初中數(shù)學(xué)圓的教案及練習(xí)

第二十四章圓

單元要點(diǎn)分析

教學(xué)內(nèi)容

1.本單元數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容.

(1)圓有關(guān)的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角.

(2)與圓有關(guān)的位置關(guān)系：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置

關(guān)系.

(3)正多邊形和圓.

(4)弧長(zhǎng)和扇形面積：弧長(zhǎng)和扇形面積，圓錐的側(cè)面積和全面積.

2.本單元在教材中的地位與作用.

學(xué)生在學(xué)習(xí)本章之前，已通過(guò)折疊、對(duì)稱、平移旋轉(zhuǎn)、推理證明等方式認(rèn)識(shí)了許多圖形

的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的經(jīng)驗(yàn).本章是在學(xué)習(xí)了這些直線型圖形的有關(guān)性質(zhì)的基

礎(chǔ)上，進(jìn)一步來(lái)探索一種特殊的曲線——圓的有關(guān)性質(zhì).通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生今后繼續(xù)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是逐步樹(shù)立分類討論的數(shù)學(xué)思想、歸納的數(shù)學(xué)思想起著良好的鋪墊作用.本

章的學(xué)習(xí)是高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是圓錐曲線的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性工程.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

(1)了解圓的有關(guān)概念，探索并理解垂徑定理，探索并認(rèn)識(shí)圓心角、弧、弦之間的相

等關(guān)系的定理，探索并理解圓周角和圓心角的關(guān)系定理.

(2)探索并理解點(diǎn)和圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系：了解切線的概念，探索切

線與過(guò)切點(diǎn)的直徑之間的關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線,會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫圓的切線.

(3)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解正多邊形和圓的關(guān)系和正多邊的有關(guān)計(jì)算.

(4)熟練掌握弧長(zhǎng)和扇形面積公式及其它們的應(yīng)用；理解圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖并熟練掌

握?qǐng)A錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算.

2.過(guò)程與方法

(1)積極引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、測(cè)量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動(dòng).了解概念，理解

等量關(guān)系，掌握定理及公式.

(2)在教學(xué)過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，并進(jìn)行同伴之間的交流.

(3)在探索圓周角和圓心角之間的關(guān)系的過(guò)程中，讓學(xué)生形成分類討論的數(shù)學(xué)思想和

歸納的數(shù)學(xué)思想.

(4)通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等方式，認(rèn)識(shí)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生明確圖形在

運(yùn)動(dòng)變化中的特點(diǎn)和規(guī)律，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力.

(5)探索弧長(zhǎng)、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算公式并理解公式的意義、

理解算法的意義.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

經(jīng)歷探索圓及其相關(guān)結(jié)論的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力；通過(guò)積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生

有意識(shí)地積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得成功的體驗(yàn)；利用現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中的素材，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性

的情景，激發(fā)學(xué)生求知、探索的欲望.

教學(xué)重點(diǎn)

1.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其運(yùn)用.

2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等及其運(yùn)用.

3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一

半及其運(yùn)用.

4.半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其運(yùn)用.

5.不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

6.直線L和。O相交Od<r；直線L和圓相切Od=r；直線L和。O相離Od>i■及

其運(yùn)用.

7.圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑及其運(yùn)用.

8.經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線并利用它解決一些具體問(wèn)

題.

9.從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩

條切線的夾角及其運(yùn)用.

10.兩圓的位置關(guān)系：d與n和2之間的關(guān)系：外離Od>ri+r2；外切Od=n+r2；相

交OIr2-ri|<d<ri+r2;內(nèi)切Od=|ri-r2|;內(nèi)含od<|r2-ri|.

11.正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角。之間的等量關(guān)系并應(yīng)用這個(gè)等量關(guān)

系解決具體題目.

V17TRYI7TR

12.n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為1=——，n°的圓心角的扇形面積是S蒯=，一及其

180360

運(yùn)用這兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算.

13.圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算.

教學(xué)難點(diǎn)

1.垂徑定理的探索與推導(dǎo)及利用它解決一些實(shí)際問(wèn)題.

2.弧、弦、圓心有的之間互推的有關(guān)定理的探索與推導(dǎo)，并運(yùn)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題.

3.有關(guān)圓周角的定理的探索及推導(dǎo)及其它的運(yùn)用.

4.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用.

5.三點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索及應(yīng)用.

6.直線和圓的位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用.

