專題05四邊形中的證明與計(jì)算問題(原卷版+解析)

專題05：四邊形中的證明與計(jì)算問題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】應(yīng)用四邊形的性質(zhì)證明及計(jì)算【題型二】中點(diǎn)四邊形【題型三】十字架模型【題型四】對(duì)角互補(bǔ)模型【題型五】梯子模型【題型六】與正方形有關(guān)的三垂直問題【題型七】與正方形有關(guān)的半角模型二、最新?？碱}組練【題型一】應(yīng)用四邊形的性質(zhì)證明及計(jì)算【典例分析】1.如圖，在平行四邊形中，平分，平分．(1)求證：；(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)寫出證明過程．【提分秘籍】掌握好平行四邊形和特殊平行四邊形的概念和基礎(chǔ)性質(zhì)，靈活應(yīng)用是關(guān)鍵?！咀兪窖菥殹?．如圖，中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交DE的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接AF，CD．如果點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論．2．如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)試判斷四邊形的形狀，并寫出證明過程．3．如圖，矩形中為邊上一點(diǎn)，將沿AE翻折后，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線的中點(diǎn)F上．（1）證明：；（2）若，求折痕的長度4．如圖，在正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且．連接，，，．（1）證明：△ADE≌△CBF．（2）若，，求四邊形的周長．【題型二】中點(diǎn)四邊形【典例分析】1.四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為__________形；②當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．【提分秘籍】結(jié)論一：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形。結(jié)論二：中點(diǎn)四邊形的周長等于原四邊形對(duì)角線之和。結(jié)論三：中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的一半。結(jié)論四：順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形。結(jié)論五：順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是菱形。結(jié)論六：順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形。速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正，任意四邊為平行?！咀兪窖菥殹?．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFGH是．（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）．【提分秘籍】【結(jié)論1】正方形ABCD中，EF⊥GH?EF=GH【結(jié)論2】在矩形ABCD中，EF?GHEF:GH=AD:AB【變式演練】1.【問題探究】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊DC、BC上，且AE⊥DF，求證：AE＝DF．【知識(shí)遷移】如圖2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，且BE⊥MN，求的值．【拓展應(yīng)用】如圖3，在平行四邊形ABCD中，AB＝m，BC＝n，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，當(dāng)∠EFC與∠MNC的度數(shù)之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，有試寫出其數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2.如圖1，P為正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（P與B、C不重合），點(diǎn)Q在CD邊上，且BP＝CQ，連接AP、BQ交于點(diǎn)E．（1）求證：AP⊥BQ；（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)處時(shí)（如圖2），連接DE，請(qǐng)你判斷線段DE與AD之間的關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，過A點(diǎn)作AM⊥DE于點(diǎn)H，交BQ、CD于點(diǎn)N、M，若AB＝2，求QM的長度．【題型四】對(duì)角互補(bǔ)模型【典例分析】1.已知，求證：，．【提分秘籍】四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，則有：①AD=CD②AB+BC=2BD③S△ABD+S△BDC=12BD已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則有①CD=CE②OD+OE=OC③S△DCO+S△COE=√3∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，OC平分∠AOB，則有：①CD=CE②OD+OE=2OC?COSα③S△DCO+S△COE=OC2?sinαCOSα【變式演練】1.（1）如圖1，在四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明探究的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是______．（2）如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，探究上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．（3）如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)E在的延長線上，點(diǎn)F在的延長線上，仍然滿足，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______．2．問題背景如圖（1），在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAFα，連接EF，試探究：線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）特殊情景在上述條件下，小明增加條件“當(dāng)∠BAD＝∠B＝∠D＝90°時(shí)”如圖（2），小明很快寫出了：BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．（2）類比猜想類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你幫助小明完成證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）解決問題如圖（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD，請(qǐng)直接寫出DE的長．【題型五】梯子模型【典例分析】1．如圖，，矩形在的內(nèi)部，頂點(diǎn)，分別在射線，上，，，則點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離是（

