2024徐州中考數(shù)學(xué)二輪重點(diǎn)專題研究 第27課時(shí) 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系（課件）

第27課時(shí)點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系

徐州近年真題及拓展1

考點(diǎn)精講2

重難點(diǎn)分層練3與切線有關(guān)的證明與計(jì)算1.

如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上，OC⊥OA，OC交AB于點(diǎn)P.若∠BPC＝70°，則∠ABC的度數(shù)等于()A.75°B.70°C.65°D.60°徐州近年真題及拓展1命題點(diǎn)第1題圖B2.(2023徐州16題3分)如圖，AB是⊙O相切于點(diǎn)B，線段OA與弦BC垂直，垂足為D，AB＝BC＝2，則∠AOB＝________°.第2題圖603.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，CD與⊙O相切于點(diǎn)D，若∠C＝20°，則∠CDA＝________°.第3題圖1254.(2022徐州18題3分)如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，C為半圓AB的中點(diǎn)，P為

上一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)BP至點(diǎn)Q，使BP·BQ＝AB2.若點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到C，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為________．第4題圖45.

如圖①，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為的

中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作直線AC的垂線，垂足為E，連接OD.(1)求證：∠A＝∠DOB；第5題圖①(1)證明：如圖①，連接OC，∵在⊙O中，OC＝OA，∴∠A＝∠ACO.(1分)∵∠COB是△AOC的外角，∴∠COB＝∠A＋∠ACO＝2∠A.(2分)∵在⊙O中，D為

的中點(diǎn)，∴＝，∴∠COD＝∠DOB.∵∠COB＝∠COD＋∠DOB＝2∠DOB，(3分)∴∠A＝∠DOB；(4分)第5題圖①(2)DE與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)解：DE與⊙O相切．理由如下：∵由(1)得∠A＝∠DOB，∴AE∥OD，(5分)∴∠E＋∠EDO＝180°.∵DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝90°.(6分)∵OD是⊙O的半徑，(7分)∴DE與⊙O相切．(8分)第5題圖①拓展設(shè)問(wèn)如圖②，連接AD，設(shè)AB與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，(3)若∠EFA＝30°，⊙O的半徑為4，求DE的長(zhǎng)；第5題圖②(3)解：∵∠EFA＝30°，EF⊥AE，D為的中點(diǎn)，∴∠FAE＝60°，且∠FAD＝∠DAC＝30°，∴∠EFA＝∠FAD＝30°，∴DF＝AD.∵OD⊥EF，∠EFA＝30°，∴DF＝OD＝，∴AD＝.∵∠EAD＝30°，EF⊥AE，∴AD＝2DE，∴DE＝；第5題圖②拓展設(shè)問(wèn)(4)若tan∠CAD＝，AB＝5，求BF的長(zhǎng)．∴∠ADB＝90°.∵tan∠CAD＝，∴tan∠DAO＝.在Rt△ADB中，AB＝5，∴BD＝，AD＝，在Rt△AED中，可得DE＝2，AE＝4.(4)如圖②，連接BD，第5題圖②拓展設(shè)問(wèn)∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA，∴.又∵OD＝2.5，設(shè)BF＝x，∴，∴x＝，即線段BF的長(zhǎng)為.第5題圖②拓展設(shè)問(wèn)與三角形內(nèi)切圓有關(guān)的計(jì)算6.(2022徐州15題3分)如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，則∠BOC＝________°.第6題圖2命題點(diǎn)125切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)點(diǎn)在☉O

外點(diǎn)在☉O上點(diǎn)在☉O

內(nèi)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系相離相切相交直線與圓的位置關(guān)系切線的性質(zhì)與判定定義切線的性質(zhì)切線的判定三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓角度關(guān)系圓心(內(nèi)心)性質(zhì)點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)精講【對(duì)接教材】蘇科：九上第2章P63－P76點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(設(shè)☉O

的半徑為r,點(diǎn)到圓心的距離為d)點(diǎn)在☉O

外?d____r,如圖①中的點(diǎn)A點(diǎn)在☉O

上?d____r,如圖①中的點(diǎn)B點(diǎn)在☉O

內(nèi)?d____r,如圖①中的點(diǎn)C圖①＞＝＜直線與圓的位置關(guān)系(d為圓心到直線的距離，r為半徑）位置關(guān)系相離相切相交d

與r的關(guān)系d____rd____rd____r交點(diǎn)的個(gè)數(shù)沒有公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)有兩個(gè)公共點(diǎn)示意圖＞＝＜切線的性質(zhì)與判定定義：直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)切線的性質(zhì)切線的判定：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線1.圓心到切線的距離等于半徑2.圓的切線________于過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直1.若已知直線與圓的公共點(diǎn)，則連接圓心和公共點(diǎn)，證明垂直2.若未知直線與圓的公共點(diǎn)，則過(guò)圓心作直線的垂線段，證明這條線段為圓的半徑●溫馨提示切線長(zhǎng)：在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，這點(diǎn)到圓的切線叫做長(zhǎng)切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角，如圖②、PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，那么PA=________，∠APO＝________PB∠BPO三角形的內(nèi)切圓三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓圓心(內(nèi)心)：三角形三個(gè)內(nèi)角的________的交點(diǎn)性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形________的距離相等角度關(guān)系：∠BOC＝90°＋

