第11講 拋物線y=ax²+bx+c與系數(shù)之間的關(guān)系（解析版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（9年級人教版）

第11講拋物線y=ax2+bx+c與系數(shù)之間的關(guān)系【人教版】·模塊一拋物線y=ax2+bx+c與系數(shù)之間的關(guān)系·模塊二課后作業(yè)模塊一模塊一拋物線y=ax2+bx+c與系數(shù)之間的關(guān)系拋物線y=ax2+bx+c與各項系數(shù)之間的關(guān)系（1）a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，|a|的大小決定開口的大??；（2）b的符號的判定：對稱軸x=-b2a在y軸左邊則ab＞0，在y軸的右側(cè)則ab＜0，概括的說就是“左同右異（3）c決定了拋物線與y軸交點的位置：系數(shù)字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bb＝0對稱軸為y軸ab＞0(a與b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a與b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc＝0經(jīng)過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交【考點利用二次函數(shù)圖象判斷拋物線y=ax2+bx+c與系數(shù)之間的關(guān)系】【例1】拋物線y=ax2+bx+c（a<0，a，b，c為常數(shù)）交x軸于點-1,0，且2a+b=0①b<0；②拋物線過點3,0；③8a+c>0；④拋物線上有Ax1,y1，B其中結(jié)論正確的是______．（填寫序號）．【答案】②④【分析】根據(jù)2a+b=0得出b=-2a，即可判斷①；求出對稱軸為直線x=-b2a=1，根據(jù)該拋物線交x軸于點-1,0，即可求出與x軸的另一個交點，即可判斷②；將點-1,0，3,0代入，得出兩個式子，將兩式相加得出a和c之間的關(guān)系式，即可判斷③；畫出草圖可知-1<x1【詳解】解：∵2a+b=0，∴b=-2a，則-b∵a<0，∴b=-2a>0，則①不正確，不符合題意；∵該拋物線交x軸于點-1,0，對稱軸為直線x=-b∴該拋物線與x軸另一個交點為3,0，故②正確，符合題意；∵該拋物線經(jīng)過點-1,0，3,0，∴0=a-b+c①①+②得：∵b=-2a，∴6a+2c=0，則c=-3a，∴8a+c=8a-3a=5a<0，故③不正確，不符合題意；④∵該拋物線經(jīng)過點-1,0，3,0，且y1∴由圖可知：-1<x∴3<x∴y2<0，故

綜上：正確的有②④，故答案為：②④．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的各系數(shù)與圖象的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【例2】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c①abc＜②2a-b=0；③3a＜④若m為任意實數(shù)，則有a-bm≤am⑤若圖像經(jīng)過點-3，-2，方程ax2+bx+c+2=0的兩根為x【答案】②③⑤【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置及拋物線與y軸交點位置可判斷a、b、c的符號及a與b的關(guān)系，進(jìn)而判斷①②；由圖像可得x=1時，y＜0可判斷③，由圖像可得x=-1時y取最大值可判斷④，由拋物線的對稱性可得x1=1，x2【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜∵拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，∴b＜∵拋物線與x軸交點在y軸上方，∴c＞∴abc＞0，∵-b∴b=2a，∴2a-b=0，②正確．由圖像可得x=1時，y＜∴a+b+c＜∴3a+c＜0，∴3a＜-c，∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-1，∴當(dāng)x=-1時，y取最大值，∴a-b+c≥am∴a-bm≥am2+b若圖像經(jīng)過點-3，-2，由拋物線對稱性可得圖像經(jīng)過∵x1∴x1=1，∴2x1-故答案為②③⑤．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【例3】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象關(guān)于直線x=1對稱，與x軸交于Ax1，0，Bx2，0兩點，若-2<x1<-1，則下列四個結(jié)論：①3<x

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，即可判斷①；由開口方向和對稱軸即可判斷②；根據(jù)拋物線與x軸的交點和x=-1時的函數(shù)的取值，即可判斷③；根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸，與y軸的交點以及a-b+c<0，即可判斷④；根據(jù)圖象可判斷當(dāng)x=1時，y有最小值，且為a+b+c．又可求出am+1m-1-b1-m=am2+bm+c-a+b+c【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象關(guān)于直線x=1對稱，與x軸交于Ax1∴3<x2<4∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象∴其對稱軸為直線x=1，即-b∴b=-2a，∴3a+2b=3a-4a=-a．