十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項匯編（全國）專題18 圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）小題綜合（教師卷）

專題18圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1橢圓方程及其性質(zhì)（10年6考）2023·全國甲卷、2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷2021·全國新Ⅰ卷、2020·山東卷、2019·全國卷、2019·全國卷2015·山東卷、2015·全國卷、2015·廣東卷、2015·全國卷熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的方程及其性質(zhì)應(yīng)用，是高考高頻考點熟練掌握橢圓和雙曲線的離心率的求解及應(yīng)用，同樣是高考熱點命題方向熟練掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，并會求解最值及范圍，該內(nèi)容也是命題熱點掌握曲線方程及軌跡方程考點2雙曲線方程及其性質(zhì)（10年10考）2024·天津卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2023·天津卷2023·北京卷、2022·全國甲卷、2022·全國甲卷、2022·北京卷2022·天津卷、2021·北京卷、2021·全國乙卷、2021·全國乙卷2021·全國新Ⅱ卷、2020·北京卷、2021·全國甲卷、2020·天津卷2020·浙江卷、2019·全國卷、2019·江蘇卷、2018·北京卷2018·全國卷、2018·浙江卷、2018·全國卷、2018·全國卷2018·天津卷、2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全國卷2017·上海卷、2017·山東卷、2017·全國卷、2017·江蘇卷2016·江蘇卷、2016·北京卷、2016·浙江卷、2016·北京卷2016·天津卷、2016·全國卷、2016·天津卷、2015·廣東卷2015·重慶卷、2015·天津卷、2015·安徽卷、2015·福建卷2015·江蘇卷、2015·浙江卷、2015·全國卷、2015·上海卷2015·上海卷、2015·全國卷、2015·北京卷考點3拋物線方程及其性質(zhì)（10年10考）2024·全國新Ⅱ卷、2024·北京卷、2024·上海卷、2024·天津卷2023·全國乙卷、2023·北京卷、2023·全國新Ⅱ卷2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國乙卷2021·全國新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全國卷、2020·北京卷2020·全國卷、2019·全國卷、2019·北京卷、2018·北京卷2018·全國卷、2017·全國卷、2017·天津卷、2017·全國卷2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全國卷、2016·四川卷2015·浙江卷、2015·全國卷、2015·陜西卷、2015·上海卷2015·陜西卷考點4橢圓的離心率及其應(yīng)用（10年8考）2023·全國新Ⅰ卷、2022·全國甲卷、2022·全國甲卷2021·全國乙卷、2021·浙江卷、2019·北京卷、2018·北京卷2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷、2017·浙江卷2017·全國卷、2016·浙江卷、2016·全國卷、2016·全國卷2016·江蘇卷、2015·福建卷、2015·浙江卷考點5雙曲線的離心率及其應(yīng)用（10年10考）2024·全國甲卷、2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅰ卷2023·北京卷、2022·全國乙卷、2022·全國甲卷、2022·浙江卷2021·全國甲卷、2021·天津卷、2021·北京卷2021·全國新Ⅱ卷、2020·山東卷、2020·江蘇卷、2020·全國卷2020·全國卷、2019·北京卷、2019·天津卷、2019·全國卷2019·全國卷、2019·全國卷、2018·江蘇卷、2018·北京卷2018·北京卷、2018·全國卷、2018·天津卷、2017·天津卷2017·全國卷、2017·全國卷、2017·全國卷、2017·北京卷2016·山東卷、2016·浙江卷、2016·全國卷、2015·廣東卷2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·全國卷、2015·山東卷2015·山東卷、2015·山東卷、2015·湖南卷考點6直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及其應(yīng)用（10年10考）2024·北京卷、2023·天津卷、2023·全國新Ⅱ卷2022·全國新Ⅱ卷、2021·全國甲卷、2021·全國乙卷2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷、2020·全國卷2020·山東卷、2019·浙江卷、2019·全國卷、2018·全國卷2018·全國卷、2017·全國卷、2016·四川卷、2015·全國卷考點7曲線方程及曲線軌跡（10年6考）2024·全國新Ⅰ卷、2024·全國新Ⅱ卷、2021·浙江卷2020·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2019·北京卷2016·四川卷、2015·山東卷、2015·浙江卷考點8圓錐曲線中的最值及范圍問題（10年6考）2021·全國乙卷、2021·全國乙卷、2021·全國新Ⅰ卷2020·全國卷、2018·浙江卷、2017·全國卷、2017·全國卷2017·全國卷、2016·四川卷、2016·全國卷、2016·浙江卷2015·上海卷、2015·全國卷、2015·江蘇卷考點01橢圓方程及其性質(zhì)1．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出的面積，即可解出；方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【詳解】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.2．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出的面積，即可得到點的坐標(biāo)，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．3．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.4．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．故選：C．【點睛】5．（2020·山東·高考真題）已知橢圓的長軸長為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長等于（

）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長軸長為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長，故選：B.6．（2019·全國·高考真題）已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．7．（2019·全國·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出的坐標(biāo).【詳解】由已知可得，又為上一點且在第一象限,為等腰三角形，．∴．設(shè)點的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．8．（2015·山東·高考真題）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，右焦點與圓的圓心重合，長軸長等于圓的直徑，那么短軸長等于．【答案】【分析】由于是圓，可得，通過圓心和半徑計算，即得解【詳解】由于是圓，即：圓其中圓心為，半徑為4那么橢圓的長軸長為8，即，，，那么短軸長為故答案為：9．