正余弦定理在三角形中的應(yīng)用

正余弦定理的應(yīng)用

正余弦定理在三角形中的應(yīng)用

考情分析

0知識(shí)精講r

核心知識(shí)點(diǎn)一：正余弦定理以及變形公式

nhCQhC

1.正弦定理：=-----4十-------=2R(R為△ABC外接圓

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

的半徑）。

?eabc

變形：〃=2HsinA,b=2RsinB,c=2HsinC；sinA=----，sinB=-----，sinC=-----

2R2R2R

a-b-c=sinA:sinB：sinCo

2.余弦定理：a2=b2+c2—2/?ccosA,/?2=tz2+c2—2accosB,c2=a2-\-b2—2abcosC；

72,222,2i22,22

a+c-ba+。7-c

推論：cosA=，,cosB,cosC

2bclaclab

變形：b2+c2—a2=2Z?ccosA,a2+c1—b2=2accosB,^2+Z?2—c2=2tzZ?cosCo

核心知識(shí)點(diǎn)二：三角形面積公式

?角形面積：S^ABC=-〃加inC=-ocsinB=-Z?csinAo

222

核心知識(shí)點(diǎn)三：判斷三角形的形狀特征

必須從研究三角形的邊角關(guān)系入手，充分利用正、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化邊為角或化

角為邊，邊角統(tǒng)一。

①等腰三角形：4=6或4=瓦

②直角三角形：一十為=自或-=90。

③鈍角三角形：層>加+由或A>90。。

④銳角三角形：若a為最大邊，且滿足”2<廿+名或A為最大角,且4<90。。

國(guó)典例精析

典例一：利用正余弦定理求解三角形

例題1(1)在AABC中，0=8,2=60°,C=75°,求邊b和c。

ccsRh

(2)在AABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且-----=一------

cosC2a+c

求角B的大小。

cihc

解：(1)VB=60°,C=75。，.\A=45°o由正弦定理-----=------=------,

sinAsin5sinC

得b=a-smB=4舊,。=^^=4指+4。：.b=446,c=4指+4。

sinAsinA

(2)由余弦定理知：

_a2+c2-b2_a2+b2-c2

cosB=z,cosC~~o

lac2ab

出八、、cosBba1+c2-b2labb

將上式代入-----二—------得：——-----------——-—------，

cosC2a+claca+b-c2a+c

擊RTEQ/口nI-),n.Cl?+/—b2—(JC1

整理得：a2+c2—b2=-ac..cosB=-----------=-----=一一。

o2ac2ac2

2

為二角形的內(nèi)角，???B=-7Co

3

總結(jié)提升：

1.解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式

子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則考慮兩個(gè)

定理都有可能用到。

2.熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)

用。

3.關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角

形的性質(zhì)，常見的三角恒等變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)

一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”。

典例二：判斷三角形的形狀

例題2在AABC中，a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，已知2asinA=(2b+c)

sinB+(2c+b)sinCo

(1)求角A的大??；

(2)若sinB+sinC=l,試判斷AABC的形狀。

解：(1)由己知得：2a2=(2b+c)b+(2c+b)c。

即c^—^+^+bc

由余弦定理得：a2—b2-\-c1—2.bccosAcosA=——

2

VAe(0°,180°),.*.A=120°o

,__3

(2)由(1)得：sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC=—

4

31

BP1—sinBsinC=—,即sinBsinC=—。

44

又sinB+sinC=l得sinB=sinC=—

2

V0o<B<60o,0°<C<60°o：,B=Co

?*.△ABC是等腰的鈍角三角形。

總結(jié)提升：

有關(guān)三角形形狀的判定時(shí)，方法大致如下：

1.探究?jī)?nèi)角的大小或取值范圍確定形式；

2.對(duì)所給的邊角關(guān)系式一般都要先化為純粹的邊之間的關(guān)系或純粹的角之間的關(guān)系，

再判斷。

典例三：求解三角形中的最值、面積問題

例題3已知a,b,c分別為△NBC的內(nèi)角B,C的對(duì)邊，且acosC+百asinC-6

-。=0。

(1)求4

(2)若a=2,求AABC面積的最大值。

解：(1)由QCOSC+A/3osin。一/?一。=0及正弦定理得

sinAcosC+V3sinAsinC—sinB—sinC=0。

因?yàn)?=7i—A—C,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以由sinAsinC—cosAsinC—sinC=0。易知sinC#0,所以6sinA—cosA=l,

LLr、i./4兀、1「丁,?,?57rnn,Tl兀?