7.切線的判定定理與性質(zhì)定理的運(yùn)用.

8.切線長(zhǎng)定理的探索與運(yùn)用.

9.圓和圓的位置關(guān)系的判定及其運(yùn)用.

10.正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角0的關(guān)系的應(yīng)用.

rjjrRri7rR

11.n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=——及S扇形=——的公式的應(yīng)用.

180360

12.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的理解.

教學(xué)關(guān)鍵

1.積極引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、測(cè)量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)探索定理、性質(zhì)、”三

個(gè)”位置關(guān)系并推理證明等活動(dòng).

2.關(guān)注學(xué)生思考方式的多樣化，注重學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)與提高.

3.在觀察、操作和推導(dǎo)活動(dòng)中，使學(xué)生有意識(shí)地反思其中的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生

有條理的思考能力及語(yǔ)言表達(dá)能力.

24.1圓

課題

第一課時(shí)

了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決

一些實(shí)際問(wèn)題.

目標(biāo)

從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過(guò)程，講授圓的有關(guān)概

（三維目

念.利用操作幾何的方法，理解圓是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的直線都是它的

標(biāo)）

對(duì)稱軸.通過(guò)復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加

予理解.

1.重點(diǎn)：垂徑定理及其運(yùn)用.

重點(diǎn)2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問(wèn)

難點(diǎn)題.

教法講授法演示法

學(xué)法示范指導(dǎo)法啟迪思維法

討論

教學(xué)過(guò)程：（詳案）

修改

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)口答下面兩個(gè)問(wèn)題（提問(wèn)一、兩個(gè)同學(xué)）

1.舉出生活中的圓三、四個(gè).

2.你能講出形成圓的方法有多少種？

老師點(diǎn)評(píng)（口答）：（1）如車輪、杯口、時(shí)針等.（2）圓規(guī)：固定一個(gè)定點(diǎn)，

固定一個(gè)長(zhǎng)度，繞定點(diǎn)拉緊運(yùn)動(dòng)就形成一個(gè)圓.

二、探索新知

從以上圓的形成過(guò)程，我們可以得出：

在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所

形成的圖形叫做圓.固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段0A叫做半徑.

以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“。0”，讀作“圓0”.

學(xué)生四人一組討論下面的兩個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1：圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心0）的距離有什么規(guī)律？

問(wèn)題2：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？

老師提問(wèn)幾名學(xué)生并點(diǎn)評(píng)總結(jié).

（1）圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑r）；

（2）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.

因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為0,半徑為r的圓可以看成是所有

到定點(diǎn)0的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形.

同時(shí)，我們又把

①連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖線段AC,AB:

②經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB；

③圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，“以A、C為端點(diǎn)的弧記作

AC",讀作“圓弧AC”或“弧AC”.大于半圓的?。ㄈ鐖D所示A8C叫做優(yōu)

弧，小于半圓的?。ㄈ鐖D所示）AC或叫做劣弧.

④圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們回答下面兩個(gè)問(wèn)題.

1.圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？你能找到多少條對(duì)稱

2.你是用什么方法解決上述問(wèn)題的？與同伴進(jìn)行交流.

（老師點(diǎn)評(píng)）1.圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是直徑，我能找到無(wú)數(shù)多條

直徑.

3.我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對(duì)稱軸問(wèn)題的.

因此，我們可以得到：

圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線.

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)按下面要求完成下題：

如圖，AB是。。的一條弦，作直徑CD,使CD_LAB,垂足為M.

（1）如圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？

（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你理由.

（老師點(diǎn)評(píng)）（1）是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是CD.

（2）AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直徑CD平分弦AB,并且平

分AB及ADB.

這樣，我們就得到下面的定理：

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

下面我們用邏輯思維給它證明一下：

已知：直徑CD、弦AB且CD_LAB垂足為M

求證：AM=BM,AC=BC,AD=BD.卜/弋

分析：要證AM=BM,只要證AM、BM構(gòu)成的兩個(gè)三[XP）

角形全等.因此，只要連結(jié)OA、0B或AC、BC即可.\|1

證明：如圖，連結(jié)OA、0B,則OA=OBK/

在RtAOAM和RtAOBM中

OA=OB

OM=OM

.'.RtAOAM^RtAOBM

.\AM=BM

.?.點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱

,/OO關(guān)于直徑CD對(duì)稱

，當(dāng)圓沿著直線CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AC與重合，AD與BD

重合.

