高中數(shù)學圓錐曲線與方程教案

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第二章圓錐曲線與方程

一、課程目標

在必修階段學習平面解析幾何初步的基礎上,在本模塊中,學生將學習圓錐曲線與方程,了解圓錐

曲線與二次方程的關系,掌握圓錐曲線的基本幾何性質(zhì),感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實

際問題中的作用。結合己學過的曲線及其方程的實例，了解曲線與方程的對應關系,進一步體會數(shù)

形結合的思想。

二、學習目標：

(1)、圓錐曲線：

①了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。

②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，掌握它們的定義、標準方程、幾何圖形及

簡單性質(zhì)。

③了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關性質(zhì)。

④能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題(直線與圓錐曲線的位置關系)和實際問

題。

⑤通過圓錐曲線的學習，進一步體會數(shù)形結合的思想。

三、本章知識結構框圖：

曲線與方曲線與方求曲線的方程橢圓及其標準方程橢圓坐橢圓的簡單幾何性質(zhì)標法雙

曲線及其標準方程雙曲線雙曲線的簡單幾何性拋物線及其標準方程拋物線拋物線的簡單幾何

性

2.1求曲線的軌跡方程（新授課）一、教學目標了解兩結合已經(jīng)學過的曲線

及方程的實例，知識與技能：了解曲線與方程的對應關系，并初步學會通過方程來研究曲能根據(jù)

曲線的己知條件求出曲線的方程，條曲線交點的求法；精品文檔.

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線的性質(zhì)。

過程與方法：通過求曲線方程的學習，可培養(yǎng)我們的轉(zhuǎn)化能力和全面分析問題的能力，幫助我

們理解研究圓錐曲線的基本方法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過曲線與方程概念的學習，可培養(yǎng)我們數(shù)與形相互聯(lián)系，對立統(tǒng)一的辯

證唯物主義觀。

二、教學重點與難點

重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法.

難點：作相關點法求動點的軌跡方法.

三、教學過程

（一）復習引入

平面解析幾何研究的主要問題是：

1、根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；

2、通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).

我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究，今天在上面已經(jīng)研

究的基礎上來對根據(jù)己知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統(tǒng)分析.

（-）幾種常見求軌跡方程的方法

1.直接法

由題設所給（或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出）的動點所滿足的幾何條件列出等式,再用坐標代

替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法.

吻例1、（1）求和定圓x+y=R的圓周的距離等于R的動點P的軌跡方程；

2晨2）過點A（a,o）作圓0：x+y=R（a>R>o）的割線，求割線被圓0截得弦的中點的軌跡.

對⑴分析：

動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運動規(guī)律：|0P|=2R或

|OP：=0.

解:設動點P（x,y）,則有|OP|=2R或|OP|=0.

曲即x+y=4R或x+y=0.

皿故所求動點P的軌跡方程為x+y=4R或x+y=O.

對⑵分析：

題設中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與

弦的中點連線垂直于弦，它們的斜率互為負倒數(shù).解答為：

設弦的中點為M（x,y）,連結OM,

則OM±AM.

?.k.kr化簡得：（x-T+y2=（9?

其軌跡是以OA為直徑的圓在圓0內(nèi)的一段?。ú缓它c）.

2.定義法

利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡

方程，這種方法叫做定義法.這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值

的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條

件.例2設Q是圓x?+y2=4上的動點，另有點可』，0),線段AQ的垂

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直平分線1交半徑OQ于點P(見圖2—45),當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方

分析：

?.?點P在AQ的垂直平分線上，

/.|PQ=|PA|.

又P在半徑OQ上.

/.|P0+|PQ=R,即|PO|+|PA|=R.

故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義

寫出P點的軌跡方程.

解：連接PAV11PQ,A|PA|=1PQ|.

又P在半徑0Q上.

,MP0I+1PQ|=2..-.|POMPA|=2,且2＞召=|OA|.

由橢圓定義可知：P點軌跡是以0、A為焦點的橢

由2a=2,2c=避得:a=1,c=.

從而b?=:.

4

故所求橢圓方程為3-號+4=唧為點P的軌跡方程.

圓.4

3.相關點法

若動點P(x,y)隨已知曲線上的點Q(x,y)的變動而變動，且x、y可用x、y表示，,則將Q點

坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程.這種方法稱為相關點法(或代換法).

,例3、已知拋物線y=x+l,定點A(3,1),B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP：

PA=1：2,當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程.

分析：

P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關點，應先找出點P與點B的聯(lián)系.