（2015·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線的焦點重合，是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：拋物線的焦點為所以橢圓的右焦點為即且橢圓的方程為拋物線準(zhǔn)線為代入橢圓方程中得故選B.考點：1、拋物線的性質(zhì)；2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．10．（2015·廣東·高考真題）已知橢圓（）的左焦點為，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)焦點坐標(biāo)可知焦點在軸，所以，，，又因為，解得，故選C.考點：橢圓的基本性質(zhì)11．（2015·全國·高考真題）一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【詳解】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為.考點：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程考點02雙曲線方程及其性質(zhì)1．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.【詳解】如下圖：由題可知，點必落在第四象限，，設(shè)，，由，求得，因為，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：C2．（2023·全國甲卷·高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線為，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D3．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.4．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由點到直線的距離公式求出，設(shè)，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.【詳解】如圖，

因為，不妨設(shè)漸近線方程為，即，所以，所以.設(shè),則，所以，所以.因為,所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D5．（2022·天津·高考真題）已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出點的坐標(biāo)，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，不妨設(shè)點為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立，可得，即點，因為且，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.6．（2021·北京·高考真題）若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B7．（2021·全國甲卷·高考真題）點到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對稱性，不妨考慮點到直線的距離：.故選：A.8．（2020·天津·高考真題）設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點和點的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線的焦點可求得直線的方程為，即得直線的斜率為，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為，可得，即可求出，得到雙曲線的方程．【詳解】由題可知，拋物線的焦點為，所以直線的方程為，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為，所以，，因為，解得．故選：．【點睛】本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（2020·浙江·高考真題）已知點O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．設(shè)點P滿足|PA|–|PB|=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點，則|OP|=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，點既在雙曲線的一支上，又在函數(shù)的圖象上，即可求出點的坐標(biāo)，得到的值．【詳解】因為，所以點在以為焦點，實軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，，即雙曲線的右支方程為，而點還在函數(shù)的圖象上，所以，由，解得，即．故選：D.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及二次曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（2019·全國·高考真題）雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點，若，則△PFO的面積為A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題．【詳解】由．，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，，故選A．【點睛】忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積．11．（2018·全國·高考真題）已知雙曲線的離心率為，則點到的漸近線的距離為A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：由離心率計算出，得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可．詳解：所以雙曲線的漸近線方程為所以點（4，0）到漸近線的距離故選D點睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點到直線距離公式，屬于中檔題．12．（2018·浙江·高考真題）雙曲線的焦點坐標(biāo)是A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線方程確定焦點位置，再根據(jù)求焦點坐標(biāo).【詳解】因為雙曲線方程為，所以焦點坐標(biāo)可設(shè)為，因為，所以焦點坐標(biāo)為，選B.【點睛】由雙曲線方程可得焦點坐標(biāo)為，頂點坐標(biāo)為，漸近線方程為.13．（2018·全國·高考真題）雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A.點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：.14．（2018·全國·高考真題）已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=A． B．3 C． D．4【答案】B【詳解】分析：首先根據(jù)雙曲線的方程求得其漸近線的斜率，并求得其右焦點的坐標(biāo)，從而得到，根據(jù)直角三角形的條件，可以確定直線的傾斜角為或，根據(jù)相關(guān)圖形的對稱性，得知兩種情況求得的結(jié)果是相等的，從而設(shè)其傾斜角為，利用點斜式寫出直線的方程，之后分別與兩條漸近線方程聯(lián)立，求得，利用兩點間距離公式求得的值.詳解：根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為，且右焦點為，從而得到，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)線段長度的問題，在解題的過程中，需要先確定哪兩個點之間的距離，再分析點是怎么來的，從而得到是直線的交點，這樣需要先求直線的方程，利用雙曲線的方程，可以確定其漸近線方程，利用直角三角形的條件得到直線的斜率，結(jié)合過右焦點的條件，利用點斜式方程寫出直線的方程，之后聯(lián)立求得對應(yīng)點的坐標(biāo)，之后應(yīng)用兩點間距離公式求得結(jié)果.15．