AAC=BC,AD=BD

進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(本題的證明作為課后練習(xí))

例1.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦(即圖中CD,點(diǎn)O是CD的圓

心，其中CD=600m,E為CD上一點(diǎn)，且OEJ_CD,垂足為F,EF=90m,求這

段彎路的半徑.

分析：例1是垂徑定理的應(yīng)用，解題過(guò)程中使用了列方程的方法，這種用代

數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握.

解：如圖，連接0C

設(shè)彎路的半徑為R,則0F=(R-90)m_Q

VOE±CD

11\E

ACF=-CD=-X600=300(m)/\

22F\

根據(jù)勾股定理，得：OC2=CF2+OF2_______\D

即R2=30()2+(R-90)2解得R=5450，

這段彎路的半徑為545m.

三、鞏固練習(xí)I

教材P86練習(xí)P88練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例2.有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬

AB=60m,水面到拱頂距離CD=18m,當(dāng)洪水泛濫時(shí)，水面寬MN=32m時(shí)是否

需要采取緊急措施？請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：要求當(dāng)洪水到來(lái)時(shí)，水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施，只

要求出DE的長(zhǎng)，因此只要求半徑R,然后運(yùn)用幾何代數(shù)解求R.

解：不需要采取緊急措施

設(shè)OA=R,在Rt^AOC中，AC=30,CD=18D

R2=302+(R-18)2R2=900+R2-36R+324MX

解得R=34(m)/

c

連接OM,設(shè)DE=x,在Rt/XMOE中，ME=16A1-------------B

0

342=162+（34-X）2

162+342-68X+X2=342X2-68X+256=0

解得XI=4,X2=64（不合設(shè)）

ADEM

不需采取緊急措施.

五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)）

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.圓的有關(guān)概念；

2.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸.

3.垂徑定理及其推論以及它們的應(yīng)用.

第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題.

1.如圖1,如果AB為。。的直徑，弦CD_LAB,垂足為E,那么下列結(jié)論中,

錯(cuò)誤的是（）.

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBADD.AOAD

（1）（2）（3）

2.如圖2,00的直徑為10,圓心0到弦AB的距離0M的長(zhǎng)為3,則弦AB

的長(zhǎng)是（）

A.4B.6C.7D.8

3.如圖3,在。。中，P是弦AB的中點(diǎn)，CD是過(guò)點(diǎn)P的直徑，則下列結(jié)論中

不正確的是（）

A.AB±CDB.ZAOB=4ZACDC.AD=BDD.PO=PD

二、填空題

1.如圖4,AB為。0直徑，E是中點(diǎn)，0E交BC于點(diǎn)D,BD=3,AB=10,

貝UAC=.

(4)(5)

2.P為。0內(nèi)一點(diǎn),0P=3cm,OO半徑為5cm,則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為；

最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為.

3.如圖5,OE、OF分別為。0的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF,那么

（只需寫一個(gè)正確的結(jié)論）

三、綜合提高題

1.如圖24-11,AB為。0的直徑，CD為弦，過(guò)C、D分別作CN±CD,DM

XCD,分別交AB于N、M,請(qǐng)問(wèn)圖中的AN與BM是否相等，說(shuō)明理由.

2.如圖，。。直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E,AE=2,EB=6,ZDEB=30°,求

弦CD長(zhǎng).

3.（開(kāi)放題）AB是。。的直徑，AC、AD是。0的兩弦，己知AB=16,AC=8,

AD=8,求NDAC的度數(shù).

答案:

一、1.D2.D3.D

二、1.82.8103.AB=CD

三、1.AN=BM理由：過(guò)點(diǎn)。作OE_LCD于點(diǎn)E,貝!JCE=DE,且CN〃OE〃

DM.

.\0N=0M,，OA-ON=OB-OM,

.\AN=BM.

2.過(guò)O作OF_LCD于F,如右圖所示

VAE=2,EB=6,：.OE=2,

；.EF=J5,OF=1,連結(jié)OD,

在Rt^ODF中，42=12+DF2,DF=A/15,.,.CD=2^/15.

3.（1）AC、AD在AB的同旁，如右圖所示:

VAB=16,AC=8,AD=8A/3,

A-AC=-(-AB),AZCAB=60°,

222

同理可得NDAB=30°,

；./DAC=30°.

(2)AC、AD在AB的異旁，同理可得：ZDAC=60°+30°=90°.