由圖象可知該拋物線開口向上，∴a>0，∴3a+2b=-a<0，故②錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ=由圖象結(jié)合題意可知當(dāng)x=-1時，y<0，∴a-b+c<0，∴a+c<b．∵a>0，∴b=-2a<0，∴a+c<0，∴b2-4ac>a+c，即b2>a+c+4ac∵拋物線開口向上，與y軸的交點在x軸下方，∴a>0，∴a>c，由③可知a-b+c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b>c，∴a>b>c，故④錯誤；由圖象可知當(dāng)x=1時，y有最小值，且為a+b+c．∵am+1又∵對于任意實數(shù)m，都有ym∴am2+bm+c-∴am+1m-1≥b故選B【例4】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1．對于下列說法：①ab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；④4ac-b24a>0；⑤【答案】①②③④⑤【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置，可判斷①②；由x=3時y>0及拋物線的對稱性可判斷③⑤；由函數(shù)最大值大于0可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a<0，∵拋物線對稱軸為直線x=-b∴b=-2a>0，即2a+b=0，②正確；∴ab<0，①正確；由圖象可得x=3時，y>0，∵拋物線對稱軸為直線x=1，∴x=-1時，y=a-b+c=3a+c>0，③正確；由圖象可得函數(shù)最大值大于0，∴4ac-b24a拋物線開口向下，x=-1時y>0，x=3時y>0，可得當(dāng)-1<x<3時，y>0，⑤正確．故答案為：①②③④⑤．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．【例5】二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的大致圖象如圖所示，頂點坐標(biāo)為（-2，-9a），下列結(jié)論：①abc>0；②16a-4b+c<0；③若方程ax2+bx+c=-1有兩個根x1,x2，且x1<x2，則-5<x1<x

【答案】②③④【分析】根據(jù)拋物線圖象判斷參數(shù)符號判斷①，由頂點坐標(biāo)可得b=4a，c=-5a，進(jìn)而判斷②；由方程ax2+bx+c=-1有兩個根x1和x2，且x1<x2【詳解】∵拋物線的開口向上，對稱軸在y軸的左側(cè)，交y軸的負(fù)半軸，∴a>0，b>0，c<0，∴abc<0，故①錯誤；∵拋物線的頂點坐標(biāo)（-2，-9a），∴-b2a=-2∴b=4a，c=-5a，∴16a-4b+c=16a-16a-5a=-5a<0，故②正確；∴拋物線的解析式為y=ax當(dāng)y=0時，ax解得：x1=-5，∴拋物線y=ax2+4ax-5a交x軸于（-5，0），（1∵若方程a(x+5)(x-1)=-1有兩個根x1和x2，且∴-5<x1<∵拋物線與y軸的交點在（0，-2）與（0，-3）之間，∴-3<c<-2，∵c=-5a，∴-3<-5a<-2，解得：25<a<3綜上所述：正確的結(jié)論為②③④故答案為：②③④【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0，二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a>0時，拋物線向上開口；當(dāng)a<0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．當(dāng)a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：Δ=b2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ=b【變式1】如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A1,0、點B，與y軸相交于點C0,3，下列結(jié)論：①b=-2﹔②B點坐標(biāo)為-3,0，③拋物線的頂點坐標(biāo)為-1,3，④直線y=h與拋物線交于點D、E，若DE<2，則h的取值范圍是3<h<4﹔⑤在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使△QAC【答案】①②④⑤【分析】①代入點A、C的坐標(biāo)即可求出參數(shù)的值；②函數(shù)值為0時，可求出與橫軸的交點坐標(biāo)；③代入公式即可求出拋物線的頂點坐標(biāo)；④把y=h帶入后，即可表示出DE，進(jìn)而求出h的取值范圍；⑤連接BC交對稱軸于點Q，此時△QAC的周長最小，再列出方程組即可求出【詳解】解：①∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A1，∴可得：-1∴b=-2c=3，故①②∵函數(shù)y=-x2-2x+3∴-x∴x1∴x=-3時，y=0，∴B點坐標(biāo)為-3，0，故③拋物線的頂點坐標(biāo)為-b2a,④把y=h帶入后，DE=x解得：3<h<∴h的取值范圍是3<h<4，故⑤連接BC交對稱軸于點Q，此時△QAC的周長最小，直線BCy=x+3和對稱軸x=可得x=-1y=x+3解得x=-1y=2∴Q點坐標(biāo)為-1，2，故綜上所述，正確的結(jié)論為：①②④⑤，共有4個．故答案為：①②④⑤．