2024徐州中考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí) 二次函數(shù)綜合題（課件）

2024徐州中考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)二次函數(shù)綜合題類(lèi)型一運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的線段問(wèn)題1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋3過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，B(3，0)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，PE∥y軸，交線段BC于點(diǎn)E，連接AP，交線段BC于點(diǎn)D.綜合提升三階(1)求拋物線的解析式；第1題圖解：(1)在y＝ax2＋bx＋3中，令x＝0，則y＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)．∵A(－1，0)，B(3，0)，∴拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，將C(0，3)代入拋物線解析式，得－3a＝3，解得a＝－1，∴拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3；第1題圖(2)當(dāng)AD＝2PD時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則AF∥PE，設(shè)P(t，－t2＋2t＋3)，直線BC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得解得∴直線BC的解析式為y＝－x＋3，∴E(t，－t＋3)，F(xiàn)(－1，4)，∴AF＝4，PE＝－t2＋3t.第1題解圖∵AF∥PE，∴△AFD∽△PED，∴.∵AD＝2PD，∴，解得t＝1或t＝2，∴P(1，4)或(2，3)；第1題解圖(3)求線段PE＋CE的最大值．(3)設(shè)P(t，－t2＋2t＋3)，由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的解析式為y＝－x＋3，∴直線BC與x軸的正半軸的夾角為45°，則xE＝xP＝

CE＝t，PE＋CE＝－t2＋2t＋3＋t－3＋t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，∵－1＜0，∴PE＋CE有最大值，當(dāng)t＝2時(shí)，其最大值為4.2.(2021市區(qū)一模)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M為拋物線y＝x2－4的頂點(diǎn)，點(diǎn)A、B(點(diǎn)A與點(diǎn)M不重合)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且AB∥x軸，以AB為邊作矩形ABCD，點(diǎn)M在CD上，連接AC交拋物線于點(diǎn)E.(1)當(dāng)點(diǎn)A、B在x軸上時(shí)，AE＝__________，CE＝__________；第2題圖【解法提示】對(duì)于y＝x2－4①，令①＝0，解得x1＝－2，x2＝2，∴點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(－2，0)．∵點(diǎn)M為拋物線y＝x2－4的頂點(diǎn)，四邊形ABCD為矩形，∴點(diǎn)M(0，－4)，點(diǎn)D(2，－4)，點(diǎn)C(－2，－4)．設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將A(2，0)、C(－2，－4)代入y＝kx＋b，得解得∴直線AC的解析式為y＝x－2.聯(lián)立直線AC與拋物線的解析式，得解得或∴點(diǎn)E(－1，－3)，∴AE＝同理可得：CE＝.(2)如圖②，當(dāng)原點(diǎn)O在AC上時(shí)，求直線AC的表達(dá)式；(2)由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)A、B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m，－4)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－m，4)(m＜0)．∵點(diǎn)A(－m，4)在拋物線y＝x2－4上，∴4＝m2－4，解得m＝－2(正值已舍去)，∴點(diǎn)C(－2，－4)．由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為y＝x；第2題圖(3)在點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否為定值？如果是，請(qǐng)求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)

是定值，求解如下：設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為n(n＞－4)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，n)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－，－4)，由A、C的坐標(biāo)可得直線AC的表達(dá)式為y＝x＋②，聯(lián)立①②，解得

或∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－)，又∵點(diǎn)A、E、C三點(diǎn)共線，∴.∴在點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，為定值3.解：(1)將A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx－3可得解得

，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2－x－3；3.如圖①，已知拋物線y＝ax2＋bx－3過(guò)A(－1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC.(1)求拋物線的表達(dá)式；第3題圖(2)將△AOC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，①當(dāng)AD取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(1，－6)第3題解圖①【解法提示】如解圖①，將x＝0代入y＝x2－x－3可得y＝－3，∴C(0，－3)，當(dāng)△AOC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°時(shí)，線段AD最長(zhǎng)，∵A(－1，0)，∴D(1，－6)．②當(dāng)點(diǎn)D落在直線BC上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

第3題解圖②DG∵GD∥AB，∴△CGD∽△COB.∴在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∵AO＝1，CO＝3，∴AC＝CD＝.②分兩種情況討論：(ⅰ)如解圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，∵OB＝4，CO＝3，∴CB＝5，∴∴CG＝，GD＝.∴OG＝3－，∴D(，－3)；DG∵QD∥AB，∴△CQD∽△COB.∴在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∵AO＝1，CO＝3，∴AC＝CD＝.∵OB＝4，CO＝3，DQ

