浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析1

Page20浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用補(bǔ)集及交集的定義即可求解.【詳解】由，得，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則等于（）．A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用計(jì)算出，即可得到答案【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，故選：D3.已知，，則在上投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量公式可求得在上投影向量.【詳解】由題意可知，在上投影向量為.故選：B.4.正整數(shù)2160的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）．A.20 B.28 C.40 D.50【答案】C【解析】【分析】將正整數(shù)2160分解質(zhì)因數(shù)，由此確定其正因數(shù)的個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以其質(zhì)因數(shù)屬于集合，該集合的元素個(gè)數(shù)為，所以正整數(shù)2160的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為40，故選：C.5.“北溪”管道泄漏事務(wù)的爆發(fā)，使得歐洲能源供應(yīng)危機(jī)成為舉世矚目的國(guó)際公共事務(wù)．隨著管道泄漏，大量自然氣泄漏使得超過(guò)8萬(wàn)噸類似甲烷的氣體擴(kuò)散到海洋和大氣中，將對(duì)全球氣候產(chǎn)生災(zāi)難性影響．假設(shè)海水中某種環(huán)境污染物含量P（單位：）與時(shí)間t（單位：天）間的關(guān)系為：，其中表示初始含量，k為正常數(shù)．令為之間海水稀釋效率，其中，分別表示當(dāng)時(shí)間為和時(shí)的污染物含量．某探討團(tuán)隊(duì)連續(xù)20天不間斷監(jiān)測(cè)海水中該種環(huán)境污染物含量，依據(jù)5天一期進(jìn)行記錄，共分為四期，即，，，分別記為Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，則下列哪個(gè)時(shí)期的稀釋效率最高（）．A.Ⅰ期 B.Ⅲ期 C.Ⅲ期 D.Ⅳ期【答案】A【解析】【分析】利用兩點(diǎn)的斜率公式及函數(shù)圖象的特點(diǎn)即可求解.【詳解】由題意可知，表示兩點(diǎn)和間的斜率肯定值，但函數(shù)的圖象特點(diǎn)是遞減同時(shí)后面會(huì)越減越慢.故選：A.6.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】由對(duì)數(shù)運(yùn)算公式可得，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，所以，即因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以，所以，即，所以，故選：B.7.設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】∵數(shù)列{an}是公差為的等差數(shù)列，且∴∴即得∴[點(diǎn)評(píng)]本題難度較大，綜合性很強(qiáng).突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，需考生加強(qiáng)學(xué)問(wèn)系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí).另外，隱藏性較強(qiáng)，須要考生具備肯定的視察實(shí)力.8.已知實(shí)數(shù)x，y滿意：，，則的值是（）．A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)后面式子變形，構(gòu)造成同一種形式，依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解題.【詳解】解：∵，則即，令，，則，令，由明顯為增函數(shù)，且，可知，從而．故選：二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，連接點(diǎn)A和坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交拋物線準(zhǔn)線于點(diǎn)D，則（）．A.F坐標(biāo)為 B.最小值為4C.肯定平行于x軸 D.可能為直角三角形【答案】BC【解析】【分析】對(duì)A選項(xiàng)干脆由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可判定，對(duì)于B選項(xiàng)設(shè)線，設(shè)點(diǎn)得到，利用基本不等式即可得到其最小值，對(duì)于C選項(xiàng)利用B選項(xiàng)中得到的結(jié)論，即可證明即可證明平行，對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行判定其向量點(diǎn)乘是否為0或是斜率乘積是否為即可.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，，，，即，故A錯(cuò)誤,對(duì)B選項(xiàng)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線得，則，，兩式相乘得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)，,令，則，故,因?yàn)?故肯定平行于軸，故C正確，對(duì)D選項(xiàng)，因?yàn)?故不為直角,兩式作差得，故，即，,故不為直角,同理故不為直角，故D錯(cuò)誤，故選：BC.10.四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，E、F分別為、的中點(diǎn)，分別沿、及所在直線把、和折起，使B、C、D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，得到三棱錐，則下列結(jié)論中正確的有（）．A.三棱錐的體積為B.平面平面C.三棱錐中無(wú)公共端點(diǎn)的兩條棱稱為對(duì)棱，則三棱錐中有三組對(duì)棱相互垂直D.若M為的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐的外接球，所得截面的面積的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】由條件結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，依據(jù)面面垂直判定定理證明平面平面，推斷B，依據(jù)錐體體積公式求三棱錐的體積推斷A，由線面垂直的性質(zhì)推斷C，由球的截面的性質(zhì)推斷D.【詳解】由已知，，翻折前，，，翻折后，則有，，，因?yàn)?，，，平面，所以平面，因平面，，又，，所以，A錯(cuò)誤，因?yàn)槠矫妫制矫?