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，難度較大，熟練記憶理解二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)和充分利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0交x軸于A-1,0，B3,0，交y軸的負(fù)半軸于C，頂點為D．下列結(jié)論：①bc<0；②2a+b=0；③2a+c>0；④當(dāng)m≠1時，a+b<am2+bm【答案】②④【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及與坐標(biāo)軸的交點依次判斷即可得出結(jié)果．【詳解】解：①拋物線y=ax2+bx+ca≠0開口向上，對稱軸在∴a>0,b<0,c<0，∴bc>0，故①錯誤；②∵二次函數(shù)與x軸交于點A-1,0，B∴二次函數(shù)的對稱軸為x=-1+32=1∴2a+b=0．故②正確；③∵二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0與x軸交于點∴a-b+c=0,9又∵b=-2a．∴3b=-6a，∴3a+c=0，∴2a+c=-a<0．故③錯誤；④∵拋物線開口向上，對稱軸是x=1．∴x=1時，二次函數(shù)有最小值．∴m≠1時，a+b+c<am即a+b<am故④正確；⑤當(dāng)a=1時，b=-2a=-2，c=-3a=-3，∴y=x∴點D坐標(biāo)為(1,-4)．∴DF=4，連接AD,BD，∵A-1,0，B∴AF=BF=2，∴AD=BD=AF∵AB=4，∴AD2∴△ABD不是等腰直角三角形；故⑤錯誤；綜上可得正確的有②④故選答案為：②④．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是找出圖象中和題目中的有關(guān)信息，來判斷問題中結(jié)論是否正確．【變式3】拋物線y=ax2-2ax+c（a，c是常數(shù)且a≠0，c>0）經(jīng)過點A3,0．下列四個結(jié)論：①該拋物線一定經(jīng)過B-1,0；②2a+c>0；③點P1t+2022,y1，P2t+2023,y2在拋物線上，且y1>y【答案】①②④【分析】①：根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點的意義，只要得到3a+c=0即可；②：由①得2a+c=-a，結(jié)合c>0判斷出a的正負(fù)即可；③：特值法，取t=-2021時也符合題意，從而可得到結(jié)論；④：將兩個根轉(zhuǎn)化為交點的橫坐標(biāo)，畫出圖象即可判斷．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點A3,0∴9a-6a+c=0，∴3a+c=0，當(dāng)x=-1時，a+2a+c=0，∴3a+c=0，∴該拋物線一定經(jīng)過B-1,0②由①得：c=-3a，∵c>0，∴-3a>0，∴a<0，∵3a+c=0，∴2a+c=-a，∴2a+c>0．故此項正確．③拋物線的對稱軸為直線x=--2a當(dāng)t=-2021時，P11,y∵a<0，∴y∴t=-2021也符合題意與t>-2021矛盾，故此項錯誤．④∵m，nm<n是方程a∴m，n是拋物線y1=ax∵p>0，∴如圖：由圖得：-3<m<n<1．故此項正確．故答案：①②④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)并會靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式4】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象過點①abc<②6a+c<0；③a+b≤mam+b（m④若Ax1,m，Bx2⑤若方程ax+24-x=-2的兩根為x1，x2其中正確的是___________．（填寫序號）【答案】②③④【分析】根據(jù)圖象得出系數(shù)的正負(fù)性，可判斷①；根據(jù)當(dāng)x=-2時，y=4a-2b+c=0，可判斷②；當(dāng)x=1時，函數(shù)有最小值，可判斷③；由拋物線的對稱性可判斷④；由二次函數(shù)的交點式可得y=ax2【詳解】解：①由圖象可知：a>0，c<0，-b∴ab<0，∴abc>0，故①錯誤；②∵拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線的對稱軸為直線x=1，∴-b∴b=-2a，當(dāng)x=-2時，y=4a-2b+c=0，∴4a+4a+c=0，∴8a+c=0，∴6a+c=-2a，∵a>0，∴-2a<0，∴6a+c<0，故②正確；③由圖象可知，當(dāng)x=1時，函數(shù)有最小值，∴a+b+c≤am2+bm+c（m為任意實數(shù)），∴a+b≤mam+b，故③④∵Ax1,m由拋物線的對稱性可知：x1∴當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c=4a-4a+c=c，故④正確；⑤∵圖象過點-2,0，對稱軸為直線x=1．拋物線與x軸的另外一個交點坐標(biāo)為4,0，∴y=a若方程ax+2即方程ax+2x-4=2的兩根為x則x1、x2為拋物線與直線∵x1∴x1<-2<4<x故答案為：②③④．【點睛】此題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)解析式的系數(shù)和圖象之間的關(guān)系．【變式5】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的自變量x與函數(shù)值yx…-2-1012…y=a…tm-2-2n…且當(dāng)x=-12時，與其對應(yīng)的函數(shù)值y>0，有下列結(jié)論：①abc<0；②-2和3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c-t=0的兩個根；③m=n；【答案】②③④【分析】首先確定對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)逐一進(jìn)行分析即可求解．