）A． B． C． D．2．如圖所示，線段的兩端在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，，AB的中點(diǎn)為Q，連接，求證：O，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值．【提分秘籍】如圖所示，線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，∠ACB=∠AOC=90°，AC的中點(diǎn)為P，連接OP、BP、OB，則當(dāng)O、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)線段OB最大值。如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點(diǎn)A在邊OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B隨之在ON上運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)的過程中矩形ABCD形狀保持不變，AB的中點(diǎn)為P，連接OP、PD、OD，則當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)線段OD取最大值?！咀兪窖菥殹?．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，則點(diǎn)A在移動(dòng)過程中，BO的最大值是_____．2．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限．其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值是多少cm．【題型六】與正方形有關(guān)的三垂直問題【典例分析】1.如圖所示，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)G與不重合），于E，交DG于F.求證：.【提分秘籍】應(yīng)用一線三垂直模型構(gòu)造全等三角形，再進(jìn)行計(jì)算或證明即可?！咀兪窖菥殹?.如圖，點(diǎn)是正方形的邊上的任意一點(diǎn)（不與、重合），與正方形的外角的角平分線交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)將圖放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，連、，與交于點(diǎn)，若正方形的邊長為，則四邊形的面積是否隨點(diǎn)位置的變化而變化？若不變，請(qǐng)求出四邊形的面積．(3)在的（2）條件下，若，求四邊形的面積．2.四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的長度；（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．【題型七】與正方形有關(guān)的半角模型【典例分析】1.如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將AB，AD分別沿AE，AF折疊，點(diǎn)B，D恰好都和點(diǎn)G重合，∠EAF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若EC＝FC＝1，求AB的長度．【提分秘籍】先證明?AEF≌?AMF(SAS)從而EF=BE+DF提示：線段AC取一點(diǎn)E，使CE=BM連接DE、MN先證明?MBD≌?ECD(SAS)再證明?DNM≌?DNE(SAS)最后證MN=NC+MB提示：延長DA至點(diǎn)M，使DM=BE先證明?FDM≌?FEB(SAS)再證明?CMF≌?CBF(SAS)從而CB=CD+BE【變式演練】1.如圖所示，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD上一點(diǎn)，點(diǎn)M為EF上一點(diǎn)，，M關(guān)于直線AF對(duì)稱．（1）求證：B，M關(guān)于AE對(duì)稱；（2）若的平分線交AE的延長線于G，求證：．2．（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．3．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°（1）求證：BE+DF=EF（2）當(dāng)BE=1時(shí)，求EF的長1．(2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交BC、AD于點(diǎn)E、F，G、H分別是OB、OD的中點(diǎn)．求證：（1）OE＝OF；（2）四邊形GEHF是平行四邊形．2．(2023·山東濟(jì)南·濟(jì)南育英中學(xué)校考一模）如圖，在菱形中，、分別為邊和上的點(diǎn)，且．連接、交于點(diǎn)．求證：．3．(2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的長．4．（2023·福建·模擬預(yù)測）已知：如圖，四邊形是平行四邊形，P，Q是對(duì)角線上的兩個(gè)點(diǎn)，且．求證：．5．（2023·貴州黔南·統(tǒng)考一模）在正方形中，是邊上一點(diǎn)，在延長線上取點(diǎn)使過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若是的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．6．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)G是正方形對(duì)角線的延長線上任意一點(diǎn)，以線段為邊作一個(gè)正方形，線段和相交于點(diǎn)H．(1)求證：；(2)若，，求的長．7．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，是上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且，．(1)的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．8．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖，在平行四邊形中，的角平分線交于點(diǎn)F，的角平分線交于點(diǎn)G，兩條角平分線在平行四邊形內(nèi)部交于點(diǎn)P，連接，．(1)求證：點(diǎn)E是中點(diǎn)；(2)若，，則的長為．9．（2023·廣西賀州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形的邊上取一點(diǎn)，將沿直線折疊得到，此時(shí)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在邊上，G為中點(diǎn)，連接BG分別與，交于M，N兩點(diǎn)，且，連接．(1)求證：四邊形為菱形；(2)猜想和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)，求線段的長和的值．10．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E是正方形對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接．過點(diǎn)E作，，分別交邊，于點(diǎn)F，G，連接．(1)求證：．(2)若，，求線段的長．11．（2023·云南文山·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．12．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知：在正方形ABCD中，點(diǎn)M是CD邊上的任意一點(diǎn)，BE⊥AM于點(diǎn)E，DF⊥AM于點(diǎn)F．(1)求證：ADF≌BAE；(2)如果正方形ABCD的邊長為10，DF=6，求EF的長．13．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖①，點(diǎn)E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C）．延長交于點(diǎn)F，連接．(1)猜想證明：試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖②，若，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；(3)解決問題：如圖①，若，請(qǐng)直接寫出的長．專題05：四邊形中的證明與計(jì)算問題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】應(yīng)用四邊形的性質(zhì)證明及計(jì)算【題型二】中點(diǎn)四邊形【題型三】十字架模型【題型四】對(duì)角互補(bǔ)模型【題型五】梯子模型【題型六】與正方形有關(guān)的三垂直問題【題型七】與正方形有關(guān)的半角模型二、最新?？碱}組練【題型一】應(yīng)用四邊形的性質(zhì)證明及計(jì)算【典例分析】1.如圖，在平行四邊形中，平分，平分．(1)求證：；(2)當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)寫出證明過程．答案:(1)證明見解析(2)當(dāng)滿足時(shí)，四邊形是矩形，證明見解析分析：（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)三角形全等的判定即可得證；（2）當(dāng)滿足時(shí)，四邊形是矩形．