，所以平面平面，B正確，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，所以三棱錐中有三組對(duì)棱相互垂直，C正確，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則三棱錐的外接球球心為體對(duì)角線的中點(diǎn)，且，即球的半徑為，所以，過(guò)點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得截面圓的半徑設(shè)為，設(shè)球心到截面圓的距離為，則，、分別為、的中點(diǎn)，則，則，又，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，所以過(guò)點(diǎn)M的平面截三棱錐的外接球，所得截面的面積的最小值為，D正確，故選：BCD.11.已知函數(shù)，（）．A.若在區(qū)間上單調(diào)，則B.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到曲線C，若曲線C對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，最小值為C.函數(shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，則D.關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不同的解，則【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可推斷A，依據(jù)三角函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)可推斷B，依據(jù)三角函數(shù)的圖像性質(zhì)可推斷CD.【詳解】對(duì)于A，，，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，又，所以，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，又，所以，綜上，或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的圖象向左平移個(gè)單位得到，若為偶函數(shù)，則有，解得，，而，所以最小值為，B正確；對(duì)于C，，，函數(shù)在區(qū)間上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，則有，解得：，C正確；對(duì)于D，，即，，，則，解得：，D正確.故選：BCD12.已知和都是定義在R上的函數(shù)，則（）．A.若，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B.函數(shù)與的圖象關(guān)于關(guān)于直線對(duì)稱C.若是不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)隨意實(shí)數(shù)x都有，則D.若方程有實(shí)數(shù)解，則不行能是【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)的定義和性質(zhì)推斷A，分析函數(shù)與的圖象關(guān)系與和的圖象關(guān)系，由此推斷B，由函數(shù)關(guān)系取特別值結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值推斷C，證明方程有實(shí)數(shù)解等價(jià)于方程有解，由此推斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱；A正確；因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是的圖象向右平移1個(gè)單位得到的，因?yàn)?，所以的圖象是的圖象向右平移1個(gè)單位得到的；又因?yàn)榕c的圖象是關(guān)于軸（直線）對(duì)稱，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B錯(cuò)誤因?yàn)楹瘮?shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，所以在中令，可得，即令，可得，即，令，可得，即，令，可得，即，又，所以，則所以，所以，C正確，設(shè)是方程的一個(gè)根，則，故再令，則，即方程有解；又方程無(wú)解，所以不行能是.故選：ACD.非選擇題部分三、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分．13.在的綻開式中，的系數(shù)為___________；【答案】【解析】【分析】先求出二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求出綻開式中項(xiàng)的系數(shù).【詳解】由二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式得，其中令，即，故綻開式中的系數(shù)為.故答案為：.14.已知圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線距離為2，當(dāng)r為正整數(shù)時(shí)，寫出一個(gè)可能的r的值為_____________．【答案】4（答案不唯一）【解析】【分析】計(jì)算圓心到直線的距離，由條件確定半徑的大小.【詳解】因?yàn)閳A的方程為，所以圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以圓心到直線的距離，由圓上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線距離為2，可得，所以，又r為正整數(shù)，所以r的值為4或5或6，故答案為：4(答案不唯一).15.已知，過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則的范圍是________．【答案】【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程有3個(gè)解，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的圖像，視察圖像確定的范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，所以切線方程為，將代入切線方程，得，即為方程的解，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取微小值，微小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，極大值為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，所以方程有三個(gè)不同的解，與的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，即的范圍是.故答案：.16.已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與C交于兩點(diǎn)P，Q，若曲線C上存在某定點(diǎn)A使得為定值，則的值為_____________．