專題06四邊形(原卷版+解析)

專題06四邊形一、選擇題1．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，添加下列條件，能使菱形成為正方形的是（

）A． B． C． D．平分2．（2023·廣東中山·統(tǒng)考一模）若一個(gè)正邊形的內(nèi)角和為，則它的每個(gè)外角度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，、交于點(diǎn)，、分別為、的中點(diǎn)．若，，則的長為（

）A．2 B．4 C．8 D．164．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）給出下列判斷，正確的是（

）A．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形C．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形D．有一條對(duì)角線平分一個(gè)內(nèi)角的平行四邊形為菱形5．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，、交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④6．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為正方形中，點(diǎn)在以為圓心的弧上，射線交于，連接，若，則=（

）A． B． C． D．7．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的邊長為12，E是中點(diǎn)，F(xiàn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，在上取點(diǎn)G，使得，交于H，則的長為（

）A．4 B． C． D．8．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖所示，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAC，分別交BC、BD于E、F，下列結(jié)論：①△ABF∽△ACE；②BD=AD+BE；③；④若△ABF的面積為1，則正方形ABCD的面積為．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AM=BN=1，連接CM、ND，過點(diǎn)M作MF∥ND與∠EAD的平分線交于點(diǎn)F，連接CF分別與AD、ND交于點(diǎn)G、H，連接MH，則下列結(jié)論正確的有（

）個(gè)①M(fèi)C⊥ND；②sin∠MFC=；③(BM+DG)2=AM2+AG2；④S△HMF=A．1 B．2 C．3 D．410．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，點(diǎn)在邊上，且，連接，，平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若正方形的邊長為4，則的面積是（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）已知正邊形的一個(gè)外角為，則n＝_____12．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）若n邊形的每一個(gè)外角都等于60°，則n=_____．13．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是120°，則它的邊數(shù)是_________．14．（2023·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，若，則的面積為______．15．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）如圖，正方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將正方形沿翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，延長交于點(diǎn)P，若，則的長為_____．16．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，邊長為2的正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，將正方形ABCD沿DF直線折疊，點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)E處，折痕DF交AC于點(diǎn)M，則OM的長為________．17．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD中點(diǎn)，連接BE，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，連接AF，若，，．則AF長為________．18．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，，，連接，將沿所在的直線翻折，得到，交于點(diǎn)F，將沿所在的直線翻折，得到，交于點(diǎn)G，的值為______．19．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）在平面坐標(biāo)系中，第1個(gè)正方形的位置如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)為，延長交軸于點(diǎn)，作第2個(gè)正方形，延長交軸于點(diǎn)；作第3個(gè)正方形，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，若點(diǎn)、、…在直線上，則______．20．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它們交于點(diǎn)M，連接并延長，分別交于點(diǎn)E、F，連接交相交于點(diǎn)H，連接．下列判斷中，其中正確結(jié)論有______（填序號(hào)）①；②；③；④三、解答題21．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點(diǎn)O是上的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得(1)求證：四邊形是菱形；(2)如果，求菱形的面積．22．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖所示，菱形中，點(diǎn)M、N分別是邊上的點(diǎn)，，，連接，延長交線段延長線于點(diǎn)E；(1)求證：；(2)若菱形邊長為6，則線段的長是______；23．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上且，連接，E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)求證：四邊形是菱形．