《微波有源電路理論分析及設(shè)計(jì)》課件第3章

第三章微波功率放大器3.1微波晶體管的非線性及其表征方法3.2微波晶體管大信號(hào)建模3.3功率放大器的工作狀態(tài)3.4微波非線性電路的分析方法3.5微波晶體管功率放大器的設(shè)計(jì)3.6微波放大器線性化技術(shù)綜述3.1微波晶體管的非線性及其表征方法

3.1.1非線性電路

非線性電路可以分為弱非線性電路和強(qiáng)非線性電路。假若它的非線性特性I/U，Q/U

或Φ/I可用冪級(jí)數(shù)展開，并且具有滿意的精度(從數(shù)學(xué)上來(lái)看其特性是連續(xù)的，其導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的，只需取少數(shù)幾項(xiàng)就可以滿足一般的實(shí)際應(yīng)用)，此外激勵(lì)信號(hào)較弱，弱到不影響直流工作點(diǎn)的程度，這種非線性電路稱為弱非線性電路。3.1.2非線性電路所出現(xiàn)的非線性現(xiàn)象

圖3-1為一個(gè)非線性網(wǎng)絡(luò)，也就是說(shuō)，該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)是非線性傳遞函數(shù)，若其傳遞函數(shù)滿足上述條件，且網(wǎng)絡(luò)是無(wú)記憶的，則網(wǎng)絡(luò)的輸出可以表示為輸入信號(hào)的冪級(jí)數(shù)(也可以用輸入信號(hào)的臺(tái)勞級(jí)數(shù)來(lái)表示)，即

(3-1)

對(duì)于線性網(wǎng)絡(luò)k2=k3=ki=0，i=4，5，…，對(duì)于弱非線性網(wǎng)絡(luò)，可以近似表示為

(3-2)令ui=Acosω0t，代入上式可得

(3-3)圖3-1雙端口非線性網(wǎng)絡(luò)由上述的分析可以看出，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)是一個(gè)單頻激勵(lì)時(shí)，非線性網(wǎng)絡(luò)輸出信號(hào)除了基波(ω0)外，還產(chǎn)生了直流

分量和一系列諧波分量。若激勵(lì)信號(hào)是雙頻信號(hào)，即

ui=A1cosω1t+A2cosω2t

時(shí)，代入(3-2)式，為了方便，令A(yù)=A1=A2，可得

(3-4)由上述的分析可以看出，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)是雙頻激勵(lì)時(shí)，非線性網(wǎng)絡(luò)輸出信號(hào)中除了基波(ω0)和直流分量外，還產(chǎn)生了一系列組合頻率分量，即

(3-5)由于非線性的存在，所以通過非線性電路的信號(hào)會(huì)出現(xiàn)各種各樣的現(xiàn)象，主要有如下幾種非線性現(xiàn)象：

(1)諧波的產(chǎn)生。

(2)交調(diào)(IM)。

(3)飽和與鈍化。

(4)交叉調(diào)制(CM)。

(5)AM/AM和AM/PM變換。3.1.3非線性電路的表征方法

1.單頻輸入時(shí)的非線性表征方法

單頻輸入時(shí)其輸出電壓由下式給出

(3-6)基波的輸入輸出功率用dBm表示時(shí)分別為

(3-7)

(3-8)此特性可以用1dB功率壓縮點(diǎn)(P-1)來(lái)表征，同樣可用1dB增益壓縮點(diǎn)(G-1)來(lái)表征。用1dB功率壓縮點(diǎn)(P-1)或1dB增益壓縮點(diǎn)(G-1)來(lái)表征的情形可用圖3-2來(lái)說(shuō)明。圖3-2

1dB功率壓縮點(diǎn)和1dB增益壓縮點(diǎn)示意圖由此可以看出1dB功率壓縮點(diǎn)(P-1)是出現(xiàn)非線性失真的臨界點(diǎn)，如果要求功率放大器工作在線性區(qū)域，則輸出功率要遠(yuǎn)離1dB功率壓縮點(diǎn)(P-1)。

從(3-8)式可以看出輸出信號(hào)的幅度被輸入信號(hào)的幅度調(diào)制，可以用AM-AM來(lái)表征，其單位是dB/dB。如果輸入一個(gè)調(diào)幅信號(hào)uin=A［1+ε(t)］cos(ω0t)，把它

代入(3-2)式，經(jīng)過三角運(yùn)算可得輸出信號(hào)基波分量為uout(ω0)=Bcos［ω0t+j(Aε(t))］，由此式可以看出基波頻率的輸出信號(hào)的相位被輸入信號(hào)的幅度調(diào)制，相位j(Aε(t))隨著Aε(t)而變化，可以采用AM-PM來(lái)描述。為了描述相位失真的大小，通常引入“調(diào)幅—調(diào)相轉(zhuǎn)換系數(shù)”，即功率放大器AM-PM轉(zhuǎn)換的功能模型可以近似用圖3-3表示。AM-PM失真將使系統(tǒng)的群延時(shí)失真，微分相位、微分增益以及交調(diào)失真變壞。同時(shí)，AM-PM失真的存在將使輸出信號(hào)中存在調(diào)相分量，產(chǎn)生雜波干擾，特別是對(duì)于各種數(shù)字調(diào)相信號(hào)，將會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的誤碼率，因此對(duì)于通信系統(tǒng)的CDMA、WCDMA、TDS-CDMA、OFDM等調(diào)制信號(hào)進(jìn)行功率放大時(shí)，要特別注意它的影響。圖3-3

AM-PM失真示意圖由(3-6)式可以看出單頻輸入時(shí)由于非線性將會(huì)產(chǎn)生一系列諧波頻率分量，因此也可以用總的諧波失真來(lái)表征非線性特性?？傊C波失真THD定義為所有諧波的輸出功率的平方根與基波輸出功率平方根的比值，表達(dá)式如下：

(3-9)

同樣也可以用某一次諧波的功率電平來(lái)表征。如二次諧波的功率電平為

2.雙頻輸入(也稱雙音輸入)時(shí)的非線性表征方法

雙頻輸入時(shí)其輸出電壓由下式給出

從上式可以看出，雙頻等幅輸入時(shí)，非線性電路的輸出信號(hào)除了直流分量和基波頻率分量(ω1，ω2)外，還有大量的組合頻率。值得注意的是這樣幾個(gè)頻率分量，(2ω1－ω2)，(2ω2－ω1)，由于它的階數(shù)為3，我們稱為三階互調(diào)分量(IMD3)，它還會(huì)出現(xiàn)五階互調(diào)分量(IMD5)(3ω1－2ω2)和(3ω2－2ω1)，七階互調(diào)分量(IMD7)(4ω1－3ω2)和(4ω2－3ω1)等，這些頻率均在通帶之內(nèi)，濾波器不能濾除，故將使得信號(hào)嚴(yán)重失真，這些互調(diào)分量的頻譜分布如圖3-4所示。圖3-4雙頻信號(hào)激勵(lì)時(shí)非線性引起的互調(diào)分量頻譜分布示意圖雙頻激勵(lì)下的非線性的指標(biāo)參數(shù)可以分為對(duì)帶內(nèi)失真的描述和對(duì)帶外失真的描述。帶內(nèi)失真的產(chǎn)物是指那些出現(xiàn)在基波頻率周圍的混頻成分，指標(biāo)參數(shù)有：互調(diào)失真(IMD)和互調(diào)失真比(IMR)。

