教育統(tǒng)計(jì)學(xué)第九章-卡方檢驗(yàn)_第1頁
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文檔簡介

第九章

χ2檢驗(yàn)—計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)的分析方法一、χ2

檢驗(yàn)的意義二、χ2

檢驗(yàn)的基本公式三、配合度檢驗(yàn)四、獨(dú)立性檢驗(yàn)五、品質(zhì)相關(guān)χ2檢驗(yàn)的意義1、χ2檢驗(yàn)方法能同時檢驗(yàn)一個因素兩項(xiàng)或多項(xiàng)分類的實(shí)際觀察數(shù)與某理論次數(shù)分布是否相一致的問題,或說有無顯著差異的問題。2、χ2檢驗(yàn)方法還能用于檢驗(yàn)兩個或兩個以上因素各有多項(xiàng)分類之間是否有關(guān)聯(lián)或是否具有獨(dú)立性的問題。χ2檢驗(yàn)的基本公式式中fo為實(shí)際觀察次數(shù),即實(shí)計(jì)數(shù);

fe為理論次數(shù)χ2檢驗(yàn)的基本公式根據(jù)1899年統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜推導(dǎo)的配合適度的理論公式,即:實(shí)際觀察次數(shù)(fo)與某理論次數(shù)(fe,又稱期望次數(shù))之差的平方再除以理論次數(shù)乃是一個與χ2分布非常近似的次數(shù)分布。當(dāng)fe越大(fe>=5),接近的越好。Fo與fe相差越大,χ2越大。Fo與fe相差的越小,χ2值也小。因此,它能夠用來表示fo與fe相差的程度,同時,它也具備與χ2分布相同的一些特點(diǎn):fo與fe之差的平方再除以fe的值,隨自由度而變化,變化的趨勢與χ2分布一樣。關(guān)于χ2分布一、χ2分布的直觀意義二、χ2分布的特點(diǎn)三、χ2分布表的編制與使用一、χ2分布的直觀意義從一個服從正態(tài)分布的總體中,每次隨機(jī)抽取容量為n的樣本,將n個隨機(jī)變量X1,X2,……Xn分別平方,即可得到X12,X22,……Xn2,然后計(jì)算,這樣可抽取無限多個容量為n的樣本,可求得無限多個,也可計(jì)算其標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)及其平方及n個標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平方和,那么,這無限多個n個隨機(jī)變量X的平方和或標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的平方和的分布,就是χ2分布。χ2分布的表達(dá)式χ2分布的表達(dá)式1、若正態(tài)總體的平均數(shù)已知,則或此時自由度為n。2、若正態(tài)總體的平均數(shù)未知,則用樣本平均數(shù)作為總體平均數(shù)的估計(jì)值:此時自由度為n-1。返回二、χ2分布的特點(diǎn)1、χ2分布是一個正偏態(tài)分布。隨自由度的不同,其分布曲線的形狀不同,自由度越小,分布越偏斜,自由度很大時,接近正態(tài)分布。當(dāng)df∞時,χ2分布即為正態(tài)分布。可見,χ2分布是一族分布,正態(tài)分布是其中一特例。2、χ2值都是正值。3、χ2分布的和也是χ2分布其自由度為即χ2分布具有可加性。4、χ2分布的平均值和方差:如果df>2,這時χ2分布的平均數(shù):μχ2

=df

方差:σ2χ2

=2df5、χ2分布是連續(xù)型分布,但有些離散型的分布也近似χ2分布(χ2檢驗(yàn)就是利用這一特點(diǎn)而來。)返回三、χ2分布表的編制與使用χ2分布表是根據(jù)χ2分布函數(shù)計(jì)算出來的,χ2分布曲線下的面積都是1。但隨自由度不同,同一χ2值以下或以上所含面積與總面積之比率不同。故一般χ2表,要列出自由度、及某一χ2值以上χ2分布曲線下的概率。見卡方值表??ǚ街当恚罕淼淖罅袨樽杂啥龋淼淖钌弦恍惺歉怕手?,即不同自由度時,某χ2以上的概率。表中所列為不同自由度及概率下的χ2值。例如:當(dāng)df=1時,在χ2=0.02以上的概率為90%,那么在其以下的概率為1-0.90=0.10。它的意思是從一個正態(tài)分布總體中,每次隨機(jī)抽取容量為1(μ已知)或容量為2(μ未知)的樣本,計(jì)算Z2或∑Z2,這無限多個Z2的分布即為χ2分布。其χ2值有90%的可能(或90%的樣本)比0.02大,同時有10%的可能比0.02小。χ2分布的應(yīng)用:返回關(guān)于配合度檢驗(yàn)一、它主要用于實(shí)際觀察次數(shù)與某理論次數(shù)是否有差別的分析。它適用于一個因素多項(xiàng)分類的計(jì)數(shù)資料。二、配合度檢驗(yàn)的一般問題:(1)統(tǒng)計(jì)假設(shè):Ho:fo=feH1:fo≠fe