第3題解圖③(ⅱ)如解圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥y軸于點(diǎn)Q，∴BC＝5，∴∴CQ＝，QD＝.∴OQ＝3＋，∴D(－,－－3).∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為()或()；DQ第3題解圖③(3)如圖②，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)(P不與點(diǎn)B，C重合)，連接OP，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)OE＋BF的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【解法提示】如解圖④，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸，使BH＝CB，連接OH交BC于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)P，在y軸上取點(diǎn)F，使CF＝BE，連接BF，∵BH⊥x軸，∴BH∥CF，∴∠FCB＝∠HBC，∵CB＝BH，CF＝BE，∴△CFB≌△BEH，∴EH＝BF，∴OE＋BF＝OE＋EH，當(dāng)O，E，H三點(diǎn)共線時(shí)，OE＋BF的值最小，∵B(4，0)，C(0，－3)，∴BC＝BH第3題圖＝5，∴H(4，－5)，設(shè)直線OE的解析式為y＝kx，將H(4，－5)代入得k＝－，∴直線OE解析式為y＝－x，同理可得直線BC的解析式為y＝x－3，聯(lián)立解得∴E(，－)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸交于點(diǎn)G，在Rt△BGE中，由勾股定理得BE＝＝∴CF＝BE＝，∴OF＝CF－OC＝－3＝，∴F(0,)．第3題解圖④(3)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,)．4.如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A(4，0)，B(－4，－4)，且拋物線與y軸交于點(diǎn)C，連接AB，BC，AC.(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；第4題圖解：(1)∵拋物線y＝－

x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，0)，B(－4，－4)，∴解得

，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋x＋2；(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)由拋物線y＝－x2＋x＋2可得對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，如解圖，作點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線x＝1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，則C′的坐標(biāo)為(2，2)，連接BC′，即BC′＝BC′與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，連接PC，此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)最小．設(shè)直線BC′的表達(dá)式為y＝kx＋m(k≠0)，第4題解圖得解得∴直線BC′的表達(dá)式為y＝x，將x＝1代入y＝x，得y＝1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，∵點(diǎn)B(－4，－4)，C(0，2)，∴BC＝∴此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)為BC＋CP＋PB＝BC＋BC′＝2＋6，∴△PBC周長(zhǎng)的最小值為2＋6，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)；第4題解圖將點(diǎn)B(－4，－4)，C′(2，2)代入，(3)若E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合)，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線，分別交拋物線及x軸于F，D兩點(diǎn)．若DE＝2DF，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．(3)由點(diǎn)A(4，0)，B(－4，－4)可得直線AB的表達(dá)式為y＝x－2，設(shè)點(diǎn)E(x，x－2)，其中－4<x<4，則F(x，－x2＋x＋2)，DE＝|x－2|＝2－x，DF＝|－x2＋x＋2|，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)．即2－x＝2×(－x2＋x＋2)，解得x1＝－1，x2＝4(舍去)，將x＝－1代入y＝x－2，得y＝－，∴E(－1，－)；②當(dāng)點(diǎn)F位于x軸下方時(shí)，即2－x＝2×(x2－x－2)，解得x1＝－3，x2＝4(舍去)，將x＝－3代入y＝x－2，得y＝－，∴E(－3，－)．綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－1，－)或(－3，－)．類(lèi)型二動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題1.(2021徐州26題8分)如圖，點(diǎn)A、B在函數(shù)y＝x2的圖象上．已知A、B的橫坐標(biāo)分別為－2、4，直線AB與y軸交于點(diǎn)C，連接OA、OB.綜合提升三階第1題圖(1)求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；解：(1)當(dāng)xA＝－2時(shí)，yA＝1，當(dāng)xB＝4，yB＝4，∴A(－2，1)，B(4，4)．設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b，將A(－2，1)，B(4，4)代入函數(shù)表達(dá)式中，得解得∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝

x＋2；第1題圖(2)求△AOB的面積；(2)把xC＝0代入y＝x＋2中，得yC＝2，∴C(0，2)．∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝·

yC·|xA|＋·yC·|xB|＝·yC·(xB－xA)＝6；第1題圖(3)若函數(shù)y＝x2的圖象上存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積等于△AOB的面積的一半，則這樣的點(diǎn)P共有________個(gè)．第1題解圖