∠A(如圖③)補(bǔ)充：當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，如圖④，內(nèi)切圓半徑圖③圖④角平分線三邊重難點(diǎn)分層練例1如圖,在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O與BC，AC分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，BO平分∠ABC，連接OA.求證：AB是⊙O的切線．例1題圖回顧必備知識(shí)∵BO是∠ABC的平分線，∴OD＝OE.∵OE是圓的半徑，∴OD是圓的半徑，∴AB是⊙O的切線．例1題圖∟D證明：如圖，連接OE，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，滿分技法當(dāng)直線與圓的公共點(diǎn)不確定時(shí)，過(guò)圓心作直線的垂線，利用角平分線的性質(zhì)或者全等三角形的性質(zhì)，來(lái)證明所作垂線等于半徑．例2如圖,在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，以BE為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、F.求證：CD是⊙O的切線．例2題圖∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠OBD.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ADO＝∠C＝90°，∴OD⊥AC.∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．例2題圖證明：如圖，連接OD，例3如圖,在⊙O中，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D在直徑AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，若∠A＝∠BCD，求證：CD是⊙O的切線．例3題圖∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即∠A＋∠ABC＝90°.∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB.∵∠A＝∠BCD，∴∠BCD＋∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥DC.∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．例3題圖證明：如圖，連接OC，滿分技法當(dāng)直線與圓的公共點(diǎn)確定時(shí)，常連接圓心與切點(diǎn)，證所連半徑與直線垂直．(1)當(dāng)圖中有90°角時(shí)：①利用等角代換證得垂直；②利用平行線證得垂直；③利用三角形全等證得垂直；(2)當(dāng)圖中沒有90°角時(shí)，需要構(gòu)造：①若圖中有已知直徑，則利用直徑所對(duì)的圓周角是90°，構(gòu)造直角；②若圖中有等腰三角形，則利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)構(gòu)造直角．重難點(diǎn)分層練例4如圖,△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于點(diǎn)E，連接OE，BD.(1)若＝，求sinC；例4題圖①一題多設(shè)問(wèn)提升關(guān)鍵能力【思維教練】要求sinC的值，根據(jù)直角三角形的兩銳角和為90°及直徑所對(duì)的角為90°，進(jìn)行角的等量轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化為求sin∠ABD的值，從而利用已知條件直接求出．(1)解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠A＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠A＝90°，∴∠C＝∠ABD.∵，∴sin∠ABD＝，∴sinC＝；例4題圖①重難點(diǎn)分層練(2)求證：點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)；例4題圖②【思維教練】要求點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，根據(jù)△CBD為直角三角形，轉(zhuǎn)化為證明DE＝BE和DE＝CE，從而利用切線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)求解．∵DE為⊙O的切線，∴∠ODE＝90°，∴∠ODB＋∠EDB＝90°.∵∠ABC＝90°，∴∠OBD＋∠CBD＝90°.(2)證明：如圖，連接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE＝BE.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°，∴∠BDE＋∠CDE＝90°，∠DBC＋∠DCB＝90°，∴∠CDE＝∠DCB，∴DE＝CE，∴BE＝CE，∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)；例4題圖②重難點(diǎn)分層練(3)求證：BC2＝2CD·OE；例4題圖③【思維教練】要求線段的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合(2)的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明BC2＝CD·AC，從而只要證明△ABC∽△BDC即可．由(2)知，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線，∴AC＝2OE，∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2＝AC·DC，∴BC2＝2CD·OE；(3)證明：如圖，連接OD，重難點(diǎn)分層練(4)求證：若CD＝3OA，求∠DEB的大小；例4題圖④【思維教練】要求∠DEB的大小，只需求出sin∠DCB的值，從而利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可．(4)解：設(shè)OA＝1，則CD＝3，AB＝2，∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，即AB2＝AD·AC，∴22＝AD·(AD＋3)，解得AD＝1(負(fù)值舍去)，∴AC＝4，∴sin∠DCB＝，∴∠DCB＝30°，由(2)可知，∠CDE＝∠DCB＝30°，∴∠DEB＝∠CDE＋∠DCB＝60°；例4題圖④重難點(diǎn)分層練(5)若cos∠BAD＝，BE＝6，求OE的長(zhǎng)．例4題圖⑤【思維教練】要求OE，結(jié)合(3)可轉(zhuǎn)化為求AC的值，根據(jù)已知BE的長(zhǎng)結(jié)合(2)可得BC的長(zhǎng)，從而在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)求解即可．(5)∵cos∠BAD＝，∴sin∠BAC＝.∵BE＝6，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴BC＝12，∴AC＝15.由(3)可知AC＝2OE，∴OE＝AC＝.重難點(diǎn)分層練1.