24．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖，是矩形的一條對(duì)角線．(1)作的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)E、F，垂足為點(diǎn)O（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡．不要求寫作法）；(2)若，，求的長．25．（2023·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)E，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．26．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面積．27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）(1)如圖1，紙片中，，，過點(diǎn)A作，垂足為E，沿剪下，將它平移至的位置，拼成四邊形，則四邊形的形狀為．（從以下選項(xiàng)中選取）A．正方形

B．菱形

C．矩形(2)如圖2，在（1）中的四邊形紙片中，在上取一點(diǎn)F，使，剪下，將它平移至的位置，拼成四邊形．①求證：四邊形是菱形；②連接，求的值．28．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是循序漸進(jìn)、不斷延伸拓展的，數(shù)學(xué)知識(shí)往往起源于人們?yōu)榱私鉀Q某些問題，通過觀察、測(cè)量、思考、猜想出的一些結(jié)論．但是所猜想的結(jié)論不一定都是正確的．人們從已有的知識(shí)出發(fā)，經(jīng)過推理、論證后，如果所猜想的結(jié)論在邏輯上沒有矛盾，就可以作為新的推理的前提，數(shù)學(xué)中稱之為定理．(1)推理證明：在八年級(jí)學(xué)習(xí)等腰三角形和直角三角形時(shí)，借助工具測(cè)量就能夠發(fā)現(xiàn)：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，當(dāng)時(shí)并未說明這個(gè)結(jié)論的正確性．九年級(jí)學(xué)習(xí)了矩形的判定和性質(zhì)之后，就可以解決這個(gè)問題了．如圖1，在中，若是斜邊上的中線，則，請(qǐng)你用矩形的性質(zhì)證明這個(gè)結(jié)論的正確性．(2)遷移運(yùn)用：利用上述結(jié)論解決下列問題：①如圖2，在線段異側(cè)以為斜邊分別構(gòu)造兩個(gè)直角三角形與，E、F分別是、的中點(diǎn)，判斷與的位置關(guān)系并說明理由；②如圖3，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，分別以、為斜邊且在同側(cè)分別構(gòu)造兩個(gè)直角三角形與，求證：是矩形；29．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合），連接．(1)將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．①依題意補(bǔ)全圖1；②小深通過觀察、實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)線段存在以下數(shù)量關(guān)系：的平方和等于的平方．小深把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成證明該猜想的幾種想法：想法1：將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，要證的關(guān)系，只需證的關(guān)系．想法2：將沿翻折，得到，要證的關(guān)系，只需證的關(guān)系．…請(qǐng)你參考上面的想法，用等式表示線段的數(shù)量關(guān)系并證明；（一種方法即可）(2)如圖2，若將直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．若正方形邊長為，，求的長．30．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）將正方形的邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，過點(diǎn)B作直線，垂足為點(diǎn)F，連接．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為______，的值為______；(2)當(dāng)時(shí)，①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)根據(jù)圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；②如圖3，正方形邊長為4，，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在與相似？若存在，則的值為______，若不存在，請(qǐng)說明理由．31．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖①，在中，，垂足為E，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(1)獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問題；(2)實(shí)踐探究：希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（F為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長交于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(3)問題解決：智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)H，折痕交于點(diǎn)M，連接，交于點(diǎn)N．該小組提出一個(gè)問題：若此的面積為20，邊長，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果．專題06四邊形一、選擇題1.(2023四川攀枝花）下列說法錯(cuò)誤的是（）A、平行四邊形的對(duì)邊相等B、對(duì)角線相等的四邊形是矩形C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形D、正方形既是軸對(duì)稱圖形、又是中心對(duì)稱圖形答案:B解析：對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，如等腰梯形的對(duì)角線也相等，所以，B錯(cuò)誤。正確的說法是：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.A、C、D都是正確的.