（2018·天津·高考真題）已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點.設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且則雙曲線的方程為A． B．C． D．【答案】A【詳解】分析：由題意首先求得A,B的坐標(biāo)，然后利用點到直線距離公式求得b的值，之后利用離心率求解a的值即可確定雙曲線方程.詳解：設(shè)雙曲線的右焦點坐標(biāo)為（c>0），則，由可得：，不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為.本題選擇A選項.點睛：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.16．（2017·天津·高考真題）【陜西省西安市長安區(qū)第一中學(xué)上學(xué)期期末考】已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點），則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意結(jié)合雙曲線的漸近線方程可得：，解得：，雙曲線方程為：.故選：D..【考點】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【名師點睛】利用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程是高考常見題型，求雙曲線方程最基礎(chǔ)的方法就是依據(jù)題目的條件列出關(guān)于的方程，解方程組求出，另外求雙曲線方程要注意巧設(shè)雙曲線（1）雙曲線過兩點可設(shè)為，（2）與共漸近線的雙曲線可設(shè)為，（3）等軸雙曲線可設(shè)為等，均為待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程.17．（2017·天津·高考真題）已知雙曲線的左焦點為，離心率為.若經(jīng)過和兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，選B.【考點】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【名師點睛】利用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程是高考常見題型，求雙曲線方程最基礎(chǔ)的方法就是依據(jù)題目的條件列出關(guān)于的方程，解方程組求出，另外求雙曲線方程要注意巧設(shè)雙曲線（1）雙曲線過兩點可設(shè)為，（2）與共漸近線的雙曲線可設(shè)為，（3）等軸雙曲線可設(shè)為等，均為待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（2017·全國·高考真題）已知F是雙曲線C：的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標(biāo)是(1，3)，則的面積為A． B．C． D．【答案】D【詳解】由得，所以，將代入，得，所以，又點A的坐標(biāo)是(1，3)，故△APF的面積為，選D．點睛:本題考查圓錐曲線中雙曲線的簡單運算，屬容易題．由雙曲線方程得，結(jié)合PF與x軸垂直，可得，最后由點A的坐標(biāo)是(1，3)，計算△APF的面積．19．（2016·天津·高考真題）已知雙曲線（b>0），以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為A．B．C．D．【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)對稱性，不妨設(shè)在第一象限，則，∴，故雙曲線的方程為，故選D.【考點】雙曲線的漸近線【名師點睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時注意：（1）確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程也需要一個“定位”條件，兩個“定量”條件，“定位”是指確定焦點在哪條坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法．（2）利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時應(yīng)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问?，以避免討論．①若雙曲線的焦點不能確定時，可設(shè)其方程為Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知漸近線方程為mx＋ny＝0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．20．（2016·全國·高考真題）已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)【答案】A【詳解】由題意知：雙曲線的焦點在軸上，所以，解得，因為方程表示雙曲線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選A．【考點】雙曲線的性質(zhì)【名師點睛】雙曲線知識一般作為客觀題出現(xiàn),主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.注意雙曲線的焦距是2c而不是c,這一點易出錯.21．（2016·天津·高考真題）已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為A．B．C．D．【答案】A【詳解】試題分析：由題意，得又，所以所以雙曲線的方程為，選A.【考點】雙曲線【名師點睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)注點：（1）確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要一個“定位”條件，兩個“定量”條件，“定位”是指確定焦點在哪條坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數(shù)法．（2）利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時應(yīng)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问?，以避免討論．①若雙曲線的焦點不能確定時，可設(shè)其方程為Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知漸近線方程為mx＋ny＝0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．22．（2015·廣東·高考真題）已知雙曲線C：﹣=1的離心率e=，且其右焦點為F2（5，0），則雙曲線C的方程為A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【答案】C【詳解】試題分析：利用已知條件，列出方程，求出雙曲線的幾何量，即可得到雙曲線方程．解：雙曲線C：﹣=1的離心率e=，且其右焦點為F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求雙曲線方程為：﹣=1．故選C．點評：本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．23．（2015·重慶·高考真題）設(shè)雙曲線的右焦點是F，左、右頂點分別是,過F作的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若,則雙曲線的漸近線的斜率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：，，，，所以，根據(jù),所以,代入后得，整理為，所以該雙曲線漸近線的斜率是，故選C.考點：雙曲線的性質(zhì)24．（2015·天津·高考真題）已知雙曲線的一個焦點為,且雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：依題意有，解得，所以方程為.考點：雙曲線的概念與性質(zhì)．25．（2015·安徽·高考真題）下列雙曲線中，漸近線方程為的是A． B．C． D．【答案】A【詳解】由雙曲線的漸近線的公式可行選項A的漸近線方程為，故選A.考點：本題主要考查雙曲線的漸近線公式.26．