上課時(shí)間:

圓（第課時(shí)）

課題24.12

了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個(gè)量的

兩個(gè)相等就可以推出其它兩個(gè)量的相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)值就相等，及其它們?cè)诮?/p>

目標(biāo)題中的應(yīng)用.

（三維目通過(guò)復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知

標(biāo)）識(shí)探索在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相

等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，最后應(yīng)用它解決一些具體

問(wèn)題.

1.重點(diǎn)：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)弦

重點(diǎn)也相等及其兩個(gè)推論和它們的應(yīng)用.

難點(diǎn)2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索定理和推導(dǎo)及其應(yīng)用.

教法講授法演示法讀書(shū)指導(dǎo)法

學(xué)法特征聯(lián)系法點(diǎn)撥指導(dǎo)法

討論

教學(xué)過(guò)程：（詳案）

修改

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下題.

已知AOAB,如圖所示，作出繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30°、45°、60°的圖形.

A

A

0

老師點(diǎn)評(píng)：繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，。點(diǎn)就是固定點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)30°,就是旋轉(zhuǎn)角/BOB'

=30°.

二、探索新知

如圖所示，NAOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

「

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們按下列要求作圖并回答問(wèn)題：

如圖所示的。。中，分別作相等的圓心角NAOB和NA'0B'將圓心角

NAOB繞圓心0旋轉(zhuǎn)到NA'OB'的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？

AB=A'B',AB=A'B'

理由：：半徑OA與O'A'重合，且NAOB=NA'OB'

半徑OB與OB'重合

:點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合，點(diǎn)B與點(diǎn)B'重合

A3與43'重合，弦AB與弦A'B'重合

AB=A'B',AB=A,B'

因此，在同一個(gè)圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.

在等圓中，相等的圓心角是否也有所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等呢？請(qǐng)同

學(xué)們現(xiàn)在動(dòng)手作一作.

(學(xué)生活動(dòng))老師點(diǎn)評(píng)：如圖1,在。0和。0'中，分別作相等的圓心角

NAOB和NA'O'B'得到如圖2,滾動(dòng)一個(gè)圓，使。與0'重合，固定圓心,

將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使得0A與0,N重合.

(1)(2)

你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由？

我能發(fā)現(xiàn)：AB=A'B',AB=A/B/.

現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說(shuō)明了，這就是又回到了我們的數(shù)學(xué)思

想上去呢——化歸思想，化未知為己知，因此，我們可以得到下面的定理：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相事-

同樣，還可以得到：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的

弦也相等.

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的

弧也相等.

(學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在給予說(shuō)明一下.

請(qǐng)三位同學(xué)到黑板板書(shū)，老師點(diǎn)評(píng).

例1.如圖，在。0中，AB、CD是兩條弦，OE_LAB,OFXCD,垂足分

別為EF.

(1)如果NAOB=NCOD,那么0E與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？

(2)如果OE=OF,那么A3與CD的大小有什么關(guān)系？AB與CD的大小

有什么關(guān)系？為什么？NAOB與NCOD呢？

分析：(1)要說(shuō)明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中

說(shuō)明AE=CF,即說(shuō)明AB=CD,因此，只要運(yùn)用前面所講的定理即可.

(2)\,OE=OF,.?.在Rt^AOE和RtZ\COF中，

又有AO=CO是半徑，ARtAAOE^RtACOF,

.?.AE=CF,，AB=CD,又可運(yùn)用上面的定理得到A3=CD

解：(1)如果NAOB=NCOD,那么OE=OF

理由是：VZAOB=ZCOD

；.AB=CD

VOEXAB,OF±CD

22

；.AE=CF

又；OA=OC

.'.RtAOAE^RtAOCF

；.OE=OF

(2)如果OE=OF,那么AB=CD,AB=CD,ZAOB=ZCOD

理由是：

VOA=OC,OE=OF

.'.RtAOAE^RtAOCF

；.AE=CF

XVOEXAB,OF±CD

11

；.AE=-AB,CF=-CD

22

；.AB=2AE,CD=2CF

；.AB=CD

:.AB=CD,ZAOB=ZCOD

三、鞏固練習(xí)

教材P89練習(xí)1教材P90練習(xí)2.

四、應(yīng)用拓展

例2.如圖3和圖4,MN是。O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一

點(diǎn)P,ZAPM=ZCPM.

