2023-2024學(xué)年廣東省大灣區(qū)高一下學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年廣東省大灣區(qū)高一下學(xué)期期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=1+i2+i，則z的模為(

)A.2 B.5 C.3 D.2.已知向量a=1,2與向量b=k,k+1平行，則A.1 B.0 C.?1 D.?23.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a=3，b=1，A=60°，則BA.30° B.30°或150° C.604.已知空間兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面α，β，則下列命題中正確的是(

)A.若m/?/α，n?α，則m/?/n

B.若α∩β=m，m⊥n，則n⊥α

C.若m/?/α，n//α，則m/?/n

D.若m/?/α，m?β，α∩β=n，則m/?/n5.如圖1，在高為?的直三棱柱容器ABC?A1B1C1中，現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為A1B1C(A.22 B.3 C.4 6.已知扇形AOB的半徑為13，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，OA=13,0,OB=12,5，弧AB的中點(diǎn)為C，則A.313,213 B.527.將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)y=cos(2x+π3A.7π12 B.5π12 C.π128.如圖：正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E為DD1A.23 B.26 C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知z1=2?i，z2為復(fù)數(shù)，則A.存在唯一的z2，使

|z1z2|=5???? B.存在唯一的z2，使z1z2=5

10.如圖，ABCD是底面直徑為2高為1的圓柱OO1的軸截面，四邊形OO1DA繞OO1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ0≤θ≤πA.圓柱OO1的側(cè)面積為4π

B.當(dāng)0<θ<π時(shí)，DD1⊥A1C

C.當(dāng)θ=π3時(shí)，異面直線11.直角ΔABC中，斜邊AB=2，P為ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AP=12sin2θ?A.AB?AC的取值范圍是(0,4)

B.點(diǎn)P經(jīng)過(guò)ΔABC的外心

C.點(diǎn)P所在軌跡的長(zhǎng)度為2

D.PC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則此圓錐的表面積為

．13.計(jì)算：2sinπ18?cos14.已知對(duì)任意平面向量AB=x,y，把AB繞其起點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到向量AP=(xcosθ?ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)A1,2，點(diǎn)B1+2四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC//AD，∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn)，PE⊥底面ABCD，(1)作出平面BEF與平面PCD的交線l，并證明l/?/BE；(2)求點(diǎn)C到平面FBE的距離．16.(本小題12分)

如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，記∠BAD=α，∠ADC=β．

(1)求2cosα?cosβ的最大值；

(2)若BD=1，cosβ=17，求△ABD的面積．

17.(本小題12分)人臉識(shí)別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識(shí)別，就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別對(duì)象的身份，在人臉識(shí)別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個(gè)點(diǎn)Ax1,y1，Bx(1)若A?1,2，B35,45，求(2)已知Msinα,cosα，Nsinβ,cosβ，(3)已知0<α<β<π2，M5cosα,5sinα、N13cosβ,13sinβ18.(本小題12分)已知平行四邊形ABCD中，DE=2EC，AF+DF=0，(1)試用AB，AD表示向量AP．(2)若?BPE的面積為S1，?APF的面積為S2，求(3)若AB+AD=AB?AD19.(本小題12分)如圖，三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，AB=AC=5，B1(1)求證：AA(2)若A到平面A1B1C1的距離為4，求直線AC參考答案1.D

2.A

3.A

4.D

5.B

6.B

7.B

8.B

9.BCD

10.BC

11.ABD

12.3π

13.?3214.(4,1)

15.(1)在圖形中作出交線l∵BC//AD，且E為AD中點(diǎn)，BC=∴BC//DE且BC=DE∴四邊形BCDE為平行四邊形∴BE/?/CD，∵BE?面PCD，CD?面PCD，∴BE//面PCD又BE?面BEF，面BEF∩面PCD=l，∴BE//l

(2)設(shè)點(diǎn)C到平面FBE的距離為?，l∩PD=G，連接GE，∵F為PC中點(diǎn)，∴G為PD中點(diǎn)，∴GE=∵BE//CD，∠ADC=90°，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BE∵PE∩AD=E，∴BE⊥平面PAD，∴BE⊥EG．∵∴∴∴?=16.解：(1)由△ABC是等邊三角形，得β=α+π3，0≤α≤π3，

故2cos

α?cos

β=2cos

α?cos(α+π3)

=32cosα+32sinα=3sin(α+π3)，

故當(dāng)α=π6，即D為BC中點(diǎn)時(shí)，原式取最大值3．

(2)由cos

β=17，得sin

β=17.(1)dA,BcosA,B=?1(2)cosM,Ncos故sinαsinβ=310(3)因?yàn)?sinα所以cosM,P因?yàn)?<β<π2，所以因?yàn)?3所以cosM,N因?yàn)?<α<β<π2，則所以sinα?β因?yàn)閏osα=sinα=1?co因?yàn)閏osα+βsinα+β所以P?因?yàn)???所以M、P之間的曼哈頓距離是761318.(1)解：∵點(diǎn)P在BF上，∴AP又∵AE=AD∴x2=1?x2(2)解：由(1)可得AP=38AE∵AP=∴BP=3PF，BP(3)解：由AB+AD=即AB2+2AB?AD又AC?BD=0則∠APF是向量AE和FB的夾角，不妨設(shè)AB=1，AE=2∴cos??AE,FB19.解：(1)(1)證明：設(shè)點(diǎn)A在平面A1B1C1上的射影為O，

則點(diǎn)O在∠B1A1C1的平分線A1D上，

所以AO⊥平面A1B1C1，因?yàn)锽1C1?平面A1B1C1，所以AO⊥B1C1，

因?yàn)锳B=AC，△ABC∽△A1B1C1，所以A1B1=A1C1，所以A1D⊥B1C1