專(zhuān)題03一元二次方程的解法(公式法)(4種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)中考1種考法)(原卷版+解析)

專(zhuān)題03一元二次方程的解法（公式法）（4種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)中考1種考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)公式法【方法二】實(shí)例探索法題型1用公式法解一元二次方程題型2解系數(shù)中有字母的一元二次方程題型3用一元二次方程的公式法解決實(shí)際問(wèn)題題型4運(yùn)用換元法求代數(shù)式的值【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1忽略了△的取值，直接將系數(shù)代入求根公式【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法：用公式法解一元二次方程【方法五】成果評(píng)定法【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法公式引入一元二次方程（），可用配方法進(jìn)行求解：得：．對(duì)上面這個(gè)方程進(jìn)行討論：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，利用開(kāi)平方法，得：， 即：當(dāng)時(shí)，這時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，x取任何值都不能使方程左右兩邊的值相等，所以原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．求根公式一元二次方程（），當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根： ，這就是一元二次方程（）的求根公式．用公式法解一元二次方程一般步驟把一元二次方程化成一般形式（）；確定a、b、c的值；求出的值（或代數(shù)式）；若，則把a(bǔ)、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，則方程無(wú)解．【方法二】實(shí)例探索法題型1用公式法解一元二次方程例1.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例2.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例3.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例4.用公式法解下列方程：（1）； （2）．例5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．題型2解系數(shù)中有字母的一元二次方程例6.用配方法解下列關(guān)于x的方程：（）．例7.用公式法解下列關(guān)于x的方程：（1）； （2）．題型3用一元二次方程的公式法解決實(shí)際問(wèn)題例8.某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批襯衫，進(jìn)貨價(jià)為每件元，按每件元出售，一個(gè)月內(nèi)可售出件．已知這種襯衫每件漲價(jià)元，其銷(xiāo)售量要減少件．為了減少庫(kù)存量，且在月內(nèi)賺取元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每件多少元？題型4運(yùn)用換元法求代數(shù)式的值例9.已知，求代數(shù)式的值．例10.已知，求的值．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1忽略了△的取值，直接將系數(shù)代入求根公式例11.用公式法解下列方程：（1）； （2）．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法：用公式法解一元二次方程1．(2023?無(wú)錫）（解方程：2x（x﹣2）＝1；2．(2023?無(wú)錫）解方程：x2+x﹣1＝0；【方法五】成果評(píng)定法一．選擇題（共8小題）1．(2023秋?江都區(qū)校級(jí)月考）用公式法解方程2t2＝6t+3時(shí)，a，b，c的值分別為（）A．2，6，3 B．2，﹣6，﹣3 C．﹣2，6，﹣3 D．2，6，﹣32．(2023春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）用公式法解方程x2+4x＝2，其中求得b2﹣4ac的值是（）A．16 B．±4 C．32 D．643．(2023秋?大豐區(qū)期中）以x＝為根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝04．(2023秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）x＝是下列哪個(gè)一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝05．(2023秋?東?？h期中）根據(jù)下列表格中關(guān)于x的代數(shù)式ax2+bx+c的值與x對(duì)應(yīng)值，x5.125.135.145.15ax2+bx+c﹣0.04﹣0.020.010.03那么你認(rèn)為方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的一個(gè)解最接近于下面的（）A．5.12 B．5.13 C．5.14 D．5.156．(2023秋?鹽城期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8時(shí)，化方程為一般式，當(dāng)中的a，b，c依次為（）A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，87．(2023秋?雄縣期末）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x＝m時(shí)，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實(shí)數(shù)m，使得M1+M2＝0，則稱(chēng)函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”．以下函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”的是（）A．和y2＝﹣x+1 B．和y2＝﹣x+1 C．和y2＝﹣x﹣1 D．和y2＝﹣x﹣18．(2023春?江陰市期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以點(diǎn)B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段AC于點(diǎn)E．