四川省內(nèi)江市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中理科試題

Page11Page11四川省內(nèi)江市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中（理科）試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知過點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線垂直，則()A. B.1 C.2 D.2.設(shè)x，y滿意約束條件，則的最小值是()A.－1 B.0 C.1 D.23.過點(diǎn)，且橫、縱截距的肯定值相等的直線的條數(shù)為(

)A.B.C.D.4.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(

)

A.10

B.12

C.14

D.165.由直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為(

)A.B.C.D.6.已知直線，分別過點(diǎn)，，若它們分別繞點(diǎn)P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則，之間的距離d的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知某幾何體的三視圖(單位:)如圖所示，則該幾何體的體積是(

)

A.B.C.D.8、球內(nèi)接正四棱錐的高為3，體積為6，則這個(gè)球的表面積是(

)A.16πB.20πC.24πD.32π9.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，若，則異面直線AB1與C1B所成的角為（）A、B、C、D、10.若直線與曲線有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是()A. B.

C. D.11.已知圓和兩點(diǎn)，，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則m的最大值為（）A.7 B.4 C.5 D.612.數(shù)學(xué)中有很多形態(tài)美麗、寓意美妙的曲線，曲線就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

②曲線C上隨意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.

其中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.① B.② C.①② D.①②③第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知在三角形ABC中，，點(diǎn)C在直線上.若三角形ABC的面積為10，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________.14、一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是，則這個(gè)三棱柱的體積為_______.15.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值是

.16.中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形態(tài)多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長(zhǎng)為.

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分10分）如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，分別是線段的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，平面與平面有怎樣的位置關(guān)系？并證明．18.(本小題滿分12分）已知圓，直線。

（Ⅰ）證明:不論取什么實(shí)數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn);（Ⅱ）求直線被圓截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)的方程.19.(本小題滿分12分）已知圓.（Ⅰ）求圓心的坐標(biāo)及半徑的大小；（Ⅱ）已知不過原點(diǎn)的直線與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，求直線的方程；（Ⅲ）從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的軌跡方程．20.(本小題滿分12分）如圖所示，已知ABCD為梯形，AB//CD，，M為線段PC上一點(diǎn).

（Ⅰ）設(shè)平面平面，證明：AB//l.（Ⅱ）在棱PC上是否存在點(diǎn)M，使得PA//平面MBD？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.21.(本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)設(shè)圓的半徑為，圓心在直線上.（Ⅰ）若圓心也在直線上，求圓的方程;（Ⅱ）在上述的條件下，過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程;（Ⅲ）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.22.(本小題滿分12分）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，且圓心C在直線上，又直線與圓C相交于兩點(diǎn)．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）若，求實(shí)數(shù)k的值；（Ⅲ）過點(diǎn)作動(dòng)直線m交圓C于兩點(diǎn)．試問：在以EF為直徑的全部圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經(jīng)過點(diǎn)？若存在，求出圓P的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

威遠(yuǎn)中學(xué)21—22學(xué)年高二第一學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（參考答案）1.答案：C解析：分析知直線的斜率存在且不為0.由于直線與直線垂直,且過點(diǎn)所以直線的方程為,因?yàn)橹本€與圓相切,所以,解得,故選C.2.答案：C3.答案：C解析：本題考查直線的方程.①當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線的截距式方程為(其中,分別為直線在軸、軸上的截距)因?yàn)橹本€過點(diǎn),則有.由題,直線的橫、縱截距的肯定值相等,即有.當(dāng),時(shí),可得,此直線的方程為;當(dāng),時(shí),可得,此直線的方程為當(dāng),時(shí),可得,沖突;當(dāng),時(shí),可得,沖突;

②當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),方程為,在軸、軸上的截距均為,也滿意條件.故滿意條件的直線共有條.正確答案為C4.答案：B解析：視察三視圖可知該多面體是由直三棱柱和三棱錐組合而成的,且直三棱柱的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為2.三棱錐的底面是直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,高為2,如圖所示.因此該多面體各個(gè)面中共有兩個(gè)梯形,且這兩個(gè)梯形全等,梯形的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,高為2,故這些梯形的面積之和為.故選B5.答案：B解析：要使切線長(zhǎng)最小,必需直線上的點(diǎn)到圓心的距離最小,此最小值即為圓心到直線的距離,求出,由勾股定理可求切線長(zhǎng)的最小值.要使切線長(zhǎng)最小,必需直線上的點(diǎn)到圓心的距離最小,此最小值即為圓心到直線的距離,由點(diǎn)到直線的距離公式得,由勾股定理求得切線長(zhǎng)的最小值為.故選B.6.答案：A解析：易知兩直線之間的最大距離為P，Q兩點(diǎn)間的距離，由兩點(diǎn)間的距離公式得.故，之間的距離d的取值范圍為.7.答案：B解析：由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體截去了一個(gè)三棱錐,結(jié)合所給數(shù)據(jù),可得其體積為,故選B.8.答案：A解析：試題分析:設(shè)正四棱錐底面邊長(zhǎng)為a,由6,得a=,