(1)由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)若交點(diǎn)P在。。的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若

不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)(4)

分析：(1)要說(shuō)明AB=CD,只要證明AB、CD所對(duì)的圓心角相等，只要

說(shuō)明它們的一半相等.

上述結(jié)論仍然成立，它的證明思路與上面的題目是一模一樣的.

解：(1)AB=CD

理由：過(guò)。作OE、OF分別垂直于AB、CD,垂足分別為E、F

VZAPM=ZCPM

.\Z1=Z2

OE=OF

連結(jié)OD、0B且OB=OD

.?.RtAOFD^RtAOEB

；.DF=BE

根據(jù)垂徑定理可得：AB=CD

(2)作OE_LAB,OF±CD,垂足為E、F

ZAPM=ZCPN且OP=OP,ZPEO=ZPFO=90°

.'.RtAOPE^RtAOPF

.?.OE=OF

連接OA、OB、OC、OD

易證RtAOBE^RtAODF,RtAOAE^RtAOCF

.\Z1+Z2=Z3+Z4

；.AB=CD

五、歸納總結(jié)(學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng))

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.圓心角概念.

2.在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，

那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都部分相等，及其它們的應(yīng)用.

第二課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題.

1.如果兩個(gè)圓心角相等，那么（）

A.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦相等;B.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等

C.這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦的弦心距相等;D.以上說(shuō)法都不對(duì)

2.在同圓中，圓心角NA0B=2NC0D,則兩條弧AB與CD關(guān)系是（）

A.AB=2CDB.AB>CDC.AB<2CDD.不能確定

3.如圖5,。。中，如果AB=2AC,那么（）.

A.AB=ACB.AB=ACC.AB<2ACD.AB>2AC

二、填空題

1.交通工具上的輪子都是做圓的，這是運(yùn)用了圓的性質(zhì)中的.

2.一條弦長(zhǎng)恰好為半徑長(zhǎng)，則此弦所對(duì)的弧是半圓的.

3.如圖6,AB和DE是。0的直徑，弦AC〃DE,若弦BE=3,則弦

CE=.

三、解答題

1.如圖，在。0中，C、D是直徑AB上兩點(diǎn)，且AC=BD,MC±AB,ND

±AB,M、N在。O上.

(1)求證：AM=BN；

（2）若C、D分別為OA、OB中點(diǎn)，則==成立嗎？

2.如圖，以，ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，分別交BC、AD

于E、F,若ND=50°,求BE的度數(shù)和ER的度數(shù).

3.如圖，ZAOB=90°,C、D是AB三等分點(diǎn)，AB分別交OC、OD于點(diǎn)

E、F,求證：AE=BF=CD.

答案：

一、1.D2.A3.C

二、1.圓的旋轉(zhuǎn)不變形2.［或23.3

33

三、1.(1)連結(jié)OM、ON,在RtAOCM和RtAODN中OM=ON,OA=OB,

VAC=DB,，OC=OD,RtAOCM^RtAODN,

ZAOM=ZBON,；.AM=NB

(2)AM=MN=NB

2.BE的度數(shù)為80°,EF的度數(shù)為50°.

3.連結(jié)AC、BD,：C、D是A3三等分點(diǎn)，

；.AC=CD=DB,MZAOC=-X90°=30°，

3

VOA=OC,.,.ZOAC=ZOCA=75°,

又NAEC=/OAE+NAOE=45°+30°=75°,

；.AE=AC,

同理可證BF=BD,/.AE=BF=CD

上課時(shí)間:

課題24.1圓（第3課時(shí)）

1.了解圓周角的概念.

2.理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相

等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

目標(biāo)3.理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°

（三維目的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

標(biāo)）4.熟練掌握?qǐng)A周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用.

設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用

數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的

正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決一些實(shí)際問(wèn)題.

1.重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題.

重點(diǎn)2.難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理.

難點(diǎn)3.關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在.

教法講授法演示法讀書(shū)指導(dǎo)法

學(xué)法理解記憶法理清思路法

討論

教學(xué)過(guò)程：（詳案）

修改

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題.

1.什么叫圓心角？

2.圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？

老師點(diǎn)評(píng)：（1）我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

（2）在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,

那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等.

剛才講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，

它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天

要探討，要研究，要解決的問(wèn)題.