（2015·福建·高考真題）若雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且，則等于A．11 B．9 C．5 D．3【答案】B【詳解】由雙曲線定義得，即，解得，故選B．考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義．二、填空題27．（2023·北京·高考真題）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.【詳解】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：28．（2022·全國甲卷·高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值．【答案】2（滿足皆可）【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結(jié)合漸近線的特點，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點”所以，又因為，所以，故答案為：2（滿足皆可）29．（2022·全國甲卷·高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．【答案】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．30．（2022·北京·高考真題）已知雙曲線的漸近線方程為，則．【答案】【分析】首先可得，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到、，再跟漸近線方程得到方程，解得即可；【詳解】解：對于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：31．（2021·全國乙卷·高考真題）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為．【答案】4【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中對應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解，再由關(guān)系式求得，即可求解.【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距.故答案為：4.【點睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵.32．（2021·全國乙卷·高考真題）雙曲線的右焦點到直線的距離為．【答案】【分析】先求出右焦點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式求解.【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點為，所以右焦點到直線的距離為.故答案為：33．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程.【答案】【分析】根據(jù)離心率得出，結(jié)合得出關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.34．（2020·北京·高考真題）已知雙曲線，則C的右焦點的坐標(biāo)為；C的焦點到其漸近線的距離是．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得出雙曲線的右焦點坐標(biāo)，并求得雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式可求得雙曲線的焦點到漸近線的距離.【詳解】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為.故答案為：；.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的焦點坐標(biāo)以及焦點到漸近線的距離，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.35．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是.【答案】.【分析】根據(jù)條件求，再代入雙曲線的漸近線方程得出答案.【詳解】由已知得，解得或，因為，所以.因為，所以雙曲線的漸近線方程為.【點睛】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的密切相關(guān)，事實上，標(biāo)準(zhǔn)方程中化1為0，即得漸近線方程.36．（2018·北京·高考真題）若雙曲線的離心率為，則a=.【答案】4【詳解】分析：根據(jù)離心率公式，及雙曲線中的關(guān)系可聯(lián)立方程組，進(jìn)而求解參數(shù)的值.詳解：在雙曲線中，，且點睛：此題考查雙曲線的基本知識，離心率是高考對于雙曲線考查的一個重要考點,根據(jù)雙曲線的離心率求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及雙曲線的漸近線都是常見的出題形式，解題的關(guān)鍵在于利用公式，找到之間的關(guān)系.37．（2017·上?！じ呖颊骖}）設(shè)雙曲線的焦點為、，為該雙曲線上的一點，若，則【答案】11【詳解】由雙曲線的方程，可得，根據(jù)雙曲線的定義可知，又因為，所以.38．（2017·山東·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點為的拋物線交于兩點，若，則該雙曲線的漸近線方程為.【答案】【詳解】，因為，所以漸近線方程為.【名師點睛】1.在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨特的一種性質(zhì)，也是考查的重點內(nèi)容.對漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為的形式，當(dāng)，，時為橢圓，當(dāng)時為雙曲線.2.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．39．（2017·全國·高考真題）雙曲線的一條漸近線方程為，則．【答案】【分析】依題意由雙曲線方程可得雙曲線的漸近線為，即可得到方程，解得即可.【詳解】解：雙曲線的一條漸近線方程為，又雙曲線的漸近線為，可得，解得．故答案為：．40．（2017·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點P，Q，其焦點是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是．【答案】【詳解】右準(zhǔn)線方程為，漸近線方程為，設(shè)，則，，，則．點睛:（1）已知雙曲線方程求漸近線：；（2）已知漸近線可設(shè)雙曲線方程為；（3）雙曲線的焦點到漸近線的距離為，垂足為對應(yīng)準(zhǔn)線與漸近線的交點．41．（2016·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的焦距是.【答案】【詳解】試題分析：．故答案應(yīng)填：【考點】雙曲線性質(zhì)【名師點睛】本題重點考查雙曲線幾何性質(zhì)，而雙曲線的幾何性質(zhì)與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程息息相關(guān)，明確雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中各個量的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，揭示焦點在x軸，實軸長為，虛軸長為，焦距為，漸近線方程為，離心率為．42．（2016·北京·高考真題）雙曲線(，)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點.若正方形OABC的邊長為2，則a=.【答案】2【詳解】試題分析：因為四邊形是正方形，所以，所以直線的方程為，此為雙曲線的漸近線，因此，又由題意知，所以，．故答案為2．【考點】雙曲線的性質(zhì)【名師點睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨特的一種性質(zhì)，也是考查的重點內(nèi)容.對漸近線：(1)掌握方程；(2)掌握其傾斜角、斜率的求法；(3)會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為的形式，當(dāng)，，時為橢圓，當(dāng)時為雙曲線.43．