解：設點P(x,y),且設點B(x,y)

a則有4=Xn+1.

VBP：PA=1：2,且P為線段AB的內(nèi)分點.

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1

X。+]X3

2xo+3

-3~

由定比分點公式得：＜即＜

12y()+1

+X1

Yo2y-3~

y

1+1

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3

X。=萬8-1)

1

y0=5?y-l).

將此式代入y；=x0+l中，并整理得：

X=132-y+抻1為所求軌跡的方程.它是一條拋物線.

4.待定系數(shù)法求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.，軸上的雙曲線僅有

兩個公共點，y=4x、己知拋物線y和以坐標軸為對稱軸、實軸在例452被雙曲線所截的的線段

長等于又直線y=2x,求此雙曲線方程。

解：設所求雙曲線方程為5一5=1,將y2=4x代入此方程徵蹴

22232-0

xa-4bx+ab因??,拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等,

22222=Ox+ab應有等根.x此方程a-4bM2,即二16b，^

y=2x

由,y2x2x2#：(4b2-a2)x2-a2b2=0.

-4ab=0a=2b.■下一/二1

2、5=Jl+22J(X]+x、)2-4x^2

廠1一相

由弦長公式得：=^5r~4)(4b2-a2)，

22

a=2bZBa=2

由《與與o與得：(與

a2b2=4b2-a2b2=1

人叩生...雙曲線的方程為4-x=l.

2222b即a=4b-a.2

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(三)鞏固練習

4,求頂點A,-6),另兩邊斜率的積是一邊的兩個端點是B(0,6)和C(OABC1.△_9的軌跡。

2.點P與一定點F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1：2,求點P的軌跡方程，

并說明軌跡是什么圖形？

3.求拋物線y=2px(p>0)上各點與焦點連線的中點的軌跡方程.2(四)課時小結

求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關點法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復數(shù)法也是

求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復數(shù)以后再作介紹.

(五)布置作業(yè)：習題2.1A組2.3.4

四、課后反思：

2.2.1橢圓及其標準方程(新授課)

一、教學目標

知識與技能：了解橢圓的實際背景，掌握橢圓的定義及其標準方程。

過程與方法：通過橢圓的概念引入橢圓的標準方程的推導，培養(yǎng)學生的分析探索能力，熟練掌握

解決解析問題的方法一坐標法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過對橢圓的定義及標準方程的學習，滲透數(shù)形結合的思想，讓學生體會

運動變化、對立統(tǒng)一的思想，提高對各種知識的綜合運用能力.

二、教學重點與難點重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程.

難點：橢圓的標準方程的推導.

三、教學過程(一)橢圓概念的引入

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問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？

問題2：當a〉0時，而W=a與f(x)=a?是同解方程嗎？

當a〉0時f(x)=a*O-a)(Jf(x)+a)=0OJf(x)=a.

問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？

一般學生能回答：“平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”.

對學生提出的軌跡命題如：

“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡.”

“到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡.”

取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F和F兩點（如圖2-13）,當繩長21大于F

和F的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個21橢圓.

教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖有的同

學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等

在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點F、F的距離之和等于常數(shù)（大于|FF|）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個22r定點叫做

橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距.

學生開始只強調(diào)主要幾何特征一一到兩定點F、F的距離之和等于常數(shù)、教師在演示"中要從兩

個方面加以強調(diào)：

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（1）將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制

條件：“在平面內(nèi)

（2）這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|FF|,則是線段2FF；若常

數(shù)＜|FF],則軌跡不存在;若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件:“此常數(shù)2H2大于|FF21（-）

橢圓標準方程的推導

I.標準方程的推導

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以

需要用坐標法先建立橢圓的方程.

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的集合；（3）代數(shù)

方程；（4）化簡方程等步驟.

（1）建系設點

建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表

達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)?

以兩定點FF的直線為x軸，線段FF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖如、22-14).設

|FF|=2c(c>0),M(x,y)為橢圓上任意一點，則有F(-1,0),F(c,0).2211

(2)點的集合

由定義不難得出橢圓集合為:P={M||MF|+|MF|=2a}.21精品文檔.

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22

(3)代數(shù)方程:町1=J(x+c)'+y』|MF2|=J(x-c)+y,

得方程J(x+c>+/+J(x-cl+y2=2a.