證明思路：先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，最后根據(jù)矩形的判定即可得證．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，平分，平分，，，在和中，∵，．（2）解：當(dāng)滿足時(shí)，四邊形是矩形，證明如下：四邊形是平行四邊形，，由（1）已證：，，，即，四邊形是平行四邊形，當(dāng)滿足時(shí)，則（等腰三角形的三線合一），四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的三線合一等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【提分秘籍】掌握好平行四邊形和特殊平行四邊形的概念和基礎(chǔ)性質(zhì)，靈活應(yīng)用是關(guān)鍵。【變式演練】1．如圖，中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交DE的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接AF，CD．如果點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCF是菱形，證明你的結(jié)論．答案:(1)見解析(2)當(dāng)時(shí)，四邊形ADCF是菱形，證明見解析分析：（1）由得∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，結(jié)合，可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即求解；（2）由，，易得四邊形ADCF是平行四邊形，若，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，可得，即得四邊形ADCF是菱形．【詳解】（1）證明：∵，∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA．∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∴，∴；（2）解：當(dāng)時(shí)，四邊形ADCF是菱形．證明如下：由（1）知，，∵，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵，∴是直角三角形．∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴，∴四邊形ADCF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)及菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理．2．如圖，菱形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)試判斷四邊形的形狀，并寫出證明過程．答案:(1)見解析(2)矩形，見解析分析：（1）由題意得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，用ASA即可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，即可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，即，即可得．【詳解】（1）證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，又，在和中，，；（2）四邊形為矩形，證明如下：證明：，，又，四邊形為平行四邊形，又四邊形為菱形，，即，四邊形為矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．3．如圖，矩形中為邊上一點(diǎn)，將沿AE翻折后，點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線的中點(diǎn)F上．（1）證明：；（2）若，求折痕的長度答案:（1）證明見解析；（2）分析：（1）由折疊的性質(zhì)證明再證明從而可得結(jié)論；（2）利用折疊與三角形全等的性質(zhì)求解再利用的余弦求解即可.【詳解】解：（1）矩形，由對(duì)折可得：為的中點(diǎn)，（2），由折疊可得：【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵.4．如圖，在正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，且．連接，，，．（1）證明：△ADE≌△CBF．（2）若，，求四邊形的周長．答案:（1）證明見解析（2）四邊形的周長=分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=DC=BC=AB，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB=45°，再根據(jù)SAS證明兩三角形全等即可（2）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB=45°，AC⊥BD，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出BE，再證明四邊形DEBF是菱形，即可得出四邊形的周長【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形∴AD=DC=BC=AB，∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB=45°在△ADE和△CBF中∴(SAS)（2）∵四邊形是正方形∴∠DAC=∠DCA=∠CAB=∠ACB=45°，AC⊥BD∴在Rt△AOB中，∠OAB=45°又∴OA=OB=sin∠OABAB=∵∴OE=2在Rt△EOB中，∵四邊形是正方形∴AO=CO，DO=BO又∵∴EO=FO，又DO=BO∴四邊形DEBF是平行四邊形又∵AC⊥BD，即BD⊥EF∴四邊形DEBF是菱形∴BE=DE=DF=BF=∴四邊形的周長=4×=【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的證明、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定、勾股定理、特殊銳角三角函數(shù)值、熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵【題型二】中點(diǎn)四邊形【典例分析】1.四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．（1）我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化，它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為__________形；②當(dāng)對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．（2）如圖：四邊形ABCD中，已知，且，請(qǐng)利用（1）中的結(jié)論，判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．答案:（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形見解析分析：（1）①連接AC、BD，根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形EFGH都是平行四邊形，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；②根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明；（2）分別延長BA、CD相交于點(diǎn)M，連接AC、BD，證明，得到AC=DB，根據(jù)（1）①證明即可．【詳解】（1）解：（1）①連接AC、BD，∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn)，∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，同理EF∥HG，∴四邊形EFGH都是平行四邊形，∵對(duì)角線AC=BD，∴EH=EF，∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是菱形；②當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí)，EF⊥EH，∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是矩形；故答案為：菱；矩；（2）四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．