4【解法提示】如解圖，△AOB與△PAB“同底”，根據(jù)△PAB的面積是△AOB面積的一半，將AB分別向上、向下平移OC個(gè)單位長(zhǎng)度，與拋物線的交點(diǎn)有P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)．∴滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)．解：(1)∵將x＝0代入y＝－x2＋6x－5，得y＝－5，∴C(0，－5)，∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，∴P(3，4)；(2分)2.(2022徐州27題10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝－x2＋6x－5的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P，連接PA、AC、CP，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線l.(1)求點(diǎn)P、C的坐標(biāo)；第2題圖(2)直線l上是否存在點(diǎn)Q，使△PBQ的面積等于△PAC面積的2倍？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)存在，理由如下：如解圖，延長(zhǎng)PA、PB交l于點(diǎn)D、E，作CF⊥PA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，QG⊥PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，第2題解圖由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，得PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵l⊥y軸，∴∠CDF＝∠QEG，∵S△PBQ＝2S△PAC，PA＝PB，∴QG＝2CF，(5分)∵CF⊥PA，QG⊥PB，∴∠CFD＝∠QGE，又∵∠CDF＝∠QEG，∴△CFD∽△QGE，∴∴QE＝2CD，由－x2＋6x－5＝0，解得x1＝1，x2＝5，第2題解圖∴A(1，0)，B(5，0)，設(shè)直線PA的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將點(diǎn)P，A坐標(biāo)代入，得解得∵直線PA的解析式為y＝2x－2，∴D(－，－5)，(7分)由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得E(，－5)，∴CD＝，∴QE＝2×＝3，∴滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)：Q1(，－5)，Q2(，－5)．(10分)第2題解圖3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝－2x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)、B，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，OC＝2OA，在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)E.(1)求拋物線的解析式；第3題圖解：(1)∵A(－3，0)，OC＝2OA，∴C(0，6)，∵拋物線y＝－2x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，∴解得∴拋物線的解析式為y＝－2x2－4x＋6；(2)連接BE，與直線AC相交于點(diǎn)F，當(dāng)EF＝BF時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；第3題圖(2)令－2x2－4x＋6＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴B(1，0)，設(shè)E(t，－2t2－4t＋6)，其中－3＜t＜0，如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，則EH∥FG，∴△BFG∽△BEH，∵EF＝BF，∴第3題解圖∵BH＝1－t，∴BG＝BH＝－t，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為＋t，設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx＋b′，把A(－3，0)，C(0，6)代入，解得∴直線AC的表達(dá)式為y＝2x＋6，∴F(＋t，＋t)，∵EH＝FG，∴－2t2－4t＋6＝(＋t)，第3題圖第3題解圖∴t2＋3t＋2＝0，解得t1＝－2，t2＝－1，當(dāng)t＝－2時(shí)，－2t2－4t＋6＝6，當(dāng)t＝－1時(shí)，－2t2－4t＋6＝8，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－2，6)或(－1，8)；第3題圖(3)連接AE、CE、BC，四邊形AECB的面積是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)和四邊形AECB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)存在．理由如下：如解圖，設(shè)EH與直線AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，－2m2－4m＋6)，其中－3＜m＜0，∵點(diǎn)D在直線AC上，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，2m＋6)，∴ED＝－2m2－4m＋6－(2m＋6)＝－2m2－6m，∴S△AEC＝ED·(xC－xA)＝×3×(－2m2－6m)＝－3m2－9m，

第3題圖S△ABC＝AB·OC＝×(1＋3)×6＝12，∴S四邊形AECB＝S△AEC＋S△ABC＝－3m2－9m＋12＝－3(m＋)2＋

，當(dāng)m＝－時(shí)，四邊形AECB的面積有最大值，∵點(diǎn)E在直線AC上方的拋物線上，∴－3<m<0，∴存在點(diǎn)E，使得四邊形AECB的面積有最大值，∵－2m2－4m＋6＝－2×(－)2－4×(－)＋6＝，∴當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－，)時(shí)，四邊形AECB的面積有最大值

.4.(2021徐州黑白卷)如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的直線與y軸交于點(diǎn)B，與二次函數(shù)的圖象交于另一點(diǎn)C，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－1，一條垂直于x軸的直線l交直線AB于點(diǎn)D，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，且CB∶BD∶DA＝1∶1∶2.(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為

________；第4題圖(3,0)【解法提示】∵CB∶BD∶DA＝1∶1∶2，∴CB∶BA＝1∶3.∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－1，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(3，0)．(2)若以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，求出此時(shí)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)∵二次函數(shù)的圖象過(guò)O、A(3，0)兩點(diǎn)，∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝ax(x－3)，如解圖①，連接AE、BE，當(dāng)以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，∠AEB＝90°，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠BFE＝∠AGE＝90°，∴∠EBF＋∠BEF＝90°，∠AEG＋∠BEF＝90°，∴∠EBF＝∠AEG，第4題解圖①∴△BFE∽△EGA，∴由題易知C(－1，4a)，B(0，3a)，E(1，－2a)，∴BF＝5a，EF＝1，AG＝2a，EG＝2，∴解得a＝±∵a＞0，∴a＝∴此時(shí)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x(x－3)；第4題解圖①(3)在(2)的條件下，若P為二次函數(shù)的圖象上位于第四象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)？(3)由(2)得E(1，－)，∵A(3，0)，∴OA＝3.∴S△OAE＝×3×＝，設(shè)P(m，m2－m)，其中0<m<3，且m≠1，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，如解圖②，連接OE，PE，AE，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交OE于點(diǎn)Q，易得OE所在直線表達(dá)式為y＝－

x，則Q(m，－

m)，第4題解圖②∴PQ＝－m－(m2－m)＝－m2＋

m，∴S＝S四邊形OPEA＝S△OPE＋S△OAE＝×1×(－m2＋m)＋＝－(m－)2＋(0<m<1)；第4題解圖②②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，如解圖③，連接OE，PE，AE，過(guò)點(diǎn)P作PI⊥x軸交AE于點(diǎn)I，由題意可得AE所在直線表達(dá)式為y＝x－，則I(m，m－)，∴PI＝m－－(m2－m)＝－