(2)應(yīng)用基本公式計(jì)算χ2值,若計(jì)算的χ

2值大于表中的χ

20.05或χ

20.01值,就拒絕Ho,推論fo與fe之間差異顯著。若χ

2值小于χ

20.05或χ

20.01值,則接受Ho,認(rèn)為fo與fe之間差異不顯著。

(3)自由度的確定:通常為資料的分類或分組的數(shù)目,減去計(jì)算理論次數(shù)時所用統(tǒng)計(jì)量的個數(shù)。關(guān)于連續(xù)性校正當(dāng)卡方檢驗(yàn)用于計(jì)數(shù)資料時,所計(jì)算出的卡方值實(shí)際上是非連續(xù)性的,尤其當(dāng)自由度=1,理論次數(shù)小于5時,其離散性更明顯,而卡方分布本質(zhì)上是連續(xù)性隨機(jī)變量的分布形式,因此,當(dāng)df=1,fe<5時,必須對連續(xù)性進(jìn)行修正。Yates連續(xù)性校正公式:配合度檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例(一)

——檢驗(yàn)無差假說隨機(jī)抽取60名學(xué)生,問他們高中要不要文理分科,回答贊成的39人,反對的21人,問對分科的意見能否說有顯著差異?配合度檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例(二)某項(xiàng)民意測驗(yàn),答案有同意、不置可否、不同意三種,調(diào)查結(jié)果如下表:同意不置可否不同意

24人12人12人問:三種意見的人數(shù)是否有顯著不同?配合度檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例(三)

——檢驗(yàn)假設(shè)分布的概率某班學(xué)生50人,體檢結(jié)果按一定標(biāo)準(zhǔn)劃分為甲、乙、丙三類。各類人數(shù)分別為甲16人,乙24人,丙10人。問:該班學(xué)生的身體狀況是否符合正態(tài)分布?假設(shè)-3σ--+3σ間包含了全體數(shù)據(jù),則若將全體數(shù)據(jù)分成等距的三類,每一類占的比率分別應(yīng)為:甲:0.15866乙:0.68268丙:0.15866,因此三類的理論次數(shù)分別為:8人,34人,8人.配合度檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例(四)

——檢驗(yàn)假設(shè)分布的概率某校長的經(jīng)驗(yàn):高中生升學(xué)的男女比例為2:1,今年的升學(xué)情況是男生85人,女生35人,問今年升學(xué)的男女生比例是否符合該校長的經(jīng)驗(yàn)?配合度檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例(五)

——連續(xù)變量分布的吻合性檢驗(yàn)(139.9;7.5)分?jǐn)?shù)(1)各組限的Z值

(2)平均值至各組限間的面積(3)各組的正態(tài)面積(4)各組理論頻數(shù)(fe)(5)實(shí)際頻數(shù)(f0)(6)f0-fe(7)(f0-fe)2(8)(f0-fe)2/fe(9)-∞122-126-130-134-138-142-146-150-154-158-+∞-∞-2.39-1.85-1.32-0.79-0.250.280.811.351.882.41--2.95)+∞0.50000.49160.46780.40660.28520.09870.11030.29100.41150.46990.49200.49840.50000.00840.02380.06120.12140.18650.20900.18070.12050.05840.02210.00640.00161.0082.8567.34414.56822.38025.08021.68414.4607.0082.6520.7680.1920413910223320116411101.792-4.568-0.3807.920-1.684-3.4600.3803.21120.8670.14462.7262.83611.9720.1440.2861.4320.0062.5010.1310.8280.014總和1.0000120.00120χ2=5.198獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例(一)

某校對學(xué)生的課外活動內(nèi)容進(jìn)行調(diào)查,結(jié)果整理成下表:問性別與課外活動內(nèi)容的選擇是否有關(guān)?

體育 文娛 閱讀 男生21 1123

女生6729 554221(15.3)11(10.2)23(29.5)6(11.7)7(7.8)29(22.5)獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例(二)

——四格表(2×2)獨(dú)立性檢驗(yàn)之一(一)獨(dú)立樣本的四格表公式:

2=N(AD-BC)2/(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)

df=1

因素A

因分類1分類2

素分類1ABB分類2CD

例:今隨機(jī)抽取90人,按男女不同性別進(jìn)行分類,將學(xué)生成績分為中等以上及中等以下兩類。結(jié)果如下表。問男女生在學(xué)業(yè)水平上是否有關(guān)聯(lián)?學(xué)業(yè)水平因素

性中等以上中等以下別男2317

因女2822

素一、所謂相關(guān)樣本,指同一組被試在前后兩次實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中的兩個項(xiàng)目相同,這時前后兩次結(jié)果則相互影響,而不獨(dú)立。這樣的四格表稱為相關(guān)的四格表。二、相關(guān)樣本四格表

2檢驗(yàn)公式為:

2=(A-D)2/(A+D)

式中,A、D為四格表中兩次實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中分類項(xiàng)目不同的那兩個格的襯計(jì)次數(shù)。詳見下頁例。獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用舉例(三)

——四格表獨(dú)立性檢驗(yàn)之二:相關(guān)樣本四格表

2檢驗(yàn)——四格表(2×2)獨(dú)立性檢驗(yàn)之二(二)相關(guān)樣本例:對100名學(xué)生先后測驗(yàn)兩次,結(jié)果整理成下表:

測驗(yàn)一錯對測對555

驗(yàn)二錯2515問:兩次測驗(yàn)結(jié)果在對錯上差異是否顯著?

理論次數(shù)小于5時,四格表

2的近似校正(1)獨(dú)立的四格表:

2=N(AD-BC-N/2)2/(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)(2)相關(guān)的四格表:

2=(

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