(4)化簡方程(學生板演，教師點撥)

2.兩種標準方程的比較(引導學生歸納)

22

(1)5+、=l(a〉b〉0)表示焦點在陣由上的橢圓，焦點是F](-c，

Ah

0)、

F(c,0),這里c=a?b；2222

22

⑵冬+開=l(a〉b〉0)表小焦點在蚌由上的橢圓，焦點是F](0,

Ab?c)、

F(0,c),這里c=a+b,只須將(1)方程的x、y互換即可得到.2222教師指出：在兩種標準方程

中，?「a>b,???可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個22坐標軸上.

(三)例題講解

例、平面內(nèi)兩定點的距離是8,寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程.

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程.

解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F、F表示.取過點F和F的直線2⑵為x軸,

線段FF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系.2-2a=10,2c=8.

.?.a=5,c=4,b=a-c=25-16=9.；加=3222因此，這個橢圓的標準方程是

思考：焦點F、F放在y軸上呢？21精品文檔.

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（四）課堂練習：課本42頁練習1、2、3、4

（五）課時小結

1.定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點F、F的距離的和等于常數(shù)（大于|FF|）的點的軌跡.2112

2.標準方程：三?+4=16>1>>0）或4+=但〉1）〉0）.

ahah

3.圖形

（六）布置作業(yè)：習題2.2A組1、7

四、課后反思

2.2.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（新授課）

一、教學目標

知識與技能:通過橢圓標準方程的討論，使學生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，

并能根據(jù)幾何性質(zhì)解決一些簡單的問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納、推理等能力。

過程與方法：掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，進一步體會數(shù)形結合的思想。

情感、態(tài)度與價值觀：通過本小節(jié)的學習，進一步體會方程與曲線的對應關系，感受圓錐曲線在

刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。

二、教學重點與難點

重點：橢圓的幾何性質(zhì)及初步運用.

難點：橢圓離心率的概念的理解.

三、教學過程

(一)復習提問

1.橢圓的定義是什么？

2.橢圓的標準方程是什么？

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(二)幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一。

,葉國引導學生從標準方程三■+4=：!得出不等式￥<1,

1、氾困abab

即【XIWa,Iy|Wb,這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里,注意結合圖形講解,

并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點.

2.對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2.

設問：為什么“把x換成-x,或把y換成-y?,或把x、y同時換成-x、-y時，方程都不變，所

以圖形關于y軸、x軸或原點對稱的”呢？

事實上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當點P(x,y)在曲線上時，點P

關于y軸的對稱點Q(-x,y)也在曲線上，所以曲線關于y軸對稱.類似可以證明其他兩個命題.

同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關于y軸對稱、關于x軸對稱和關于原點對稱中的任意兩種，那

么它一定具有另一種對稱.如：如果曲線關于x軸和原點對稱，那么它一定關于y軸對稱.

事實上，設P(x,y)在曲線上，因為曲線關于x軸對稱，所以點P(x,-y)必在曲線上.又，因為

曲線關于原點對稱，所以P關于原點對稱點P(-x,y)必在曲線上.因P(x,y)、P(-x,2”y)都在

曲線上，所以曲線關于y軸對稱.

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心.

Q引導學生從橢圓的標準方程4+^=1分析它與X軸、y軸的交點.

J?J貝啟、AD

只須令x=0,得y=±b,點B(0,-b)、B(0,b)是橢圓和y軸的兩個交點；令y=0,得*x=±a,

點A(-a,0)、A(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點.強調(diào)指出：橢圓有四個頂點A(-a,“,0)、A(a,

0)、B(0,-b)、B(0,b).”,教師還需指出：

⑴線段AA、線段BB分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b；於⑵a、b的幾

何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，

就可以得到較正確的圖形.

4.離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

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蚌口十檔橢圓的焦距與長軸的比e=￡.

相口口乂歸A

的幾何意義.等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的取值范圍：先分析橢圓的離心率

e1.0<e<cVa>>0,再結合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

⑴當e接近1時，c越接近a,從而bup/越小，因此橢圓越扁；

a,因此橢圓接近圓；,從而b越接近e接近0時，c越接近0當(2)”,圖形就是圓了.x+y=ae=0

時，c=0,a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為(3)當應用(三).為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)

的認識，掌握用描點法畫圖的基本方法，給出如下例L的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂

點的坐標,并用描=40016x+25y例1、求橢圓點法畫出它的圖形.本例前一部分請一個同學板演，

教師予以訂正，估計不難完成.后一部分由教師講解，以引起學生重視，步驟是：

X2V24'-----------4I------------------

(1)列表.將不+k=1變形為y=士-725-X2,根揄=+￡,25-X2

251655

在第一象限《5的范圍內(nèi)算出幾個點的坐標(x,y)：

X012345

y43.93.73.22.40

描點作圖.先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出(2)2-19).要

F10

強調(diào)：利用對稱性可以使計算量大大減少.整個橢圓(圖圖2-19

例2點M(x,y)與定點F(c,0)的距離和它到定直線1：x=±?的

C

距離的比是常數(shù)％a〉c〉0),求點M的軌跡.