IMD：互調(diào)失真。用雙頻信號(hào)激勵(lì)非線性網(wǎng)絡(luò)時(shí)，其輸出信號(hào)除了基波(ω0)和直流分量外，還產(chǎn)生一系列組合頻率分量所對(duì)應(yīng)的功率，如圖3-4所示。

IMR：互調(diào)失真比，定義為

參見圖3-4所示。

3.多頻激勵(lì)下(也稱多音激勵(lì)，泛指CDMA信號(hào))的非線性表征方法

在窄帶通訊系統(tǒng)中，實(shí)際傳輸?shù)男盘?hào)通常由一個(gè)或多個(gè)被信息信號(hào)調(diào)制的載波所構(gòu)成。假設(shè)一個(gè)信號(hào)由10個(gè)等間隔等幅度的頻率組成。用公式表示為

(3-11)假若這里Q=10，ωq=ω0+(q－1)Δω，這里ω0是第一個(gè)角頻率，Δω是多頻的等間隔。理論上，經(jīng)過一個(gè)線性系統(tǒng)后，輸出信號(hào)的頻譜，除了幅度和輸入信號(hào)有差異以外，其余的參數(shù)都應(yīng)該相同。實(shí)際上，由于非線性的存在，產(chǎn)生互調(diào)失真，會(huì)在頻率(產(chǎn)生新頻率)、相位、幅度上產(chǎn)生失真，如圖3-5所示。圖3-5窄帶多頻音激勵(lì)下非線性系統(tǒng)的輸出頻譜從圖中可以看出，失真成分組成了兩個(gè)邊帶，分別稱下邊帶、上邊帶。實(shí)際上，還有一部分失真落在了基波上，并且和基波相重合(如圖3-5所示)，所以看不出來(lái)。將落在基波頻率范圍內(nèi)的失真信號(hào)稱為帶內(nèi)失真。落在基波兩邊的失真信號(hào)稱為帶外失真。兩個(gè)失真頻率的間隔也是Δω，和基波的間隔相同。多音激勵(lì)下，非線性的表征參數(shù)有以下幾個(gè)：M-IMR，ACPR和NPR。

M-IMR：多音互調(diào)失真比，表示基波功率Po/t與在上邊帶或下邊帶出現(xiàn)的失真成分Pl/u(ωr)功率的比值，表示如下：

(3-12)

示意圖如圖3-6所示。圖3-6

M-IMR示意圖表示上邊帶和下邊帶的每一個(gè)失真頻率都有與其對(duì)應(yīng)的M-IMR。M-IMR越大則表示失真越嚴(yán)重。除此以外，有的文獻(xiàn)資料上對(duì)M-IMR還有如下的定義：

(3-13)

即定義為每頻音基波功率與在上邊帶或下邊帶出現(xiàn)的失真成分功率最大值的比值。

ACPR：鄰近信道失真功率比，鄰近信道失真由臨近信道上的失真成分構(gòu)成，表現(xiàn)為對(duì)臨近信道的干擾。ACPR越大則對(duì)臨近信道的干擾越大，失真也越嚴(yán)重。

總鄰近信道功率比(ACPRT)是在基波區(qū)域的總的輸出功率Po和在鄰近信道上邊帶Pua和下邊帶Pla失真功率的總和的比值。定義如下：

(3-14)如果只考慮上邊帶或下邊帶的臨近信道，就將使用臨近信道功率比定義為，在基波區(qū)域所測(cè)試的總的輸出功率Po與上邊帶或下邊帶臨近信道功率Pl/ua的比值：

(3-15)

NPR：噪聲功率比，是表征同信道失真的直接手段。多音失真所產(chǎn)生的新頻率有很大一部分是和基波雜亂地混合在一起，而且有些失真和基波是重合的。噪聲功率比的測(cè)試需要消除頻域測(cè)試中的基波成分。定義為在測(cè)試窗位置ωT附近測(cè)試的輸出功率譜密度函數(shù)So(ωT)和窗函數(shù)內(nèi)觀察到的功率譜密度函數(shù)Swd(ωT)的比值：

(3-16)

示意圖如圖3-7所示。圖3-7

NPR示意圖

3.2微波晶體管大信號(hào)建模

3.2.1大信號(hào)模型概述

大信號(hào)等效電路拓?fù)涞倪x取和經(jīng)驗(yàn)公式的選定對(duì)模擬精度有著重大影響。不同的電路模型和經(jīng)驗(yàn)公式會(huì)導(dǎo)致差異很大的結(jié)果。3.2.2

GaAsMESFET大信號(hào)模型的建立

大信號(hào)的模型電路并不復(fù)雜，是在小信號(hào)模型的基礎(chǔ)上求得的。如圖3-8所示，給出了大信號(hào)輸入情況下晶體管的等效電路。在這個(gè)電路模型中，包含三個(gè)非線性元件：IDS，IDG，IGS。而其余的元件均為線性元件，可由小信號(hào)模型通過S參數(shù)計(jì)算得到。圖3-8大信號(hào)模型的拓?fù)潆娐?/p>

1.大信號(hào)模型中非線性元件的表述

(1)Curtice平方律模型

(3-17)

在這個(gè)模型中需要提取的參數(shù)有：β，Ut0，α，λ。(2)Curtice-Ettenberg立方模型

(3-18)

在這個(gè)模型中需要提取的參數(shù)有：A0，A1，A2，A3，α，β，UDS0(理論上可以計(jì)算得出)。

(3)改進(jìn)的Curtice立方模型

(3-19)

在這個(gè)模型中需要提取的參數(shù)有：β，UDS0，α，λ，A0，A1，A2，A3。

(4)Raytheon模型

(3-20)

這個(gè)表達(dá)式中需要提取的參數(shù)有：b，k，UT，β，α。

(5)Triquint模型

(3-21)

這個(gè)表達(dá)式中需要提取的參數(shù)有：β，α，r，γ，Q

。

(6)Materka-Kacpreak模型

(3-22)

需要提取的參數(shù)有：IDS0，γ，α，UP0。

(7)Angelovetal模型

(3-23)

(8)改進(jìn)的Materka模型

(3-24)

2.大信號(hào)模型中非線性元件的確定

1)非線性電流源IGS的確定

IGS為柵極和源極之間正向?qū)〞r(shí)的非線性電流，它受柵源極間電壓的控制。由于柵源極間電壓等于電容CGS兩端電壓和電阻Ri兩端電壓之和，而作為線性電阻Ri與1/ωCGS相比，其值小得多，所以非線性電流IGS與可以當(dāng)做僅受非線性電容CGS兩端電壓UG的控制，其擬合的函數(shù)關(guān)系為

(3-25)其中IGS0和αf為待定參數(shù)，已知

(3-26)

通過直流狀態(tài)下對(duì)GaAsMESFET柵流的測(cè)量可以得到

IG－UGS簇關(guān)系曲線。用式(3-26)分別把IG，UGS轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的IGS，UG的值，就可以用計(jì)算機(jī)模擬出IGS關(guān)于UG的函數(shù)關(guān)系，由該函數(shù)關(guān)系可描繪出IGS－UG關(guān)系曲線。

2)非線性電流源IDG的確定

IDG為柵、漏極間反向擊穿的非線性電流。在柵源電壓UGS<UP時(shí)，溝道夾斷。但隨著漏源極間電壓的加大，由于雪崩擊穿效應(yīng)而產(chǎn)生柵流，使得漏極電流并沒有被完全夾斷，它是大信號(hào)工作時(shí)影響器件輸出電流和功率的主要非線性因素。其擬合函數(shù)關(guān)系式為

(3-27)