m2＋

m－，第4題解圖③∴S＝S四邊形OEPA＝S△APE＋S△OAE＝×2×(－m2＋m－)＋＝－(m－2)2＋(1<m<3)，∴四邊形面積的表達(dá)式為S＝∴當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，四邊形OPEA的面積取最大值，此時(shí)點(diǎn)P的位置就一個(gè)．∵＞，第4題解圖③令－(m－2)2＋＝，解得m＝2±.∴當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E右側(cè)時(shí)，四邊形OEPA的面積等于的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的位置有兩個(gè)．綜上所述，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積S取時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)．第4題解圖③綜合提升三階1.(2023徐州28題10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝－ax2＋2ax＋3a(a＞0)的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，它的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E.過(guò)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，連接DE并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G.直線AF交CD于點(diǎn)H，交拋物線于點(diǎn)K，連接HE、GK.(1)點(diǎn)E的坐標(biāo)為：________；(1,0)【解法提示】∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－＝1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，0)．第1題圖類(lèi)型三運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的特殊三角形問(wèn)題（含菱形）(2)當(dāng)△HEF是直角三角形時(shí)，求a的值；(2)令y＝0，即－ax2＋2ax＋3a＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，令x＝0，則y＝3a，∴C(0，3a)，∵點(diǎn)C、D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴D(2，3a)，設(shè)DE所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝k1x＋b1，把D(2，3a)，E(1，0)代入，第1題圖得解得∴y＝3ax－3a，令x＝0，得y＝－3a，∴F(0，－3a)，設(shè)AF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝k2x＋b2，把A(－1，0)，F(xiàn)(0，－3a)代入，得第1題圖解得∴y＝－3ax－3a，令y＝3a，得x＝－2，∴H(－2，3a)，(4分)當(dāng)△HEF為直角三角形時(shí)，第1題圖又∵OF＝3a，∴3a＝1，∴a＝；(5分)①當(dāng)∠HFE＝90°時(shí)，∵OA＝OE＝1，OF⊥AE，∴AF＝EF，∴△AEF為等腰直角三角形，∴OF＝OE＝1.第1題圖②當(dāng)∠HEF＝90°時(shí)，如解圖①，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥對(duì)稱(chēng)軸，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，設(shè)HD與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為N，∴∠HNE＝∠EMF＝90°.∵∠NHE＋∠NEH＝90°，∠MEF＋∠NEH＝90°∴∠NHE＝∠MEF，∴△HNE∽△EMF，∴易知HN＝3，NE＝3a，EM＝3a，F(xiàn)M＝1，即＝，解得a＝±，∵a＞0，∴a＝；(6分)第1題解圖①③當(dāng)∠EHF＝90°時(shí)，設(shè)HK與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)I，在△HNI中，∠HNI＝90°，∴∠DHI＜90°，∴∠EHF＜90°，∴此種情況不存在．綜上所述，當(dāng)△HEF為直角三角形時(shí)，a＝

或a＝；(7分)第1題解圖①(3)HE與GK有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)HE∥GK，理由如下：設(shè)直線DE的函數(shù)表達(dá)式為y＝k1x＋b1，將D(2，3a)，E(1，0)代入，得解得∴y＝3ax－3a.令－ax2＋2ax＋3a＝3ax－3a，第1題圖解得x1＝－3，x2＝2，∴G(－3，－12a)，如解圖②，過(guò)點(diǎn)G作GP⊥對(duì)稱(chēng)軸，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則P(1，－12a)，由(2)得直線AF的函數(shù)表達(dá)式為y＝3ax－3a，令－ax2＋2ax＋3a＝－3ax－3a，解得x1＝－1，x2＝6，∴K(6，－21a)，第1題解圖②設(shè)直線GK的解析式為y＝k3x＋b3，將G(－3，－12a)，K(6，－21a)代入，得解得則直線GK的解析式為y＝－ax－15a，設(shè)GK與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為Q，則Q(1，－16a)，∴PQ＝4a，第1題解圖②設(shè)HD與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為J，易知HJ＝3，JE＝3a，GP＝4，∴∵∠HJE＝∠GPQ＝90°，∴△HJE∽△GPQ，∴∠HEJ＝∠GQP，∴HE∥GK.(10分)