理由如下：分別延長BA、CD相交于點(diǎn)M，連接AC、BD，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，在和中，，∴，∴，∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等，中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形、菱形的判定、中點(diǎn)四邊形的定義，掌握中點(diǎn)四邊形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】結(jié)論一：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是平行四邊形。結(jié)論二：中點(diǎn)四邊形的周長等于原四邊形對(duì)角線之和。結(jié)論三：中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的一半。結(jié)論四：順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是矩形。結(jié)論五：順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是菱形。結(jié)論六：順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是正方形。速記口訣：矩中菱，菱中矩，正中正，任意四邊為平行。【變式演練】1．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，中點(diǎn)四邊形EFGH是．（2）如圖2，點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想．（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀（不必證明）．答案:（1）平行四邊形；（2）菱形，見解析；（3）正方形分析：（1）連接BD，根據(jù)三角形中位線定理證明EH∥FG，EH=FG，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可；（2）證明△APC≌△BPD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD，再證明EF=FG，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論；（3）證明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得到∠ACP=∠BDP，即可證明∠COD=∠CPD=90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠EHG=90°，根據(jù)正方形的判定定理證明即可．【詳解】解：（1）如圖1，連接BD，∵點(diǎn)E，H分別為邊AB，DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=BD，∵點(diǎn)F，G分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，∴FG∥BD，F(xiàn)G=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，故答案為：平行四邊形；（2）結(jié)論：四邊形EFGH是菱形，理由：如圖2，連接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC=BD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AB，BC，CD的中點(diǎn)，∴EF=AC，F(xiàn)G=BD，∴EF=FG，由（1）知中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是菱形；（3）結(jié)論：四邊形EFGH是正方形，理由：如圖2，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O．AC與PD交于點(diǎn)M，∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠DOC=90°，由（2）知中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理，學(xué)會(huì)添加常用輔助線．【題型三】十字架模型【典例分析】1.如圖，點(diǎn)E、F是正方形ABCD中CD、AD邊上的點(diǎn)，BE＝CF，求證：DF＝CE．分析：首先利用正方形的性質(zhì)得到全等三角形的一部分條件，然后利用已知條件證明Rt△BCE和Rt△CDF全等即可解集問題．【解答】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D＝∠BCD＝90°，BC＝CD，在Rt△BCE和Rt△CDF中，，∴Rt△BCE≌Rt△CDF（HL），∴DF＝CE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，也利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，題目比較簡單．【提分秘籍】【結(jié)論1】正方形ABCD中，EF⊥GH?EF=GH【結(jié)論2】在矩形ABCD中，EF?GHEF:GH=AD:AB【變式演練】1.【問題探究】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊DC、BC上，且AE⊥DF，求證：AE＝DF．【知識(shí)遷移】如圖2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，且BE⊥MN，求的值．【拓展應(yīng)用】如圖3，在平行四邊形ABCD中，AB＝m，BC＝n，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，點(diǎn)M、N分別在邊AB、CD上，當(dāng)∠EFC與∠MNC的度數(shù)之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，有試寫出其數(shù)量關(guān)系，并說明理由．分析：【問題探究】利用ASA證明△ADE≌△DCF，得AE＝DF；【知識(shí)遷移】過點(diǎn)N作NO⊥AB于點(diǎn)O，利用△ABE∽△ONM，得，即可得出答案；【拓展應(yīng)用】作AG∥EF，交BC于G，NH∥BC，交AB于H，說明△ABG∽△NHM，得，且四邊形AEFG、HNCB是平行四邊形，進(jìn)而解決問題．【解答】【問題探究】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∠AED+∠DAE＝90°，∵AE⊥DF，∴∠AED+∠CDF＝90°，∴∠DAE＝∠CDF，在△ADE與△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴AE＝DF；【知識(shí)遷移】解：如圖，過點(diǎn)N作NO⊥AB于點(diǎn)O，∴∠BMN+∠MNO＝90°，∵BE⊥MN，∴∠BMN+∠MBE＝90°，∴∠MNO＝∠MBE，∠BMN＝∠AEB，在△ABE與△MNO中，∠MNO＝∠MBE，∠BMN＝∠AEB，∴△ABE∽△ONM，∴，∵ON＝BC，∴；【拓展應(yīng)用】解：當(dāng)∠EFC＝∠MNC時(shí)，，作AG∥EF，交BC于G，NH∥BC，交AB于H，則∠EFC＝∠AGC，∠MNC+∠BMN＝180°，∠MHN＝∠ABC，∵∠AGB+∠AGC＝180°，∴∠AGB＝∠NMH，∴△ABG∽△NHM，∴，∵HN∥BC，AB∥CD，AG∥EF，AD∥BC，∵四邊形AEFG、HNCB是平行四邊形，∴AG＝EF，MN＝BC，∴當(dāng)∠EFC＝∠MNC時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形中的十字架模型是解題的關(guān)鍵．2.如圖1，P為正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（P與B、C不重合），點(diǎn)Q在CD邊上，且BP＝CQ，連接AP、BQ交于點(diǎn)E．（1）求證：AP⊥BQ；（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)處時(shí)（如圖2），連接DE，請(qǐng)你判斷線段DE與AD之間的關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，過A點(diǎn)作AM⊥DE于點(diǎn)H，交BQ、CD于點(diǎn)N、M，若AB＝2，求QM的長度．