其中，IB0

，aR為待定參數(shù)，UD為電容CDG兩端的電壓。已知

(3-28)

3)非線性電流源IDS的確定

IDS為非線性漏電流，隨UD和UG的變化而變化，其經(jīng)驗(yàn)公式有很多種。這里以微波SPICE2中的Statz模型的一種改進(jìn)模型為例，簡(jiǎn)單介紹一下。Statz的這種改進(jìn)模型能比較精確地模擬漏極I－U特性，適用于漏源電壓從零到雪崩擊穿電壓的整個(gè)變化范圍。其函數(shù)關(guān)系為

(3-29)

這個(gè)表達(dá)式中需要提取的參數(shù)有：b，k，UT，β，α?？紤]到漏極電流和柵極電壓間的時(shí)延效應(yīng)，這里有

(3-30)這里t0為待定參數(shù)。已知

(3-31)

4)非線性電容CGS的確定

CGS主要隨電壓UG發(fā)生變化，當(dāng)UG<0.8Uf時(shí)可以用肖

特基勢(shì)壘二極管的結(jié)耗盡電容來(lái)表示，即

(3-32)當(dāng)UG>0.8Uf時(shí)，電荷儲(chǔ)存電容占了主要部分，它隨著UG增大，以UG=0.8Uf時(shí)，式(3-32)的導(dǎo)數(shù)值dCGS/dUG為斜率線性增加，可表示為

(3-33)

其中CGS0為UG=0時(shí)的柵極源極電容，它可以由小信號(hào)模型中的CGS值推算出，Uf柵極與溝道間的肖特基內(nèi)建電勢(shì)。

3.3功率放大器的工作狀態(tài)

3.3.1

A類功率放大器

A類功率放大器屬于線性功率放大器，功率放大器的電流導(dǎo)通角θ=180°，也就是說(shuō)，在正弦信號(hào)的一個(gè)周期內(nèi)，放大器中的晶體管處于全導(dǎo)通的工作狀態(tài)，其典型的電路結(jié)構(gòu)、負(fù)載線和波形如圖3-9所示。圖3-9晶體管A類功率放大器典型的電路結(jié)構(gòu)、負(fù)載線和波形圖輸入正弦信號(hào)時(shí)，經(jīng)分析理論上其效率為

一般情況下，實(shí)際的效率不超過30%。在沒有輸入信號(hào)時(shí)電源供給的全部功率都消耗在晶體管上，這是我們不希望出現(xiàn)的。3.3.2

B類功率放大器

B類功率放大器的典型電路結(jié)構(gòu)、負(fù)載線和波形如圖3-10所示。在電路中，直流偏置電壓UBB等于晶體管的截止電壓。當(dāng)正弦波信號(hào)輸入時(shí)，晶體管在輸入波形的正半個(gè)周期內(nèi)導(dǎo)通，而在負(fù)半個(gè)周期內(nèi)晶體管是截止的?？梢缘弥陟o態(tài)時(shí)集電極電流等于零，集電極-發(fā)射極間的電壓為UCC。由于晶體管在半個(gè)周期內(nèi)導(dǎo)通，因此其電流導(dǎo)通角θ=90°，所以輸出是一個(gè)半周期信號(hào)，如圖3-10所示。圖3-10晶體管B類功率放大器典型的電路結(jié)構(gòu)、負(fù)載線和波形圖

B類功率放大器電路可以采用雙管B類推挽電路，如圖3-11所示，即用兩只B類工作的晶體管各放大半個(gè)正弦波信號(hào)，然后在負(fù)載上合成一個(gè)完整的正弦波信號(hào)。其理論效率為

實(shí)際上的效率可達(dá)到50%左右。圖3-11晶體管B類推挽功率放大器典型的電路結(jié)構(gòu)圖3.3.3

AB類功率放大器

AB類功率放大器直流工作點(diǎn)的選擇是介于A類和B類這兩種工作狀態(tài)間的折衷選擇。這種類型功率放大器的輸出信號(hào)在部分時(shí)刻為零，但它小于正弦信號(hào)的半個(gè)周期。AB類功率放大器所產(chǎn)生的失真大于A類功率放大器，小于B類功率放大器。相反它的效率比B類功率放大器效率低，而比A類功率放大器的效率高。在推挽功率放大器中，采用AB類工作狀態(tài)，通過調(diào)整直流偏置可以獲得性能相當(dāng)好的功率放大器，因此在高功率放大器設(shè)計(jì)中常常被廣泛采用。圖3-11為晶體管B類推挽功率放大器典型的電路，改變直流工作點(diǎn)和匹配電路，同樣可以實(shí)現(xiàn)AB類推挽功率放大器。3.3.4

C類功率放大器

晶體管C類功率放大器的典型電路結(jié)構(gòu)、負(fù)載線和波形圖如圖3-12所示。圖3-12晶體管C類功率放大器典型的電路結(jié)構(gòu)、負(fù)載線和波形圖晶體管C類功率放大器又稱諧振功率放大器，放大器電流的導(dǎo)通角θ<90°，它會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的非線性失真，因此它只適合放大恒定包絡(luò)的信號(hào)，廣泛應(yīng)用在脈沖信號(hào)放大電路。經(jīng)

分析C類功率放大器的效率為3.3.5

D類功率放大器

B類功率放大器和C類功率放大器都是通過減小晶體管的導(dǎo)通時(shí)間，即減小導(dǎo)通角θ來(lái)提高效率的。但是，導(dǎo)通角的減小是有限度的。這是因?yàn)閷?dǎo)通角減小時(shí)，雖然效率提高了，單基波電流卻減小了，從而使得輸出功率下降，兩者是相互制約的。從以上分析中可以看出，消耗在晶體管上的功率是由于集電極電流iC流過晶體管時(shí)，晶體管集電極—發(fā)射極間電壓uCE不為零所造成的，晶體管的耗損功率為圖3-13給出晶體管電流開關(guān)型D類推挽功率放大器典型的電路結(jié)構(gòu)和波形圖。輸入信號(hào)的幅度足夠大，能夠保證晶體管導(dǎo)通時(shí)進(jìn)入飽和導(dǎo)通狀態(tài)，兩個(gè)晶體管的激勵(lì)信號(hào)相位相反，因此一個(gè)晶體管導(dǎo)通時(shí)，另一個(gè)晶體管截止，兩個(gè)晶體管輪流工作。集電極供電電源通過一個(gè)高頻扼流電感連接到諧振回路的電感中心抽頭(A點(diǎn))，當(dāng)扼流電感所呈現(xiàn)的感抗大于A點(diǎn)和任意晶體管集電極之間的諧振阻抗時(shí)，集電極供電電源可以看成是一個(gè)恒流源。這樣一來(lái)流過晶體管的集電極電流就是一個(gè)占空比為0.5的方波，其電流幅度為ICC，是晶體管處于開關(guān)工作狀態(tài)，以提高其效率，理論上效率可達(dá)到100%。晶體管的開關(guān)時(shí)間不可能很快，因此限制了D類功率放大器的工作頻率。圖3-13晶體管電流開關(guān)型D類推挽功率放大器典型的電路結(jié)構(gòu)和波形圖3.3.6

E類功率放大器

E類功率放大器的電路中含有一個(gè)無(wú)源負(fù)載網(wǎng)絡(luò)，圖3-14給出了E類功率放大器典型的電路結(jié)構(gòu)和等效電路。圖3-14