A

本例實質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準備的，同時再

一次使學生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細講解：的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就

是到直線1設d是點Mc?d二MF||_0-22222.-c=a+a-c將上式化簡，得：(a)xy(a)精品文檔.

米主口十檔設就可化成：0+巳=1?

相口口乂eAb

M的軌跡是橢圓.這是橢圓的標準方程，所以點由此例不難歸納出橢圓的第二定義.橢圓的

第二定義(四).定義1與一個定點的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)平面內(nèi)點M

e=￡(O<e<l)時，這個點M的軌跡是橢圓.定點是橢圓的焦點，定直

A

是橢圓的離心率.線叫做橢圓的準線，常數(shù)e2.說明

⑴對于橢圓5+&=1，相應于焦點F(c,0)的準線方程是x=±.

abc

根據(jù)橢圓的對稱性，相應于焦點F'(-c,0)的準線方程是x=-土.

⑵對于橢圓當+%=1，相應于焦點F(0,C)的準線方程是y=上，

abc

相應于焦點F'(0,-c)的準線方程是y=--.

r

的幾何意義是：橢圓上一點到焦點的距離和它到準線的距離的比.這時還要講清e課時小結

五)(解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進行的，同一曲線由于坐標系選取不同，方程的形

式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標系的選取無關.前面我們著重分析了第一個

標準方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個標準方程的橢圓的性質(zhì).布置學生最后小結下列

2222

xyyx

標準方程--2~=l(a>b>0)^+―=l(a>b>0)

abab

圖象

范圍

對稱性

頂點

長軸

短軸

焦點

離心率

表格:推線

(五)布置作業(yè).求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點和焦點坐標、準線

方程：1精品文檔.

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"-100=0,(D25X+4加.-l=o(2)x+4y.我國發(fā)射的科學實驗人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地球

的中心為一個焦點的橢圓，2,求這顆衛(wèi)星的軌道方程.近地點距地面266Km,遠地點距地面

1826Km的軌P：2,求點，與一定點F(20)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是13.點P跡

方程，并說明軌跡是什么圖形.四、課后反思:

2.3.1雙曲線及其標準方程（新授課）

一、教學目標

知識與技能：使學生理解并掌握雙曲線的定義，掌握雙曲線的標準方程的推導及標準方程。

過程與方法：了解雙曲線的實際背景，經(jīng)歷從具體情境中抽象出雙曲線模型的過程，感受雙曲線

定義在解決實際問題中的作用。

情感、態(tài)度與價值觀：通過對雙曲線的定義及標準方程的學習，滲透數(shù)形結合的思想，啟發(fā)我們

在研究問題時，抓住問題的本質(zhì)。

二、教學重點與難點

重點：雙曲線的定義和雙曲線的標準方程.

難點：雙曲線的標準方程的推導.

三、教學過程

（一）復習提問

1.橢圓的定義是什么？

平面內(nèi)與兩定點F、F的距離的和等于常數(shù)（大于FF）的點的軌跡叫做橢圓.教師要”強調(diào)條件：

（1）平面內(nèi)；（2）到兩定點F、F的距離的和等于常數(shù)；（3）常數(shù)2a>|FF|.如2.橢圓的標準方

程？

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）雙曲線的概念（二那么點的軌跡會怎樣？它的方程是怎把橢圓定義中的“距離的和”改為“距

離的差”，樣的呢？）

（邊演示、邊說明1.簡單實驗是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿是兩個按釘，MN,

定點F、F如圖2-2區(qū),是同一常|-|MF，這樣就畫出曲線的一支；由|MF點M移動時，WFHMFI是

常數(shù)，過套管，，",數(shù)，可以畫出另一支.

