2023-2024學年四川省內江市高一下學期期末考試數(shù)學試題（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年四川省內江市高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.某高中生創(chuàng)新能力大賽中8位選手的面試得分分別為90,86,93,91,89,95,92,94，其中位數(shù)和極差分別為(

)A.90，8 B.91.5，9 C.91，9 D.91.5，82.若復數(shù)z滿足z=i1?2i，則z的虛部為(

)A.i5 B.?25 C.?3.某調查機構對全國互聯(lián)網行業(yè)進行調查統(tǒng)計，得到整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡的分布餅狀圖?90后從事互聯(lián)網行業(yè)者的崗位分布條形圖，則下列結論中不一定正確的是(

)

A.互聯(lián)網行業(yè)從事技術崗位的人數(shù)中，90后比80后多

B.90后互聯(lián)網行業(yè)者中從事技術崗位的人數(shù)超過整個從事互聯(lián)網行業(yè)者總人數(shù)的20%

C.互聯(lián)網行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多

D.互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上4.已知函數(shù)gx=2sin2x，函數(shù)fx=Asinωx+φ(其中A>0，ω>0，φ<A.向左平移π6個單位 B.向右平移π6個單位 C.向右平移π3個單位 D.5.內江三元塔位于四川省內江市三元村三元山上，是一座具有千年歷史的古塔.它始建于唐代，明末倒毀，后在清嘉慶九年(公元1804年)得以重建，歷時三年竣工.三元塔的修建寓意著“天開文運，連中三元”，象征著文運昌盛和崇文重教的精神.內江某中學數(shù)學興趣小組準備運用解三角形知識測量塔高時，選取了兩個測量基點C與D與塔底B在同一水平面，并測得CD=202米，∠BCD=15°,∠BDC=120°，在點C處測得塔頂A的仰角為6A.106米 B.103米 C.206.在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點C的三等分點，點F在BE上，若AF=xAB+49AD，則A.45 B.23 C.797.暑假即將來臨，某校為開展學生的社會實踐活動，從甲?乙?丙?丁?戊5人中隨機選3人去參加“敬老院志愿服務”活動，則乙和丙兩人中只有1人入選的概率為(

)A.12 B.23 C.348.已知向量a，向量b的模長均為2，且a?b=a.若向量m=a?2A.72+3 B.52二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=4,x,b=2,6A.a?2b=25

B.a=4,1

C.向量b在向量a上的投影向量坐標是4,2

D.向量10.一個袋子中有5個球，標號分別為1，2，3，4，5，除標號外沒有其他差異．從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球．記事件E=“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件F=“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件G=“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則(

)A.事件E和F互斥 B.事件E和F相互獨立

C.事件E和G互斥 D.事件E和G相互獨立11.已知?ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a2+c2A.若點E在邊AC上，BE為角平分線且長度為1，則a+c=3ac

B.若D為邊AC的中點，且BD=1，則?ABC的面積的最大值為33

C.cosAcosC

的取值范圍是?12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某工廠生產了A?B?C三種不同型號的產品，數(shù)量之比為2:m:4，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取36個產品進行分析，已知A型號產品抽取了8個，則B型號產品被抽取的數(shù)量是