E類功率放大器典型的電路結(jié)構(gòu)和等效電路3.3.7

F類功率放大器

圖3-15給出了具有三次諧波反射的F類功率放大器電路示意圖。

串聯(lián)的諧振電路可以采用四分之一波長(zhǎng)傳輸線來(lái)實(shí)現(xiàn)，如圖3-16所示。圖3-15具有三次諧波反射的F類功率放大器電路示意圖圖3-16傳輸線型F類功率放大器電路示意圖

3.4微波非線性電路的分析方法

非線性電路的分析與設(shè)計(jì)是人們最感興趣的，同時(shí)也是最受重視的工作。許多學(xué)者在這方面做了大量的工作，力求尋找非線性電路新的分析方法，或者完善現(xiàn)存的方法，以使其更趨于合理化、實(shí)用化。

根據(jù)非線性電路中線性元件和非線性元件的描述方法，對(duì)一些較為適用的算法進(jìn)行分類，如表3-1所示。3.4.1微波非線性電路分析——時(shí)域中的狀態(tài)變量法

1.狀態(tài)變量方程的建立

用狀態(tài)變量建立狀態(tài)變量方程時(shí)，先需將電路中的支路約定為兩種支路：Y支路和Z支路。Y支路是電導(dǎo)和電容的并聯(lián)，如圖3-17(a)所示，其中

(3-34)

Z支路是電阻和電感的串聯(lián)，如圖3-17(b)所示，其中

(3-35)圖3-17

Y支路和Z支路與建立網(wǎng)絡(luò)線性方程組一樣，建立網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)變量方程時(shí)，先給出電路的支路電流矢量［iB］，支路電壓矢量［uB］和節(jié)點(diǎn)電壓矢量［un］(值得注意的是，這里矢量使用列陣來(lái)表示)，再根據(jù)電路中各支路的關(guān)系寫出關(guān)聯(lián)矩陣，并把它們寫成分塊矩陣的形式，則有

［A］=［［AY］［AZ］［AI］［AE］］

(3-36)

式中：［AY］是與Y支路有關(guān)的關(guān)聯(lián)矩陣，［AZ］是與Z支路有關(guān)的關(guān)聯(lián)矩陣，［AI］是與電路中電流源有關(guān)的關(guān)聯(lián)矩陣，［AE］是與電路中電壓源有關(guān)的關(guān)聯(lián)矩陣。根據(jù)克?；舴螂娏鞫煽梢缘玫?/p>

(3-37)

根據(jù)克?；舴螂妷憾煽梢缘玫剑踰B］=［A］T［un］，即

(3-38)由元件定義方程得知

(3-39)

式中［G］，［C］，［R］，［L］是以G，C，R，L為對(duì)角線元素的對(duì)角線矩陣。將上面三組方程(3-37)～(3-39)綜合起來(lái)，可得

于是(3-37)式變?yōu)?/p>

(3-40)

又因故有

(3-41)

同時(shí)有

(3-42)最后將(3-40)～(3-42)式聯(lián)立起來(lái)，并寫成矩陣形式，得到

(3-43)

可令［x］表示電壓矢量和電流矢量，［u］表示其它矢量，則(3-43)式可以化成

(3-44)

這就是利用狀態(tài)變量所建立的狀態(tài)變量微分方程。

2.狀態(tài)變量的解法

狀態(tài)變量方程是一組一階微分方程，一般采用迭代法求解。求解該方程的第一步是用差分方程來(lái)逼近微分方程，即將連續(xù)的時(shí)間變量t變換成離散的變量tk(k=0，1，…，n)，并在離散變量各點(diǎn)上列出差分公式。第二步是用迭代法求解差分方程。3.4.2微波非線性電路分析——頻域中的伏特拉級(jí)數(shù)法

1.伏特拉級(jí)數(shù)

伏特拉指出，若泛函G(x)在連續(xù)函數(shù)區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則此泛函可用泛函級(jí)數(shù)展開式表示為

(3-45)

式中Fn(x)是具有下列形式的正則齊次泛函，下標(biāo)n表示泛函的階數(shù)。

(3-46)

Wiener首先提出用此泛函級(jí)數(shù)展開式來(lái)分析非線性系統(tǒng)。他發(fā)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的輸出y(t)是輸入x(t)的某種泛函，兩者之間的關(guān)系可用泛函級(jí)數(shù)表示為

(3-47)

n階伏特拉核的傅立葉變換式為

(3-48)

H(f1，…，fn)稱為n階伏特拉核譜，又稱為n階非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)，hn是Hn的傅立葉逆變換

(3-49)考慮到輸入-輸出關(guān)系式(3-47)，則有

(3-50a)

(3-50b)

這里X(fi)是x(t)的譜函數(shù)，即是x(t)的傅立葉變換。在(3-50)式中引用了卷積定理。將(3-50)式兩邊進(jìn)行傅立葉變換，可以得到n次輸出譜函數(shù)為

(3-51)

其中

(3-52)

是Delta譜函數(shù)。于是輸入-輸出譜間關(guān)系為

(3-53)例如，輸入函數(shù)為

其譜函數(shù)為則二次非線性響應(yīng)Y2(f)為在中共有16項(xiàng)δ(f1－fa)δ(f2－fb)形式的積，于是Y2(f)有16項(xiàng)輸入響應(yīng)，其中響應(yīng)

是輸出頻率fa+fb上的一個(gè)響應(yīng)。而H2(fa，fb)δ(f－fa－fb)是另一個(gè)響應(yīng)，兩者的傅立葉逆變換合成為一個(gè)正弦波。由此可見，在計(jì)算多調(diào)制信號(hào)輸入的輸出譜時(shí)，將會(huì)遇到Hn(f1，…，fn)中宗數(shù)次序的交換排列問題，如果Hn是對(duì)稱的，交換宗數(shù)排列后Hn是不變的。通常Hn不一定是對(duì)稱的，只有hn是對(duì)稱的，Hn才是對(duì)稱的。但是由(3-50)式可知，hn和Hn的宗數(shù)排列不同并不影響yn(t)，因此宗數(shù)排列不同的所有核都是等效的。我們對(duì)不同宗數(shù)排列的n!核求和再除以n!，這樣平均的轉(zhuǎn)移函數(shù)可保證其對(duì)稱性，即

(3-54)

式中f=［f1，f2，…，fn］T，τ=［τ1，τ2，…，τn］T是矢量，而pi(τ)和pi(f)是τ和f中分量不同排列的矢量，pi(τ)·f是兩矢量的點(diǎn)乘。

Hn的另一個(gè)性質(zhì)是

(3-55)

引入多尺度輔助時(shí)間函數(shù)可使(3-50)式一般化，即

(3-56)應(yīng)用n重傅立葉變換

(3-57)

其逆變換為

(3-58)比較式(3-56)和式(3-58)可得

(3-59)

將上式代入式(3-51)中，得

(3-60)

上式的約束條件是f=f1+…+fn。方程(3-50)是任意輸入-輸出的關(guān)系，若輸入函數(shù)x(t)為特定函數(shù)

(3-61)

其譜為

(3-62)則由式(3-47)得

(3-63)上式中如果某一在Hn的宗數(shù)中出現(xiàn)ki次，則有

個(gè)宗量排列不同的Hn等效項(xiàng)，于是上式可簡(jiǎn)化為

(3-64)

2.伏特拉(Volterra)級(jí)數(shù)的性質(zhì)與特點(diǎn)