,否則作不出圖形.這樣作出的曲線就叫做雙曲線.注意：常數(shù)要小于IFF"2.設問不在平

面上，能否得到雙曲線？F與動點M問題1：定點F、.請學生回答，不能.強調(diào)“在平面內(nèi)”.哪

個大？與問題2：IMF%在雙曲線左支上時，M；當點在雙曲線右支上時，請學生

回答，不定：當此.|MF||MFV|?1MF、F距離的差是否就是HMF問題3：點M與定點正

確表示為IlMFl-lMF請學生回答，不一定，也可以是］?：這個常數(shù)是否會大于等于

IFF問題4“為端點的兩條F時，軌跡是以F、F|且大于零.當常數(shù)=1FF||F請學生回答，應小于

如"時，無軌跡.F|射線；當常數(shù)>|心.定義3在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義:

的點的軌跡叫做雙曲F|)的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|FF平面內(nèi)與兩定點、F如叫做雙曲線

的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距.、線.這兩個定點FJ教師指出：雙曲線的定義可以與

橢圓相對照來記憶，不要死記.雙曲線的標準方程三)(這時我們可以類似求橢圓的方程的方法

來求雙曲線的方程.現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.隨即引求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不

要求學生回答，主要引起學生思考，設問：導學生給出雙曲線的方程的推導.標準方程的推導：

建系設點(1)2-24)

如圖軸的垂直平分線為FFx的直線為、F取過焦點F軸，線段yQw精品文檔.

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建立直角坐標系.的坐標分別是F,那么F、y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c>

0)設M(x,的距離的差的絕對值等于常數(shù).、F0).又設點M與F(-c,0)、(c,2,點的集合(2)由

定義可知，雙曲線就是集合：2a}±.|=2a}={M|MF|-|MF|=P={M||MF刈(3)代數(shù)方程

)

(由學生演板(4)化簡方程將這個方程移項，兩邊平方得:

化簡整理得：22222222?(c-a)=a(c-a)x-ay)

以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導.Q.>0>a,所以c-a即由雙曲線定義,2c>2a0),

代入上式得：-ac=b(b>設"的.y-a=abbx圖223

這就是雙曲線的標準方程.：引導學生歸納)兩種標準方程的比較

焦點在陣由上的橢圓標準方程為餐+%=l(a>b>0)；焦點在我由

ab

(IAU7.X

說明：b；不一定大于>0,bO,但a>雙曲線標準方程中，(l)a=項的系數(shù)是正的，那么焦點

在yxx(2)如果項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上；如果精品文檔.

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y軸上.注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標釉上.

2—(3)雙曲線標準方程中a、b、c的關系是c=a+b,不同于橢圓方程中c=a-b.

(四)例題講解：

1.求滿足下列的雙曲線的標準方程：焦點F(-3,0)、F(3,0),且2a=4；

「gl=J(X+C)2+y2,|MF21=J(x-c)2+y2,

3.已知兩點F(-5,0)、F(5,0),求與它們的距離的差的絕對值是6的點的軌跡方程.如.果把

這里的數(shù)字6改為12,其他條件不變，會出現(xiàn)什么情況？

四"解：由定義，所求點的軌跡是雙曲線，因為c=5,a=3,所以

..勺底十與十yyix-cj+y=J-za.

b=c-a=5-3=4.(x+c"+v2=4a2士4aJ(x-c)2+v2+(x-c)2-

因為2a=12,2c=10,且2a>2c.

所以動點無軌跡.

(五)課時小結

1.定義：平面內(nèi)與兩定點F、F的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|FF|)的點的軌跡.21!,

即當W=L

22

(l)|7-p-=l(a>0,b>0)表示焦點在x軸上臺

0),F2(C,0),這里c2=a2+b\

22

⑵=l(a>0,b>0)表小焦點在蚌由上的

-c)、6(0,c),這里「=a2+b?(只須將⑴方程的

3.圖形：

4.焦點：F(-c,0)、F(c,0)；F(0,-c),F(0,c)."皿5.a、b、c的關系：c=a+b

五、布置作業(yè)

1.根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：

(1)焦點的坐標是(-6,0)、(6,0),并且經(jīng)過點A(-5,2)；

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8，求其焦點坐標.0<m+n)3.已知圓錐曲線的方程為mx+ny=m+n(m<四、課后反思:

2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)（新授課）

一、教學目標

知識與技能：理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，并能從雙曲線的標準方程出發(fā)，推導出這些性質(zhì)，

并能根據(jù)這些幾何性質(zhì)解決一些簡單問題，從而培養(yǎng)我們的分析、歸納和推理等能力。

過程與方法：在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，進一步體會數(shù)形結合的思想，掌握利

用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法。

情感、態(tài)度與價值觀：通過本小節(jié)的學習，加深對直角坐標系中曲線與方程的關系概念的理解,

這樣才能解決雙曲線中的弦、最值等問題.

二、教學重點與難點

重點：雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運用.

難點：雙曲線的漸近線方程的導出和論證.

