高考數(shù)學一輪總復習6.4基本不等式練習

第四節(jié)基本不等式時間:45分鐘分值:100分eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(必)eq\x(做)一、選擇題1.已知a,b∈R,且ab≠0,則下列結論恒成立的是()A.a＋b≥2

B.

＋

≥2C.

≥2 D.a2＋b2>2ab解析當a,b都是負數(shù)時,A不成立,當a,b一正一負時,B不成立,當a＝b時,D不成立,因此只有C是正確的．答案C2.設a,b∈R,已知命題p:a2＋b2≤2ab；命題q:

2≤

,則p是q成立的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析命題p：(a－b)2≤0?a＝b；命題q：(a－b)2≥0.顯然,由p可得q成立,但由q不能推出p成立,故p是q的充分不必要條件．答案B3.下列不等式:①a2＋1>2a；②

≤2；③x2＋

≥1,其中正確的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3解析①②不正確,③正確,x2＋

＝(x2＋1)＋

－1≥2－1＝1.答案B4.已知a＋b＝t(a>0,b>0),t為常數(shù),且ab的最大值為2,則t的值為()A.2 B.4C.2

D.2

解析當a>0,b>0時,有ab≤

＝

,當且僅當a＝b＝

時取等號．∵ab的最大值為2,∴

＝2,t2＝8,∴t＝

＝2

.答案C5.(2015·湖北黃岡月考)設a>1,b>0,若a＋b＝2,則

＋

的最小值為()A.3＋2

B.6C.4

D.2

解析由a＋b＝2可得,(a－1)＋b＝1.因為a>1,b>0,所以

＋

＝

(a－1＋b)＝

＋

＋3≥2

＋3.當且僅當

＝

,即a＝

,b＝2－

時取等號．答案A6.(2014·湖北八校聯(lián)考)若x,y∈(0,2]且xy＝2,使不等式a(2x＋y)≥(2－x)(4－y)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為()A.a≤

B.a≤2C.a≥2 D.a≥

解析由x,y∈(0,2]且xy＝2,得a≥

＝

＝

－2.又由2x＋y≥2

＝4,∴a≥

.答案D二、填空題7.已知函數(shù)f(x)＝4x＋

(x>0,a>0)在x＝3時取得最小值,則a＝________.解析由于x>0,a>0,f(x)＝4x＋

≥4

.此時當4x＝

時,f(x)取得最小值4

,即a＝4x2.∴a＝4×32＝36.答案368.(2014·福建卷)要制作一個容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元,側面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是________元.解析設容器的底長x米,寬y米,則xy＝4.所以y＝

,則總造價為：f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋eq\f(80,x)＋20x＝20

＋80,x∈(0,＋∞).所以f(x)≥20×2

＋80＝160,當且僅當x＝

,即x＝2時,等號成立．所以最低總造價是160元.答案1609.(2014·陜西卷)設a,b,m,n∈R,且a2＋b2＝5,ma＋nb＝5,則

的最小值為________.解析由柯西不等式,可得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2,所以5(m2＋n2)≥25.所以m2＋n2≥5,即

≥

,當且僅當an＝bm時,等號成立．故eq\r(m2＋n2)的最小值為eq\r(5).答案eq\r(5)三、解答題10.(1)求函數(shù)y＝x(a－2x)(x>0,a為大于2x的常數(shù))的最大值；(2)已知x>0,y>0,lgx＋lgy＝1,求z＝

＋

的最小值.解(1)∵x>0,a>2x,∴y＝x(a－2x)＝

×2x(a－2x)≤

×

2＝

,當且僅當x＝

時取等號,故函數(shù)的最大值為

.(2)由已知條件lgx＋lgy＝1,可得xy＝10.則eq\f(2,x)＋eq\f(5,y)＝eq\f(2y＋5x,10)≥eq\f(2\r(10xy),10)＝2.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(5,y)))min＝2.當且僅當2y＝5x,即x＝2,y＝5時等號成立.11．(2014·新課標全國卷Ⅰ)若a>0,b>0,且

＋

＝

.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a,b,使得2a＋3b＝6？并說明理由.解(1)由

＝

＋

≥

,得ab≥2,且當a＝b＝

時等號成立.故a3＋b3≥2

≥4

,且當a＝b＝

時等號成立.所以a3＋b3的最小值為4

.(2)由(1)知,2a＋3b≥2

≥4

.由于4

>6,從而不存在a,b,使得2a＋3b＝6.eq\x(培)eq\x(優(yōu))eq\x(演)eq\x(練)1.若正數(shù)a,b滿足

＋

＝1,則

＋

的最小值為()A.1 B.6C.9 D.16解析方法一：因為

＋

＝1,所以a＋b＝ab?(a－1)(b－1)＝1,所以

＋

≥2eq\r(\f(1,a－1)×\f(9,b－1))＝2×3＝6.方法二:因為

＋

＝1,所以a＋b＝ab,所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝eq\f(b－1＋9a－9,ab－a－b＋1)＝b＋9a－10＝(b＋9a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))－10≥16－10＝6.方法三:因為

＋

＝1,所以a－1＝

,所以eq\f(1,a－1)＋eq\f(9,b－1)＝(b－1)＋eq\f(9,b－1)≥2eq\r(9)＝2×3＝6.答案B2.在實數(shù)集R中定義一種運算“*”,對任意a,b∈R,a*b為唯一確定的實數(shù),且具有性質:(1)對任意a∈R,a*0＝a；(2)對任意a,b∈R,a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．則函數(shù)f(x)＝(ex)*eq\f(1,ex)的最小值為()A.2 B.3C.6 D.8解析依題意可得f(x)＝(ex)*

＝ex·

＋ex＋

＝ex＋

＋1≥2

＋1＝3,當且僅當x＝0時“＝”成立,所以函數(shù)f(x)＝(ex)*

的最小值為3,選B.答案B3.(2015·山東淄博期末)若實數(shù)a,b,c滿足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c,則c的最大值是________.解析由基本不等式得2a＋2b≥2

＝2×2

,即2a＋b≥2×2

,所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b,由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c,所以2c＝

＝1＋

,由t≥4,得1<

≤

,即1<2c≤

,所以0<c≤log2

＝2－log23,故答案為2－log23.答案2－log234.為了響應國家號召,某地決定分批建設保障性住房供給社會.首批社會用100萬元購得一塊土地,該土地可以建造每層1000平方米的樓房,樓房的每平方米建筑費用與建筑高度有關,樓房每升高一層,整層樓每平方米建筑費用提高20元.已知建筑第5層樓房時,每平方米建筑費用為800元.(1)若建筑第x層樓時,該樓房綜合費用為y萬元(綜合費用是建筑費用與購地費用之和),寫出y＝f(x)的表達式；(2)為了使該樓房每平方米的平均綜合費用最低,應把樓層建成幾層？此時平均綜合費用為每平方米多少元？解(1)由題意知建筑第1層樓房每平方米建筑費用為720元,建筑第1層樓房建筑費用為720×1000＝720000(元)＝72(萬元),樓房每升高一層,整層樓建筑費用提高20×1000＝20000(元)＝2(萬元),建筑第x層樓房的建筑費用為72＋(x－1)×2＝2x＋70(萬元),建筑第x層樓時,該樓房綜合費用為y＝f(x