伏特拉級(jí)數(shù)具有以下一些性質(zhì)；

(1)Volterra級(jí)數(shù)具有收斂性。

(2)對(duì)稱性。

(3)齊次性。

(4)因果性。由Volterra級(jí)數(shù)表達(dá)式，可以推導(dǎo)出它有以下特點(diǎn)；

(1)由式(3-59)，當(dāng)系統(tǒng)的零階伏特拉核和二階以上的伏特拉核都恒為零時(shí)，Yn(f)=H(f)X(f)，此時(shí)系統(tǒng)只剩余一階伏特拉核，可看出系統(tǒng)降為了線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。由此可以看出，線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)僅是非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一個(gè)子類。

(2)當(dāng)Volterra核取如下特殊形式：hn(τ1，…，τn)=anδ

(τ1)δ(τ2)…δ(τn)時(shí)，代入式(3-46)，響應(yīng)為

可看出此時(shí)伏特拉級(jí)數(shù)退化為一個(gè)冪級(jí)數(shù)。因此，Volterra級(jí)數(shù)是冪級(jí)數(shù)的一種推廣形式，并且冪級(jí)數(shù)是它的一個(gè)特例。同

時(shí)也證明了非線性即時(shí)系統(tǒng)僅是非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一個(gè)子類。

(3)在很容易滿足的約束條件下，一大類非線性系統(tǒng)都有它固定的Volterra核，Volterra核完全確定地表征了非線性系統(tǒng)。

(4)采用Volterra級(jí)數(shù)描述非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出y(t)時(shí)，可以看成是無(wú)窮多個(gè)“子”非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)輸出的合成，如圖3-18所示。圖3-18非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)輸出合成

3.非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)法

在伏特拉級(jí)數(shù)分析法中，較常用的有非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)法和非線性電流法兩種分析方法。這里我們先介紹以下非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)法。根據(jù)伏特拉級(jí)數(shù)分析的特點(diǎn)(4)，對(duì)于一個(gè)具有輸入x(t)及輸出y(t)的非線性電路，可以建立如圖3-19所示的基于非線性傳輸函數(shù)的電路模型。圖3-19非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)電路模型我們將輸出y(t)分為N個(gè)子系統(tǒng)輸出的組合(實(shí)際上應(yīng)該是無(wú)窮個(gè)組合，但N次以上的組合對(duì)輸出的影響很小，可以忽略，故我們?cè)谀Ｐ椭胁辉倏紤])，每一個(gè)子系統(tǒng)有一個(gè)作為公共輸入的電路激勵(lì)x(t)，電路的總響應(yīng)由各個(gè)子系統(tǒng)輸出的和得到，即

(3-65)

圖3-19中Hn(f1，f2，…，fn)為電路的第n階非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)，表示了第n個(gè)子系統(tǒng)的特性，它與輸入激勵(lì)無(wú)關(guān)。因此，只要確定出電路的各階非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)就可以完整地表示出該電路的本質(zhì)特征。求解Hn(f1，f2…fn)的過程如下：同樣設(shè)激勵(lì)為最簡(jiǎn)單的n階激勵(lì)

(3-66)

即s(t)是n個(gè)幅度為1的正頻率分量之和。這里我們僅僅是要用s(t)來(lái)確定轉(zhuǎn)移函數(shù)而已，它不是時(shí)間的實(shí)函數(shù)。由式(3-64)，f1+f2+…+fn的第n階響應(yīng)分量具有下列形式

(3-67)

將yn(t)代入電路方程。由于只有第n階項(xiàng)才對(duì)第n階響應(yīng)有影

響，所以我們只需保留第n階項(xiàng)而略去其它各項(xiàng)，這樣就能確定第n階非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)Hn(f1，f2…fn)。當(dāng)全部N個(gè)轉(zhuǎn)移函數(shù)確

定后，可用式(3-63)求出總響應(yīng)中最為重要的頻率分量電平。

4.非線性電流法——簡(jiǎn)單非線性電路的VSM求解

在非線性電路系統(tǒng)中，非線性元件有非線性電導(dǎo)、非線性電感、非線性電容以及非線性跨導(dǎo)等，若將這些非線性元件用冪級(jí)數(shù)表示，則有

以圖3-20為例說(shuō)明非線性電流法用于非線性電路分析求解的過程。圖3-20簡(jiǎn)單非線性電路圖3-20示出一個(gè)簡(jiǎn)單非線性電路，它是由一個(gè)線性電容和一個(gè)非線性電導(dǎo)并聯(lián)而成，在激勵(lì)電流i(t)的作用下，電路微分方程為

(3-72)另一方面，在伏特拉級(jí)數(shù)的表達(dá)式中，令輸入信號(hào)x(t)=Ai(t)，其輸入信號(hào)的譜為X(fi)=AI(fi)，則上式變?yōu)?/p>

令

即考慮到i(t)和u(t)滿足方程(3-72)式，故可以推廣到x(t)和y(t)滿足的微分方程，即

(3-73)

式中A是個(gè)與u、i、t無(wú)關(guān)的假變量，利用此變量可以求得u(t)的各分量un(t)間的遞推關(guān)系。例如，為求u1(t)可將(3-73)式對(duì)A求導(dǎo)一次，可得令上式中的A=0，則有

(3-74)

已知i(t)，解線性微分方程(3-74)式可得u1(t)。

為求u2(t)可將(3-73)式對(duì)A求導(dǎo)二次，再令A(yù)=0，得到

(3-75)為求u3(t)可將(3-73)式對(duì)A求導(dǎo)三次，再令A(yù)=0，得到

(3-76)

如此繼續(xù)下去，可以得到更高次非線性響應(yīng)un(t)與其低次響應(yīng)間的關(guān)系。比較(3-74)式，(3-75)式和(3-76)式，如果我們令

則此三個(gè)微分方程具有相同形式，都是電流激勵(lì)的一階微分方程，具有相同形式的解。電流i2(t)，i3(t)等稱為非線性電流，用它們作為激勵(lì)電流，將非線性電路變?yōu)榫€性電路求解，這就是非線性電流法具體求解整個(gè)過程。此方法求解的步驟如下：第一步，從非線性電路去掉非線性部分，在剩下的線性電路中用電流i(t)激勵(lì)求得其解u1(t)，即是一階響應(yīng)。

第二步，由求得的一階響應(yīng)u1(t)，計(jì)算出二次非線性電流i2(t)=G2u21(t)，解線性微分方程L［u2(t)］+i2(t)=0，即可求出u2(t)。這里L(fēng)是線性電路的算子。

第三步，由求得的u1(t)和u2(t)計(jì)算出三次非線性電流

i3(t)=2G2u1(t)u2(t)+G3u31(t)，解線性微分方程L［u3(t)］+i3(t)=0,即可求出u3(t)。第四步，繼續(xù)遞推下去，由下式計(jì)算出式中符號(hào)表示對(duì)離散集合{pi}求和，而且

以及pi的范圍是從0到m，例如m=4，則有

再由L［um(t)］+im(t)=0，即可求出um(t)。第五步，最后得到

對(duì)于弱非線性元件，其冪級(jí)數(shù)型非線性的最高次冪通常取n=3，因而取m=3截留項(xiàng)來(lái)表示u(t)，在一般條件下可以滿足

要求。在上述的非線性電流法中，將輸入和輸出用其瞬時(shí)響應(yīng)表示，求解線性電路的微分方程必須在時(shí)域上進(jìn)行，顯然，這是很不方便的。由于伏特拉級(jí)數(shù)解是非線性電路方程的穩(wěn)態(tài)解，用它可以在頻域上計(jì)算，這就要求把瞬時(shí)響應(yīng)un(t)變換為非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)Hn。對(duì)于多調(diào)輸入其輸出響應(yīng)可由(3-64)式求得