三、教學過程

（一）復習提問引入新課

1.橢圓有哪些幾何性質(zhì)，是如何探討的？

2.雙曲線的兩種標準方程是什么？

下面我們類比橢圓的幾何性質(zhì)來研究它的幾何性質(zhì).

（二）類比聯(lián)想得出性質(zhì)（性質(zhì)1—3）

引導學生完成下列關于橢圓與雙曲線性質(zhì)的表格（讓學生回答，教師引導、啟發(fā)、訂正并板書）.

（三）問題之中導出漸近線（性質(zhì)4）

在學習橢圓時，以原點為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計

2.證明：楠圓（+4=1與雙曲線*2-15/=15的焦點相同.

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仍以原點為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形（板書圖形），那么雙曲線和這個矩形有什么關系？這

個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖（圖2-26）有什么指導意義？這些問題不要求學生回答，只引

起學生類比聯(lián)想.

接著再提出問題：當a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？

下面，我們來證明它：

雙曲線在第一象限的部分可寫成:

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g，u;卜&?U/J世ju;

(0,-b).(0,b)實軸為2a

頂點

長軸為2a虛軸為2b

短軸為2b

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請一同學回答，應為y=

生從圖觀察得出結論：雙曲為

橢圓雙曲線

也接近于零，就是IMQI無限增大，逐漸減小，x|MN|接近于零，當X逐漸增大時，|MN|.說，雙

曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情

2222

xyxy

況.方程—+^r=l(a>b>0)-

軸上的雙曲線y現(xiàn)在來看看實軸在軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點在y字母對調(diào)

所得到，自然前者漸近線方程也可x、y方程是由焦點在x軸上的雙曲線方程，將y字母對調(diào)由

后者漸近線方程將X、

auao

a、bsc關系d-b'(a>b>0)(:骨牝%>o,b>o)

y

卜J

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精

圖形

再描幾個點，就可以隨后畫出比較精確的雙曲線.5)

（性質(zhì)）（四離心率介紹一為此，由于正確認識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易

掌握了，下雙曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響：

1

范圍|x|<a,|y|Wb|x|>a,ywR

—?i—_*■_!_*-a_r1*U_

??4??，?，I???J?一

對稱性

對稱中心：原點對稱中心：原點

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變得開闊，從而得出：雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊.

這時，教師指出：焦點在y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐標系

的選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變.

（五）典型例題剖析：

“L求雙曲線9y-16x=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方

（x-7x2-a2）（x+7x2-a2）

程.r~Tir

由此可知，實半軸長a=4,虛半軸長b=3.ab

x+Vx2-a2

設|MQ|是點M到直線y=2x的距離，則彳

a

焦點坐標是（0,-5）,（0,5）...................h............

寸々II且咫y=，一如力瞅以四雙口丫制心士.

a

定義：直線y=±?x叫做雙曲線耳-4=1的漸近線；直線y=±Bx

aaba

”2?a

叫13此線\-.=1的新

確地畫出雙曲線.例如「

1.雙曲線的焦距與實軸隹

2.由于。=

a

本題實質(zhì)上是雙曲線的第二定義，要重點講解并加以歸納小結.的距離，根據(jù)題意，所求軌跡

設M(x,y)是它上面的點

的橫坐標的點，WJy=—x.

就是集合：到直線1解：設d是點Ma,——

axa

mm(c.-a)化簡得：(c-a)x-ay=aaVx/

這就是雙曲線的標準方程.由此例不難歸納出雙曲線的第二定義.精品文檔.

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(六)雙曲線的第二定義

1.定義(由學生歸納給出)

平面內(nèi)點M與一定點的距離和它到一條直線的距離的比是常數(shù)e=

解：把方程化為標準方程

叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.

222

c=7a2+b=74+3=5.

C5

離心率為e=_=—.

2.說明a4.

漸近線方程為X=±：y,即丫=±yX.

a2

2.點M(x,y)到定點F(c,0)的距離和它到定直線1：x=一的

C

(七)課時小結：

將雙曲線的幾何性質(zhì)按兩種標準方程形式列表小結.

(A)布置作業(yè)

1.己知雙曲線方程如下，求它們的兩個焦點、離心率e和漸近線方程.

式l)16x-9y=144；

"⑵16x-9y=T44.

2.求雙曲線的標準方程：

(1)實軸的長是10,虛軸長是8,焦點在x軸上；

(2)焦距是10,虛軸長是8,焦點在y軸上；

距離的比是常數(shù)(-)(c>a>0),來點M的新跡(圖2-2

a

rr?M

F'

曲線的方程.