（2016·浙江·高考真題）設(shè)雙曲線x2–=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2．若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|+|PF2|的取值范圍是．【答案】．【詳解】試題分析：由已知得，則，設(shè)是雙曲線上任一點，由對稱性不妨設(shè)在雙曲線的右支上，則，，，為銳角，則，即，解得，所以，則．【考點】雙曲線的幾何性質(zhì).【思路點睛】先由對稱性可設(shè)點在右支上，進(jìn)而可得和，再由為銳角三角形可得，進(jìn)而可得的不等式，解不等式可得的取值范圍．44．（2016·北京·高考真題）已知雙曲線的一條漸近線為，一個焦點為，則；．【答案】12【詳解】試題分析：依題意有,結(jié)合,解得.【考點】雙曲線的基本概念【名師點睛】在雙曲線的幾何性質(zhì)中，漸近線是其獨特的一種性質(zhì)，也是考查的重點內(nèi)容.對漸近線：（1）掌握方程；（2）掌握其傾斜角、斜率的求法；（3）會利用漸近線方程求雙曲線方程的待定系數(shù).求雙曲線方程的方法以及雙曲線定義和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用都和與橢圓有關(guān)的問題相類似.因此，雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可統(tǒng)一為的形式，當(dāng)，，時為橢圓，當(dāng)時為雙曲線.45．（2015·江蘇·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線右支上的一個動點．若點到直線的距離大于c恒成立，則實數(shù)c的最大值為【答案】【詳解】設(shè)，因為直線平行于漸近線，所以點到直線的距離恒大于直線與漸近線之間距離，因此c的最大值為直線與漸近線之間距離，為考點：雙曲線漸近線，恒成立轉(zhuǎn)化46．（2015·浙江·高考真題）雙曲線的焦距是，漸近線方程是．【答案】，.【詳解】由題意得：，，，∴焦距為，漸近線方程為.考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)47．（2015·全國·高考真題）已知是雙曲線的右焦點，P是C左支上一點，，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為．【答案】【分析】根據(jù)題意，根據(jù)三點共線，求出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，即可求得點坐標(biāo)，則由即可容易求得.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，由雙曲線定義知，，∴△APF的周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，由于是定值，要使△APF的周長最小，則|PA|+最小，即P、A、共線，

∵，∴直線的方程為，即代入整理得，解得或(舍)，所以P點的縱坐標(biāo)為，∴=.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線中三角形面積的求解，涉及雙曲線的定義，屬綜合中檔題.48．（2015·上?！じ呖颊骖}）已知雙曲線、的頂點重合，的方程為，若的一條漸近線的斜率是的一條漸近線的斜率的2倍，則的方程為.【答案】【詳解】因為的方程為，所以的一條漸近線的斜率，所以的一條漸近線的斜率，因為雙曲線、的頂點重合，即焦點都在軸上，設(shè)的方程為，所以，所以的方程為.考點：雙曲線的性質(zhì)，直線的斜率.49．（2015·上海·高考真題）已知點和的橫坐標(biāo)相同，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的倍，和的軌跡分別為雙曲線和．若的漸近線方程為，則的漸近線方程為．【答案】【詳解】由題意得：：，設(shè)，則，所以，即的漸近線方程為考點：雙曲線漸近線50．（2015·全國·高考真題）已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【答案】【詳解】依題意，設(shè)所求的雙曲線的方程為.點為該雙曲線上的點，.該雙曲線的方程為：，即.故本題正確答案是.51．（2015·北京·高考真題）已知是雙曲線（）的一個焦點，則．【答案】【詳解】由題意知，，所以.考點：雙曲線的焦點.考點03拋物線方程及其性質(zhì)1．（2023·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用拋物線的定義求解即可.【詳解】因為拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，點在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.2．（2022·全國乙卷·高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準(zhǔn)線的距離為2，所以點的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，所以.故選：B3．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）拋物線的焦點到直線的距離為，則（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先確定拋物線的焦點坐標(biāo)，然后結(jié)合點到直線距離公式可得的值.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去).故選：B.4．（2020·北京·高考真題）設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（

）．A．經(jīng)過點 B．經(jīng)過點C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】B【分析】依據(jù)題意不妨作出焦點在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，即求解.【詳解】如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5．（2020·全國·高考真題）已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（

）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.6．（2019·全國·高考真題）若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【分析】利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關(guān)于的方程，即可解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，故選D．【詳解】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．【點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)．7．（2017·全國·高考真題）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【詳解】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點滿足，由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時，取等號.點睛:對于拋物線弦長問題，要重點抓住拋物線定義，到定點的距離要想到轉(zhuǎn)化到準(zhǔn)線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點掌握.考查最值問題時要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進(jìn)行解決.此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以.8．（2016·全國·高考真題）設(shè)為拋物線的焦點，曲線與交于點，軸，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由拋物線的性質(zhì)可得，故選D.