(3-77)將代入(3-72)式，可得

令兩邊相同頻率項(xiàng)的系數(shù)相等，則有如下表示。

(1)令頻率為fm的項(xiàng)系數(shù)相等，即1=(G1+j2πfmC)H1(fm)

(2)令頻率為fm1+fm2的項(xiàng)系數(shù)相等，即

(3)令頻率為fm1+fm2+fm3的項(xiàng)系數(shù)相等，即其中，I2，I3為非線性電流譜。則它的前三階伏特拉頻域核分別為

5.非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)法——非線性網(wǎng)絡(luò)的VSM解法

現(xiàn)在來(lái)討論非線性網(wǎng)絡(luò)的VSM解法，分析時(shí)將非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)與非線性響應(yīng)結(jié)合起來(lái)，導(dǎo)出具有冪級(jí)數(shù)型非線性元件網(wǎng)絡(luò)的一般解法。下面通過具體的例子來(lái)說(shuō)明這種方法。圖3-21給出了一個(gè)非線性網(wǎng)絡(luò)，其中電導(dǎo)g(ub)和電容C(ub)都是非線性元件，其特性可用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示，其余均為線性元件。ya(f)、yb(f)、yc(f)為節(jié)點(diǎn)電納，yG(f)為源電納，yL(f)為

負(fù)載電納。節(jié)點(diǎn)電壓ua(t)、ub(t)、uc(t)的傅立葉變換為

Ua(f)、Ub(f)、Uc(f)，通過非線性電導(dǎo)和非線性電容的電流

ib(t)可用冪級(jí)數(shù)來(lái)表示為圖3-21非線性網(wǎng)絡(luò)在頻域上列出圖3-21中各節(jié)點(diǎn)的電流方程，節(jié)點(diǎn)a上的電流方程為

節(jié)點(diǎn)b上的電流方程為

節(jié)點(diǎn)c上的電流方程為將圖3-21電路中的非線性元件去掉，變成線性電路，該電路的矩陣方程為

(3-78)可以寫成

同時(shí)ua(t)對(duì)iG(t)的n次轉(zhuǎn)移函數(shù)Han(f1，…，fn)由下式定義

同樣，ub(t)對(duì)iG(t)以及uc(t)對(duì)iG(t)也具有相同形式的伏特拉級(jí)數(shù)展開式，由此可定義出Hbn(f1，…，fn)，Hcn(f1，…，fn)。解圖3-21非線性電路的第一步是求一次轉(zhuǎn)移函數(shù)，此時(shí)線性電路的矩陣方程(3-78)成立。設(shè)

IG=F［iG(t)］=δ(f－f1)，則代入線性矩陣方程(3-78)式，可得

或

由此可得Ha1(f1)、Hb1(f1)和Hc1(f1)。第二步是求二次轉(zhuǎn)移函數(shù)Ha2(f1，f2)、Hb2(f1，f2)和Hc2(f1，f2)。這時(shí)線性矩陣方程(3-78)是對(duì)f=f1+f2成立，并且電流矩陣只有I2不為零。先由非線性特性計(jì)算出二次非線性電流I2為再寫出二次線性電路矩陣方程

或

由此可求出二次轉(zhuǎn)移函數(shù)Ha2(f1，f2)、Hb2(f1，f2)和Hc2(f1，f2)。第三步是求三次轉(zhuǎn)移函數(shù)Ha3(f1，f2，f3)、Hb3(f1，f2，f3)和Hc3(f1，f2，f3)。這時(shí)線性矩陣方程(3-78)是對(duì)f=f1+f2+f3成立，并且電流矩陣只有I3不為零。先由非線性特性計(jì)算出三次非線性電流I3為再寫出三次線性電路矩陣方程

或

由此可求出三次轉(zhuǎn)移函數(shù)Ha3(f1，f2，f3)、Hb3(f1，f2，f3)和Hc3(f1，f2，f3)。第四步是重復(fù)上面的方法，求出所需的Hn。

第五步是由各次非線性轉(zhuǎn)移函數(shù)寫出各節(jié)點(diǎn)電壓響應(yīng)

應(yīng)用伏特拉級(jí)數(shù)法可以分析功率放大器、混頻器、變頻器等非線性電路，也可以用來(lái)計(jì)算它們的噪聲和交調(diào)等性能。3.4.3微波非線性電路的穩(wěn)態(tài)分析——諧波平衡法

含有非線性器件的微波網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)其工作于連續(xù)波的情況下時(shí)，除了要知道起始工作條件外，更重要的是知道其穩(wěn)定的工作狀態(tài)。當(dāng)非線性微波網(wǎng)絡(luò)中的非線性器件特性和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湟阎獣r(shí)，分析其穩(wěn)態(tài)特性以諧波平衡法為最有效。圖3-22給出了微波非線性網(wǎng)絡(luò)的框圖，其ZG和ZL為源阻抗和負(fù)載阻抗。圖3-22非線性微波網(wǎng)絡(luò)框圖應(yīng)用諧波平衡法分析時(shí)，通常將網(wǎng)絡(luò)分成兩部分：一部分是含有固定激勵(lì)源的線性子網(wǎng)絡(luò)；另一部分是含有非線性器件的非線性子網(wǎng)絡(luò)(其中也可以包含有少數(shù)的線性元件)；如圖3-23所示。圖3-23線性子網(wǎng)絡(luò)與非線性子網(wǎng)絡(luò)

1.諧波平衡方程的建立

圖3-23中線性子網(wǎng)絡(luò)的端口電流［Il］與非線性子網(wǎng)絡(luò)端口電流［Id］應(yīng)滿足克?；舴蚨ɡ?，即

(3-79)

式中：對(duì)于線性子網(wǎng)絡(luò)中的電流，可用線性子網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣和端口電壓來(lái)表示

(3-80)式中：［Il1］和［Ul1］為

式中各元素的下標(biāo)中的l表示線性，n表示第n端口，k表示第k次諧波。

(3-80)式導(dǎo)納矩陣中各元素［Ymn］均為對(duì)角線矩陣，即式中ωp為基波激勵(lì)頻率。其激勵(lì)電壓向量［Ul,n+1］和

［Ul,n+2］為

(3-81)其中Un+1,0是第n+1端口的直流偏置電壓，Un+1,1是第n+1

端口的基波激勵(lì)電壓，Un+2,0是第n+2端口的直流偏置電壓。

(3-81)式意味著第n+1端口基波激勵(lì)時(shí)，該端口有一個(gè)直流偏置電壓和一個(gè)基波激勵(lì)電壓，其余分量為零。若不是正弦波激勵(lì)，其余分量要看有幾次諧波而定。第n+2端口只有一個(gè)直流偏置電壓，其余均為零。這正對(duì)應(yīng)著晶體管功率放大器的實(shí)際情況。第n+1端口是柵極，在柵極上應(yīng)加直流偏置和激勵(lì)電壓，第n+2端口是漏極，在漏極上應(yīng)加漏極偏置電壓，不存在激勵(lì)電壓。將(3-81)寫成分塊矩陣的形式就可以得到1～n端口電流

向量的表達(dá)式

(3-82)令則(3-82)式可以寫成如下形式

也可以簡(jiǎn)化為

(3-83)若線性子網(wǎng)絡(luò)采用阻抗矩陣來(lái)分析，則諧波平衡方程可以表示為

(3-84)

式中，［Zn×n］是線性子網(wǎng)絡(luò)1～n端口的線性子網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩

陣，［E］代表與前n個(gè)端口并聯(lián)的一組電壓源，即一組等效的代文寧電壓。在時(shí)域上非線性子網(wǎng)絡(luò)的特征方程可以表示為

(3-85)

式中，F(xiàn)是已知的非線性解析函數(shù)，算子L的定義為

(3-85)式是一個(gè)一般表達(dá)式，它隱含著i和u。對(duì)于某些特殊情況，可以化成

(3-86)

或

(3-87)式中，F(xiàn)是已知的非線性解析函數(shù)，內(nèi)含微分或積分算子。

當(dāng)電路穩(wěn)定工作時(shí)，電路維持一個(gè)恒定周期的穩(wěn)態(tài)解，其基

波的周期為T0，基波的頻率為f0，故穩(wěn)態(tài)解可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示為

2.諧波平衡方程的解法——分裂法

1)修正電壓法

此方法的計(jì)算步驟如下：

(1)開始時(shí)，給定非線性子網(wǎng)絡(luò)端口電壓u(t)的初值ud(0)

(t),此值在激勵(lì)源的基波頻率ω0上，并設(shè)為正弦波，即

還可以加入直流分量和諧波分量。初值的估計(jì)是很重要的，通常可以從直流狀態(tài)或小信號(hào)狀態(tài)來(lái)估算。

(2)根據(jù)非線性子網(wǎng)絡(luò)的特性i(t)=F{L-mu(t)，…Lmu(t)}，由ud(0)

(t)計(jì)算id(0)(t)，這是在時(shí)域上進(jìn)行的。若i(t)是含有u(t)的顯式，可以直接計(jì)算出id(0)(t)。若i(t)是含有u(t)的隱式，則可以數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算出id(0)(t)。id(0)(t)的解將是離散時(shí)間上的數(shù)據(jù)，可用離散傅立葉變換(DFT)或快速傅立葉變換(FFT)得到

id(0)(t)的頻域表達(dá)式，其表達(dá)式為

式中M是截留的諧波數(shù)。

(3)由id(0)(t)離散時(shí)間上的數(shù)據(jù)來(lái)求解其各次諧波的復(fù)振幅時(shí)，采用周期取樣技術(shù)可以大大節(jié)省計(jì)算時(shí)間。對(duì)于時(shí)域周期函數(shù)的抽樣要滿足Nyquist抽樣定理，即“對(duì)一個(gè)周期波形抽樣，其樣本間隙的倒數(shù)要大于其最高次諧波頻率fm的2倍，才能再現(xiàn)原來(lái)的波形，否則就要產(chǎn)生混疊效應(yīng)”。例如，某一波形含有一些頻率為f0整數(shù)倍的離散諧波分量，設(shè)其最高次諧波頻率為fm，則樣本間隙TS應(yīng)取為而一個(gè)周期的樣本數(shù)為N，于是T0=NTS。圖3-24給出離散化的情況。當(dāng)fm為m次諧波頻率時(shí)，則N≥2m，才能滿足Nyquist抽樣條件。因此，在用DFT或FFT來(lái)求解諧波分量時(shí)，只要諧波截取得不高，抽樣點(diǎn)數(shù)就不會(huì)太多，計(jì)算量也就不會(huì)太大。圖3-24周期波形的離散化

(4)由id(0)(t)=il(0)(t)可得到Idk(0)=Ilk0

(k=1，2，…，M)，再由諧波平衡公式計(jì)算出

最后可以得到

(5)建立一個(gè)誤差函數(shù)來(lái)比較線性子網(wǎng)絡(luò)計(jì)算的電壓Ulk(n)

和非線性子網(wǎng)絡(luò)計(jì)算的電壓Udk(n)，即

給定誤差因子ε，當(dāng)上式得到滿足時(shí)，迭代停止；當(dāng)不滿足時(shí)，進(jìn)行下一步驟。

(6)經(jīng)過n次迭代后，仍不低于給定的誤差因子ε，可以采用下式計(jì)算

計(jì)算Udk(n+1)進(jìn)行加速迭代，其中pk是收斂性參數(shù)，可取實(shí)數(shù)，且有0<pk<1，它是保證解收斂的參數(shù)。再轉(zhuǎn)第(2)步驟。

2)修正電流法

修正電流法是預(yù)先給定非線性子網(wǎng)絡(luò)端口電流id(0)(t)作為初值，而不是預(yù)先給定端口電壓ud(0)(t)。它與修正電壓法是對(duì)偶的，這里就不再介紹了。

3)修正電壓法和修正電流法的收斂性

(1)修正電壓法的收斂性。設(shè)非線性子網(wǎng)絡(luò)的端口電壓ud(t)的真值為

則Udk(k)=UdkT+εk(k)，其中εk(k)是k次諧波第k次迭代的誤差項(xiàng)。同樣Udk(k+1)=UdkT+εk(k+1)，其中εk(k+1)是k次諧波第k+1次迭代

的誤差項(xiàng)。由電路理論得知，udT(t)必須滿足一定電路的約束，由圖

3-25可知，此約束條件為

式中，USk是激勵(lì)源等效電壓k次諧波振幅；Zlk是線性子網(wǎng)絡(luò)

k次諧波輸出阻抗；Zdk是非線性子網(wǎng)絡(luò)k次諧波所呈現(xiàn)的阻抗。

顯然，每次迭代時(shí)Zdk的值是變化的，不管Zdk怎樣變化，在迭代接近真值時(shí)，Zdk的變化是很小的。這個(gè)問題可以從兩方面來(lái)說(shuō)明：①在迭代接近真值時(shí)不應(yīng)發(fā)散；②在迭代遠(yuǎn)離真值時(shí)，適當(dāng)選擇收斂性參數(shù)pk，使得收斂區(qū)域擴(kuò)大，就可以覆

蓋Zdk的任意變化。圖3-25

k次諧波的等效電路現(xiàn)在設(shè)

而由此可得

(2)修正電流法的收斂性。本方法的誤差放大因子是

其余與修正電壓法相類似，這里就不再論述了。

3.求解諧波平衡方程時(shí)諧波數(shù)目的選取

在非線性電路分析中，產(chǎn)生的波形含有無(wú)窮多個(gè)諧波，因此，對(duì)一個(gè)非線性電路工作狀態(tài)的完整描述，就需要無(wú)限維電流和電壓向量。各頻率分量的幅度隨頻率明顯減小。因此總可以略去高于某一最大次數(shù)M的所有諧波。諧波平衡分析中，M的選擇很關(guān)鍵，M選得太小，會(huì)使精度下降，收斂困難；M選得太大時(shí)，求解過程變慢，從而使計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)，增加對(duì)計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)量的要求。3.4.4全頻域改進(jìn)的諧波平衡法

1.頻域轉(zhuǎn)換矩陣的引入

1)時(shí)域信號(hào)的頻域表示

時(shí)域信號(hào)的頻域表示就是時(shí)域準(zhǔn)周期信號(hào)的頻域表征方法。這種表征方法無(wú)論是對(duì)單邊帶頻譜還是雙邊帶頻譜都適用。雙邊帶頻譜包括正、負(fù)頻率，它們一一對(duì)應(yīng)，但是幅度和相位不需要相關(guān)，如圖3-26(a)所示。單邊帶頻譜不包括正負(fù)頻率對(duì)，也不限制為非負(fù)頻率，如圖3-26(b)所示。圖3-26雙邊帶和單邊帶頻譜圖頻譜表征類型的選擇取決于時(shí)域信號(hào)的頻譜是實(shí)數(shù)域還是復(fù)數(shù)域。這里我們討論的主要是實(shí)數(shù)域的準(zhǔn)周期信號(hào)。一個(gè)實(shí)數(shù)域準(zhǔn)周期信號(hào)x(t)，包含若干個(gè)正弦信號(hào)，可以描述為