點到兩準線及右焦點的距離.

四、課后反思：

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2.4.1拋物線及其標準方程（新授課）

一、教學目標

知識與技能：使學生掌握拋物線的定義，理解焦點、準線方程的幾何意義，能夠根據(jù)已知條件寫

出拋物線的標準方程。

過程與方法：掌握開口向右的拋物線的標準方程的推導過程，進一步理解求曲線的方法一一坐標

法；通過本節(jié)課的學習，學生在解決問題時應具有觀察、類比、分析和計算的能力。

情感、態(tài)度與價值觀：通過一個簡單實驗引入拋物線的定義，可以對學生進行理論來源于實踐的

辯證唯物主義思想教育.

二、教學重點與難點

重點：拋物線的定義和標準方程.

難點：拋物線的標準方程的推導.

三、教學過程

（一）導出課題

我們己學習了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線.今天我們將學習第四種圓錐曲線一一拋物線，以

及它的定義和標準方程.課題是“拋物線及其標準方程”.

請大家思考兩個問題：

問題1：同學們對拋物線已有了哪些認識？

在物理中，拋物線被認為是拋射物體的運行軌道；在數(shù)學中，拋物線是二次函數(shù)的圖象？

問題2：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？

在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形.

引導學生進一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研

究了.今天，我們突破函數(shù)研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線.

（二）拋物線的定義

1.回顧

平面內(nèi)與一個定點F的距離和一條定直線1的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當0<e<l時是橢圓，

當e>l時是雙曲線，那么當e=l時，它又是什么曲線？

2.簡單實驗

如圖2-29,把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線1的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的

邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點A,截取繩子的長等于A到直線1的

距離AC,并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條

直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫

做拋物線.反復演示后，請同學們來歸納拋物線的定義，教師總結.

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.定義3這樣，可以把拋物線的定義概括成：不在定直F（定點的距離相等的點的軌跡叫做拋物

線平面內(nèi)與一定點F和一條定直線1叫做拋物線的準線.叫做拋物線的焦點，定直線n上）.定

點F線拋物線的標準方程三）（怎我們來求拋物線的方程..下面，的距離為P（P為已知數(shù)且大于

0）設定點F到定直線1樣選擇直角坐標系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？讓學生議論

一下，教師巡視，啟發(fā)輔導，最后簡單小結建立直角坐標系的幾種方案：）

（由第一組同學完成，請一學生板練.方案1：2-

（圖垂直的直線為x軸建立直角坐標系與直線以1為y軸，過點F1拋物線的集合為：，y軸于D,

過M作MDLM30）.設定點F（p,0）,動點的坐標為（x,y）.p={M||MF|=|MD|）

々e〉l）時，這個點M的軌跡是雙曲線

22.y=2px-p（p>0）化簡后得：）

⑴對于雙曲線鳥-4=1,

ab

根據(jù)雙曲線的對稱性，相應于限

⑵對于雙曲線?打=1，7

相應于焦點F/Q-c）的準線下

（方案2：由第二組同學完成，請一學生板練....「.

的坐標為M2-31）（圖.設動點F以定點為原點，平行1的直線為y軸建立直角坐標系D,拋物線

的集合為：MD±1于MF（01（x,y）,且設直線的方程為x=-p,定點，0）,過作.p={M||MF|=|MD|）

I刁向'U罕e-7乙,。工巫盡mi-j,與；

"（p>0）.=2px+p化簡得：y）

：方案3（由第三、四組同學完成，請一學生板練.精品文檔.

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的垂直平分線為以線段KF1交于K,x取過焦點F且垂直于準線1的直線為軸,x軸與2-32).軸,

建立直角坐標系(圖y

拋物線是集合p={M“MFUd}y)到l的距離為d,拋物線上的點M(x

,0)=2px(p>.化簡后得：y比較所得的各個方程，應該選擇哪些方程作為拋物線的標準方程呢？

這是因為這個方程不僅3中得出的方程作為拋物線的標準方程.引導學生分析出：方案2具有較

簡的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項系數(shù)是焦點到準線距離的倍.列表如由

于焦點和準線在坐標系下的不同分布情況，拋物線的標準方程有四種情形()下：精品文檔.

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四種并講清為什么會出現(xiàn)四種不同的情形，將上表畫在小黑板上，講解時出示小黑板，軸xO；

并指出圖形的位置特征和方程的形式應結合起來記憶.即：當對稱軸為P情形中方程等號

的右端為±2py軸時，y；當對稱軸為y方程等號右端為土時，2px,相應地左端為,當焦點在負

半軸上時，取負號..同時注意：當焦點在正半軸上時，取正號；相應地左端為x四種標準方程

的應用)(四一，求它的焦點坐標和準線方程；已知拋物線的標準方程是y=6x例題：(1),求它

由坐標表示得:J(x-p)2+y2=|x|.