【答案】##0.8【解析】【分析】設(shè)直線方程，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理法可得，結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)，，，，則，由，可得，則，，所以，要使為定值，則，可得，，或，，，故．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列中，，成公差為1的等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槌晒顬?的等差數(shù)列，又?jǐn)?shù)列的首項(xiàng)為，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以，可知，所以所以?8.銳角中，已知．（1）求角B；（2）若，求的面積S的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，可得，解出B即可；（2）由已知條件，得到A的范圍，將面積公式化簡(jiǎn)變形用A的三角函數(shù)表示，求出最值.【小問(wèn)1詳解】∵∴由銳角，可知．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，則又，，則由正弦定理知，，則，則∵，∴又，則，∴19.三棱臺(tái)中，為正三角形，，，，．（1）求證：；（2）若二面角的平面角大小為，且在線段上有點(diǎn)D使得平面平分四面體的體積，求與面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，通過(guò)證明面，即可由線面垂直證明線線垂直；（2）利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離，再求線面角即可.【小問(wèn)1詳解】證明：取中點(diǎn)為M，連接，如下所示：∵由為正三角形，∴．∵且，∴為平行四邊形，∴．∵，面，∴面，又∵面，∴．【小問(wèn)2詳解】∵平面平分四面體體積，∴D為的中點(diǎn)，∴，連接，取中點(diǎn)為，連接，如下所示：由（1）知，為的二面角的平面角，∴，∴為正三角形，又，∴，又面面，故，又，面，故面；在中，，，∴，，設(shè)點(diǎn)D到平面的距離為h，由得：，∴，設(shè)與平面所成的角為，則．20.某高校有A，B兩個(gè)餐廳為學(xué)生供應(yīng)午餐與晚餐服務(wù)，甲、乙兩位學(xué)生每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近100天選擇餐廳就餐狀況統(tǒng)計(jì)如下：選擇餐廳狀況（午餐，晚餐）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假設(shè)甲、乙選擇餐廳相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率．（1）分別估計(jì)一天中甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐概率，乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率；（2）記X為甲、乙在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)M表示事務(wù)“A餐廳推出實(shí)惠套餐”，N表示事務(wù)“某學(xué)生去A餐廳就餐”，，一般來(lái)說(shuō)在推出實(shí)惠套餐的狀況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出實(shí)惠套餐的狀況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．【答案】（1），；（2）分布列見解析，1.9；（3）證明見解析.【解析】【分析】(1)由統(tǒng)計(jì)表確定甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐頻率和乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的頻率，由頻率估計(jì)概率即可；(2)由條件確定隨機(jī)變量X的可能取值，再求取各值的概率，依據(jù)期望的定義求期望；(3)由條件結(jié)合條件概率公式證明，由此證明.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事務(wù)C為“一天中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐”，事務(wù)D為“乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐”，因?yàn)?00個(gè)工作日中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的天數(shù)為30，乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的天數(shù)為40，所以，．【小問(wèn)2詳解】由題意知，甲員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，乙員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，記X為甲、乙兩員工在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，則X的全部可能取值為1、2，所以，，所以X的分布列為：X12P0.10.9所以X的數(shù)學(xué)期望．【小問(wèn)3詳解】由題知，即，即，即，即，即，即．21.已知M是橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)M作兩條射線，分別交橢圓于，，交直線于，．（1）若，求的最小值；（2）當(dāng)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】(1)將轉(zhuǎn)化為和的關(guān)系，利用的正切值將角度轉(zhuǎn)化為AM和BM的斜率的關(guān)系，從而得到C和D點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，用表示，結(jié)合基本不等式即可得到的最小值；(2)設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和已知條件求出m的值，從而確定直線AB所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)．【小問(wèn)1詳解】如圖，M(-2，0)，依據(jù)對(duì)稱性，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得：，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值為．【小問(wèn)2詳解】由題可知直線AB斜率不為零，故設(shè)直線，代入可得：，由可得，，，直線MC為：，代入可得：，同理．從而，即，將，代入化簡(jiǎn)得，從而直線為，過(guò)定點(diǎn)．22.已知函數(shù)．（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)，且，，，求的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后分與兩種狀況分別探討函數(shù)單調(diào)性即可；（2）首先將已知條件轉(zhuǎn)化為，