．13.已知tanα，tanβ是方程x2?63x+7=0的兩個根，且α，β∈14.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)最大值為2，最小值為0，且函數(shù)圖象過點(0,32).若f(x)在區(qū)間四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者，我市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，滿分100分(95分及以上為“文明之星”)，結果獲得“文明之星”的有100人，按年齡分成5組，其中第一組20,25，第二組25,30，第三組30,35，第四組[35,40)，第五組40,45，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據頻率分布直方圖，求這100人年齡的眾數(shù)和平均數(shù)；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔任本市的“創(chuàng)文”宣傳使者.若從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求第四?第五組各有一人被選上的概率．16.(本小題12分)在?COB中，點D為線段OB上靠近點B的三等分點，點A為BC中點．(1)以OA?OB為基底向量，分別表示向量(2)若向量OC與λOA+DC平行，求17.(本小題12分)已知向量m=sinωx,sinωx(1)求fx(2)若fx0=418.(本小題12分)在銳角?ABC中，角A?B?C的對邊分別為a?b?c，滿足cos(1)求角B的大小；(2)若c=1，求?ABC面積的取值范圍；(3)“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小，”意大利數(shù)學家托里拆利給出了解答，當?ABC的三個內角均小于120°時，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點P即為費馬點.若?ABC的面積為3，是否在?ABC內部存在費馬點P19.(本小題12分)復數(shù)是由意大利米蘭學者卡當在十六世紀首次引入，經過達朗貝爾?棣莫弗?歐拉?高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學家所接受．材料：形如z=a+bia,b∈R的數(shù)稱為復數(shù)的代數(shù)形式.而任何一個復數(shù)z=a+bi都可以表示成rcosθ+isinθ的形式，即a=rcosθb=rsinθ，其中r為復數(shù)z的模，θ叫做復數(shù)z的輻角，我們規(guī)定0≤θ<2π范圍內的輻角θ的值為輻角的主值，記作argz.復數(shù)z=rcosθ+isinθ叫做復數(shù)的三角形式.由復數(shù)的三角形式可得出，若OZ1=r1cos請根據所學知識，回答下列問題：(1)試將z=1?(2)設復數(shù)z1=2a?3i,z2=2b+i,z3=a+bi，且z3=1.若復數(shù)z1?z2(3)已知單位圓以坐標原點O為圓心，點A為該圓上一動點(縱坐標大于0)，點P2,0，以PA為邊作等邊△PAQ，且Q在AP上方.求線段OQ長度的最大值．

答案解析1.B

【解析】對這8個數(shù)據按從小到大的順序排列得：86，89，90，91，92，93，94，95，則中位數(shù)91+922=91.5，極差為故選：B2.D

【解析】由已知z=i所以z=?則z的虛部為?1故選：D．3.A

【解析】選項A；設整個互聯(lián)網行業(yè)總人數(shù)為a，互聯(lián)網行業(yè)中從事技術崗位的90后人數(shù)為56%a×39.6%=22.176%a，小于80后的人數(shù)38%a，但80后中從事技術崗位的人數(shù)比例未知，故A錯誤．選項B：設整個互聯(lián)網行業(yè)總人數(shù)為a，90后從事技術崗位人數(shù)為56％×39.6％a，而90后總人數(shù)的20％為56%×39.6%a，故B正確；選項C：設整個互聯(lián)網行業(yè)總人數(shù)為a，互聯(lián)網行業(yè)中從事運營崗位的90后人數(shù)為56%a×17%=9.52%a，超過80前的人數(shù)6％a，且80前中從事運營崗位的人數(shù)比例未知，故C正確；選項D：由整個互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖得到互聯(lián)網行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%，故D正確．故選：A．4.A

【解析】由圖象，且A>0，可知A=2，又T4=7π解得ω=2，又ω>0，則ω=2所以fx由函數(shù)圖象過點7π12,?2，即解得φ=π3+2kπ又φ<π2所以fx所以要得到fx的圖象，只需將函數(shù)gx的圖象向左平移故選：A．5.D

【解析】因為∠BCD=15°,∠BDC=12又因為CD=202米，所以在三角形BCD中，由正弦定理得20在直角三角形中，AB=BCtan6故選：D．6.C

【解析】由題可知AE=

∵點F在BE上，則存在實數(shù)λ，使得AF=λ∴AF=∴23?∴x=故選：C.7.D

【解析】甲?乙?丙?丁?戊5人中隨機選3人去參加“敬老院志愿服務”活動，所有可能的情況有甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁、甲丙戊、甲丁戊、乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊，共10種，其中，滿足乙和丙兩人中只有1人入選的有甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁、甲丙戊、乙丁戊、丙丁戊，共6種，所以乙和丙兩人中只有1人入選的概率為610故選：D．8.C

【解析】因為向量a，向量b的模長均為2，且a?b=解得cosa不妨設a=所以m=因為m⊥所以m?n=?2設x=1+所以c=52所以c=5綜上所述，c的最大值是7故選：C．9.CD

【解析】因為a=4,x,因為2a?b⊥b所以a=對于A，因為a=4,2，b=所以a?2b=10對于B，由a=4,2，知對于C，向量b在向量a上的投影向量坐標為a?ba對于D，cosa因為0°≤a,b故選：CD10.BD