故選B.2．(2023四川巴中）下列命題是真命題的是（）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 D．四邊相等的平行四邊形是正方形答案:C．解析：解：A、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，所以C選項(xiàng)正確；D、四邊相等的菱形是正方形，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．3.(2023四川樂山）把邊長分別為1和2的兩個(gè)正方形按圖示的方式放置.則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.答案:A解析：陰影部分面積=1××=.4．(2023四川遂寧）如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OE⊥BD交AD于點(diǎn)E，連接BE，若平行四邊形ABCD的周長為28，則△ABE的周長為（）A．28 B．24 C．21 D．14答案:D．解析：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵平行四邊形的周長為28，∴AB+AD＝14∵OE⊥BD，∴OE是線段BD的中垂線，∴BE＝ED，∴△ABE的周長＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，故選：D．5．(2023四川巴中）如圖?ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長AD至E，使DE：AD＝1：3，連結(jié)EF交DC于點(diǎn)G，則S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9答案:D．解析：解：設(shè)DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴，故選：D．6.(2023四川綿陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，則對(duì)角線交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A.（2，） B.（，2） C.（，3）D.（3，）答案:D.解析：解：過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，∵四邊形OABC為菱形，∠AOC=60°，∴=30°，∠FAE=60°，∵A（4，0），∴OA=4，∴，∴，EF=，∴OF=AO-AF=4-1=3，∴E（3，）．故選：D．7.(2023四川綿陽）公元三世紀(jì)，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是125，小正方形面積是25，則（sinθ-cosθ）2=（）A. B. C. D.答案:A.解析：解：∵大正方形的面積是125，小正方形面積是25，∴大正方形的邊長為5，小正方形的邊長為5，∴5cosθ-5sinθ=5，∴cosθ-sinθ=，∴（sinθ-cosθ）2=．故選：A．8.(2023四川樂山）如圖，在邊長為的菱形中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，現(xiàn)將△沿直線翻折至△的位置，與交于點(diǎn).則等于（）A. B.C.D.答案:A.解析：因?yàn)椤螧=30°，AB=，AE⊥BC，所以BE=，所以EC=-，則CF=3-，又因?yàn)镃G∥AB，所以，所以CG=.故選A.9．(2023四川眉山）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，過對(duì)角線交點(diǎn)O作EF⊥AC交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則DE的長是（）A．1 B． C．2 D．答案:B．解析：解：連接CE，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，設(shè)DE＝x，則CE＝AE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，解得：x＝，即DE＝；故選：B．10.(2023四川綿陽）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=5，CD=AD=3，點(diǎn)E是線段CD的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)C，∠FEG的兩邊與線段AB分別交于點(diǎn)F、G，連接AC分別交EF、EG于點(diǎn)H、K．若BG=，∠FEG=45°，則HK=（）A. B. C. D.答案:B.解析：解：∵∠ADC=90°，CD=AD=3，∴AC=3，∵AB=5，BG=，∴AG=，∵AB∥DC，∴△CEK∽△AGK，∴，∴，∴，∵CK+AK=3，∴CK=，過E作EM⊥AB于M，則四邊形ADEM是矩形，∴EM=AD=3，AM=DE=2，∴MG=，∴EG=，∵，∴EK=，∵∠HEK=∠KCE=45°，∠EHK=∠CHE，∴△HEK∽△HCE，∴，∴設(shè)HE=3x，HK=x，∵△HEK∽△HCE，∴，∴，解得：，∴HK=，故選：B．11．(2023四川遂寧）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，△BPC是等邊三角形，連接DP并延長交CB的延長線于點(diǎn)H，連接BD交PC于點(diǎn)Q，下列結(jié)論：①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．其中正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④答案:D．解析：解：∵△PBC是等邊三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，則∠BPD＝∠BPC+∠CPD＝135°，故①正確；∵∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠DBP＝∠DPB＝135°，又∵∠PDB＝∠BDH，∴△BDP∽△HDB，故②正確；如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥CD于E，設(shè)QE＝DE＝x，則QD＝x，CQ＝2QE＝2x，∴CE＝x，由CE+DE＝CD知x+x＝1，解得x＝，∴QD＝x＝，∵BD＝，∴BQ＝BD﹣DQ＝﹣＝，則DQ：BQ＝：≠1：2，故③錯(cuò)誤；∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°，∴∠PDQ＝30°，又∵∠CPD＝75°，∴∠DPQ＝∠DQP＝75°，∴DP＝DQ＝，∴S△BDP＝BD?PDsin∠BDP＝×××＝，故④正確；故選：D．12．