第1題解圖②2.(2013徐州28題10分)如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx－的圖象與x軸交于點(diǎn)A(－3，0)和點(diǎn)B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接DP，過(guò)點(diǎn)P作DP的垂線與y軸交于點(diǎn)E.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)：________；(－3,4)第2題圖(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AO(點(diǎn)P不與A、O重合)上運(yùn)動(dòng)至何處時(shí)，線段OE的長(zhǎng)有最大值，求出這個(gè)最大值；(2)將點(diǎn)A(－3，0)代入二次函數(shù)解析式得0＝×32－3b－，解得b＝1，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋x－，令x2＋x－＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．∴OA＝3，OB＝1，∴AB＝4，則AD＝4，..第2題圖設(shè)PA＝t，OE＝l，則PO＝3－t，由∠DAP＝∠POE＝∠DPE＝90°，易得△DAP∽△POE，∴＝∴＝∴l(xiāng)＝－t2＋t＝－(t－)2＋(0＜t＜3)．∵－＜0，0＜＜3，∴當(dāng)t＝時(shí)，l有最大值.第2題圖∴當(dāng)P為AO中點(diǎn)時(shí)，即運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)(－，0)時(shí)，線段OE有最大值，最大值為；(4分)第2題圖(3)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PED是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)存在．①如解圖①，點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，連接DE交AB于點(diǎn)G，∵∠DAP＝∠POE＝∠DPE＝90°，易得∠DPA＝∠PEO.又∵PD＝PE，∴△DAP≌△POE(AAS)，第2題解圖①∴OP＝AD＝4，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－4，0)，∴PA＝OP－AO＝4－3＝1，由△DAP≌△POE得OE＝PA＝1.∵AD∥y軸，∴△ADG∽△OEG，∴∴AG＝AO＝，∴重疊部分的面積為S△ADG＝×4×＝；(7分)第2題解圖①②如解圖②，點(diǎn)P在y軸右側(cè)時(shí)，同理可證△DAP≌△POE，∴OP＝AD＝4，OE＝AP＝OA＋OP＝7，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(4，0)，連接DE交x軸于點(diǎn)G，設(shè)DP與BC交于點(diǎn)Q，∵BQ∥AD，∴△PQB∽△PDA，∴即∴BQ＝，∴CQ＝，∴S△CDQ＝CD·CQ＝.第2題解圖②∵D(－3，4)，P(4，0)，∴DP=∴DE＝DP＝，∵∠DAG＝∠EOA，∠DGA＝∠EGO，∴△AGD∽△OGE，∴即解得AG＝，∴S△ADG＝AD·AG＝，第2題解圖②∴S重疊＝S四邊形DGBQ＝S正方形ABCD－S△ADG－S△CDQ＝16－－＝，此時(shí)重疊部分的面積為，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－4，0)時(shí)，△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，0)時(shí)，△PED與正方形ABCD重疊部分的面積為.(10分)第2題解圖②3.如圖，在平面直角坐系中，拋物線y＝a(x－2)(x＋1)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P為拋物線頂點(diǎn)，已知tan∠ACO＝.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及a的值；解：(1)由拋物線的解析式可知，點(diǎn)A(2，0)，B(－1，0)，∵tan∠ACO＝，即又∵A(2，0)，∴OA＝2，∴OC＝4，即C(0，4)，將(0，4)代入y＝a(x－2)(x＋1)中，解得a＝－2，∴y＝－2(x－2)(x＋1)＝－2x2＋2x＋4，第3題圖∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－＝，當(dāng)x＝

時(shí)，y＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；第3題圖(2)若Q是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)S△ABQ＝4S△APC時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2)由(1)得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，如解圖①，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥y軸于點(diǎn)D，∵C(0，4)，∴CD＝－4＝，PD＝，∴S△APC＝S梯形APDO－S△AOC－S△PCD＝×(＋2)×－×2×4－××＝－4－＝，設(shè)△ABQ的邊AB上的高為h，∵S△ABQ＝4S△APC，AB＝2－(－1)＝3，∴×3h＝4×，解得h＝4，第3題解圖①∵4＜，∴點(diǎn)Q可以在x軸的上方也可以在x軸的下方，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4或－4，當(dāng)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4時(shí)，－2x2＋2x＋4＝4，解得x1＝0，x2＝1，此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，4)或(1，4)；當(dāng)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為－4時(shí)，－2x2＋2x＋4＝－4，解得x1＝x2＝此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－4)或(－4)，綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，4)或(1，4)或(－4)或(－4)；(3)點(diǎn)M是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，在y軸(原點(diǎn)除外)上是否存在點(diǎn)F，使得△MEF為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)存在．設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx＋m，將點(diǎn)A(2，0)，C(0，4)代入y＝kx＋m中，得解得第3題圖∴直線AC的表達(dá)式為y＝－2x＋4，∵點(diǎn)M在直線y＝－2x＋4上，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a，－2a＋4)，如解圖②，當(dāng)∠EMF＝90°時(shí)，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|＝|－2a＋4|，即a＝－2a＋4或a＝－(－2a＋4)＝2a－4，解得a＝或a＝4，∴點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(0，)時(shí)，點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(，)，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(0，－4)時(shí)，點(diǎn)M2的坐標(biāo)為(4，－4)；第3題解圖②當(dāng)∠MFE＝90°時(shí)，∵△MEF是等腰直角三角形，∴|a|＝|－2a＋4|，即a＝(－2a＋4)或a＝－(－2a＋4)，當(dāng)a＝(－2a＋4)＝－a＋2時(shí)，a＝1，－2a＋4＝2，此時(shí)，點(diǎn)F3的坐標(biāo)為(0，1)，點(diǎn)M3的坐標(biāo)為(1，2)，當(dāng)a＝－(－2a＋4)＝a－2時(shí)，無(wú)解；∵點(diǎn)F不會(huì)在原點(diǎn)處，∴∠MEF≠90°.第3題解圖②綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)；當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，－4)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，－4)；點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，1)時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)．第3題解圖②4.如圖，拋物線y＝ax2＋bx與x軸交于A，O兩點(diǎn)，已知該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)為1，BQ⊥y軸，交y軸于點(diǎn)Q.第4題圖(1)求拋物線的表達(dá)式；解：(1)∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)，∴－＝－1①，將頂點(diǎn)坐標(biāo)(－1，－1)代入y＝ax2＋bx得，a－b＝－1②，聯(lián)立①②可得a＝1，b＝2，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋2x；(2)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)BP＋OP的值最小時(shí)，求QP的長(zhǎng)；(2)由題意可知，該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝－1，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，p)，如解圖，作點(diǎn)O關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，恰好為點(diǎn)A，連接AB，與拋物線對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)P，連接OP，PQ.∵AP＝OP，∴BP＋OP＝BP＋AP，∴BP＋OP的最小值為AB的長(zhǎng)．∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，∴B(1，3)．將y＝0代入y＝x2＋2x中得x1＝0，x2＝－2，第4題解圖∴A(－2，0)，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y＝kx＋d，將點(diǎn)A(－2，0)，B(1，3)代入可得解得∴直線AB的表達(dá)式為y＝x＋2.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線AB的表達(dá)式可得，p＝－1＋2＝1.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，1)，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，3)，BQ⊥y軸，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，3)，∴QP第4題解圖(3)若點(diǎn)M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)D，使得以A、B、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)存在．設(shè)點(diǎn)D(－1，m)，當(dāng)AB為菱形的邊時(shí)，分兩種情況討論：①當(dāng)AD＝AB時(shí)，AD2＝AB2＝(－2－1)2＋32＝18，即(－2＋1)2＋m2＝18，解得m＝±；②當(dāng)BD＝AB時(shí)，BD2＝AB2＝18，即(1＋1)2＋(m－3)2＝18，解得m＝3±；當(dāng)AB為菱形的對(duì)角線時(shí)，DA2＝DB2，即(－2＋1)2＋m2＝(1＋1)2＋(m－3)2，解得m＝2.綜上所述，存在這樣的點(diǎn)D，使得以A、B、D、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，其坐標(biāo)為(－1，)或(－1，－)或(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，2)．類(lèi)型四運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的角度問(wèn)題1.(2022徐州28題11分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，0)、B(0，－)、C(2，0)，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D.綜合提升三階(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；解：(1)設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x＋1)(x－2)(a≠0)，將B(0，－)代入得a＝，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝(x＋1)(x－2)＝x2－x－＝