分析：（1）證明△ABP≌△BCQ即可得出答案；（2）延長BQ、AD交于一點(diǎn)F，證明DF＝AD，在Rt△AFE中利用直角三角形斜邊中線定理即可得出答案；（3）通過角度的推導(dǎo)證明△QMN和△ABN均為等腰三角形，設(shè)QM＝MN＝x，在△ADM中利用勾股定理即可列方程求解．【解答】解：（1）在正方形ABCD中有：AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°，∵BP＝CQ，∴△ABP≌△BCQ（SAS），∴∠PAB＝∠QBC，∵∠QBC+∠ABQ＝90°，∴∠PAB+∠ABQ＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AP⊥BQ；（2）AD＝DE，理由如下：如圖，延長BQ、AD交于一點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時(shí)，Q為CD中點(diǎn)，即CQ＝DQ，∵∠FQD＝∠BQC，∠FDQ＝∠C，∴△FDQ≌△BCQ（ASA），∴FD＝BC，∴FD＝AD，由（1）得：∠FEA＝90°，∴DE＝FA＝AD；（3）由（1）得：AP⊥BQ，∴∠ANE+∠NAE＝90°，∵∠NAE+∠AEH＝90°，∴∠ANE＝∠AEH，設(shè)∠ANE＝∠AEH＝α，∵DE＝DA，∴∠DAE＝∠AEH＝α，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠DAE＝α，∵△PAB≌△QBC，∴∠CQB＝∠APB＝α，∵∠QNM＝∠ANE＝α，∴∠CQB＝∠QNM，∴QM＝MN，∵CD∥AB，∴∠ABQ＝∠CQB＝α，∴∠ABQ＝∠ANE，∴AN＝AB＝2，設(shè)QM＝MN＝x，則DM＝DQ+QM＝1+x，AM＝AN+MN＝2+x，∵AD2+DM2＝AM2，∴22+（x+1）2＝（x+2）2，解得：x＝，∴QM＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的邊角性質(zhì)及正方形中常考的“十字架”模型是解題關(guān)鍵．【題型四】對(duì)角互補(bǔ)模型【典例分析】1.已知，求證：，．答案:見解析分析：延長DC至點(diǎn)E使CE=AD，先證明△BAD≌△BCE，再證明△BDE是等邊三角形，可證結(jié)論成立．【詳解】證明：延長DC至點(diǎn)E使CE=AD，∵，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠BCE，在△BAD和△BCE中，∴△BAD≌△BCE，∴BD=BE，∠ABD=∠CBE，∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴BD=DE，∵DC+CE=DE，∴；作BF⊥DE于點(diǎn)F，則∠EBF=30°，EF=DF=DE=BE，∴BF==，∴S△DBE=DE×BF=×BE×=，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，證出△BAD≌△BCE，再證出△BDE是等邊三角形．【提分秘籍】四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，則有：①AD=CD②AB+BC=2BD③S△ABD+S△BDC=12BD已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則有①CD=CE②OD+OE=OC③S△DCO+S△COE=√3∠AOB=2α，∠DCE=180°-2α，OC平分∠AOB，則有：①CD=CE②OD+OE=2OC?COSα③S△DCO+S△COE=OC2?sinαCOSα【變式演練】1.（1）如圖1，在四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小明探究的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是______．（2）如圖2，在四邊形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，探究上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．（3）如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)E在的延長線上，點(diǎn)F在的延長線上，仍然滿足，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______．答案:（1）；（2）仍成立，理由見解析；（3）．分析：（1）延長到點(diǎn)G，使，連接，證明和即可得出結(jié)論．（2）延長到點(diǎn)G，使，連接，證明和即可得出結(jié)論．（3）在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，證明和，在通過角的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）．理由：如圖1，延長到點(diǎn)G，使，連接，證明和即可得出結(jié)論．在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴．故答案為：；（2）仍成立，理由：如圖2，延長到點(diǎn)G，使，連接，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴（3）．證明：如圖3，在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得，連接AG，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．2．問題背景如圖（1），在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交BC，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAFα，連接EF，試探究：線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．（1）特殊情景在上述條件下，小明增加條件“當(dāng)∠BAD＝∠B＝∠D＝90°時(shí)”如圖（2），小明很快寫出了：BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系為______．（2）類比猜想類比特殊情景，小明猜想：在如圖（1）的條件下線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你幫助小明完成證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）解決問題如圖（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，點(diǎn)D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，若BD，請(qǐng)直接寫出DE的長．答案:（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE分析：（1）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，根據(jù)∠EAF=∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，利用SAS可證明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，進(jìn)而可得EF=BE+FD；（2）將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△ADH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，根據(jù)∠BAD＝α，∠EAFα可得∠BAE+∠FADα，進(jìn)而可證明∠FAH＝∠EAF，利用SAS可證明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AE′B，連接DE′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可證明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的長即可的答案.【詳解】解：（1）BE+DF＝EF，如圖1，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即點(diǎn)F，D，G共線．由旋轉(zhuǎn)可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠BAD=90°-45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案為BE+DF＝EF．（2）成立．