(2023四川達(dá)州）矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知B（2，2），點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，P是對(duì)角線OB上一動(dòng)點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），連接PC，過點(diǎn)P作PD⊥PC，交x軸于點(diǎn)D．下列結(jié)論：①OA＝BC＝2；②當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OA的中點(diǎn)處時(shí)，PC2+PD2＝7；③在運(yùn)動(dòng)過程中，∠CDP是一個(gè)定值；④當(dāng)△ODP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案:D．解析：解：①∵四邊形OABC是矩形，B（2，2），∴OA＝BC＝2；故①正確；②∵點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，∴OD＝OA＝，∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正確；③如圖，過點(diǎn)P作PF⊥OA于F，F(xiàn)P的延長線交BC于E，∴PE⊥BC，四邊形OFEC是矩形，∴EF＝OC＝2，設(shè)PE＝a，則PF＝EF﹣PE＝2﹣a，在Rt△BEP中，tan∠CBO＝，∴BE＝PE＝a，∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），∵PD⊥PC，∴∠CPE+∠FPD＝90°，∵∠CPE+∠PCE＝90°，∴∠FPD＝∠ECP，∵∠CEP＝∠PFD＝90°，∴△CEP∽△PFD，∴，∴，∴FD＝，∴tan∠PDC＝＝，∴∠PDC＝60°，故③正確；④∵B（2，2），四邊形OABC是矩形，∴OA＝2，AB＝2，∵tan∠AOB＝，∴∠AOB＝30°，當(dāng)△ODP為等腰三角形時(shí)，Ⅰ、OD＝PD，∴∠DOP＝∠DPO＝30°，∴∠ODP＝60°，∴∠ODC＝60°，∴OD＝OC＝，Ⅱ、OP＝OD，∴∠ODP＝∠OPD＝75°，∵∠COD＝∠CPD＝90°，∴∠OCP＝105°＞90°，故不合題意舍去；Ⅲ、OP＝PD，∴∠POD＝∠PDO＝30°，∴∠OCP＝150°＞90°故不合題意舍去，∴當(dāng)△ODP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）．故④正確，故選：D．13．(2023四川眉山）如圖，在菱形ABCD中，已知AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在DC的延長線上，有下列結(jié)論：①BE＝CF；②∠EAB＝∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE＝15°，則點(diǎn)F到BC的距離為2﹣2．則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案:B．解析：解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACD，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠ABE＝∠ACF，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴AE＝AF，BE＝CF．故①正確；∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝60°，∵∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠EAB＝60°，∴∠EAB＝∠CEF，故②正確；∵∠ACD＝∠ACB＝60°，∴∠ECF＝60°，∵∠AEB＜60°，∴△ABE和△EFC不會(huì)相似，故③不正確；過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEB＝45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BG＝2，AG＝2，在Rt△AEG中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，∴AG＝GE＝2，∴EB＝EG﹣BG＝2﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴∠ABE＝∠ACF＝120°，EB＝CF＝2﹣2，∴∠FCE＝60°，在Rt△CHF中，∵∠CFH＝30°，CF＝2﹣2，∴CH＝﹣1．∴FH＝（﹣1）＝3﹣．∴點(diǎn)F到BC的距離為3﹣，故④不正確．綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：B．二、填空題14．(2023四川廣安）如圖，正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AC與BE相交于點(diǎn)F，則∠AFE＝度．答案:72．解析：解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠EAB＝∠ABC＝，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠ABE＝36°，∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°．故答案為：7215．(2023四川南充）如圖，以正方形ABCD的AB邊向外作正六邊形ABEFGH，連接DH，則∠ADH＝度．答案:15．解析：解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，在正六邊形ABEFGH中，∵AB＝AH，∠BAH＝120°，∴AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠ADH＝∠AHD＝（180°﹣150°）＝15°，故答案為：15．16．(2023四川達(dá)州）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，△BEO的周長是8，則△BCD的周長為．答案:16．解析：解：∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴BO＝DO＝BD，BD＝2OB，∴O為BD中點(diǎn)，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2BE，BC＝2OE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∴CD＝2BE．∵△BEO的周長為8，∴OB+OE+BE＝8，∴BD+BC+CD＝2OB+2OE+2BE＝2（OB+OE+BE）＝16，∴△BCD的周長是16，故答案為16．17．(2023四川涼山州）在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)E將AD分為2：3的兩部分，連接BE、AC相交于F，則S△AEF：S△CBF是．