下列哪條線段的長(zhǎng)度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一個(gè)根（）A．線段BC的長(zhǎng) B．線段AD的長(zhǎng) C．線段EC的長(zhǎng) D．線段AC的長(zhǎng)二．填空題（共4小題）9．(2023秋?海州區(qū)期中）定義符號(hào)min{a，b）的含義為：當(dāng)a≥b時(shí)，min{a，b}＝b當(dāng)a＜b時(shí)，min{a，b}＝a，如：min{1，﹣2）＝﹣2，min{﹣3，﹣2）＝﹣3，則方程min{x，﹣x}＝x2﹣1的解是．10．（2023?宜興市一模）方程x2﹣3x＝1的解是．11．(2023秋?海州區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系數(shù)滿足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，則該方程的根是．12．(2023秋?宜興市月考）若實(shí)數(shù)a、b、c滿足：+|b+1|+（c+2）2＝0，則方程ax2+bx+c＝0的解是．三．解答題（共7小題）13．(2023秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）小明在解方程x2﹣5x＝1時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過(guò)程如下：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴x＝（第三步）∴x1＝，x2＝（第四步）（1）小明解答過(guò)程是從第步開(kāi)始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是．（2）寫(xiě)出此題正確的解答過(guò)程．14．(2023秋?儀征市校級(jí)月考）按要求解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（配方法）（2）2x2+4x﹣3＝0．（公式法）15．(2023秋?蘇州期中）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，新定義一種運(yùn)算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3．（1）計(jì)算：2※（﹣1）＝；（﹣1）※2＝；（2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的兩個(gè)根且x1＜x2，求x1※x2的值；（3）若x※2與3※x的值相等，求x的值．16．(2023秋?沭陽(yáng)縣月考）為解方程x2﹣|x﹣1|﹣3＝0，我們可以這樣進(jìn)行：解：當(dāng)x﹣1≥0，即x≥1時(shí)，x2﹣（x﹣1）﹣3＝0解得：x1＝2，x2＝﹣1（舍）當(dāng)x﹣1＜0，即x＜1時(shí)，x2﹣（1﹣x）﹣3＝0解得：x1＝（舍）x2＝綜上：x2﹣|x﹣1|﹣3＝0的解為：x1＝2，x2＝模仿上述解法解下列方程：x2﹣|x﹣2|﹣4＝0．17．(2023秋?漣水縣校級(jí)月考）小明在解方程x2﹣5x＝1時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過(guò)程如下：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴x＝（第三步）∴x1＝，x2＝（第四步）（1）小明解答過(guò)程是從第步開(kāi)始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是．（2）第三步所使用的公式是．（3）寫(xiě)出此題正確的解答過(guò)程．18．(2023秋?南京月考）解關(guān)于x的方程：ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)）．19．(2023秋?宜興市期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣a﹣6＝0的一個(gè)根是0，試解方程（a2﹣1）x2+ax﹣1＝0．專(zhuān)題03一元二次方程的解法（公式法）（4種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)中考1種考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)公式法【方法二】實(shí)例探索法題型1用公式法解一元二次方程題型2解系數(shù)中有字母的一元二次方程題型3用一元二次方程的公式法解決實(shí)際問(wèn)題題型4運(yùn)用換元法求代數(shù)式的值【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1忽略了△的取值，直接將系數(shù)代入求根公式【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法：用公式法解一元二次方程【方法五】成果評(píng)定法【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法公式引入一元二次方程（），可用配方法進(jìn)行求解：得：．對(duì)上面這個(gè)方程進(jìn)行討論：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，利用開(kāi)平方法，得：， 即：當(dāng)時(shí)，這時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，x取任何值都不能使方程左右兩邊的值相等，所以原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．求根公式一元二次方程（），當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根： ，這就是一元二次方程（）的求根公式．用公式法解一元二次方程一般步驟把一元二次方程化成一般形式（）；確定a、b、c的值；求出的值（或代數(shù)式）；若，則把a(bǔ)、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，則方程無(wú)解．【方法二】實(shí)例探索法題型1用公式法解一元二次方程例1.用公式法解下列方程：（1）； （2）．答案:（1）；（2）．解析：（1），則，則，∴；（2），則，則，∴．【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用．例2.用公式法解下列方程：（1）； （2）．答案:（1）；（2）．解析：（1），則，則，∴；（2），則，則，∴．【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用．例3.用公式法解下列方程：（1）； （2）．答案:（1）；（2）．