二、探索新知

問(wèn)題：如圖所示的。0,我們?cè)谏溟T游戲中，設(shè)E、F是球門，設(shè)球員們只

能在ER所在的00其它位置射門，如圖所示的A、B、C點(diǎn).通過(guò)觀察，我們可

以發(fā)現(xiàn)像NEAF、NEBF、ZECF這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與

圓相交的角叫做圓周角.

現(xiàn)在通過(guò)圓周角的概念和度量的方法回答下面的問(wèn)題.

1.一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？上一~7

2.同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？/I-

3.同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？A[]。.）

（學(xué)生分組討論）提問(wèn)二、三位同學(xué)代表發(fā)言.\7

老師點(diǎn)評(píng)：

i.一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè).ij

2.通過(guò)度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對(duì)的圓周角是沒(méi)有變化的.

3.通過(guò)度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半.

下面，我們通過(guò)邏輯證明來(lái)說(shuō)明“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒(méi)有變化，并

且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半.”

（1）設(shè)圓周角NABC的一邊BC是。。的直徑，如圖所示

NA0C是AABO的夕卜角

AZAOC=ZABO+ZBAO卜

,.,OA=OB

AZABO=ZBAO（/V/\

AZAOC=ZABO\//0/

B

1

???NABC二一ZAOC

2

(2)如圖，圓周角NABC的兩邊AB、AC在一條直徑

OD的兩側(cè)，那么NABC=L/AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這

2

道題的說(shuō)明過(guò)程.

老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)B0交。0于D同理NA0D是AABO的

外角，/COD是ABOC的外角，那么就有/AOD=2/ABO,

ZDOC=2ZCBO,因此NA0C=2NABC.

(3)如圖，圓周角NABC的兩邊AB、AC在一條直徑

0D的同側(cè)，那么/ABC=1/AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證

2

明.

老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)OA、0C,連結(jié)B0并延長(zhǎng)交。。于D,

那么NAOD=2NABD,ZC0D=2ZCB0,而NABC=NABD-N

111

CBO=-ZA0D--ZCOD=-ZAOC

222

現(xiàn)在，我如果在畫一個(gè)任意的圓周角NAB'C,同樣可證得它等于同弧上圓

心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的.

從(1)、(2)、(3),我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心

角的一半.

進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)：

半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

下面，我們通過(guò)這個(gè)定理和推論來(lái)解一些題目.

例1.如圖，AB是。。的直徑，BD是。0的弦，延長(zhǎng)BD到C,使AC=AB,BD

與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？

分析：BD=CD,因?yàn)锳B=AC,所以這個(gè)AABC是等腰，要證明D是BC的中點(diǎn)，

只要連結(jié)AD證明AD是高或是NBAC的平分線即可.

解：BD=CD

理由是：如圖24-30,連接AD

：AB是。0的直徑

AZADB=90°即AD_LBC

又；AC=AB

.\BD=CD

三、鞏固練習(xí)

1.教材P92思考題.

2.教材P93練習(xí).

四、應(yīng)用拓展

例2.如圖，已知AABC內(nèi)接于。0,NA、NB、NC的對(duì)邊分別設(shè)為a,b,

ab

c,。。半徑為R,求證:---------=--------=--------=2R.

sinAsinBsinC

分析：要證明一L=—也=—^=2R,只要證明一J=2R,'一=2R,

sinAsinBsinCsinAsinB

ccibc

-----=2R,即sinA=------，sinB=-------，sinC=-------，因此，十分明顯要在直角三

sinC2R2R2R

角形中進(jìn)行.

證明：連接CO并延長(zhǎng)交。。于D,連接DB

VCD是直徑

.?.ZDBC=90°

又：ZA=ZD

.,BCa

在Rt/XADBC中，sinD=——，即Hn2R=--------

DCsinA

hc

同理可證：-----=2R,--------=2R

sinBsinC

sinAsinBsinC

五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)）

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.圓周角的概念；

2.圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都相

等這條弧所對(duì)的圓心角的一半；

3.半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

4.應(yīng)用圓周角的定理及其推導(dǎo)解決一些具體問(wèn)題.

上課時(shí)間:

課題24.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系（第1課時(shí)）

1.理解并掌握設(shè)。。的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離0P=d,則有：點(diǎn)P

在圓外Od>r；點(diǎn)P在圓上Od=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)Od<r及其運(yùn)用.

2.理解不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓并掌握它的運(yùn)用.

目標(biāo)3.了解三角形的外接圓和三角形外心的概念.