【解析】對A，事件E和F可以同時發(fā)生，如兩次取的小球為(1,2)，故A錯誤；對B，記兩次取出的小球為(i,j)(其中1≤i,j≤5,i,j∈N)，共有25個，由古典概型知，P(E)=525=15，P(F)=525=15，對C，事件E和G可以同時發(fā)生，例如事件(1,5)，故C錯誤；對D，由B知P(G)=525=15，P(E)=15，P(EG)=125故選：BD．11.ABC

【解析】由已知a2根據余弦定理可知2accosB+2ac=2再由正弦定理可得2sin又A∈0,π，即sinA≠0，所以即sinB?π6=1所以B?π6=A選項：BE為角平分線，則∠ABE=∠CBE=π6，所以即12即34ac=14B選項：由D為邊AC的中點，則BD=即BD2所以14c2又a2+c2≥2ac即S?ABC=12acC選項：由三角形可知cos=又在?ABC中，A∈0,π，C=π?A?B∈0,π，即所以2A?π6∈D選項：c=1，且?ABC只有一解，則b=csinB或b≥c，即b=32故選：ABC．12.12

【解析】由題意得22+m+4×36=8，解得所以B型號產品被抽取的數(shù)量為32+3+4故答案為：1213.2π3【解析】由根與系數(shù)關系可得tanα+tanβ=6所以tanα>0，tan又α，β∈0,π所以α，β∈0,π2則tanα+β所以α+β=2π故答案為：2π314.73【解析】由函數(shù)f(x)的最大值為2，最小值為0，得A+B=2?A+B=0，解得A=B=1則f(x)=sin(ωx+φ)+1，由f(0)=32，得sinφ=因此f(x)=sin(ωx+π6)+1則函數(shù)f(x)的零點和最大值點分別為y=sin依題意，y=sin(ωx+π當x∈[0,π]時，ωx+π6∈[π6所以ω的取值范圍是73故答案為：7315.解：(1)眾數(shù)27.5(歲)；平均數(shù)：x=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.1=31.75(歲

(2)由頻率分布直方圖可知各組的頻率之比為2:7:5:4:2，則第四組抽取4人，記為A,B,C,D，第五組抽取2人，記為a,b對應的樣本空間為Ω={B,b,C,D,分設事件M=“第四?五小組各一人被選上”，則M={C,a,C,b,所以P【解析】(1)根據頻率分布直方圖結合眾數(shù)和平均數(shù)的定義求解；(2)根據分層抽樣的定義結合頻率分面上直方圖求出第四組和第五組抽取的人數(shù)，然后利用列舉法求解即可．16.解：(1)因為在?COB中，點D為線段OB上靠近點B的三等分點，點A為BC中點，所以OC=因為OD=2DB，則所以DC=

(2)因為λOA且向量OC與λOA所以存在k∈R，使得λOA所以2+λOA所以2+λ=2k?53所以λ=4【解析】(1)根據向量和加減法法則和平向量基本定理結合題意求解即可；(2)利用共線向量定理列方程求解即可．17.解：(1)f==因為fπ6=0所以2×π6ω?因為0<ω<3，所以ω=1所以fx

(2)因為fx0所以sin=【解析】(1)利用數(shù)量積的坐標運算和三角函數(shù)恒等變換公式對函數(shù)化簡，然后由fπ6=0結合0<ω<3可求出ω(2)由fx0=18.解：(1)∵cos∴1?si即sin即b2∴cos(2)[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面積函數(shù)求面積的取值范圍】因為?ABC是銳角三角形，又B=π3，所以又sinAsinC則S?ABC因為C∈π6,π2從而S?ABC∈38[方法二]【由題意求得邊的取值范圍，然后結合面積公式求面積的取值范圍】由題設及(1)知S△ABC因為?ABC為銳角三角形，且c=1,B=π所以cosA=b又由余弦定理得b2=a2+1?a所以38<S?ABC[方法三]【數(shù)形結合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】如圖，在?ABC中，過點A作AC1⊥BC，垂足為C1，作AC由題設及(1)知S△ABC=34所以點C位于在線段C1C2即cosπ3<a<1cos故?ABC面積的取值范圍是3(3)?ABC的面積為3，所以12AB×BC×sin設∠PBA=α，則∠PAB=π在?PAB中，由正弦定理得PAsin所以PB=2在?PBC中，由正弦定理得PCsin所以PC