如圖2，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴點(diǎn)C，D，H在同一直線上．∵∠BAD＝α，∠EAFα，∴∠BAE+∠FADα，∴∠DAH+∠FADα，∴∠FAH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE，如圖3，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AE′B，連接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，∴CD=BC=BD=3，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易證△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2，解得．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，旋轉(zhuǎn)后不改變圖形的大小和形狀，并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.【題型五】梯子模型【典例分析】1．如圖，，矩形在的內(nèi)部，頂點(diǎn)，分別在射線，上，，，則點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離是（

）A． B． C． D．答案:B分析：取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，再根據(jù)勾股定理求出DE的長，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長，兩者相加即可得解．【詳解】取中點(diǎn)，連接、、，，．在中，利用勾股定理可得．在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最大為．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示，線段的兩端在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，，AB的中點(diǎn)為Q，連接，求證：O，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值．答案:見解析分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系和勾股定理判定即可；【詳解】如圖．在中，，∴．在中，由勾股定理得．∵，∴當(dāng)O，Q，C三點(diǎn)共線，取得最大值，，即；【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系和勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】如圖所示，線段AC的兩個(gè)端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，∠ACB=∠AOC=90°，AC的中點(diǎn)為P，連接OP、BP、OB，則當(dāng)O、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)線段OB最大值。如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點(diǎn)A在邊OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B隨之在ON上運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)的過程中矩形ABCD形狀保持不變，AB的中點(diǎn)為P，連接OP、PD、OD，則當(dāng)O、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)線段OD取最大值。【變式演練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，則點(diǎn)A在移動(dòng)過程中，BO的最大值是_____．答案:2+分析：取AC的中點(diǎn)P，連接OP，BP，OB，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OP的長．在Rt△ABP中，由勾股定理得到BP的長．在△OBP中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得到OB≤OP+BP，當(dāng)O、P、B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，從而得到OB的最大值．【詳解】取AC的中點(diǎn)P，連接OP，BP，OB，則OP=AC=2．在Rt△ABP中，BP=．在△OBP中，OB≤OP+BP，當(dāng)O、P、B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴OB的最大值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的斜邊的一半和勾股定理．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形OPB．2．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限．其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值是多少cm．答案:（1）①點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－3，9）；②滑動(dòng)的距離為6（﹣1）cm；（2）OC最大值12cm．分析：（1）①過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可；②設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，根據(jù)題意得點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離也為x，根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理解答即可；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，證得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）①過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，則sin∠BAO=∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵在Rt△ACB中，∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，BC=AB·sin30°=6∴BD=BC·sin30°=3，CD=BC·cos30°=3，∴OD=OB+BD=9∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，9）；②設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，根據(jù)題意得點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離也為x，如圖2：AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6．∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'OB'中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（﹣1），∴滑動(dòng)的距離為6（﹣1）；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3：則OE=﹣x，OD=y，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴y=﹣x，OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，∴當(dāng)|x|取最大值時(shí)，即C到y(tǒng)軸距離最大時(shí)，OC2有最大值，即OC取最大值，如圖，即當(dāng)C'B'旋轉(zhuǎn)到與y軸垂直時(shí)．此時(shí)|x|=6，OC=，故點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值是12cm．考點(diǎn)：相似三角形綜合題．【題型六】與正方形有關(guān)的三垂直問題【典例分析】1.如圖所示，四邊形ABCD是正方形，G是BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)G與不重合），于E，交DG于F.