2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.2-空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系【課件】

第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)

上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個基本事實和定理，了解空間兩條直線位置關(guān)系的判定.目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建課時跟蹤檢測考點分類突破PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實課前自修

1.直線

m

與平面α平行，且直線

a

?α，則直線

m

和直線

a

的位置關(guān)系

不可能為（

）A.平行B.

異面C.相交D.

沒有公共點解析：

直線

m

與平面α平行，且直線

a

?α，則直線

m

和直線

a

的

位置關(guān)系可能平行，可能異面，即沒有公共點，但不可能相交，故

選C.2.如果直線

a

?平面α，直線

b

?平面β，且α∥β，則

a

與

b

（

）A.共面B.平行C.是異面直線D.可能平行，也可能是異面直線解析：

α∥β，說明

a

與

b

無公共點，∴

a

與

b

可能平行也可能是

異面直線.3.如圖所示的是一個正方體的平面展開圖，在原正方體中，線段

AB

與

CD

所在直線的位置關(guān)系為（

）A.相交B.

平行C.

異面D.

無法判斷解析：

由題意，將正方體展開圖還原為正方體，

如圖所示，在正方體中找到對應(yīng)的

AB

、

CD

兩條直

線，由圖可知，

AB

與

CD

異面.故選C.

唯一性定理（1）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；（2）過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直；（3）過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直；（4）過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

（多選）（2024·蘇州第一次模擬）下列命題正確的是（

）A.過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直B.過直線外一點有且只有一個平面與已知直線平行C.過平面外一點有無數(shù)條直線與已知平面平行D.過平面外一點有且只有一個平面與已知平面垂直解析：

由結(jié)論可得A、C正確.PART2考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練平面基本事實的應(yīng)用1.如圖所示，平面α∩平面β＝

l

，

A

∈α，

B

∈α，

AB

∩

l

＝

D

，

C

∈β，

C

?

l

，則平面

ABC

與平面β的交線是（

）A.直線

AC

B.

直線

AB

C.直線

CD

D.

直線

BC

解析：

由題意知，

D

∈

l

，

l

?β，所以

D

∈β，又因為

D

∈

AB

，

所以

D

∈平面

ABC

，所以點

D

在平面

ABC

與平面β的交線上.又因為

C

∈平面

ABC

，

C

∈β，所以點

C

在平面β與平面

ABC

的交線上，所

以平面

ABC

∩平面β＝

CD

.

2.在三棱錐

A

-

BCD

的邊

AB

，

BC

，

CD

，

DA

上分別取

E

，

F

，

G

，

H

四點，如果

EF

∩

HG

＝

P

，則點

P

（

）A.一定在直線

BD

上B.一定在直線

AC

上C.在直線

AC

或

BD

上D.不在直線

AC

上，也不在直線

BD

上解析：

如圖所示，因為

EF

?平面

ABC

，

HG

?平面

ACD

，

EF

∩

HG

＝

P

，所以

P

∈平面

ABC

，

P

∈平面

ACD

.

又因為平面

ABC

∩平面

ACD

＝

AC

，所以

P

∈

AC

.

3.如圖所示，在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分別是

AB

和

AA

1

的中點，平面

BB

1

D

1

D

與

A

1

C

交于點

M

.

求證：（1）

E

，

C

，

D

1，

F

四點共面；證明：如圖，連接

EF

，

CD

1，

A

1

B

.

∵

E

，

F

分別是

AB

，

AA

1的中點，∴

EF

∥

BA

1.又

A

1

B

∥

D

1

C

，∴

EF

∥

CD

1，∴

E

，

C

，

D

1，

F

四點共面.（2）

CE

，

D

1

F

，

DA

三線共點；證明：∵

EF

∥

CD

1，

EF

＜

CD

1，∴

CE

與

D

1

F

必相交，設(shè)交點為

P

，如圖所示.則由

P

∈

CE

，

CE

?平面

ABCD

，得

P

∈平面

ABCD

.