所以sin(A-----)=-o又0VA〈兀，——VA——V—，即A————，所以A=—。

62666663

(2)法一由(1)得5+C=23冗C=2—7r-B(0<B<—2冗),

333

〃「2444

由正弦定理得‘一=‘^=」一=-----=7,所以b=Tsinbc=-^sin

sinAsinBsinC.工J3J3J3

SID]

以SAABC=—Z?csinA.——x——sinBx-尸sinCsin———-------sinB,sinC

2273V333

4"?sinB-sin—B)=4再(^^-sinBcosB+—sin2B)=sin2B且cos2B

333223

I百_2百

-3

?,71Tl^171,,Tl71

易知一一＜22一—〈—,故當(dāng)22一—=一,

66662

即2=2時(shí)，S“BC取得最大值，最大值為竺+立=百。

333

TT7T

法二由(1)知4=—,又4=2,由余弦定理得22=從+(?—2/7CCOS—,

33

即b2+c2—bc=4Z?c+4=Z?2+(?>2bcbc<4,

當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c=2時(shí)，等號(hào)成立。

11V3V3/T

所以S^ABC=-bcsir\A=—x-----bc<x4=J3,

2224

即當(dāng)6=c=2時(shí)，SMBC取得最大值，最大值為6。

總結(jié)提升：

1.求解三角形中的最值問題常用如下方法：

(1)將要求的量轉(zhuǎn)化為某一角的三角函數(shù)，借助于三角函數(shù)的值域求最值。(2)將要

求的量轉(zhuǎn)化為邊的形式，借助于基本不等式求最值。

2.求解面積問題時(shí)，根據(jù)已知條件選擇適當(dāng)?shù)拿娣e公式S=—"sinC,5=—acsinB,

22

S=-Z?csinAo

2

由歸納總結(jié)

1.解三角形中要根據(jù)所給邊角關(guān)系靈活選擇恰當(dāng)?shù)墓剑瑢?duì)于已知兩邊及其中一邊的對(duì)

角情況，要根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系，從而驗(yàn)證所求解是否符合題意；

2.判斷三角形形狀：要注意邊角互化原則，將題目條件中的角全部化為邊或邊全部化為

角；

3.面積、最值問題：選擇面積公式通常選擇已知角所對(duì)應(yīng)的面積公式；解決最值問題時(shí)，

通常將所求問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)角或一邊的函數(shù)形式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解；另外，有時(shí)涉及

到面積、周長(zhǎng)最值問題時(shí)，也常利用基本不等式求最值。

同步練習(xí)”

（答題時(shí)間：30分鐘）

1.在^ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為“，b,Co若acosA=bsinB,貝！JsinAcosA+

COS2B的值為（）

11

A.——B.一

22

C.-1D.1

2.若aABC的內(nèi)角A、B、C滿足6sinA=4sinB=3sinC,則cosB的值為（）

3.若aABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊mb,c滿足(a+b)2—c?=4且C=60。，則ab

的值為()

A.-B.8-4A/3

3

2

C.1D.-

3

4.在AABC中，sin2A<sin2B+sin2C-sinB-sinC,則A的取值范圍是()

r71

A.(0,-]B.[一971)