答案:4：25或9：25．解析：解：①當(dāng)AE：ED＝2：3時(shí)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，∴△AEF∽△CBF，∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；②當(dāng)AE：ED＝3：2時(shí)，同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25，故答案為：4：25或9：25．18．(2023四川涼山州）如圖，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），過點(diǎn)P作PQ⊥EP，交CD于點(diǎn)Q，則CQ的最大值為．答案:4．解析：解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ．又∠B＝∠C＝90°，∴△BPE∽△CQP．∴．設(shè)CQ＝y(tǒng)，BP＝x，則CP＝12﹣x．∴，化簡得y＝﹣（x2﹣12x），整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以當(dāng)x＝6時(shí)，y有最大值為4．故答案為4．19．(2023四川成都）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AO，AB于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)O為圓心，以AM長為半徑作弧，交OC于點(diǎn)M'；③以點(diǎn)M'為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠COB內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N'；④過點(diǎn)N'作射線ON'交BC于點(diǎn)E．若AB＝8，則線段OE的長為．答案:4．解析：解：由作法得∠COE＝∠OAB，∴OE∥AB，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OC＝OA，∴CE＝BE，∴OE為△ABC的中位線，∴OE＝AB＝×8＝4．故答案為4．20．(2023四川成都）如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A'B'D'，分別連接A'C，A'D，B'C，則A'C+B'C的最小值為．答案:．解析：解：∵在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝1，∠ABD＝30°，∵將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A'B'D'，∴A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，當(dāng)B′C⊥A′B′時(shí)，A'C+B'C的值最小，∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，∴四邊形A′B′CD是矩形，∠B′A′C＝30°，∴B′C＝，A′C＝，∴A'C+B'C的最小值為，故答案為：．21．(2023四川南充）如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸及原點(diǎn)上滑動(dòng)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸及原點(diǎn)上滑動(dòng)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB＝24，BC＝5．給出下列結(jié)論：①點(diǎn)A從點(diǎn)O出發(fā)，到點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)O為止，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長為12π；②△OAB的面積最大值為144；③當(dāng)OD最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）．其中正確的結(jié)論是．（填寫序號(hào)）答案:②③．．解析：解：∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB＝24，∴OE＝，∴AB的中點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)O為圓心，12為半徑的一段圓弧，∵∠AOB＝90°，∴點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長為，故①錯(cuò)誤；當(dāng)△OAB的面積最大時(shí)，因?yàn)锳B＝24，所以△OAB為等腰直角三角形，即OA＝OB，∵E為AB的中點(diǎn)，∴OE⊥AB，OE＝，∴，故②正確；如圖，當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，OD最大，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，∵AD＝BC＝5，AE＝，∴，∴OD＝DE+OE＝13+12＝25，設(shè)DF＝x，∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DFA＝∠AOB，∴∠DAF＝∠ABO，∴△DFA∽△AOB∴，∴，∴，∵E為AB的中點(diǎn)，∠AOB＝90°，∴AE＝OE，∴∠AOE＝∠OAE，∴△DFO∽△BOA，∴，∴，解得x＝，x＝﹣舍去，∴，∴D的坐標(biāo)為（，）．故③正確．故答案為：②③．三、解答題22．(2023四川廣安）如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的CD邊的中點(diǎn)，AE、BC的延長線交于點(diǎn)F，CF＝3，CE＝2，求平行四邊形ABCD的周長．答案:14．解析：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF．又ED＝EC，∴△ADE≌△FCE（AAS）．∴AD＝CF＝3，DE＝CE＝2．∴DC＝4．∴平行四邊形ABCD的周長為2（AD+DC）＝14．23．(2023四川遂寧）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，延長BC到E，使CE＝BC，連接AE交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)．求證：（1）△ADF≌△ECF．（2）四邊形ABCD是平行四邊形．答案:見解析．解析：證明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴DF＝CF，∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC，∵CE＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．