考點：1、直線與拋物線；2、拋物線的幾何性質(zhì)；3、反比例函數(shù).9．（2016·四川·高考真題）拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)是A．（0,2） B．（0,1） C．（2,0） D．（1,0）【答案】D【詳解】試題分析：的焦點坐標(biāo)為，故選D.【考點】拋物線的性質(zhì)【名師點睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)是我們要重點掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握．10．（2015·浙江·高考真題）如圖，設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，，，其中點，在拋物線上，點在軸上，則與的面積之比是A． B． C． D．【答案】A【詳解】，故選A.考點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)11．（2015·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線的焦點重合，是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：拋物線的焦點為所以橢圓的右焦點為即且橢圓的方程為拋物線準(zhǔn)線為代入橢圓方程中得故選B.考點：1、拋物線的性質(zhì)；2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．12．（2015·陜西·高考真題）已知拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過點，則拋物線焦點坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】B【詳解】由拋物線得準(zhǔn)線，因為準(zhǔn)線經(jīng)過點，所以，所以拋物線焦點坐標(biāo)為，故答案選考點：拋物線方程和性質(zhì).二、多選題13．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點共線時，C．當(dāng)時，D．滿足的點有且僅有2個【答案】ABD【分析】A選項，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項，三點共線時，先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長；C選項，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，然后驗證是否成立；D選項，根據(jù)拋物線的定義，，于是問題轉(zhuǎn)化成的點的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點個數(shù)即可，亦可直接設(shè)點坐標(biāo)進(jìn)行求解.【詳解】A選項，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項正確；B選項，三點共線時，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時切線長，B選項正確；C選項，當(dāng)時，，此時，故或，當(dāng)時，，，，不滿足；當(dāng)時，，，，不滿足；于是不成立，C選項錯誤；D選項，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時點的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點的存在性問題，，中點，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點，即存在兩個點，使得，D選項正確.方法二：（設(shè)點直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D選項正確.故選：ABD14．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設(shè)的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

15．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.16．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD三、填空題17．（2024·北京·高考真題）拋物線的焦點坐標(biāo)為．【答案】【分析】形如的拋物線的焦點坐標(biāo)為，由此即可得解.【詳解】由題意拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點坐標(biāo)為.故答案為：.18．（2024·上海·高考真題）已知拋物線上有一點到準(zhǔn)線的距離為9，那么點到軸的距離為．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的定義知，將其再代入拋物線方程即可.【詳解】由知拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點，由題意得，解得，代入拋物線方程，得，解得，則點到軸的距離為．故答案為：．19．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為．【答案】/【分析】先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求及的方程，從而可求原點到直線的距離.【詳解】圓的圓心為，故即，由可得，故或（舍），故，故直線即或，故原點到直線的距離為，故答案為：20．（2023·全國乙卷·高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.【答案】【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計算點到的準(zhǔn)線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，點到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.21．（2021·北京·高考真題）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸于點.若，則點的橫坐標(biāo)為；的面積為．【答案】5【分析】根據(jù)焦半徑公式可求的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)后可求.【詳解】因為拋物線的方程為，故且.因為，，解得，故，所以，故答案為：5；.22．（2021·全國·高考真題）已知為坐標(biāo)原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準(zhǔn)線方程為.【答案】【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.【詳解】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,不妨設(shè),因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側(cè)，又，因為，所以,，所以的準(zhǔn)線方程為故答案為：.【點睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.23．（2019·北京·高考真題）設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為．【答案】(x-1)2+y2=4.【分析】由拋物線方程可得焦點坐標(biāo)，即圓心，焦點到準(zhǔn)線距離即半徑，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點F（1,0），準(zhǔn)線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.【點睛】本題主要考查拋物線的焦點坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線方程，直線與圓相切的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.24．