66

C.(0,-]D.[—,兀）

33

5.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且滿足csinA=acosC,則角C等于

6.在AABC中，若(層+〃)$畝(A-B)=(cz2-Z>2)-sin(A+B),則AABC的形狀

是O

「想運(yùn)用到真實(shí)的事物

考答案I

1.答案：D

2

解析：根據(jù)正弦定理，由acosA=bsinB得sinAcosA=sinBo

sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1,故選D。

2.答案：D

解析：結(jié)合正弦定理得：6a=4b=3c

設(shè)3c=12Z(Z>0)則〃=2%,b=3k,c=4區(qū)

22_724左2+16左2—9左211

由余弦定理得cos3=----------選D。

lac2x24x4左16

3.答案：A

f(a+b)2—c2=4

解析：由己知得：\\,,。

[a"+。~—。一=2abeos60

-4

兩式相減得：ab=—,選A。

3

4.答案：C

解析：由已知得：a2<b2+c2-bc

由余弦定理得：a2—b2ji-c1—?.bccosAZ?2+c2—2bccosA<b2-\-(r—bc

[71

.\cosA>-VAe(0,兀)，AAE(0,—],選C。

一23

5.答案：-

4

解析：由正弦定理得sinCsinA=sinAcosCo

因?yàn)?VAV兀，所以sinA>0,從而sinC=cosC,

又cosC^O,所以tanC=1,則C=一。

4

6.答案：等腰或直角三角形

解析：?:(居+廬)sin(A—B)=(/一序)sin(A+8),

/?2[sin(A+3)+sin(A—B)]=4z2[sin(A+5)—sin(A—B)],

2sinAcosB-b2=2cosAsinB?a1,

即a2cosAsinB=Z?2sinAcosBo

方法一由正弦定理知〃=2RsinA,b=2RsinB,

sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB,

又sinA-sinB和,sinAcosA=sin8cosB,

sin2A=sin2BO

在△ABC中,0<2A<2TI,0<2B<2TI,

式

，2A=28或24=兀-22,或A+B=一。

2

???AABC為等腰或直角三角形。

方法二由正弦定理、余弦定理得:

72.222.272

b+c-aa+c-b

01b=b%---------

2bclac

a2(從+，一層)=吩(4z2+c2—/?2),

(a2—/?2)(a2+Z?2—c2)=0,

:?"―"2=0或〃2+》2一，=0。

222

即a=b或a+b=coAABC為等腰或直角三角形。

正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

核心知識(shí)點(diǎn)一：實(shí)際問題中的常用角

(1)仰角和俯角

與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方的

角叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的角叫俯角(如圖①)。

(2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30。，北偏西45。，西偏北60。等;

（3）方位角

指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為a（如圖②）。

（4）坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)。

核心知識(shí)點(diǎn)二：解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形

（1）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定

理或余弦定理求解。

（2）實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)

需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量,

從幾個(gè)三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要求的解。

國(guó)典例精析

典例一：測(cè)量距離問題

例題1如圖所示，A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上

的兩座燈塔的塔頂。測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75。，30°,于水面C

處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°,AC=0.1km。

(1)求證：AB=BD；

(2)求BD。

(1)證明：在AACD中，NDAC=30。，ZADC=60°-ZDAC=30°,

所以CD=AC=0.1。又NBCD=180o—60o—60o=60。，

故CB是ACAD底邊AD的中垂線，所以BD=BA。

AB_AC

(2)解:在AABC中,

sinZBCAsinZABC

口"ACsin60°3亞+娓，、

即AB=---------------=----------------(km),

sinl5020

.__...3~\J~2+yfG

因此，BD=--------------(km)

20

3V2+V6

故B、D的距離約為km

20o

總結(jié)提升：

(1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的

模型。

(2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解。

(3)應(yīng)用題要注意作答。

典例二：測(cè)量高度問題

例題2某興趣小組要測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m)如圖所示，垂直放置的標(biāo)

桿BC的高度h=4m,仰角NABE=a,ZADE=po

(1)該小組已測(cè)得一組a、P的值，算出了tana=1.24,tanp=1.20,請(qǐng)據(jù)此算出H的

值;

