教育統(tǒng)計學第九章-卡方檢驗

第九章

χ2檢驗—計數(shù)數(shù)據(jù)的分析方法一、χ2

檢驗的意義二、χ2

檢驗的基本公式三、配合度檢驗四、獨立性檢驗五、品質相關χ2檢驗的意義1、χ2檢驗方法能同時檢驗一個因素兩項或多項分類的實際觀察數(shù)與某理論次數(shù)分布是否相一致的問題，或說有無顯著差異的問題。2、χ2檢驗方法還能用于檢驗兩個或兩個以上因素各有多項分類之間是否有關聯(lián)或是否具有獨立性的問題。χ2檢驗的基本公式式中fo為實際觀察次數(shù)，即實計數(shù)；

fe為理論次數(shù)χ2檢驗的基本公式根據(jù)1899年統(tǒng)計學家皮爾遜推導的配合適度的理論公式，即：實際觀察次數(shù)（fo）與某理論次數(shù)（fe，又稱期望次數(shù)）之差的平方再除以理論次數(shù)乃是一個與χ2分布非常近似的次數(shù)分布。當fe越大（fe>=5），接近的越好。Fo與fe相差越大，χ2越大。Fo與fe相差的越小，χ2值也小。因此，它能夠用來表示fo與fe相差的程度，同時，它也具備與χ2分布相同的一些特點：fo與fe之差的平方再除以fe的值，隨自由度而變化，變化的趨勢與χ2分布一樣。關于χ2分布一、χ2分布的直觀意義二、χ2分布的特點三、χ2分布表的編制與使用一、χ2分布的直觀意義從一個服從正態(tài)分布的總體中，每次隨機抽取容量為n的樣本，將n個隨機變量X1，X2，……Xn分別平方，即可得到X12，X22，……Xn2，然后計算，這樣可抽取無限多個容量為n的樣本，可求得無限多個，也可計算其標準分數(shù)及其平方及n個標準分數(shù)的平方和，那么，這無限多個n個隨機變量X的平方和或標準分數(shù)的平方和的分布，就是χ2分布。χ2分布的表達式χ2分布的表達式1、若正態(tài)總體的平均數(shù)已知，則或此時自由度為n。2、若正態(tài)總體的平均數(shù)未知，則用樣本平均數(shù)作為總體平均數(shù)的估計值：此時自由度為n-1。返回二、χ2分布的特點1、χ2分布是一個正偏態(tài)分布。隨自由度的不同，其分布曲線的形狀不同，自由度越小，分布越偏斜，自由度很大時，接近正態(tài)分布。當df∞時，χ2分布即為正態(tài)分布?？梢?，χ2分布是一族分布，正態(tài)分布是其中一特例。2、χ2值都是正值。3、χ2分布的和也是χ2分布其自由度為即χ2分布具有可加性。4、χ2分布的平均值和方差：如果df>2，這時χ2分布的平均數(shù)：μχ2

=df

方差：σ2χ2

=2df5、χ2分布是連續(xù)型分布，但有些離散型的分布也近似χ2分布（χ2檢驗就是利用這一特點而來。）返回三、χ2分布表的編制與使用χ2分布表是根據(jù)χ2分布函數(shù)計算出來的，χ2分布曲線下的面積都是1。但隨自由度不同，同一χ2值以下或以上所含面積與總面積之比率不同。故一般χ2表，要列出自由度、及某一χ2值以上χ2分布曲線下的概率。見卡方值表?？ǚ街当恚罕淼淖罅袨樽杂啥龋淼淖钌弦恍惺歉怕手?，即不同自由度時，某χ2以上的概率。表中所列為不同自由度及概率下的χ2值。例如：當df=1時，在χ2=0.02以上的概率為90%，那么在其以下的概率為1-0.90=0.10。它的意思是從一個正態(tài)分布總體中，每次隨機抽取容量為1（μ已知）或容量為2（μ未知）的樣本，計算Z2或∑Z2，這無限多個Z2的分布即為χ2分布。其χ2值有90%的可能（或90%的樣本）比0.02大，同時有10%的可能比0.02小。χ2分布的應用：返回關于配合度檢驗一、它主要用于實際觀察次數(shù)與某理論次數(shù)是否有差別的分析。它適用于一個因素多項分類的計數(shù)資料。二、配合度檢驗的一般問題:(1)統(tǒng)計假設：Ho：fo=feH1:fo≠fe

