新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)五空間中的平面與空間向量新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

課時(shí)作業(yè)(五)空間中的平面與空間向量一、選擇題1．設(shè)平面α的法向量為(1，－2，2)，平面β的法向量為(2，λ，4)，若α∥β，則λ等于()A．2B．4C．－2D．－42．若平面α，β的法向量分別為a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為()A．10B．－10C．12D．－3．已知AB＝(2，2，1)，AC＝(4，5，3)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量可表示為()A．(－1，2，－2)B．(12C．(13，－23，234．已知AB＝(－3，1，2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(2，－2，4)，點(diǎn)A不在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關(guān)系為()A．AB⊥αB．AB?αC．AB與α相交但不垂直D．AB∥α二、填空題5．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，點(diǎn)G是P在平面ABC內(nèi)的射影，則G是△ABC的________.6．已知l∥α，且l的方向向量為(2，－8，1)，平面α的法向量為(1，y，2)，則y＝________．7．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，假如AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正確的是________(填序號(hào))．三、解答題8．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，在CC1上求一點(diǎn)P，使平面A1B1P⊥平面C1DE.[尖子生題庫(kù)]10.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3，試證明平面AMC⊥平面BMC．課時(shí)作業(yè)(五)空間中的平面與空間向量1．解析：∵α∥β，∴(1，－2，2)＝m(2，λ，4)，∴λ＝－4.答案：D2．解析：因?yàn)棣痢挺拢运鼈兊姆ㄏ蛄恳蚕嗷ゴ怪?，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，即－x－2－8＝0，解得x＝－10.答案：B3．解析：設(shè)平面ABC的法向量為a＝(x，y，z)，則有AB·a=0令z＝1，得y＝－1，x＝12，∴a＝(1故平面ABC的一個(gè)單位法向量為aa＝(13，－答案：C4．解析：因?yàn)閚·AB＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥AB.又點(diǎn)A不在平面α內(nèi)，n為平面α的一個(gè)法向量，所以AB∥α，故選D.答案：D5．解析：連接AG，BG(圖略)，則AG，BG分別為AP，BP在平面ABC內(nèi)的射影．因?yàn)镻A⊥BC，所以由三垂線定理的逆定理知AG⊥BC，同理，BG⊥AC，所以G是△ABC的垂心．答案：垂心6．解析：∵l∥α，∴(2，－8，1)·(1，y，2)＝0，而2×1－8y＋2＝0，∴y＝12答案：17．解析：AP·AB＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，∴AP⊥AB，即①正確．AP·AD＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.∴AP⊥AD，即②正確．又∵AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD即AP是平面ABCD的一個(gè)法向量，③正確．④不正確．答案：①②③8．解析：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以FC1DA＝(2，0，0)，AE＝(0，2，1)．(1)設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1⊥DA，n1⊥AE，即n1·DA令z1＝2?y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)，因?yàn)閚1·FC又因?yàn)镕C1?平面ADE，即FC1∥平面ADE.(2)因?yàn)镃1B1＝(2，0，0)，設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C由n2n2·FC令z2＝2?y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，所以n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.9．解析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，且P(0，2，a)，則D(0，0，0)，E(1，2，0)，C1(0，2，2)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，則DE＝1，設(shè)n1＝(x1，y1，z1)且n1⊥平面DEC1，則x1+2y1又A1P＝設(shè)n2＝(x2，y2，z2)且n2⊥平面A1B1P，則-2x2+2y2由平面A1B1P⊥平面C1DE，得n1·n2＝0，即2(a－2)＋2＝0，解得a＝1.故P為CC1的中點(diǎn)．10．證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)，(1)AP＝(0，3，4)，BC＝(－8，0，0)，所以AP·BC＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，所以AP⊥BC，即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|＝5，又|AM|＝3，且點(diǎn)M在線段AP上，所以AM＝35AP＝(0，又因?yàn)锽A＝(－4，－5，0)，所以BM＝BA+