB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）如圖（b）所示，若將（1）中條件“在RtAABC中，ZC=90°,ZB=45°改為

“在AABC