(2)應用基本公式計算χ2值，若計算的χ

2值大于表中的χ

20.05或χ

20.01值，就拒絕Ho，推論fo與fe之間差異顯著。若χ

2值小于χ

20.05或χ

20.01值，則接受Ho，認為fo與fe之間差異不顯著。

(3)自由度的確定：通常為資料的分類或分組的數(shù)目，減去計算理論次數(shù)時所用統(tǒng)計量的個數(shù)。關于連續(xù)性校正當卡方檢驗用于計數(shù)資料時，所計算出的卡方值實際上是非連續(xù)性的，尤其當自由度=1，理論次數(shù)小于5時，其離散性更明顯，而卡方分布本質上是連續(xù)性隨機變量的分布形式，因此，當df=1，fe<5時，必須對連續(xù)性進行修正。Yates連續(xù)性校正公式：配合度檢驗的應用舉例（一）

——檢驗無差假說隨機抽取60名學生，問他們高中要不要文理分科，回答贊成的39人，反對的21人，問對分科的意見能否說有顯著差異？配合度檢驗的應用舉例（二）某項民意測驗，答案有同意、不置可否、不同意三種，調查結果如下表：同意不置可否不同意

24人12人12人問：三種意見的人數(shù)是否有顯著不同？配合度檢驗的應用舉例（三）

——檢驗假設分布的概率某班學生50人，體檢結果按一定標準劃分為甲、乙、丙三類。各類人數(shù)分別為甲16人，乙24人，丙10人。問：該班學生的身體狀況是否符合正態(tài)分布？假設-3σ--+3σ間包含了全體數(shù)據(jù),則若將全體數(shù)據(jù)分成等距的三類,每一類占的比率分別應為:甲:0.15866乙:0.68268丙:0.15866,因此三類的理論次數(shù)分別為:8人,34人,8人.配合度檢驗的應用舉例（四）

——檢驗假設分布的概率某校長的經驗：高中生升學的男女比例為2：1，今年的升學情況是男生85人，女生35人，問今年升學的男女生比例是否符合該校長的經驗？配合度檢驗的應用舉例（五）

——連續(xù)變量分布的吻合性檢驗(139.9;7.5)分數(shù)(1)各組限的Z值

(2)平均值至各組限間的面積(3)各組的正態(tài)面積(4)各組理論頻數(shù)(fe)(5)實際頻數(shù)(f0)(6)f0-fe(7)(f0-fe)2(8)(f0-fe)2/fe(9)-∞122-126-130-134-138-142-146-150-154-158-+∞-∞-2.39-1.85-1.32-0.79-0.250.280.811.351.882.41--2.95)+∞0.50000.49160.46780.40660.28520.09870.11030.29100.41150.46990.49200.49840.50000.00840.02380.06120.12140.18650.20900.18070.12050.05840.02210.00640.00161.0082.8567.34414.56822.38025.08021.68414.4607.0082.6520.7680.1920413910223320116411101.792-4.568-0.3807.920-1.684-3.4600.3803.21120.8670.14462.7262.83611.9720.1440.2861.4320.0062.5010.1310.8280.014總和1.0000120.00120χ2=5.198獨立性檢驗的應用舉例（一）

某校對學生的課外活動內容進行調查，結果整理成下表：問性別與課外活動內容的選擇是否有關?

體育 文娛 閱讀 男生21 1123

女生6729 554221(15.3)11(10.2)23(29.5)6(11.7)7(7.8)29(22.5)獨立性檢驗的應用舉例（二）

——四格表（2×2）獨立性檢驗之一（一）獨立樣本的四格表公式：

2=N（AD-BC）2/(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)

df=1

因素A

因分類1分類2

素分類1ABB分類2CD

例：今隨機抽取90人，按男女不同性別進行分類，將學生成績分為中等以上及中等以下兩類。結果如下表。問男女生在學業(yè)水平上是否有關聯(lián)？學業(yè)水平因素

性中等以上中等以下別男2317

因女2822

素一、所謂相關樣本，指同一組被試在前后兩次實驗或調查中的兩個項目相同，這時前后兩次結果則相互影響，而不獨立。這樣的四格表稱為相關的四格表。二、相關樣本四格表

2檢驗公式為：

2=（A-D）2/（A+D）

式中，A、D為四格表中兩次實驗或調查中分類項目不同的那兩個格的襯計次數(shù)。詳見下頁例。獨立性檢驗的應用舉例（三）

——四格表獨立性檢驗之二：相關樣本四格表

2檢驗——四格表（2×2）獨立性檢驗之二（二）相關樣本例：對100名學生先后測驗兩次，結果整理成下表：

測驗一錯對測對555

驗二錯2515問：兩次測驗結果在對錯上差異是否顯著？

理論次數(shù)小于5時，四格表

2的近似校正（1）獨立的四格表：

2=N（AD-BC-N/2）2/（A+B）（C+D）（A+C）（B+D）（2）相關的四格表：

2=（