解析：（1）方程可化為：，，則， 則，∴；（2）方程可化為：，則．【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用，（2）也可以用直接開(kāi)平方法求解．例4.用公式法解下列方程：（1）； （2）．答案:（1）；（2）．解析：（1）方程可化為，，則，則 ，∴（2）兩邊同時(shí)乘以10，方程可化為，，則， 則，∴．【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用，（2）也可以用因式分解法求解．例5.用公式法解下列方程：（1）； （2）．答案:（1）；（2）．解析：（1），則，則， ∴原方程的解為：；，則，則， ∴原方程的解為：．【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用．題型2解系數(shù)中有字母的一元二次方程例6.用配方法解下列關(guān)于x的方程：（）．解析：（），則，整理得：， 配方可得：， 當(dāng)時(shí)，，， 當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．【總結(jié)】本題主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方時(shí)方程兩邊同加一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，另此題系數(shù)中含有字母，要注意分類(lèi)討論．例7.用公式法解下列關(guān)于x的方程：（1）； （2）．解析：（1）∵，∴當(dāng)時(shí)，，； 當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根；原方程可化為：，∵， ∴原方程的解為：，．【總結(jié)】本題主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分類(lèi)討論．題型3用一元二次方程的公式法解決實(shí)際問(wèn)題例8.某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批襯衫，進(jìn)貨價(jià)為每件元，按每件元出售，一個(gè)月內(nèi)可售出件．已知這種襯衫每件漲價(jià)元，其銷(xiāo)售量要減少件．為了減少庫(kù)存量，且在月內(nèi)賺取元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每件多少元？答案:60元．解析：設(shè)這種襯衫每件漲價(jià)元． 則根據(jù)題意可得：， 整理可得：， 解得：，． 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，． 因?yàn)橐獪p少庫(kù)存量，所以售價(jià)應(yīng)定為每件50+10=60元．【總結(jié)】本題中主要考查對(duì)減少庫(kù)存的理解．題型4運(yùn)用換元法求代數(shù)式的值例9.已知，求代數(shù)式的值．答案:1．解析： ， ∵，∴， ∴原式．【總結(jié)】本題主要考查代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值，不要去解方程，而是用整體代入思想求值．例10.已知，求的值．答案:-4或2．解析：∵，∴， 十字相乘分解得：， ∴或．【總結(jié)】本題主要考查利用整體思想求代數(shù)式的值，也可進(jìn)行換元．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1忽略了△的取值，直接將系數(shù)代入求根公式例11.用公式法解下列方程：（1）； （2）．答案:（1）方程無(wú)實(shí)數(shù)解；（2）方程無(wú)實(shí)數(shù)解．解析：（1），則，方程無(wú)實(shí)數(shù)解；（2），則，方程無(wú)實(shí)數(shù)解．【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程求根公式的運(yùn)用．【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法：用公式法解一元二次方程1．(2023?無(wú)錫）（解方程：2x（x﹣2）＝1；分析：方程整理后，利用公式法求出解即可；【解答】解：方程整理得：2x2﹣4x﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∴Δ＝16+8＝24＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝；2．(2023?無(wú)錫）解方程：x2+x﹣1＝0；分析：先計(jì)算判別式的值，然后利用求根公式求方程的解；【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；【方法五】成果評(píng)定法一．選擇題（共8小題）1．(2023秋?江都區(qū)校級(jí)月考）用公式法解方程2t2＝6t+3時(shí)，a，b，c的值分別為（）A．2，6，3 B．2，﹣6，﹣3 C．﹣2，6，﹣3 D．2，6，﹣3分析：先把方程化為一般式，然后確定a、b、c的值．【解答】解：方程化為2t2﹣6t﹣3＝0，所以a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．2．(2023春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）用公式法解方程x2+4x＝2，其中求得b2﹣4ac的值是（）A．16 B．±4 C．32 D．64分析：首先把方程化簡(jiǎn)為一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判別式的值即可．【解答】解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x﹣2＝0，∴a＝，b＝4，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝（4）2﹣4××（﹣2）＝64；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了公式法解一元二次方程，解此題時(shí)首先要化簡(jiǎn)．還要注意熟練應(yīng)用公式．3．(2023秋?大豐區(qū)期中）以x＝為根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝0分析：根據(jù)公式法即可求出答案；【解答】解：由題意可知：二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為﹣b，常數(shù)項(xiàng)為c，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．