2025屆新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題17情境問題的探究之?dāng)?shù)列部分教師版

專題17情境問題的探究之?dāng)?shù)列部分一、題型選講題型一、數(shù)列額遞推關(guān)系例1、（2024年西安三模）九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智嬉戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)相互貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一“．在某種玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）個(gè)圓環(huán)所需的移動最少次數(shù)，若a1＝1．且an＝，則解下5個(gè)環(huán)所需的最少移動次數(shù)為（）A．7 B．13 C．16 D．22【答案】C【解析】由于a1＝1，所以a2＝2a1﹣1＝1，a3＝2a2+2＝4，a4＝2a3﹣1＝7，a5＝2a4+2＝16．故選：C．例2、【2024年高考全國II卷理數(shù)】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最終一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)A．3699塊 B．3474塊 C．3402塊 D．3339塊【答案】C【解析】設(shè)第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，，設(shè)為的前n項(xiàng)和，則第一層、其次層、第三層的塊數(shù)分別為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，即即，解得，所以.故選：C例3、6、十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．聞名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為其次次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則須要操作的次數(shù)n的最小值為（參考數(shù)據(jù)：，）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】第一次操作去掉的區(qū)間長度為其次次操作去掉兩個(gè)長度為的區(qū)間，長度和為第三次操作去掉四個(gè)長度為的區(qū)間，長度和為第n次操作去掉個(gè)長度為的區(qū)間，長度和為所以最小值為6例4、（2024年江蘇南京雨花區(qū)期中模擬）九連環(huán)是中國最杰出的益智嬉戲．九連環(huán)有九個(gè)相互連接的環(huán)組成，這九個(gè)環(huán)套在一個(gè)中空的長形柄中，九連環(huán)的玩法就是要將這九個(gè)環(huán)從柄上解下來，規(guī)則如下：假如要解下（或安上）第n號環(huán)，則第（n﹣1）號環(huán)必需解下（或安上），n﹣1往前的都要解下（或安上）才能實(shí)現(xiàn)．記解下n連環(huán)所需的最少移動步數(shù)為an，已知a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+2an﹣2+1（n≥3），則解六連環(huán)最少須要移動圓環(huán)步數(shù)為（）A．42 B．85 C．256 D．341【答案】A【解析】：由題意可得：a3＝a2+2a1+1＝2+2+1＝5，a4＝a3+2a2+1＝5+4+1＝10，a5＝a4+2a3+1＝10+10+1＝21，a6＝a5+2a4+1＝21+20+1＝42．故選：A．題型二、數(shù)列的基本量問題例5、（2024·湖南衡陽市八中高三月考（理））公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了聞名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處起先，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)競賽起先后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜仍舊前于他10米.當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，烏龜仍舊前于他1米……，所以，阿基里斯恒久追不上烏龜.依據(jù)這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)條件，烏龜每次爬行的距離構(gòu)成等比數(shù)列，公比為當(dāng)阿基里斯和烏龜?shù)乃俣惹『脼槊讜r(shí)，烏龜爬行的總距離為故選例6、（2024屆山東省泰安市高三上期末）我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周碑算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣唇（guǐ）長損益相同（暑是依據(jù)日影測定時(shí)刻的儀器，暑長即為所測量影子的長度），夏至、小署、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二個(gè)節(jié)氣，其日影子長依次成等差數(shù)列，經(jīng)記錄測算，夏至、處暑、霜降三個(gè)節(jié)氣日影子長之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的全部日影子長之和為84尺，則夏至的日影子長為________尺.【答案】1.5【解析】設(shè)此等差數(shù)列的公差為，由題意即解得所以夏至的日影子長為故答案為：例7、（2024?衡水模擬）有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五兩，今三十日屠訖，問共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人擅長屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？“在這個(gè)問題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為（）A．35 B．75 C．155 D．315【答案】C【解析】：由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為a1，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，所以a1＝5，q＝2，∴前5天所屠肉的總兩數(shù)為：．故選：C．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2024屆山東試驗(yàn)中學(xué)高三上期中）古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問題:“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何?”意思是:“一女子擅長織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少?”依據(jù)上述己知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則至少須要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】C【解析】設(shè)該女子第一天織布尺，則，解得，前天織布的尺數(shù)為：，由，得，解得的最小值為8．故選：．2、（2024年江蘇徐州模擬）“干支紀(jì)法”是我國記年、月、日、時(shí)的序號的傳統(tǒng)方法，天干地支簡稱“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如，農(nóng)歷1861年為辛酉年，農(nóng)歷1862年為壬戌年，農(nóng)歷1863年為癸亥年，則農(nóng)歷2068年為（）A．丁亥年 B．丁丑年 C．戊寅年 D．戊子年【答案】．D【解析】：記a1＝辛，b1＝酉（1861）；a2＝壬，b2＝戌（1862）；a3＝癸，b3＝亥（1863），由題意可知數(shù)列{an}，{bn}的最小正周期分別為10和12，故a208＝a8＝戊，b208＝b4＝子（2068），故選：D．3、（2024?廣東四模）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)“九兒問甲歌”問題：一個(gè)公公九個(gè)兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個(gè)問題中，記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為an，則a3+a4+a5+a6+a7﹣a1﹣a9＝（）A．46 B．69 C．92 D．138【答案】．B【解析】依據(jù)題意，記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為an，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，又由S9＝207，即S9＝＝9a5＝207，變形可得a5＝23，a3+a4+a5+a6+a7﹣a1﹣a9＝a4+a5+a6＝3a5＝69；故選：B．4、（2024年山東開學(xué)初模擬）《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長減等寸，雨水、驚蟄、春分、清明日影之和為三丈二尺，前七個(gè)節(jié)氣日影之和為七丈三尺五寸，問立夏日影長為（）A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸【答案】．D．【解析】：從冬至日起，日影長構(gòu)成數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則a5+a6+a7+a8＝32，S7＝73.5，所以解可得，a1＝，d＝﹣1．故a10＝＝4.5．故選：D．5、（2024年山東開學(xué)初模擬）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于問余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.