固體物理學(xué) 課件 第4章 晶格振動(dòng)理論4.4節(jié)

固體物理學(xué)主講教師：胡建民哈爾濱師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院12024/7/23知識(shí)回顧第四章晶格振動(dòng)理論2經(jīng)典的晶格振動(dòng)理論量子的晶格振動(dòng)理論晶格振動(dòng)的熱容理論一維原子鏈周期性邊界條件(q,ω)

振動(dòng)模式數(shù)=格波數(shù)三維晶格色散關(guān)系第四章晶格振動(dòng)理論3熱容熱容：晶格振動(dòng)在晶體宏觀性質(zhì)上的直接體現(xiàn)第四節(jié)晶格熱容理論定義

定容熱容

固體內(nèi)能=晶格振動(dòng)能+電子動(dòng)能+相互作用勢(shì)能

簡(jiǎn)諧近似下相互作用勢(shì)能近似為常數(shù)。

第四章晶格振動(dòng)理論4熱容在溫度不太低的情況下第四節(jié)晶格熱容理論晶格熱容第五章討論電子熱容本章討論第四章晶格振動(dòng)理論5熱容對(duì)于晶體第四節(jié)晶格熱容理論定容熱容實(shí)驗(yàn)熱容定壓熱容理論熱容實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證理論結(jié)果第四章晶格振動(dòng)理論6經(jīng)典的熱容理論1杜隆-珀替（Dulong-Petit）定律：第四節(jié)晶格熱容理論1819年，室溫下晶體熱容為24.9JK-1mol-11875年，Weber發(fā)現(xiàn)隨溫度升高晶體的熱容趨于定值，室溫下隨溫度的降低而減小。第四章晶格振動(dòng)理論7經(jīng)典的熱容理論2經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論：第四節(jié)晶格熱容理論根據(jù)能量均分定理：能量按照自由度平均分配。線性諧振子在每個(gè)自由度上的平均能量為則由N個(gè)原子組成的晶體內(nèi)能為摩爾熱容：Cm=

3NAkB=3R=24.9JK-1mol-1kBT3NkBT第四章晶格振動(dòng)理論8經(jīng)典的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論摩爾熱容：Cm=

3NAkB=3R=24.9JK-1mol-1可見(jiàn)：室溫下與實(shí)驗(yàn)一致，低溫下與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。玻耳茲曼常數(shù)：kB阿弗加德羅常數(shù)：NA普適氣體常數(shù)：R第四章晶格振動(dòng)理論9經(jīng)典的熱容理論3經(jīng)典熱容理論失敗的原因：第四節(jié)晶格熱容理論經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)不能正確描述線性諧振子體系的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。需要引入量子的觀點(diǎn)，建立量子的熱容理論。第四章晶格振動(dòng)理論10量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，取由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體內(nèi)能量子數(shù)ni=0,1,2,…i=1,2,3,…,3N頻率為ωi的聲子數(shù)聲子是玻色子，遵從Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)規(guī)律1晶體內(nèi)能第四章晶格振動(dòng)理論11量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論2Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)規(guī)律只考慮對(duì)熱容有貢獻(xiàn)的部分第四章晶格振動(dòng)理論12量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論3晶格熱容波矢和頻率取分立值，色散關(guān)系看作準(zhǔn)連續(xù)變化qω第四章晶格振動(dòng)理論13量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論3晶格熱容ρ(ω)

：在ω~ω+

dω的格波數(shù)，稱(chēng)為振動(dòng)模式密度可以確定ωm第四章晶格振動(dòng)理論14量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論3晶格熱容可見(jiàn)，求解熱容的關(guān)鍵是確定

ρ(ω)和ωm第四章晶格振動(dòng)理論15愛(ài)因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論1獨(dú)立諧振子模型1907年，Einstein提出晶體中各原子的振動(dòng)模式都是獨(dú)立的所有原子做頻率相等的簡(jiǎn)諧振動(dòng)原子的振動(dòng)能量是量子化的，能量子為聲子第四章晶格振動(dòng)理論16愛(ài)因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容fE稱(chēng)為Einstein熱容函數(shù)稱(chēng)為Einstein溫度第四章晶格振動(dòng)理論17愛(ài)因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容高溫情況下第四章晶格振動(dòng)理論18愛(ài)因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容高溫情況下1872年，Weber測(cè)得金剛石熱容量6CalK-1mol-1