(2023秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）x＝是下列哪個(gè)一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0分析：根據(jù)求根公式逐一列出每個(gè)方程根的算式即可得出答案．【解答】解：A．此方程的解為x＝，不符合題意；B．此方程的解為x＝，不符合題意；C．此方程的解為x＝，符合題意；D．此方程的解為x＝，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．5．(2023秋?東?？h期中）根據(jù)下列表格中關(guān)于x的代數(shù)式ax2+bx+c的值與x對(duì)應(yīng)值，x5.125.135.145.15ax2+bx+c﹣0.04﹣0.020.010.03那么你認(rèn)為方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的一個(gè)解最接近于下面的（）A．5.12 B．5.13 C．5.14 D．5.15分析：觀察表格確定出解的范圍，進(jìn)而求出近似解即可．【解答】解：根據(jù)表格可得方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍為5.13＜x＜5.14，∵|﹣0.02|＝0.02，|0.01|＝0.01，且0.02＞0.01，∴方程的解最接近于5.14．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，以及解三元一次方程組，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．6．(2023秋?鹽城期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8時(shí)，化方程為一般式，當(dāng)中的a，b，c依次為（）A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，8分析：整理為一般式即可得出答案．【解答】解：∵3x2﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，則a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是掌握如何找二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．7．(2023秋?雄縣期末）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x＝m時(shí)，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實(shí)數(shù)m，使得M1+M2＝0，則稱(chēng)函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”．以下函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”的是（）A．和y2＝﹣x+1 B．和y2＝﹣x+1 C．和y2＝﹣x﹣1 D．和y2＝﹣x﹣1分析：根據(jù)題意，令y1+y2＝0，若方程有解，則稱(chēng)函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”，若無(wú)解，則稱(chēng)函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”．【解答】解：A、令y1+y2＝0，則﹣﹣x+1＝0，整理得：x2﹣x+1＝0，此方程無(wú)解，∴函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”，故A不符合題意；B、令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x+1＝0，整理得：x2+x+1＝0，此方程無(wú)解，∴函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”，故B不符合題意；C、A、令y1+y2＝0，則﹣﹣x﹣1＝0，整理得：x2+x+1＝0，此方程無(wú)解，∴函數(shù)y1和y2不是“和諧函數(shù)”，故C不符合題意；D、A、令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x﹣1＝0，整理得：x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝，∴函數(shù)y1和y2是“和諧函數(shù)”，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣公式法，根據(jù)題意令y1+y2＝0，然后進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．(2023春?江陰市期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以點(diǎn)B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線段AC于點(diǎn)E．下列哪條線段的長(zhǎng)度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一個(gè)根（）A．線段BC的長(zhǎng) B．線段AD的長(zhǎng) C．線段EC的長(zhǎng) D．線段AC的長(zhǎng)分析：根據(jù)勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比較即可．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，∴AD＝﹣a，解方程x2+2ax﹣b2＝0得x＝＝±﹣a，∴線段AD的長(zhǎng)是方程x2+2ax﹣b2＝0的一個(gè)根．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）9．(2023秋?海州區(qū)期中）定義符號(hào)min{a，b）的含義為：當(dāng)a≥b時(shí)，min{a，b}＝b當(dāng)a＜b時(shí)，min{a，b}＝a，如：min{1，﹣2）＝﹣2，min{﹣3，﹣2）＝﹣3，則方程min{x，﹣x}＝x2﹣1的解是或．分析：根據(jù)定義以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：當(dāng)x≥﹣x時(shí)，即x≥0，此時(shí)﹣x＝x2﹣1，解得：x＝，∵x≥0，∴x＝；當(dāng)x＜﹣x時(shí)，即x＜0，此時(shí)x＝x2﹣1，解得：x＝，∵x＜0，∴x＝，故答案為：或【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解定義以及熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．10．（2023?宜興市一模）方程x2﹣3x＝1的解是x1＝，x2＝．