求證：.答案:見解析.分析：首先證明△AED≌△DFC，則能得出DE=FC，AE=DF，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°．又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，在△AED和△DFC中，，∴△AED≌△DFC（AAS）．∴AE=DF，ED=FC．∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)以及三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．【提分秘籍】應(yīng)用一線三垂直模型構(gòu)造全等三角形，再進(jìn)行計(jì)算或證明即可。【變式演練】1.如圖，點(diǎn)是正方形的邊上的任意一點(diǎn)（不與、重合），與正方形的外角的角平分線交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)將圖放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，連、，與交于點(diǎn)，若正方形的邊長為，則四邊形的面積是否隨點(diǎn)位置的變化而變化？若不變，請(qǐng)求出四邊形的面積．(3)在的（2）條件下，若，求四邊形的面積．答案:(1)見解析(2)16(3)分析：（1）在上取點(diǎn)，使，連接，則是等腰直角三角形，再利用證明≌，得；（2）連接，根據(jù)，得，則四邊形的面積為正方形的面積；（3）作于，由，可得，再利用證明≌，得，可知，利用待定系數(shù)法求出直線和的解析式，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而解決問題．【詳解】（1）證明：在上取點(diǎn)，使，連接，則，平分，，，，，，，，，，，，≌，；（2）解：四邊形的面積不變，為，連接，，∴，，四邊形的面積為正方形的面積，四邊形的面積為；（3）解：作于，，，，由得，，，，≌，，，設(shè)直線的解析式為，，，直線的解析式為，同理得，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，，．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線解析式等知識(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題（3）的關(guān)鍵．2.四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的長度；（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，直接寫出∠EFC的度數(shù)．答案:（1）見解析；（2）2；（3）∠EFC＝130°或40°分析：（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據(jù)正方形的判定定理證明即可；（2）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題；（3）分兩種情形：①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，求得∠DEC＝45°＋40°＝85°，得到∠CEF＝5°，根據(jù)角的和差得到∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在△EQF和△EPD中，，∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如圖2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵CE＝2，∴AE＝CE，∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，∴四邊形DECG是正方形，∴CG＝CE＝2；（3）①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，∠DEC＝45°＋40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，綜上所述，∠EFC＝130°或40°．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的判定以及性質(zhì)，涉及了全等三角形的證明、等腰直角三角形等性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型七】與正方形有關(guān)的半角模型【典例分析】1.如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠B＝∠D＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，將AB，AD分別沿AE，AF折疊，點(diǎn)B，D恰好都和點(diǎn)G重合，∠EAF＝45°．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）若EC＝FC＝1，求AB的長度．答案:（1）見解析；（2）．分析：（1）由題意得，∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，于是得到∠BAD=2∠EAF=90°，推出四邊形ABCD是矩形，根據(jù)正方形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)EC=FC=1，得到BE=DF，根據(jù)勾股定理得到EF的長，即可求解．【詳解】（1）由折疊性質(zhì)知：∠BAE=∠EAG，∠DAF=∠FAG，∵∠EAF=45°，∴∠BAD=2∠EAF=245°=90°，又∵∠B=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形，由折疊性質(zhì)知：AB=AG，AD=AG，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形；（2）∵EC=FC=1，∴BE=DF，EF=，∵EF=EG+GF=BE+DF，∴BE=DF=EF=，∴AB=BC=BE+EC=．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正方形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握翻折變換的性質(zhì)：翻折前后對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等．【提分秘籍】先證明?AEF≌?AMF(SAS)從而EF=BE+DF提示：線段AC取一點(diǎn)E，使CE=BM連接DE、MN先證明?MBD≌?ECD(SAS)再證明?DNM≌?DNE(SAS)最后證MN=NC+MB提示：延長DA至點(diǎn)M，使DM=BE先證明?FDM≌?FEB(SAS)再證明?CMF≌?CBF(SAS)從而CB=CD+BE【變式演練】1.如圖所示，正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，CD上一點(diǎn)，點(diǎn)M為EF上一點(diǎn)，，M關(guān)于直線AF對(duì)稱．（1）求證：B，M關(guān)于AE對(duì)稱；（2）若的平分線交AE的延長線于G，求證：．答案:(1)見解析；（2）見解析分析：（1）由已知可證，，即可得證；（2）由上述結(jié)論可得，再證△AFG為等腰直角三角形．【詳解】解：連結(jié)AM，DM，BM，∵D、M關(guān)于直線AF對(duì)稱，∴AF垂直平分DM，∴AD=AM，F(xiàn)D=FM，∴△DAF≌△MAF，∴∠AMF=∠ADF=∠AME=∠ABE=90°，AM=AB，AE=AE，∴△BAE≌△MAE，∴EM=EB，∴AE垂直平分BM，∴B、M關(guān)于AE對(duì)稱；（2）由（1）知△BAE≌△MAE，∴AE平分∠BEF，∴∠EAF=∠BAD=45°，又AF平分∠DFE，F(xiàn)G平分∠EFC，∴∠AFG=90°．∴△AFG為等腰直角三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．有關(guān)45°角的問題，往往利用全等，構(gòu)造等腰直角三角形，使問題迅速獲解．2．（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．答案:（1），理由見解析；（2）成立，理由見解析分析：（1）典型的“夾半角模型”，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；（2）圖形變式題可以參考第一問的思路，延長到使得，先證，再證，最后根據(jù)邊的關(guān)系即可證明；【詳解】解：（1）證明：延長到，使得

連接

∵四邊形是正方形