(x－)2－.∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)；(4分)(2)若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD，則PB＋PD的最小值為_(kāi)_______；【解法提示】如解圖①，連接AB，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，交OB于點(diǎn)P，∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝

＝

.∴∠ABO＝30°，PH＝PB，∴PB＋PD＝PH＋PD＝DH.∴此時(shí)PB＋PD最短(垂線段最短)．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝

，∠HAD＝60°，∴sin60°＝＝.∴DH＝AD＝.∴PB＋PD的最小值為.HP第1題解圖①(3)M(s，t)為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有________個(gè)；

5【解法提示】以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與對(duì)稱(chēng)軸有兩個(gè)交點(diǎn)；以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓與對(duì)稱(chēng)軸有兩個(gè)交點(diǎn)；作AB的垂直平分線與對(duì)稱(chēng)軸有一個(gè)交點(diǎn)，∴滿足條件的點(diǎn)M有5個(gè)，則共有5個(gè)點(diǎn)N.②連接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍．②如解圖②，在Rt△AOB中，∵tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，作AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)E，連接EA，則∠AEB＝120°，以點(diǎn)E為圓心，EB長(zhǎng)為半徑作圓，與拋物線對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)F、G，則∠AFB＝∠AGB＝60°，∴線段FG上的點(diǎn)滿足題意，(9分)∵EB＝第1題解圖②∴OE＝OB－EB＝.∴E(0，－)．∵F(，t)，EF2＝EB2，∴()2＋(t＋)2＝()2.解得t＝或，∴F(，)，G(，)，∴t的取值范圍為≤t≤

.(11分)第1題解圖②2.(2021棗莊)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝x2＋bx＋c過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)A，頂點(diǎn)為M.(1)求拋物線關(guān)系式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；解：(1)∵直線y＝－

x＋3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x＝6；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，由拋物線過(guò)原點(diǎn)O(0，0)和點(diǎn)A(6，0)，得解得∴拋物線的關(guān)系式為y＝x2－2x＝(x－3)2－3，∴M(3，－3)；(2)點(diǎn)E是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接EB、EA，當(dāng)△EAB的面積等于時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．(2)解：如解圖①，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線交AB于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(a，a2－2a)，則點(diǎn)D坐標(biāo)為(a，－a＋3)，∴DE＝－a＋3－(a2－2a)＝－a2＋＋3，∴S△EAB＝S△ADE＋S△DEB＝×(－a2＋＋3)×(6－a)＋×(－a2＋+3)×a＝×6×(－a2＋＋3)＝，解得a＝1或a＝，第2題解圖①當(dāng)a＝1時(shí)，a2－2a＝－，當(dāng)a＝時(shí)，a2－2a＝－，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，－)或(，－)；第2題解圖①(3)將直線AB向下平移，得到過(guò)點(diǎn)M的直線y＝mx＋n，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)D(2，0)，連接DM，求證：∠ADM－∠ACM＝45°.(3)證明：直線y＝mx＋n是由直線AB平移得到，∴y＝－x＋n，把M(3，－3)代入得－＋n＝－3，∴n＝－，∴直線CM的表達(dá)式為y＝－x－，令y＝－x－＝0，解得x＝－3，∴點(diǎn)C(－3，0)．∵∠ADM＝∠ACM＋∠CMD，∴只需證明∠CMD＝∠ADM－∠ACM＝45°.如解圖②，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CM于點(diǎn)H，∵直線CM的表達(dá)式為y＝－x－，令x＝0得y＝－，∴G(0，－)，∴CG=