（三維目4.了解反證法的證明思想.

標(biāo)）復(fù)習(xí)圓的兩種定理和形成過(guò)程，并經(jīng)歷探究一個(gè)點(diǎn)、兩個(gè)點(diǎn)、三個(gè)點(diǎn)

能作圓的結(jié)論及作圖方法，給出不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.接

下去從這三點(diǎn)到圓心的距離逐漸引入點(diǎn)P到圓心距離與點(diǎn)和圓位置關(guān)系的

結(jié)論并運(yùn)用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題.

1.重點(diǎn)：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的結(jié)論：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一

個(gè)圓其它們的運(yùn)用.

重點(diǎn)2.難點(diǎn)：講授反證法的證明思路.

難點(diǎn)3.關(guān)鍵：由一點(diǎn)、二點(diǎn)、三點(diǎn)、四點(diǎn)作圓開(kāi)始導(dǎo)出不在同一直線上

的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

教法講授法討論法

學(xué)法講授指導(dǎo)法

討論修

教學(xué)過(guò)程：（詳案）

改

一、復(fù)習(xí)引入

（學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們口答下面的問(wèn)題.

1.圓的兩種定義是什么？

2.你能至少舉例兩個(gè)說(shuō)明圓是如何形成的？

3.圓形成后圓上這些點(diǎn)到圓心的距離如何？

4.如果在圓外有一點(diǎn)呢？圓內(nèi)呢？請(qǐng)你畫圖想一想.

老師點(diǎn)評(píng)：（1）在一個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，

另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓；圓心為0,半徑為r的圓可以看成是所

有到定點(diǎn)0的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)組成的圖形.

（2）圓規(guī)：一個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)定長(zhǎng)畫圓.

（3）都等于半徑.

（4）經(jīng)過(guò)畫圖可知，圓外的點(diǎn)到圓心的距離大于半徑；圓內(nèi)的點(diǎn)到圓心

的距離小于半徑.

二、探索新知

由上面的畫圖以及所學(xué)知識(shí)，我們可知：

設(shè)。0的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為0P=d

則有：點(diǎn)P在圓外nd>r

點(diǎn)P在圓上=>d=r

點(diǎn)P在圓內(nèi)=>d<r

反過(guò)來(lái)，也十分明顯，如果d>r=>點(diǎn)P在圓外：如果d=r=>點(diǎn)P在圓上;

如果d<r=>點(diǎn)P在圓內(nèi).

因此，我們可以得到：

設(shè)。。的半徑為r,點(diǎn)P到圓的距離為d,

則有：點(diǎn)P在圓外Od>r

點(diǎn)P在圓上。d=r

點(diǎn)P在圓內(nèi)Oder

這個(gè)結(jié)論的出現(xiàn)，對(duì)于我們今后解題、判定點(diǎn)P是否在圓外、圓上、圓內(nèi)

提供了依據(jù).

下面，我們接下去研究確定圓的條件：

(學(xué)生活動(dòng))經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線，經(jīng)過(guò)二點(diǎn)只能作一條直線，那

么，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)能作幾個(gè)圓？經(jīng)過(guò)二點(diǎn)、三點(diǎn)呢？請(qǐng)同學(xué)們按下面要求作圓.

(1)作圓，使該圓經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A,你能作出幾個(gè)這樣的圓？

(2)作圓，使該圓經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A、B,你是如何做的？你能作出幾個(gè)這樣

的圓？其圓心的分布有什么特點(diǎn)？與線段AB有什么關(guān)系？為什么？

(3)作圓，使該圓經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)(其中A、B、C三點(diǎn)不在

同一直線上)，你是如何做的？你能作出幾個(gè)這樣的圓？

老師在黑板上演示：

(1)無(wú)數(shù)多個(gè)圓，如圖1所示.

(2)連結(jié)A、B,作AB的垂直平分線，則垂直平分線上的點(diǎn)到A、B的

距離都相等，都滿足條件，作出無(wú)數(shù)個(gè).

其圓心分布在AB的中垂線上，與線段AB互相垂直，如圖2所示.

(3)作法：①連接AB、BC；

②分別作線段AB、BC的中垂線DE和FG,DE與FG相交于點(diǎn)0；

③以。為圓心，以0A為半徑作圓，。。就是所要求作的圓，如圖3所示.