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（2）證明：延長到，使得

連接

∵，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的根據(jù)“夾半角模型”作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知正方形ABCD的邊長為3，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=45°（1）求證：BE+DF=EF（2）當(dāng)BE=1時(shí)，求EF的長答案:（1）證明見解析；（2）．分析：（1）如圖（見解析），先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得點(diǎn)在同一條直線上、，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)線段的和差、等量代換即可得證；（2）設(shè)，先根據(jù)（1）的結(jié)論可得，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】（1）如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，四邊形ABCD是正方形，，點(diǎn)B是點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)G是點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，點(diǎn)在同一條直線上，又，，在和中，，，，又，；（2）設(shè)，由（1）已證：，，，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，，，，在中，，即，解得，故EF的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（1），利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．1．(2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交BC、AD于點(diǎn)E、F，G、H分別是OB、OD的中點(diǎn)．求證：（1）OE＝OF；（2）四邊形GEHF是平行四邊形．答案:（1）證明見解析；（2）證明見解析.分析：（1）由“ASA”證明△AOE≌△COF，可得OE＝OF；（2）由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可證四邊形GEHF是平行四邊形．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD∴∠DAC＝∠BCA，且OA＝OC，∠AOE＝∠COF∴△AOE≌△COF（ASA）∴OE＝OF（2）∵OB＝OD，G、H分別是OB、OD的中點(diǎn)∴GO＝OH，且OE＝OF∴四邊形GEHF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(2023·山東濟(jì)南·濟(jì)南育英中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，、分別為邊和上的點(diǎn)，且．連接、交于點(diǎn)．求證：．答案:證明見解析．分析：先證△DAF≌△DCE，再證△AEG≌△CFG，最后證△DGE≌△DGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到∠DGE＝∠DGF．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC＝AB＝BC，∵AE＝CF，∴DE＝DF在△DAF和△DCE中，，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠EAG＝∠FCG，在△AEG和△CFG中，，∴△AEG≌△CFG（AAS），∴EG＝FG，在△DGE和△DGF中，，∴△DGE≌△DGF（SSS），∴∠DGE＝∠DGF．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．3．(2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）在四邊形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝∠D，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）若AF＝2AE，BC＝6，求CD的長．答案:（1）見解析；（2）3分析：（1）根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行證明該四邊形為平行四邊形．（2）利用等面積法求出CD長．【詳解】（1）證明：∵AD//BC，∴∠BAD+∠B＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠BAD+∠D＝180°，∴AB//CD，又∵AD//BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，∴平行四邊形的面積＝BC×AE＝CD×AF，∵AF＝2AE，∴BC＝2CD＝6，∴CD＝3．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和等面積法的使用，掌握這兩點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．（2023·福建·模擬預(yù)測）已知：如圖，四邊形是平行四邊形，P，Q是對(duì)角線上的兩個(gè)點(diǎn)，且．求證：．答案:證明見解析分析：先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，再利用證明即可證明．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，熟知平行四邊形對(duì)邊相等且平行是解題的關(guān)鍵．5．（2023·貴州黔南·統(tǒng)考一模）在正方形中，是邊上一點(diǎn)，在延長線上取點(diǎn)使過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若是的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．答案:(1)見解析(2)，理由見解析分析：（1）由“”可證；（2）由“”可證，可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：四邊形為正方形，，，，，在和中，，；（2）解：，理由如下：連接，如圖，由（1）可得．，為的中點(diǎn)，，．四邊形為正方形，．，．在和中，，．．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．6．（2023·廣東東莞·校考一模）如圖，點(diǎn)G是正方形對(duì)角線的延長線上任意一點(diǎn)，以線段為邊作一個(gè)正方形，線段和相交于點(diǎn)H．(1)求證：；(2)若，，求的長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）由四邊形和四邊形是正方形，可得，，，從而得到，然后利用即可證明結(jié)論；（2）由（1）則可得，，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出的長，然后在中，利用勾股定理可得的長，進(jìn)而求得的長．【詳解】（1）解：∵四邊形和四邊形是正方形，∴，，，在和中，，，∴，在和中，，∴；（2）解：如圖，連接，與交于點(diǎn)O，由（1）得：∴，∵四邊形是正方形，，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，是上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且，．(1)的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．答案:(1)(2)分析：（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到，由平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，即可得到；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得到，即可求出的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，，，，，（2）四邊形是平行四邊形，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊性質(zhì)的性質(zhì)，平行