(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位：m),

使a與p之差較大，可以提高測(cè)量精度。若電視塔的實(shí)際高度為125m,試問d為多少時(shí),

a-P最大？

HhHHh

解：(1)由AB=-------,BD=--------,AD=--------及AB+BD=AD得-----

tanatanptan/?tanatan0

H/itana4x1.24

解得H=--------------=124o

tan。tana-tan/31.24-1.20

因此，算出的電視塔的高度H是124m。

H

(2)由題設(shè)知(1=人8,得tana=—。

d

/日

由AB=AD—BD=------------------,得tancp=-H-----h--，

tan0tan0d

/、tana-tan/?hh

所以tan(a—p)=------------------=-------------<———

1+tanatan/?d+-2dH(H-h)

d

當(dāng)且僅當(dāng)<1=H,H”,即(1=—3=J125x(125—4)=55岔時(shí),上式取

等號(hào)。所以當(dāng)d=55百時(shí)，tan(a—p)最大。因?yàn)镺vpvav],貝所以當(dāng)d

=556■時(shí)，a—P最大。故所求的d是55返m。

總結(jié)提升：

(1)測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念。

(2)分清已知和待求，分析(畫出)示意圖，明確在哪個(gè)三角形應(yīng)用正、余弦定理。

(3)注意豎直線垂直于地面構(gòu)成的直角三角形。

典例三：測(cè)量角度問題

例題3我國(guó)海軍在東海舉行大規(guī)模演習(xí)。在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45。方向，距離A

(百一1)km的8處有一艘“敵艦”。在A處北偏西75。的方向，距離A2km的C處的“大

連號(hào)”驅(qū)逐艦奉命以10km/h的速度追截“敵艦”。此時(shí)，“敵艦”正以10km/h的速度從2

處向北偏東30。方向逃竄，問“大連號(hào)”沿什么方向能最快追上“敵艦”?

解：設(shè)“大連號(hào)'用fh在。處追上“敵艦”，則有C￡>=10后f,BD=103如圖在AABC

中，VAB=V3-1,AC=2,ZBAC=120°,

，由余弦定理，得

BC2=AB~+AC2~2AB-AC-COSZBAC

=(73-1)2+22—2.(73-1)-2-cos120°=6

BC=J6,且sinZABC=-------sinZBAC=

BCV622

，ZABC=45°,

與正北方向垂直。

：.ZCBZ)=90°+30°=120°,

在ABCD中，由正弦定理，得

BD-sinZCBD10/sin12001

sinZBCD=----------------------=---------產(chǎn)=—

CD10疝2

：.ZBCD=3Q°o

即“大連號(hào)”沿東偏北30。方向能最快追上“敵艦”。

的歸納總結(jié)

1.解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖;

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量集中在有關(guān)的三角形中，建

立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；

（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解。

2.利用正弦定理和余弦定理來(lái)解題時(shí)，要學(xué)會(huì)審題及根據(jù)題意畫方位圖，要懂得從所給

的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。

3.解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：

（1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；

（2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研

究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。

同步練習(xí)”

（答題時(shí)間：30分鐘）

1,江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)

得俯角分別為45。和60。，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30。角，則兩條船相距mo

口1

□

2.某人向正東方向走xkm后，他向右轉(zhuǎn)150。，然后朝新方向走3km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)

恰好百km,那么x的值為。

3.如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A,B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線CD,現(xiàn)已測(cè)出

CD=a和/ACD=60。，ZBCD=30°,ZBDC=105°,ZADC=60°,則AB的長(zhǎng)為

4.在AABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD=-CD,ZADB=120°,AD=2,若AADC的面

2

積為3—石，則NBAC=

5.如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C,使C在塔底B的正東方向上，

測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60。，再由點(diǎn)C沿北偏東15。方向走10米到位置D,測(cè)得/BDC=45。,

則塔AB的高是米。

考答案I

1.答案：30

解析：如圖，OM=AOtan45o=30(m