第四章晶格振動(dòng)理論19愛(ài)因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容低溫情況下1910年能斯特發(fā)現(xiàn)在液氫溫度(20.3K)下熱容量變化更緩慢第四章晶格振動(dòng)理論20愛(ài)因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論3Einstein模型的成功與不足解決了經(jīng)典理論的困難，證實(shí)量子理論的成功；模型過(guò)于簡(jiǎn)單，忽略了低頻長(zhǎng)聲學(xué)波的貢獻(xiàn)。小結(jié)第四章晶格振動(dòng)理論21經(jīng)典的熱容理論量子的熱容理論

Einstein模型

Debye模型第四章晶格振動(dòng)理論22愛(ài)因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論高溫情況下低溫情況下獨(dú)立諧振子模型模型過(guò)于簡(jiǎn)單，忽略了低頻長(zhǎng)聲學(xué)波的貢獻(xiàn)。第四章晶格振動(dòng)理論23德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論1彈性的連續(xù)介質(zhì)模型1912年，Debye提出對(duì)于長(zhǎng)聲學(xué)波，晶格看作連續(xù)的彈性介質(zhì)；格波為彈性介質(zhì)波，ω=qc，υp=υg=c

；

聲學(xué)波3支：1支縱波和2支橫波，且波速相等。υL=υT=c

第四章晶格振動(dòng)理論24德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論2振動(dòng)模式密度ρ(ω)和頻率極限ωD=ωm一維單原子鏈一維雙原子鏈三維晶格(q,ω)

(q,±ω)

第四章晶格振動(dòng)理論25德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論一個(gè)倒格點(diǎn)的體積格點(diǎn)密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)的格點(diǎn)數(shù)可見(jiàn)，在波矢空間中倒格點(diǎn)均勻分布。第四章晶格振動(dòng)理論26德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論等頻率面：半徑為q的球面半徑為q厚度為dq的球殼內(nèi)振動(dòng)模式數(shù)第四章晶格振動(dòng)理論27德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論振動(dòng)模式密度頻率極限ωm也稱(chēng)為Debye頻率ωm=ωD格波總數(shù)等于晶體中原子的總自由度數(shù)第四章晶格振動(dòng)理論28德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論第四章晶格振動(dòng)理論29德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論3熱容量第四章晶格振動(dòng)理論30德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論Debye溫度第四章晶格振動(dòng)理論31德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論第四章晶格振動(dòng)理論32德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論第四章晶格振動(dòng)理論33德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論3熱容量fD：Debye熱容函數(shù)第四章晶格振動(dòng)理論34德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論高溫情況下完全符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果第四章晶格振動(dòng)理論35德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論低溫情況下完全符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果第四章晶格振動(dòng)理論36德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論4Debye模型的理論成就與不足考慮長(zhǎng)聲學(xué)波的貢獻(xiàn)，成功解釋低溫?zé)崛?；格波的振?dòng)是多樣的，僅考慮長(zhǎng)聲學(xué)波不夠合理，導(dǎo)致德拜溫度與溫度無(wú)關(guān)，與實(shí)驗(yàn)不符；章小結(jié)第四章晶格振動(dòng)理論37經(jīng)典的晶格振動(dòng)理論量子的晶格振動(dòng)理論晶格熱容理論晶格振動(dòng)理論章小結(jié)第四章晶格振動(dòng)理論38經(jīng)典的晶格振動(dòng)理論一維原子鏈問(wèn)題動(dòng)力學(xué)方程格波簡(jiǎn)諧近似色散關(guān)系振動(dòng)模式(q,ω)光學(xué)波與聲學(xué)波章小結(jié)第四章晶格振動(dòng)理論39量子的晶格振動(dòng)理論周期性邊界條件格波與聲子晶格振動(dòng)能振動(dòng)模式(q,ω)q和

ω取分立值環(huán)狀原子鏈塊狀晶體堆砌模型章小結(jié)第四章晶格振動(dòng)理論40晶格熱容理論經(jīng)典的熱容理論量子的熱容理論杜隆-珀替定律玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)能量均分定理Eindte