，sin∠HCD＝∴在Rt△CHD中，DH＝CD·sin∠HCD＝5×＝.又∵DM在Rt△DHM中，sin∠HMD第2題解圖②∴∠HMD＝45°，∴∠ADM－∠ACM＝45°.第2題解圖②3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋

x＋c過(guò)點(diǎn)A(0，2)，B(4，0)，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)C.(1)求該拋物線的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；解：(1)將A(0，2)，B(4，0)分別代入y＝ax2＋x＋c中，得解得∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋，∴該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；第3題圖(2)如圖①，點(diǎn)D是線段OB上一點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，過(guò)點(diǎn)E作EF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，若EF＝1，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，如解圖①、②，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥x軸于點(diǎn)P，PE圖①FE(P)圖②第3題圖則∠DPE＝∠AOD＝90°，∴∠EDP＋∠DEP＝90°.∵∠ADO＋∠EDP＝90°，∴∠ADO＝∠DEP.∵AD＝DE，∴△ADO≌△DEP，∴DP＝AO＝2，EP＝DO＝m，∴OP＝m＋2.當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，如解圖①，∵EF＝1，EF∥x軸，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m＋3，m)．將(m＋3，m)代入y＝－x2＋x＋2，得－(m＋3)2＋

(m＋3)＋2＝m，整理得m2＋5m－4＝0，解得m1＝，m2＝(舍去)．此時(shí)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為；PE圖①第3題解圖當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，如解圖②，∵EF＝1，EF∥x軸，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m＋1，m)．將(m＋1，m)代入y＝－x2＋x＋2，得－(m＋1)2＋(m＋1)＋2＝m，整理得m2＋m－6＝0，解得m1＝2，m2＝－3(舍去)．此時(shí)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2.綜上所述，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為或2；FE(P)圖②第3題解圖(3)如圖②，連接AB交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)G，若M是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠AMB＝∠OAB時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)如解圖③、④，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)H，由(1)得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝，設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為n，在Rt△OAB中，根據(jù)勾股定理得AB＝2，∵∠GBH＝∠OBA，∠BHG＝∠BOA，∴△BHG∽△BOA，∴，即＝，解得BG＝.當(dāng)點(diǎn)M在x軸的下方時(shí)，如解圖③，第3題解圖圖③圖④∵AO∥MG，∴∠OAM＝∠AMG.∵∠AMB＝∠OAB，∴∠MAB＝∠GMB.又∵∠ABM＝∠MBG，∴△AMB∽△MGB，∴＝，即BM2＝BG·AB，∴BH2＋HM2＝BG·AB，即(4－)2＋n2＝×2，

第3題解圖圖③圖④解得n1＝(舍去)，n2＝－.此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，－)；當(dāng)點(diǎn)M在x軸的上方時(shí)，如解圖④，∵AO∥MG，∴∠OAB＝∠AGM.∵∠AMB＝∠OAB，∴∠AGM＝∠AMB.又∵∠MAG＝∠BAM，∴△AMG∽△ABM，∴，即AM2＝AG·AB，∴(－0)2＋(n－2)2＝(2－)×2，解得n1＝(舍去)，n2＝.此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)．綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，－)或(，

)．第3題解圖④4.

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx－2與x軸交于A、B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝，且OB＝2OC.(1)求拋物線的解析式及直線BC的解析式；第4題圖解：(1)∵B(4，0)，OB＝2OC，對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝，C(0，－2)，將B(4，0)代入y＝ax2＋bx－2中得0＝a×42＋4b－2①，又∵，∴6a＝－2b②，聯(lián)立①②可得，a＝，b＝－，∴拋物線的解析式為y＝x2－x－2，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝kx＋b，解得k＝，b＝－2，∴直線BC的解析式為y＝x－2；第4題圖(2)如圖①，點(diǎn)M在線段BC上，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，兩條平行線相交于點(diǎn)N，將△MCN沿MC翻折得到△MCN′，當(dāng)點(diǎn)N′落在線段AB上時(shí)，求此時(shí)t的值；(2)如解圖①，當(dāng)點(diǎn)N′落在AB上時(shí)，設(shè)直線NM與x軸交于點(diǎn)Q.∵點(diǎn)M在線段BC上，且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，OC＝2，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為t－2，CN＝t.∴由折疊的性質(zhì)得CN′＝CN＝t，N′M＝NM＝t－2－(－2)＝t，QM＝2－t.∴ON′＝.第4題解圖①易證△ON′C∽△QMN′，∴即解得t＝；第4題解圖①(3)如圖②，點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，當(dāng)△CPQ中的某個(gè)角恰好為2∠ABC時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．(3)如解圖②，過(guò)點(diǎn)P作PR⊥y軸，垂足為R，延長(zhǎng)PR交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.如解圖②，當(dāng)∠QCP＝2∠ABC時(shí)，∠QCP＝2∠BGP，∴∠CPR＝∠G＝∠ABC，∴tan∠CPR＝tan∠ABC，∴設(shè)點(diǎn)P(x，x2－x－2)，則PR＝x，CR＝－2－(x2－x－2)＝－x2＋x.第4題解圖②∴