同理

P

∈平面

ADD

1

A

1.又平面

ABCD

∩平面

ADD

1

A

1＝

DA

，∴

P

∈直線

DA

，∴

CE

，

D

1

F

，

DA

三線共點.（3）

B

，

M

，

D

1三點共線.證明：連接

BD

1，∵

BD

1與

A

1

C

均為正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的體對角線，故

BD

1與

A

1

C

相交，則令

BD

1與

A

1

C

的交點為

O

，則

B

，

O

，

D

1共線，∵

BD

1?平面

BB

1

D

1

D

，故

A

1

C

與平面

BB

1

D

1

D

的交點為

O

，即

O

與

M

重合，故

B

，

M

，

D

1三點共線.練后悟通共面、共線、共點問題的證明方法空間兩條直線的位置關(guān)系考向1

空間兩條直線位置關(guān)系的判斷【例1】

（1）已知α，β，γ是三個平面，α∩β＝

a

，α∩γ＝

b

，β∩γ

＝

c

，且

a

∩

b

＝

O

，則下列結(jié)論正確的是（

）A.直線

b

與直線

c

可能是異面直線B.直線

a

與直線

c

可能平行C.直線

a

，

b

，

c

必然交于一點（即三線共點）D.直線

c

與平面α可能平行解析：因為α∩β＝

a

，α∩γ＝

b

，

a

∩

b

＝

O

，所以

O

∈α，

O

∈β，

O

∈γ，因為β∩γ＝

c

，所以

O

∈

c

，所以直線

a

，

b

，

c

必然交于一

點（即三線共點），A、B錯誤，C正確；D選

項，假設(shè)直線

c

與平面α平行，由

O

∈

c

，可知O

?α，這與

O

∈α矛盾，故假設(shè)不成立，D錯誤，故選C.（2）在底面半徑為1的圓柱

OO

1中，過旋轉(zhuǎn)軸

OO

1作圓柱的軸截面

ABCD

，其中母線

AB

＝2，

E

是弧

BC

的中點，

F

是

AB

的中點，

則（

）A.

AE

＝

CF

，

AC

與

EF

是共面直線B.

AE

≠

CF

，

AC

與

EF

是共面直線C.

AE

＝

CF

，

AC

與

EF

是異面直線D.

AE

≠

CF

，

AC

與

EF

是異面直線

解題技法空間兩直線位置關(guān)系的判定方法考向2

異面直線所成的角

解析：

如圖，連接

BD

1，交

DB

1于點

O

，取

AB

的

中點

M

，連接

DM

，

OM

.

易知

O

為

BD

1的中點，所以

AD

1∥

OM

，則∠

MOD

為異面直線

AD

1與

DB

1所成角

或其補角.因為在長方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝

3解題技法用平移法求異面直線所成的角的三個步驟（1）一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；（2）二證：證明作出的角是異面直線所成的角；（3）三求：解三角形，求出所作的角.

1.若直線

l

1和

l

2是異面直線，

l

1在平面α內(nèi)，

l

2在平面β內(nèi)，

l

是平面α

與平面β的交線，則下列命題正確的是（

）A.

l

與

l

1，

l

2都不相交B.

l

與

l

1，

l

2都相交C.

l

至多與

l

1，

l

2中的一條相交D.

l

至少與

l

1，

l

2中的一條相交解析：D法一（反證法）

由于

l

與直線

l

1，

l

2分別共面，故直線

l

與

l

1，

l

2要么都不相交，要么至少與

l

1，

l

2中的一條相交.若

l

∥

l

1，

l

∥

l

2，則

l

1∥

l

2，這與

l

1，

l

2是異面直線矛盾.故

l

至少與

l

1，

l

2

中的一條相交.法二（模型法）

如圖①，

l

1與

l

2

是異面直線，

l

1與

l

平行，

l

2與

l

相

交，故A、B不正確；如圖②，

l

1

與

l

2是異面直線，

l

1，

l

2都與

l

相

交，故C不正確.