分析：先把方程化為一般式，再計(jì)算出根的判別式，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：方程化為一般式為x2﹣3x﹣1＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝．故答案為：x1＝，x2＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11．(2023秋?海州區(qū)校級(jí)月考）已知關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系數(shù)滿足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，則該方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．．分析：觀察系數(shù)滿足的等式，是由方程x＝1和x＝﹣2得到的，即可確定出方程的根．【解答】解：∵關(guān)于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）的系數(shù)滿足a﹣b﹣c＝0，且4a+2b﹣c＝0，∴該方程的根是x1＝1，x2＝﹣2．故答案為：x1＝1，x2＝﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵．12．(2023秋?宜興市月考）若實(shí)數(shù)a、b、c滿足：+|b+1|+（c+2）2＝0，則方程ax2+bx+c＝0的解是2和﹣1．分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)分別求出a、b、c，解出方程，得到答案．【解答】解：由題意得：a2﹣2a+1＝0，b+1＝0，c+2＝0，解得：a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，故答案為：2和﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共7小題）13．(2023秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）小明在解方程x2﹣5x＝1時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過(guò)程如下：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴x＝（第三步）∴x1＝，x2＝（第四步）（1）小明解答過(guò)程是從第一步開(kāi)始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤原因是a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1．（2）寫(xiě)出此題正確的解答過(guò)程．分析：（1）根據(jù)一元二次方程的解法步驟即可求出答案．（2）根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）原方程化為：x2﹣5x﹣1＝0，∴a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，故答案為：一，a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0．∴x＝，∴x1＝，x2＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．14．(2023秋?儀征市校級(jí)月考）按要求解下列方程：（1）x2+2x﹣3＝0；（配方法）（2）2x2+4x﹣3＝0．（公式法）分析：（1）方程移項(xiàng)后，利用完全平方公式配方，計(jì)算即可求出解；（2）方程利用求根公式計(jì)算即可求出．【解答】解：（1）方程移項(xiàng)得：x2+2x＝3，配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4，開(kāi)方得：x+1＝±2，解得：x1＝1，x2＝﹣3；（2）這里a＝2，b＝4，c＝﹣3，∵Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝16+24＝40＞0，∴x＝＝，解得：x1＝，x2＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，以及公式法，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．15．(2023秋?蘇州期中）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，新定義一種運(yùn)算“※”：a※，例如：∵4＞1，∴4※1＝4×1﹣12＝3．（1）計(jì)算：2※（﹣1）＝﹣3；（﹣1）※2＝6；（2）若x1和x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的兩個(gè)根且x1＜x2，求x1※x2的值；（3）若x※2與3※x的值相等，求x的值．分析：（1）利用新定義進(jìn)行計(jì)算；（2）先解方程得到x1＝﹣1，x2＝6，然后利用新定義計(jì)算；（3）討論：當(dāng)x＜2時(shí)得到22﹣2x＝3x﹣x2，當(dāng)2≤x＜3時(shí)得到2x﹣22＝3x﹣x2，當(dāng)x≥3時(shí)得到2x﹣22＝x2﹣3x，然后分別解方程確定滿足條件x的值．【解答】解：（1）2※（﹣1）＝2×（﹣1）﹣（﹣1）2＝﹣2﹣1＝﹣3；（﹣1）※2＝22﹣（﹣1）×2＝4+2＝6；故答案為﹣3，6；（2）解方程x2﹣5x﹣6＝0得x1＝﹣1，x2＝6，所以x1※x2＝（﹣1）※6＝62﹣（﹣1）×6＝42；（3）當(dāng)x＜2時(shí)，22﹣2x＝3x﹣x2，整理得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4（舍去），當(dāng)2≤x＜3時(shí)，2x﹣22＝3x﹣x2，整理得x2﹣x﹣4＝0，解得x1＝，x2＝（舍去），當(dāng)x≥3時(shí)，2x﹣22＝x2﹣3x整理得x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝4，綜上所述，x的值為1或或4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和因式分解法解方程．16．(2023秋?沭陽(yáng)縣月考）為解方程x2﹣|x﹣1|﹣3＝0，我們可以這樣進(jìn)行：解：當(dāng)x﹣1≥0，即x≥1時(shí)，x2﹣（x﹣1）﹣3＝0解得：x1＝2，x2＝﹣1（舍）當(dāng)x﹣1＜0，即x＜1時(shí)，x2﹣（1﹣x）﹣3＝0解得：x1＝（舍）x2＝綜上：x2﹣|x﹣1|﹣3＝0的解為：x1＝2，x2＝模仿上述解法解下列方程：x2﹣|x﹣2|﹣4＝0．分析：去掉絕對(duì)值，然后利用因式分解法求解即可．【解答】解：當(dāng)x﹣2≥0，即x≥2時(shí)，x2﹣（x