【詳解】∵由表格可知當(dāng)x=0和x=1時的函數(shù)值相等都為-2，∴拋物線的對稱軸是：x=-b2a=1∴a、b異號，且b=-a；∵當(dāng)x=0時y=c=-2，∴c<0，∴abc>0，故①不正確；∵根據(jù)拋物線的對稱性可得當(dāng)x=-2和x=3時的函數(shù)值相等都為t，∴-2和3是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=t∵根據(jù)拋物線的對稱性可得當(dāng)x=-1和x=2時的函數(shù)值相等，∴m=n，故③正確；∵b=-a，c=-2，∴二次函數(shù)解析式：y=ax∵當(dāng)x=-12時，與其對應(yīng)的函數(shù)值∴34∴a>8∵當(dāng)x=-1和x=2時的函數(shù)值分別為m和n，∴m=n=2a-2，∴m+n=4a-4>20∴3m+3n>20，故④正確，故答案為：②③④．模塊二模塊二課后作業(yè)1．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點A-1,0，與y軸的交點在0,-2和0,-1之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1，下列結(jié)論：①4a+2b+c>0；②4ac-b2<8a；③13<a<23；④b>c；⑤直線y=ki（kiA．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對稱軸的性質(zhì)，依次判斷，即可．【詳解】∵二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點∴二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與∴當(dāng)-1<x<3時，y<0，∴當(dāng)x=2時，y=4a-2b+c<0，故①錯誤；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的∴b2∴4ac-b∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c∴a>0，∴8a>0，∴4ac-b∴②正確；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與∴當(dāng)x=1時，y=a-b+c=0，∵x=1，∴-b∴-b=2a，∴a+2a+c=0，∴3a=-c，∵二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與y軸的交點在∴-2<c<-1，∴1<-c<2，∴1<3a<2，∴13∴③正確；∵-b=2a，3a=-c，a>0，∴b>c，∴④正確；∵12∴x1∴x1當(dāng)i=2023時，2×2023=4046，∴⑤正確；∴正確的為：②③④⑤．故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．2．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象①abc>0；②4a+2b+c<0；③函數(shù)的最大值為a+b+c；④當(dāng)-3≤x≤1時，y≥0；⑤x<-1時，y隨x增大而減少A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：由圖可知：拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-1=-b2a，與y軸的交點在∴a<0，b=2a，c>0，∴b<0，∴abc>0，故①正確；由圖可知：當(dāng)x=2時，圖像在x軸下方，則y=4a+2b+c<0，故②正確；當(dāng)x=-1時，函數(shù)取最大值，且為y=a-b+c，故③錯誤；∵對稱軸為直線x=-1，圖像與x軸交于1,0，∴圖像與x軸的另一個交點為-3,0，∵拋物線開口向下，∴當(dāng)-3≤x≤1時，y≥0，故④正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-1，∴x<-1時，y隨x增大而增大，故⑤錯誤；∴正確的有①②④，共3個，故選B【點睛】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是會利用對稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系．3．二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖像如圖所示，它的對稱軸為直線x=1，則下列結(jié)論：①abc<0；②當(dāng)x>2時，y>0；③103a+c<0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，對稱軸的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖示可知，在二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0中，a>0，∴b=-2a<0，∴結(jié)論①中，abc>0，故結(jié)論結(jié)論②，根據(jù)題意得，當(dāng)x=-1時，二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0中，y>0；當(dāng)∵對稱軸為x=1，∴當(dāng)x=0與x=2時，y的值相等，且y=c<0，故結(jié)論②錯誤；結(jié)論③，當(dāng)x=-1時，y=a-b+c>0，∵b=-2a，∴a+2a+c>0，即3a+c>0，則9a+3c>0，∴10a+3c>a>0，∴103a+c>1結(jié)論④，∵對稱軸為x=1，∴當(dāng)x=1時，y=a+b+c，是函數(shù)的最小值，∴a+b+c≤am2+bm+c∴a+b≤mam+b（m為任意實數(shù)），故結(jié)論④綜上所述，正確的有④，1個，故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，對稱軸的性質(zhì)，理解圖示，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸是直線x=-1，且過點1,0，頂點位于第二象限，其部分圖象如圖所示，給出以下判斷：①ab>0且c<0；②4a-2b+c>0；③A．