正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,記為O,PO=AO=R,PO1=3,OO1=3-R,在Rt△AO1O中,AO1=AC=,由勾股定理R2=3+(3-R)2得R=2,∴球的表面積S=16π故選A。9.答案：B略10.答案：C解析：如圖所示曲線即,表示以為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，圓心到直線的距離等于半徑2，可得，所以.當(dāng)直線過點(diǎn)，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí).結(jié)合圖像可得.故選C.11.答案：D解析：若，則點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓，其方程為.由題意知圓與圓有公共點(diǎn)，所以，易知，所以，故m的最大值為6.12.答案：C解析：由,得,,即,所以可為的整數(shù)有0,,1,從而曲線恰好經(jīng)過六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論①正確.由,得,,解得,所以曲線上隨意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過.結(jié)論②正確.如圖所示,易知,則四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③錯(cuò)誤.故選C.故選C.13.解析：設(shè)，由的面積為10，得點(diǎn)C到邊所在直線的距離為4.又線段所在直線方程為，即.所以解得或所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為或.14.解析：設(shè)球的半徑為,∵,∴,∴正三棱柱的高,設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為,則,∴,∴.15.解析：由于圓的方程為,圓心為由題意可知到的距離應(yīng)不大于2,即.整理得,解得,故的最大值為.16.解析：由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，其次層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為x，則，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)交正方體棱于H，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，,，解析：證明如圖，連接，（1分）由F是線段的中點(diǎn)得F為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴.（2分）又∵平面，平面，（4分）∴平面（5分）(2)解平面平面，證明如下：在上取中點(diǎn)P，連接.（6分）∵分別為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴.（7分）又∵平面，平面，∴平面，（8分）又平面，平面，平面，（9分）∴平面平面.（10分）注：用線線平行推面面平行，說明合理也給滿分18.解析：（1）.證法1:的方程,（2分）

即恒過定點(diǎn)（4分）

圓心坐標(biāo)為,半徑,,

∴點(diǎn)在圓內(nèi),從而直線恒與圓相交于兩點(diǎn)。（6分）

證法2:圓心到直線的距離,

,所以直線恒與圓相交于兩點(diǎn)。

（2）.弦長(zhǎng)最小時(shí),,,,（8分）

（10分）

代入,得的方程為。（12分）19.解析：(1)圓的方程變形為,∴圓心的坐標(biāo)為,半徑為.（3分）(2)∵直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零,∴設(shè)直線l的方程為,

∴或。∴所求直線l的方程為或。（7分）(3)連接,則切線和垂直,連接,

∴,（9分）

又,

∴（11分）即,∴點(diǎn)P的軌跡方程為.（12分）答案：（1）【證明】因?yàn)锳B//CD,平面PDC,平面PDC，（2分）

所以AB//平面PDC.（3分）又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面PAB，（5分）所以AB//l.（6分）

（2）【解】存在點(diǎn)M，使得PA//平面MBD，此時(shí).（7分）理由如下：

連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.（8分）

因?yàn)锳B//CD，所以?AOB~?COD.又，所以.（9分）

又因?yàn)?所以PA//MO.（10分）又因?yàn)槠矫鍹BD,平面MBD，（11分）所以PA//平面MBD.（12分）

解析：（1）由得圓心半徑為,所以圓方程為（3分）

（2）.由題意知切線的斜率肯定存在,設(shè)所求圓的切線方程為,即由得或（5分）所以所求圓的切線方程為或即或（7分）

（3).設(shè)由得整理得故點(diǎn)在直線上.（9分）所以點(diǎn)既在圓上又在直線上,即圓和直線有公共點(diǎn),所以（11分）所以（12分）綜上所述,的取值范圍為22.解析：(1).設(shè)圓心，半徑為r．因?yàn)閳AC經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，（1分）解得，（3分）所以圓C的方程是（4分）(2).因?yàn)椋?分）且與的夾角為，所以（6分）所以圓心C到直線的距離