的標準方程.，-2)(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0

=-8y方程是x.練習：根據(jù)下列所給條件，寫出拋物線的標準方程：；,(1)焦點是F(30)

.2(3)焦點到準線的距離是由三名學生板練，教師予以糾正.精品文檔.

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這時，教師小結一下：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數(shù)P，

因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程.當拋物線的焦點坐標或準線方

程給定以后，它的標準方程就唯一確定了；若拋物線的焦點坐標或準線方程沒有給定，則所求的

標準方程就會有多解.

(五)課時小結

本節(jié)課主要介紹了拋物線的定義，推導出拋物線的四種標準方程形式，并加以運用.

(六)布置作業(yè)?

到準線的距離是多少？點M的橫坐標是多少？

2.求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：

2-(1)x=2y；(2)4x+3y=0；

*(3)2y+5x=0；(4)y-6x=0.

3.根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并描點畫出圖形：

(1)頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6；

⑵頂點在原點，對稱軸是y軸，并經(jīng)過點p(-6,-3).

4.求焦點在直線3x-4y-12=0上的拋物線的標準方程.

四、課后反思:

2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（新授課）

一、教學目標

知識與技能：使學生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，能運用拋物線的標準方程推導出它的幾何性

質(zhì)，同時掌握拋物線的簡單畫法。

過程與方法：通過對拋物線的標準方程的研究，得出拋物線的幾何性質(zhì)，并應用拋物線的性質(zhì)解

決有關拋物線的實際問題，培養(yǎng)學生的數(shù)形結合、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，提高我們的綜合素質(zhì)。

情感、態(tài)度與價值觀：使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系

中曲線方程的關系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問題.

二、教學重點與難點

重點：拋物線的幾何性質(zhì)及初步運用.

難點：拋物線的幾何性質(zhì)的應用

三、教學過程

（一）復習

1.拋物線的定義是什么？

2.拋物線的標準方程是什么？

?下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，從拋物線的標準方程y=2px（p>0）出發(fā)來研究精品文

檔.

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它的幾何性質(zhì).

（二）幾何性質(zhì)

。怎樣由拋物線的標準方程確定它的幾何性質(zhì)？以y=2px（p>0）為例，用小黑板給出下表，請學

生對比、研究和填

3?

解：(1)因為p=3,所以焦點坐標是份，0),準線方程是x=-].

(2)因為焦點在碎由的負半軸上，并且￡=2,p=4,所以它的標準

(2)準線方程是x=-；；

填寫完畢后，再向?qū)W生提出問題：和橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比，拋物線的幾何性質(zhì)有什么特

點？

學生和教師共同小結：

(1)拋物線只位于半個坐標平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近線.

(2)拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直于拋物線的準線或與頂點和焦點的連線重合，拋物

線沒有中心.

(3)拋物線只有一個頂點，它是焦點和焦點在準線上射影的中點.

(4)拋物線的離心率要聯(lián)系橢圓、雙曲線的第二定義，并和拋物線的定義作比較.其結果是應規(guī)

定拋物線的離心率為1.注意：這樣不僅引入了拋物線離心率的概念，而且把圓錐曲線作為點的

軌跡統(tǒng)一起來了.

(三)應用舉例

為了加深對拋物線的幾何性質(zhì)的認識，掌握描點法畫圖的基本方法，給出如下例1.

例1己知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點

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x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點解：因為拋物線關于

1枷)物線“2I1占K1"到隹占的陽意星

y=4x.程是后一部分由學生演板，檢查一下學生對用描點法畫圖的基本方法掌握情況.

第一象限內(nèi)的幾個點的坐標，得：

描點作圖(2)就可以畫出拋物線的另一部分再利用對稱性，描點畫出拋物線在第一象限內(nèi)的一部

分，.如圖2-33)(

到焦點的距，m)已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M(-3例2

m的值.離等于5,求拋物線的方程和z,則準線方=-2px(p>0)解法一：由焦半徑關系，設拋

物線方程為y

與到準線的距離到焦點的距離IMF|因為拋物線上的點M(-3,m)

p=4.得一因此，所求拋物線方程為y=-8xz*(-3).)(mm)M(-3又點，在此拋物線上，故=-8

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解法二：由