A.30°B.45°C.60°D.90°

空間幾何體的交線與截面問題考向1

空間幾何體的交線問題

解題技法

作交線的方法有兩種：（1）利用基本事實3作交線；（2）利用

線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根

據(jù)性質(zhì)作出交線.考向2

空間幾何體的截面問題

A.三角形B.

四邊形C.

五邊形D.

六邊形解析：先確定截面上的已知邊與幾何體

上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何

體的棱的交點.如圖，設(shè)直線

C

1

M

，

CD

相交

于點

P

，直線

C

1

N

，

CB

相交于點

Q

，連接

PQ

交直線

AD

于點

E

，交直線

AB

于點

F

，連接

NF

，

ME

，則五邊形

C

1

MEFN

為所求截面圖形.（2）在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

是

BC

的中點，平面α經(jīng)過直

線

BD

且與直線

C

1

E

平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方

體所得的多邊形的面積為

?.

解題技法1.作截面應(yīng)遵循的三個原則：（1）在同一平面上的兩點可引直線；

（2）凡是相交的直線都要畫出它們的交點；（3）凡是相交的平面

都要畫出它們的交線.2.有關(guān)截面圖形的計算問題：通過作截面圖形，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化

為平面幾何問題，所有的判斷與計算可依照平面幾何的性質(zhì)、定理

及公式求解.

1.（多選）正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的棱長為2，已知平面α⊥

AC

1，

則關(guān)于α截此正方體所得截面的判斷正確的是（

）A.截面形狀可能為正三角形B.截面形狀可能為正方形C.截面形狀可能為正六邊形

PART3課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.空間中有三條線段

AB

，

BC

，

CD

，且∠

ABC

＝∠

BCD

，那么直線

AB

與

CD

的位置關(guān)系是（

）A.平行B.異面C.相交或平行D.平行或異面或相交均有可能12345678910111213141516171819202122232425262728解析：

根據(jù)條件作出示意圖，由圖可知D正確.2.在三棱錐

P

-

ABC

中，

PB

⊥

BC

，

E

，

D

，

F

分別是

AB

，

PA

，

AC

的中點，則∠

DEF

＝（

）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：

如圖所示，因為

E

，

D

，

F

分別為

AB

，

PA

，

AC

的中點，可得

DE

∥

PB

，

EF

∥

BC

，又因

為

PB

⊥

BC

，所以

DE

⊥

EF

，所以∠

DEF

＝90°.故

選D.3.已知

a

，

b

，

c

是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，α∩β＝

c

，

a

?α，

b

?β，則“

a

，

b

相交”是“

a

，

c

相交”的（

）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件解析：

若

a

，

b

相交，

a

?α，

b

?β，則其交點在交線

c

上，故

a

，

c

相交；若

a

，

c

相交，

a

，

b

可能為相交直線或異面直線.綜上

所述，

a

，

b

相交是

a

，

c

相交的充分不必要條件.故選C.4.如圖，

G

，

N

，

M

，

H

分別是正三棱柱（兩底面為正三角形的直棱

柱）的頂點或所在棱的中點，則表示直線

GH

，

MN

是異面直線的

圖形有（

）A.①③B.

②③C.②④D.

②③④解析：

圖①中，直線

GH

∥

MN

；圖②中，

G

，

H

，

N

三點共

面，但

M

?平面

GHN

，

N

?

GH

，因此直線

GH

與

MN

異面；圖③

中，連接

GM

，

GM

∥

HN

，因此

GH

與

MN

共面；圖④中，

G

，

M

，

N

三點共面，但

H

?平面

GMN

，

G

?