（2018·北京·高考真題）已知直線l過點（1,0）且垂直于軸，若l被拋物線截得的線段長為4，則拋物線的焦點坐標(biāo)為.【答案】【詳解】分析：根據(jù)題干描述畫出相應(yīng)圖形，分析可得拋物線經(jīng)過點，將點坐標(biāo)代入可求參數(shù)的值，進(jìn)而可求焦點坐標(biāo).詳細(xì)：由題意可得，點在拋物線上，將代入中，解得：，，由拋物線方程可得：，焦點坐標(biāo)為.考點04橢圓的離心率及其應(yīng)用1．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A2．（2022·全國·甲卷高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因為離心率，解得，，分別為C的左右頂點，則，B為上頂點，所以.所以，因為所以，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.3．（2022·全國甲卷·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.4．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因為，，所以，因為，當(dāng)，即時，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．5．（2021·浙江·高考真題）已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是，橢圓的離心率是.【答案】【分析】不妨假設(shè)，根據(jù)圖形可知，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率．【詳解】如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點為，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故答案為：；．6．（2019·北京·高考真題）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2 C．a(chǎn)=2b D．3a=4b【答案】B【分析】由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式.【詳解】橢圓的離心率,化簡得,故選B.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識?基本運算能力的考查.7．（2018·北京·高考真題）已知橢圓，雙曲線．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為；雙曲線N的離心率為．【答案】2【分析】方法一：由正六邊形性質(zhì)得漸近線的傾斜角，解得雙曲線中關(guān)系，即得雙曲線N的離心率；由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點到兩焦點距離之和為，再根據(jù)橢圓定義得，解得橢圓M的離心率.【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】數(shù)形結(jié)合＋定義法由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點到兩焦點距離之和為，再根據(jù)橢圓定義得，所以橢圓M的離心率為雙曲線N的漸近線方程為，由題意得雙曲線N的一條漸近線的傾斜角為，

故答案為：；．［方法二］：數(shù)形結(jié)合＋齊次式求離心率設(shè)雙曲線的一條漸近線與橢圓在第一象限的交點為，橢圓的右焦點為．由題可知，為正六邊形相鄰的兩個頂點，所以（O為坐標(biāo)原點）．所以．因此雙曲線的離心率．由與聯(lián)立解得．因為是正三角形，所以，因此，可得．將代入上式，化簡、整理得，即，解得，（舍去）．所以，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為2．故答案為：；．［方法三］：數(shù)形結(jié)合＋橢圓定義＋解焦點三角形由條件知雙曲線N在第一、三象限的漸近線方程為，于是雙曲線N的離心率為．設(shè)雙曲線的一條漸近線與橢圓在第一象限的交點為A，橢圓的左、右焦點分別為．在中，．由正弦定理得．于是．即橢圓的離心率．故答案為：；．【整體點評】方法一：直接根據(jù)橢圓的定義以及正六邊形性質(zhì)求解，是該題的最優(yōu)解；方法二：利用正六邊形性質(zhì)求出雙曲線的離心率，根據(jù)平面幾何條件創(chuàng)建齊次式求出橢圓的離心率，運算較為復(fù)雜；方法三：利用正六邊形性質(zhì)求出雙曲線的離心率，再根據(jù)通過解焦點三角形求橢圓離心率．8．（2018·全國·高考真題）已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：設(shè)，則根據(jù)平面幾何知識可求，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.詳解：在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選D.點睛：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判斷平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點三角形”是橢圓問題中的常考知識點，在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.9．（2018·全國·高考真題）已知橢圓：的一個焦點為，則的離心率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：首先根據(jù)題中所給的條件橢圓的一個焦點為，從而求得，再根據(jù)題中所給的方程中系數(shù)，可以得到，利用橢圓中對應(yīng)的關(guān)系，求得，最后利用橢圓離心率的公式求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意，可知，因為，所以，即，所以橢圓的離心率為，故選C.點睛：該題考查的是有關(guān)橢圓的離心率的問題，在求解的過程中，一定要注意離心率的公式，再者就是要學(xué)會從題的條件中判斷與之相關(guān)的量，結(jié)合橢圓中的關(guān)系求得結(jié)果.10．（2018·全國·高考真題）已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.【詳解】因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以，故選：D.11．（2017·浙江·高考真題）橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知，，，求出，即可求出橢圓的離心率．【詳解】因為橢圓中，，所以，得，故選：B．【點睛】本題考查橢圓的離心率的求法，以及靈活運用橢圓的簡單性質(zhì)化簡求值．12．（2017·全國·高考真題）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A． B．C． D．【答案】A【詳解】以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.13．（2016·浙江·高考真題）已知橢圓C1：+y2=1（m＞1）與雙曲線C2：–y2=1（n＞0）的焦點重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1【答案】A【詳解】試題分析：由題意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又=，故．故選A．【考點】橢圓的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．【易錯點睛】計算橢圓的焦點時，要注意；計算雙曲線的焦點時，要注意．否則很容易出現(xiàn)錯誤．14．（2016·全國·高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點.P為C上一點，且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：如圖取與重合，則由直線同理由,故選A.考點：1、橢圓及其性質(zhì)；2、直線與橢圓.