(3-88)其中每個(gè)余弦分量都包括角頻率ωn=2πfn，幅度|Xn|和相位jn。這個(gè)信號(hào)可以擴(kuò)展為

(3-89)其中是Xn(t)的第n次正頻率分量的頻域矢量。是Xn(t)的第n次負(fù)頻率分量的頻域矢量。對(duì)x(t)作Fourier變換

(3-90)由上式可以看出Xn=Xnr+jXni，是第n次正頻率分量ωn的頻譜。X-n=X-nr+jX-ni，是第n次負(fù)頻率分量ω－n的頻譜。同時(shí)，

x(t)的負(fù)頻率頻譜分量與正頻率頻譜分量是一一對(duì)應(yīng)，呈共軛的關(guān)系。

這樣對(duì)于準(zhǔn)周期信號(hào)x(t)的頻譜來(lái)說(shuō)，它具有2N+1個(gè)頻率分量，如式(3-91)所示。

(3-91)準(zhǔn)周期信號(hào)x(t)

的頻譜矢量為

(3-92)

式中，Xn為復(fù)數(shù)矢量，包含了幅度和相位信息。由于x(t)的負(fù)頻率頻譜分量與正頻率頻譜分量呈共軛的關(guān)系，因此，在下面構(gòu)建頻域轉(zhuǎn)換矩陣中，只需要考慮正頻率分量。于是，x(t)的時(shí)域表達(dá)式為

(3-93)

其中ωn為正頻率，x(t)的頻譜為

(3-94)

2)單頻轉(zhuǎn)換矩陣的建立

在微波非線性電路中，電路的非線性由大信號(hào)模型中的幾個(gè)非線性元件表征，這些元件包括非線性電容和非線性電流源等，它們都是以電壓為自變量的非線性函數(shù)。直接求這些非線性函數(shù)的頻域表達(dá)式是非常困難的。所以先將非線性函數(shù)展開成基本的初等函數(shù)，而任一基本的初等函數(shù)都可以展開成自變量的算術(shù)運(yùn)算函數(shù)(加、減、乘、除)。那么非線性函數(shù)

(3-95)

就可由自變量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)的算術(shù)運(yùn)算函數(shù)來(lái)表示。利用下面的時(shí)頻域矩陣轉(zhuǎn)換，只要求出自變量算術(shù)運(yùn)算函數(shù)的頻譜，就可以求出非線性函數(shù)的頻譜。在時(shí)域中加減運(yùn)算函數(shù)表達(dá)式為

(3-96)

對(duì)于單頻激勵(lì)情況，x(t)、y(t)、z(t)均為具有相同周期T的周期函數(shù)，根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)的關(guān)系，顯然x(t)、y(t)、z(t)的頻譜間有著相同的加減關(guān)系

(3-97)

在時(shí)域中乘法運(yùn)算函數(shù)表達(dá)式為

(3-98)由于電壓的時(shí)域形式可以表示為其中ωk為k次諧波，Uk為k次諧波的頻譜分量。設(shè)x(t)、y(t)、z(t)為時(shí)域電壓，那么在只考慮三次諧波的情況下，有如下關(guān)系

則z(t)的頻譜分量

(3-100)寫成矩陣的形式為

(3-101)因?yàn)閆－i=Zi*，所以不考慮負(fù)頻率的頻譜，寫成矩陣的形式為

(3-102)那么可以得到

(3-103)

其中TX為關(guān)于頻譜X的單頻轉(zhuǎn)換矩陣。由式(3-101)可知，Z(ω)、X(ω)、Y(ω)為復(fù)數(shù)域頻譜，同時(shí)由于X－i=X*i，Y－i=Y*i，那么需要將其整理為實(shí)數(shù)域頻譜運(yùn)算。由式(3-102)得

Z=AY*+BY

(3-104)

其中將式(3-104)轉(zhuǎn)換成實(shí)部虛部分開的形式

(3-105)

所以時(shí)域中的乘法運(yùn)算函數(shù)的頻譜為

Z=TXY

(3-106)在時(shí)域中除商運(yùn)算函數(shù)表達(dá)式為

(3-107)

由乘法運(yùn)算函數(shù)可知

(3-108)

(3-109)

3)雙頻轉(zhuǎn)換矩陣的建立

單一正弦信號(hào)的頻譜只含有基波，當(dāng)單一正弦信號(hào)經(jīng)過非線性電路后產(chǎn)生的電壓頻譜有基波和相應(yīng)的諧波。但是多頻激勵(lì)的情況下，電壓的頻譜分量不再是諧波的關(guān)系，其中不僅包括基波分量和相應(yīng)的諧波分量，還包括信號(hào)的互調(diào)分量。這里只考慮雙頻激勵(lì)的情況，頻譜分量的最大階數(shù)為三階。假設(shè)雙頻激勵(lì)的頻率為p1，p2，時(shí)域表達(dá)式為

(3-110)

那么它的頻譜如圖3-27所示,系統(tǒng)輸出信號(hào)的頻譜如圖3-28所示。圖3-27雙頻激勵(lì)信號(hào)的頻譜圖3-28雙頻激勵(lì)系統(tǒng)輸出信號(hào)的頻譜圖中所有的頻率分量為

雙頻轉(zhuǎn)換矩陣Tx中將不僅包括基波分量和諧波分量，還包括互調(diào)頻譜分量，Tx的推導(dǎo)過程和單頻激勵(lì)的推導(dǎo)過程相同。

(3-111)

2.非線性函數(shù)表達(dá)式的頻域計(jì)算

轉(zhuǎn)換矩陣的建立避免了時(shí)域和頻域的轉(zhuǎn)換。求出了基本的算術(shù)運(yùn)算函數(shù)(加、減、乘、除)的頻譜。同時(shí)，更復(fù)雜的表達(dá)式或者算數(shù)運(yùn)算可以分解成基本的算術(shù)運(yùn)算函數(shù)。例如時(shí)域表達(dá)式為

w(t)=y(t)u(t)(3-112)

w(t)=x(t)z(t)u(t)(3-113)

相應(yīng)的頻域運(yùn)算為

w=Tyu

(3-114)

w=TxTzu(3-115)由式(3-112)~式(3-115)可知乘法運(yùn)算

y(t)=x(t)z(t)

(3-116)

相應(yīng)的轉(zhuǎn)換矩陣運(yùn)算為

Ty=TxTz

(3-117)

如果時(shí)域表達(dá)式為

y(t)=xr(t)up(t)vq(t)

(3-118)

那么它的頻譜為

y=TxrTupTqv-1v

(3-119)

其中變量r，p，q可以為正也可以為負(fù)，也不一定是整數(shù)。如果一個(gè)非線性系統(tǒng)的輸出y(t)是輸入信號(hào)x(t)的函數(shù)

(3-120)

而且這個(gè)系統(tǒng)的非線性可以表示為一個(gè)冪級(jí)數(shù)的展開式

(3-121)其中ak是冪級(jí)數(shù)k次項(xiàng)的系數(shù)，x(t)≠0。那么由式(3-116)、

式(3-117)可知

(3-122)

(3-123)

(3-124)由第二章的建模理論可以看到在微波非線性大信號(hào)模型中，如圖3-29所示，非線性元件主要是三個(gè)非線性電流源，它們的時(shí)域表達(dá)式為

(3-125)

(