，解得x＝0(舍去)或x＝2.∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2；如解圖③，當(dāng)∠CPQ＝2∠ABC時(shí)，令y＝x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝4，∴A(－1，0)．設(shè)AB的中點(diǎn)為F，連接CF，則AF＝，OF＝，F(xiàn)B＝，∴tan∠OFC＝，CF＝.第4題解圖③∴FB＝FC，∴∠OFC＝2∠ABC，∴tan∠CPQ＝tan∠OFC＝.設(shè)QP＝3k，CQ＝4k，則CP＝5k.∵tan∠QGP＝tan∠OBC，∴，∴GQ＝6k，∴由勾股定理，得GP＝GC＝GQ－CQ＝2k.∵在Rt△GCR中，tan∠CGR＝，∴GR＝k，CR＝k，第4題解圖③∴RP＝GP－GR＝－∴解得x＝0(舍去)或x＝，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或.第4題解圖③類(lèi)型五與圓有關(guān)的問(wèn)題徐州近年中考真題精選1.(2023徐州28題10分)如圖，已知二次函數(shù)y＝x2－4的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，⊙C的半徑為，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)．(1)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為B(______)，C(______)；3，00，－4【解法提示】把y＝0代入y＝x2－4，得x＝±3，∴B(3，0)，A(－3，0)；把x＝0代入y＝x2－4，得y＝－4，∴C(0，－4)．(2)是否存在點(diǎn)P，使得△PBC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)存在．設(shè)P(x，y)，根據(jù)題意，得PC＝，BC＝，①當(dāng)∠CPB＝90°時(shí)，PB∴兩式相減，得x＝，代入(x－3)2＋y2＝20，得5y2＋32y＋44＝0，解得y1＝－2，y2＝－，∴x1＝－1，x2＝，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－2)或(，－)；(4分)②當(dāng)∠BCP＝90°時(shí)，PB

∴兩式相減，得x＝，代入(x－3)2＋y2＝30，得5y2＋40y＋71＝0，解得y1＝－4＋，y2＝－4－，∴x1＝

－，x2＝，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，－4＋)或(，－4－)；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－2)或(，－)或(－，－4＋)或(，－4－)；(3)連接PB，若E為PB的中點(diǎn)，連接OE，則OE的最大值＝________．【解法提示】由題可知OE是△APB的中位線，OE取最大值，即AP取得最大值，易知當(dāng)A、C、P三點(diǎn)共線時(shí)，AP最大．如解圖，當(dāng)A、C、P在一條直線上，且P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，OE取最大值，∵AC=

，∴AP＝AC＋CP＝5＋，∴OE＝AP＝，∴OE的最大值為.第1題解圖2.(2022徐州28題12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10，0)，以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點(diǎn)．連接AB并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BC＝AB，過(guò)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交線段OB于點(diǎn)E.已知CD＝8，拋物線經(jīng)過(guò)O、E、A三點(diǎn)．第2題圖(1)∠OBA＝________°；90【解法提示】∵OA是直徑，∴∠OBA＝90°.(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；∵由(1)知OB⊥AC，又∵AB＝BC，∴OB是AC的垂直平分線，∴OC＝OA＝10.在Rt△OCD中，OC＝10，CD＝8，∴OD＝∴C(6，8)．(4分)(2)如圖所示，連接OC，第2題圖在Rt△CDA中，B是AC的中點(diǎn)，∴B(8，4)，∴OB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝x.又∵E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，∴E點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，即E(6，3)，∵拋物線過(guò)O(0，0)，E(6，3)，A(10，0)，∴設(shè)此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax(x－10)(a≠0)，把E點(diǎn)坐標(biāo)代入得3＝6a(6－10)，解得a＝－，∴此拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x(x－10)＝－x2＋x；(6分)第2題圖(3)若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)？(3)設(shè)點(diǎn)P(p，－p2＋p)，①若點(diǎn)P在CD的左側(cè)，延長(zhǎng)OP交CD于點(diǎn)Q，如解圖②，OP所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝(－p＋)x，∴當(dāng)x＝6時(shí)，y＝－p＋，即Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為－p＋，∴QE＝－p＋－3＝－p＋，∴S四邊形EAOP＝S△OAE＋S△OPE＝S△OAE＋S△OQE－S△PQE＝OA·DE＋QE·OD－QE·(6－p)＝×10×3＋(－p＋)×6－(－p第2題解圖②....＋)(6－p)＝－p2＋p＋15＝－(p－3)2＋；(8分)②若點(diǎn)P在CD的右側(cè)，延長(zhǎng)AP交CD于點(diǎn)Q，連接AE，如解圖③，∵A(10，0)，∴設(shè)AP所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，把點(diǎn)P和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得，解得第2題解圖③∴AP所在直線解析式為y＝－px＋p，∴當(dāng)x＝6時(shí)，y＝－p·6＋p＝p，即Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為p，∴QE