【方法點晴】本題考查橢圓及其性質(zhì)、直線與橢圓，涉及特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.15．（2016·全國·高考真題）直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：不妨設(shè)直線，即橢圓中心到的距離，故選B.考點：1、直線與橢圓；2、橢圓的幾何性質(zhì).【方法點晴】本題考查直線與橢圓、橢圓的幾何性質(zhì)，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.不妨設(shè)直線，即橢圓中心到的距離，利用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想建立方程是本題的關(guān)鍵節(jié)點.16．（2016·江蘇·高考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓的右焦點，直線與橢圓交于兩點，且，則該橢圓的離心率是．【答案】【詳解】由題意得，故，，又，所以【考點】橢圓離心率【名師點睛】橢圓離心率的考查，一般分兩個層次，一是由離心率的定義，只需分別求出，這注重考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中量的含義，二是整體考查，求的比值，這注重于列式，即需根據(jù)條件列出關(guān)于的一個等量關(guān)系，通過解方程得到離心率的值.17．（2015·福建·高考真題）已知橢圓的右焦點為．短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：設(shè)是橢圓的左焦點，由于直線過原點，因此兩點關(guān)于原點對稱，從而是平行四邊形，所以，即，，設(shè)，則，所以，，即，又，所以，．故選A．考點：橢圓的幾何性質(zhì)．【名師點睛】本題考查橢圓的離心率的范圍，因此要求得關(guān)系或范圍，解題的關(guān)鍵是利用對稱性得出就是，從而得，于是只有由點到直線的距離得出的范圍，就得出的取值范圍，從而得出結(jié)論．在涉及到橢圓上的點到焦點的距離時，需要聯(lián)想到橢圓的定義．18．（2015·浙江·高考真題）橢圓（）的右焦點關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，則橢圓的離心率是．【答案】【分析】設(shè)，利用對稱知識，結(jié)合橢圓方程得出橢圓中a，b，c，之間的關(guān)系，再由，離心率為，及可求出離心率.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則有線段的中點坐標(biāo)為，且直線與直線垂直，所以有，解得，所以在橢圓上，即有，又，可得，可得，所以，即，因為，所以，解得.考點05雙曲線的離心率及其應(yīng)用1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】由焦點坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.【詳解】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.2．（2022·全國乙卷·高考真題）（多選）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，所以，因為，所以在雙曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.3．（2021·全國甲卷·高考真題）已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.4．（2021·天津·高考真題）已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)公共焦點為，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.5．（2021·北京·高考真題）若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，再將點代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為.故選：B6．（2019·北京·高考真題）已知雙曲線（a＞0）的離心率是則a=A． B．4 C．2 D．【答案】D【分析】本題根據(jù)根據(jù)雙曲線的離心率的定義，列關(guān)于a的方程求解.【詳解】∵雙曲線的離心率，，∴，解得，故選D.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中a,b,c的關(guān)系，方程的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.7．（2019·天津·高考真題）已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為A． B． C．2 D．【答案】D【分析】只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率．【詳解】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有∴，，，∴．故選D．【點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度．8．（2019·全國·高考真題）設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．【答案】A【分析】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．9．（2019·全國·高考真題）雙曲線C:的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為A．2sin40° B．2cos40° C． D．【答案】D【分析】由雙曲線漸近線定義可得，再利用求雙曲線的離心率．【詳解】由已知可得，，故選D．【點睛】對于雙曲線：，有；對于橢圓，有，防止記混．10．（2018·全國·高考真題）設(shè),是雙曲線（）的左、右焦點，是坐標(biāo)原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：由雙曲線性質(zhì)得到，然后在和在中利用余弦定理可得．詳解：由題可知在中，在中,故選B.點睛：本題主要考查雙曲線的相關(guān)知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．11．（2018·天津·高考真題）已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點.設(shè)到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且則雙曲線的方程為A． B．C． D．【答案】A【詳解】分析：由題意首先求得A,B的坐標(biāo)，然后利用點到直線距離公式求得b的值，之后利用離心率求解a的值即可確定雙曲線方程.詳解：設(shè)雙曲線的右焦點坐標(biāo)為（c>0），則，由可得：，不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為.本題選擇A選項.點睛：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.12．（2017·天津·高考真題）已知雙曲線的左焦點為，離心率為.若經(jīng)過和兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，選B.【考點】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【名師點睛】利用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程是高考常見題型，求雙曲線方程最基礎(chǔ)的方法就是依據(jù)題目的條件列出關(guān)于的方程，解方程組求出，另外求雙曲線方程要注意巧設(shè)雙曲線（1）雙曲線過兩點可設(shè)為，（2）與共漸近線的雙曲線可設(shè)為，（3）等軸雙曲線可設(shè)為等，均為待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程.13．（2017·全國·高考真題）若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截