24．(2023四川涼山州）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是OC上一點(diǎn)，連接EB．過點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足為M，AM與BD相交于點(diǎn)F．求證：OE＝OF．答案:見解析．解析：證明：∵四邊形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．25．(2023四川眉山）如圖1，在正方形ABCD中，AE平分∠CAB，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AE，交AE的延長線于點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：BE＝BF；（2）如圖2，連接BG、BD，求證：BG平分∠DBF；（3）如圖3，連接DG交AC于點(diǎn)M，求的值．答案:（1）見解析；（2）見解析；（3）．解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠EAB+AEB＝90°，∵AG⊥CF，∴∠FCB+∠CEG＝90°，∵∠AEB＝∠CEG，∴∠EAB＝∠FCB，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴BE＝BF；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG＝22.5°，∴△AGC≌△AGF（ASA），∴CG＝GF，∵∠CBF＝90°，∴GB＝GC＝GF，∴∠GBF＝∠GFB＝90°﹣∠FCB＝90°﹣∠GAF＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠DBG＝180°﹣∠ABD﹣∠GBF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DBG＝∠GBF，∴BG平分∠DBF；（3）解：連接BG，如圖3所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝AB，∠DCA＝∠ACB＝45°，∠DCB＝90°，∴AC＝DC，∵∠DCG＝∠DCB+∠BCF＝∠DCB+∠GAF＝90°+22.5°＝112.5°，∠ABG＝180°﹣∠GBF＝180°﹣67.5°＝112.5°，∴∠DCG＝∠ABG，∴△DCG≌△ABG（SAS），∴∠CDG＝∠GAB＝22.5°，∴∠CDG＝∠CAG，∵∠DCM＝∠ACE＝45°，∴△DCM∽△ACE，∴．26．(2023四川達(dá)州）箭頭四角形模型規(guī)律如圖1，延長CO交AB于點(diǎn)D，則∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因?yàn)榘妓倪呅蜛BOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”這個(gè)規(guī)律，所以我把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．②如圖3，∠ABE、∠ACE的2等分線（即角平分線）BF、CF交于點(diǎn)F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，則∠BFC＝．③如圖4，BOi、COi分別為∠ABO、∠ACO的2019等分線（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它們的交點(diǎn)從上到下依次為O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，則∠BO1000C＝度．（2）拓展應(yīng)用：如圖5，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且OA＝OB＝OD．求證：四邊形OBCD是菱形．答案:（1）①2α；②85°；③（m+n）；（2）見解析．解析：解：（1）①如圖2，在凹四邊形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，在凹四邊形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；②如圖3，∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，∴∠F＝，∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，∴∠F＝85°；③如圖3，由題意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，則∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案為：①2α；②85°；③（m+n）；（2）如圖5，連接OC，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝∠BOD，∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共邊，∴△OBC≌△ODC（SSS），∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC，又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四邊形OBCD是菱形．27．(2023四川南充）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，DF與BC交于點(diǎn)M，延長EM交GF于點(diǎn)H，EF與CB交于點(diǎn)N，連接CG．（1）求證：CD⊥CG；（2）若tan∠MEN＝，求的值；（3）已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，EM的長能否為？請(qǐng)說明理由．答案:（1）見解析；（2）；（3）EM的長不可能為，理由見解析．解析：（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；（2）解：∵四邊形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFM＝∠GFM＝45°，∴△EFM≌△GFM（SAS），∴EM＝GM，∠MEF＝∠MGF，∴△EFH≌△GFN（ASA），∴HF＝NF，∵tan∠MEN＝＝，∴GF＝EF＝3HF＝3NF，∴GH＝2HF，如圖，作NP∥GF交EM于P，則△PMN∽△HMG，△PEN∽△HEF，∴＝，∴PN＝HF，∴；（3）EM的長不可能為，理由：假設(shè)EM的長為，∵點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且∠EDG＝∠ADC＝90°，∴點(diǎn)G在BC的延長線上，同（2）的方法得，EM＝GM＝，∴GM＝，在Rt△BEM中，EM是斜邊，∴BM＜，∵正方形ABC