在上面的作圖過(guò)程中，因?yàn)橹本€DE與FG只有一個(gè)交點(diǎn)0,并且點(diǎn)。到A、

B、C三個(gè)點(diǎn)的距離相等(中垂線上的任一點(diǎn)到兩邊的距離相等)，所以經(jīng)過(guò)A、

B、C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，并且只能作一個(gè)圓.

即：|不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

也就是，經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接

外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外

心.

下面我們來(lái)證明：經(jīng)過(guò)同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作出一個(gè)圓.

證明：如圖，假設(shè)過(guò)同一直線L上的A、B、C三

點(diǎn)可以作一個(gè)圓，設(shè)這個(gè)圓的圓心為P,那么點(diǎn)P既在P

線段AB的垂直平分線L”又在線段BC的垂直平分線

L2,即點(diǎn)P為L(zhǎng)|與L2點(diǎn)，而Li，L,L2±L,這與我

們以前所學(xué)的“過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂

直”矛盾.ABC

所以，過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.

上面的證明方法與我們前面所學(xué)的證明方法思路不同，它不是直接從命題

的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立（即假設(shè)過(guò)同一直線上的三點(diǎn)可

以作一個(gè)圓），由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得

到命題成立.這種證明方法叫做反證法.

在某些情景下，反證法是很有效的證明方法.

例1.某地出土一明代殘破圓形瓷盤，如圖所示.為復(fù)制該瓷盤確定其圓

心和半徑，請(qǐng)?jiān)趫D中用直尺和圓規(guī)畫出瓷盤的圓心.

分析：圓心是一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)可以由兩條直線交點(diǎn)而成，因此，只要在殘

缺的圓盤上任取兩條線段，作線段的中垂線，交點(diǎn)就是我們所求的圓心.

作法：（1）在殘缺的圓盤上任取三點(diǎn)連結(jié)成兩條線段；~、

（2）作兩線段的中垂線，相交于一點(diǎn)./

則0就為所求的圓心.

二、鞏固練習(xí)

教材P100練習(xí)1、2、3、4.

四、應(yīng)用拓展

例2.如圖，己知梯形ABCD中，AB〃CD,AD=BC,AB=48cm,CD=30cm,

高27cm,求作一個(gè)圓經(jīng)過(guò)A、B、C、D四點(diǎn)，寫出作法并求出這圓的半徑（比

例尺1：10）

分析：要求作一個(gè)圓經(jīng)過(guò)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，應(yīng)該先選三個(gè)點(diǎn)確定一

個(gè)圓，然后證明第四點(diǎn)也在圓上即可.要求半徑就是求OC或OA或OB,因

此，要在直角三角形中進(jìn)行，不妨設(shè)在RtZXEOC中，設(shè)OF=x,則OE=27-x

由OC=OB便可列出，這種方法是幾何代數(shù)解.

作法分別作DC、AD的中垂線L、m,則交點(diǎn)0為所求4ADC的外接圓

圓心.

：ABCD為等腰梯形，L為其對(duì)稱軸

VOB=OA,.,.點(diǎn)B也在。0上

OO為等腰梯形ABCD的外接圓

設(shè)0E=x,則0F=27-x,\,0C=0B

解得：x=20

.1.0C=A/152+202=25,即半徑為25m.

五、歸納總結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離為d,則

一點(diǎn)尸在圓外Od〉r；

〈點(diǎn)P在圓上Od=r；

點(diǎn)P在圓內(nèi)u>d<兀

2.不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

3.三角形外接圓和三角形外心的概念.

4.反證法的證明思想.

5.以上內(nèi)容的應(yīng)用.

六、布置作業(yè)

1.教材P110復(fù)習(xí)鞏固1、2、3.

2.選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì).

第一課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題.

1.下列說(shuō)法：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②三角形有且只有一個(gè)外接圓；③圓

有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形；④三角形的外心是各邊垂直平分線的交點(diǎn)；

⑤三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑥等腰三角形的外心一定在

這個(gè)三角形內(nèi)，其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

2.如圖，RtAABC,ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,則它的外心與頂點(diǎn)

C的距離為（）.

3.如圖，Z\ABC內(nèi)接于。O,AB是直徑，BC=4,AC=3,CD平分NACB,

則弦AD長(zhǎng)為（）

A.—\/2B.—C.sfl.D.3

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二、填空題.

1.經(jīng)過(guò)一點(diǎn)P可以作個(gè)圓；經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P、Q可以作個(gè)

圓，圓心在__