一元線性回歸模型【新教材新思維高中數(shù)學(xué)】下學(xué)期高二數(shù)學(xué)教學(xué)（人教A版選擇性必修第三冊(cè)）

第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析一元線性回歸模型學(xué)習(xí)目標(biāo)能通過具體實(shí)例說明一元線性回歸模型修改的依據(jù)與方法.情景引入通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)了解到，根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)，可以推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等.如果能像建立函數(shù)模型刻畫兩個(gè)變量之間的確定性關(guān)系那樣，通過建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型刻畫兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)關(guān)系，那么我們就可以利用這個(gè)模型研究兩個(gè)變量之間的隨機(jī)關(guān)系，并通過模型進(jìn)行預(yù)測.新知探究探究:生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們,兒子的身高與父親的身高相關(guān).一般來說,父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表所示.編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).利用統(tǒng)計(jì)軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高。思考：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182

表中的數(shù)據(jù)，存在父親身高相同而兒子身高不同的情況.例如，第6個(gè)和第8個(gè)觀測父親的身高均為172cm，而對(duì)應(yīng)的兒子的身高為176cm和174cm；同樣在第3，4個(gè)觀測中，兒子的身高都是170cm，而父親的身高分別為173cm，169cm.可見兒子的身高不是父親身高的函數(shù)同樣父親的身高也不是兒子身高的函數(shù)，所以不能用函數(shù)模型來刻畫.思考：從成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和樣本相關(guān)系數(shù)可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致分布在一條直線附近表明兒子身高和父親身高有較強(qiáng)的線性關(guān)系.我們可以這樣理解，由于有其他因素的存在，使兒子身高和父親身高有關(guān)系但不是函數(shù)關(guān)系.那么影響兒子身高的其他因素是什么？影響兒子身高的因素除父親的身外，還有母親的身高、生活的環(huán)境、飲食習(xí)慣、營養(yǎng)水平、體育鍛煉等隨機(jī)的因素，兒子身高是父親身高的函數(shù)的原因是存在這些隨機(jī)的因素.其中,Y稱為因變量或響應(yīng)變量,x稱為自變量或解釋變量;a和b為模型的未知參數(shù),a稱為截距參數(shù),b稱為斜率參數(shù);e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差,模型中的Y也是隨機(jī)變量,其值雖然不能由變量x的值確定,但是卻能表示為bx+a與e的和(疊加),前一部分由x所確定,后一部分是隨機(jī)的,如果e=0,那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.問題1.你能結(jié)合父親與兒子身高的實(shí)例，說明回歸模型①的意義？①

問題2.你能結(jié)合具體實(shí)例解釋產(chǎn)生模型①中隨機(jī)誤差項(xiàng)的原因嗎？產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因有：（1）除父親身高外,其他可能影響兒子身高的因素,比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等.（2）在測量兒子身高時(shí)，由于測量工具、測量精度所產(chǎn)生的測量誤差.（3）實(shí)際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似關(guān)系也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.知識(shí)應(yīng)用例.將圖中的點(diǎn)按父親身高的大小次序用折線連起來，所得到的圖像是一個(gè)折線圖，可以用這條折線圖表示兒子身高和父親身高之間的關(guān)系嗎？解析：不能。一是父親的身高與兒子的身高之間是隨機(jī)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系；二是這組數(shù)據(jù)僅是總體的一個(gè)樣本，不一定能很好地描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系。練：說明函數(shù)模型與回歸模型的區(qū)別，并分別舉出兩個(gè)應(yīng)用函數(shù)模型與回歸模型的例子。解析：函數(shù)模型刻畫的是變量之間具有的函數(shù)關(guān)系，是一種確定性的關(guān)系?；貧w模型刻畫的是變量之間具有的相關(guān)關(guān)系，不是一種確定性關(guān)