MN

，因此直線

GH

與

MN

異面.所以在圖②④中，

GH

與

MN

異面.5.（多選）下列四個命題中是真命題的為（

）A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B.過空間中任意三點有且僅有一個平面C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行D.若直線

l

?平面α，直線

m

⊥平面α，則

m

⊥

l

解析：

對于A，可設(shè)

l

1與

l

2相交，這兩條直線確定的平面為

α；若

l

3與

l

1相交，則交點

A

在平面α內(nèi)，同理，

l

3與

l

2的交點

B

也在

平面α內(nèi)，所以

AB

?α，即

l

3?α，A為真命題；對于B，若三點共

線，則過這三個點的平面有無數(shù)個，故B為假命題；對于C，兩條

直線有可能平行也有可能異面，故C為假命題；對于D，若直線

m

⊥平面α，則

m

垂直于平面α內(nèi)所有直線，因為直線

l

?平面α，所以

直線

m

⊥直線

l

，D為真命題.6.（多選）如圖所示，在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

O

是

B

1

D

1的

中點，直線

A

1

C

交平面

AB

1

D

1于點

M

，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

A

，

M

，

O

三點共線B.

A

，

M

，

O

，

A

1共面C.

A

，

M

，

C

，

O

共面D.

B

，

B

1，

O

，

M

共面解析：

∵

M

∈

A

1

C

，

A

1

C

?平面

A

1

ACC

1，∴

M

∈平

面

A

1

ACC

1，又∵

M

∈平面

AB

1

D

1，∴

M

在平面

AB

1

D

1與平

面

A

1

ACC

1的交線

AO

上，即

A

，

M

，

O

三點共線，∴

A

，

M

，

O

，

A

1共面且

A

，

M

，

C

，

O

共面，∵平面

BB

1

D

1

D

∩

平面

AB

1

D

1＝

B

1

D

1，∴

M

在平面

BB

1

D

1

D

外，即

B

，

B

1，

O

，

M

不共面，故選A、B、C.7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且

AB

∥

CD

，則直線

EF

與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)

為

?.解析：因為

AB

∥

CD

，由圖可以看出

EF

平行于正方體左右兩個側(cè)

面，與另外四個側(cè)面相交.48.在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中：（1）求異面直線

AC

與

A

1

D

所成角的大??；解：如圖，連接

B

1

C

，

AB

1，由

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1是正方體，易知

A

1

D

∥

B

1

C

，從而

B

1

C

與

AC

所成的角就是異面直

線

AC

與

A

1

D

所成的角.在△

AB

1

C

中，

AB

1＝

AC

＝

B

1

C

，所以∠

B

1

CA

＝60°.故異面直線

A

1

D

與

AC

所成的角為60°.（2）若

E

，

F

分別為

AB

，

AD

的中點，求異面直線

A

1

C

1與

EF

所成

角的大小.解：連接

BD

，在正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AC

⊥

BD

，

AC

∥

A

1

C

1，因為

E

，

F

分別為

AB

，

AD

的中點，所以

EF

∥

BD

，所以

EF

⊥

AC

.

所以

EF

⊥

A

1

C

1.故異面直線

A

1

C

1與

EF

所成的角為90°.

9.（2024·菏澤模擬）如圖，已知

P

，

Q

，

R

分別是正方體

ABCD

-

A

1

B

1

C

1

D

1的棱

AB

，

BC

和

C

1

D

1的中點，由點

P

，

Q

，

R

確定的平面β

截該正方體所得截面為（

）A.三角形B.

四邊形C.五邊形D.

六邊形解析：

如圖，分別取

A

1

D

1，

A

1

A

，

CC

1的中

點

F

，

E

，

M

，連接

RF

，

FE

，

EP

，

PQ

，

QM

，

MR

，

QF

，

PR

，

EM

，由正方體性質(zhì)得

RF

∥

PQ

，所以

R

，

F

，

P

，

Q

∈平面β，且

RF

∥

PQ

∥

EM

，又

QF

，

RP

，

EM

交于同一點

O

，所以

E

，

M

?平面β，所以點

P

，

Q

，

R

確定的平面β即為

六邊形

RFEPQM

，故選D.10.《九章算術(shù)·商功》中劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，

其一為陽馬，其一為鱉臑.”如圖①所示的長方體用平面

AA

1

B

1

B

斜切一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，該三棱柱就叫塹堵.

如圖②所示的塹堵中，

AC

＝3，

BC

＝4