①③ B．①③④ C．②④ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得a<0，b=2a，c>0，可判斷結(jié)論①；由x=-2處的函數(shù)值可判斷結(jié)論②；由x=2處函數(shù)值可判斷結(jié)論③；由x=1處函數(shù)值和b=2a可判斷結(jié)論④；【詳解】解：二次函數(shù)開口向下，則a<0，二次函數(shù)對稱軸為x=1，則-b2a=-1，b=2a∵x=0時y>0，則c>0，∴ab>0且c>0，故①錯誤；由對稱性可得二次函數(shù)與x軸的另一交點為(-3,0)，由函數(shù)圖象可得x=-2時y>0，∴4a-2b+c>0，故②正確；由函數(shù)圖象可得x=2時y<0，∴4a+2b+c<0，b=2a代入得：8a+c<0，故③錯誤；∵x=1時y=0，∴a+b+c=0，b=2a代入得：c=-3a，∵c=3a-3b=3a-6a=-3a，故④正確；綜上所述②④正確，①③錯誤故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，掌握二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)符號的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0圖象的一部分，函數(shù)圖象經(jīng)過點2,0，直線x=-1是對稱軸，有下列結(jié)論：①2a-b=0；②16a-4b+c=0；③若-2,y1，12,A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】根據(jù)對稱軸為x=-1求出b=2a，即可判定①；求出二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標(biāo)為-4,0，即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)開口向下，離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大即可判斷③；求出c=-8a，結(jié)合b=2a即可判斷④．【詳解】解：∵二次函數(shù)對稱軸為直線x=-1，∴-b∴b=2a，即2a-b=0，故①正確；∵二次函數(shù)經(jīng)過2,0，∴二次函數(shù)與x軸的另一個交點坐標(biāo)為-4,0，∴當(dāng)x=-4時，y=16a-4b+c=0，故②正確；∵拋物線開口向下，∴離對稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，∵-2,y1，12,y∴y1>y∵b=2a，16a-4b+c=0，∴16a-8a+c=0，即c=-8a，∴a-b+c=a-2a-8a=-9a，故④正確；故選A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a<0）經(jīng)過點(-1,0)，其對稱軸為直線x=1．有下列結(jié)論：①abc<0；②8a+c<0；③若拋物線經(jīng)過點(-2,t)，則關(guān)于x的一元二次方程axA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)已知條件得出a<0，b=-2a>0，根據(jù)拋物線經(jīng)過點(-1,0)，得出c=b-a=-2a-a=-3a>0，即可判斷①，根據(jù)c=-3a代入②即可判斷；根據(jù)對稱性可得拋物線也經(jīng)過點4,t，即可判斷③【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a<0）經(jīng)過點∴a<0，x=-b2a則b=-2a>0，∴c=b-a=-2a-a=-3a>0∴abc<0，故①正確；∵8a+c=8a-3a=5a<0，故②正確，∵拋物線經(jīng)過點(-2,t)，∴根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線也經(jīng)過點4,t，∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=t的交點坐標(biāo)為(-2,t)∴一元二次方程ax2+bx+c-t=0(a≠0)的兩根分別為-2，4故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．7．已知拋物線y=ax2+bx+ca>0，且a+b+c=-1，A．點1,-1和-1,-3在拋物線上 B．拋物線與x軸負(fù)半軸必有一個交點C．a(chǎn)bc>0 D．當(dāng)0≤x≤2時，y的最大值為3a【答案】C【分析】根據(jù)當(dāng)x=1時，y=a+b+c=-1，當(dāng)x=-1時，y=a-b+c=-3，即可判斷A；聯(lián)立a+b+c=-1，a-b+c=-3得出c=-2-a，b=1即可判斷B、C、D．【詳解】解：A、∵當(dāng)x=1時，y=a+b+c=-1，當(dāng)x=-1時，y=a-b+c=-3，∴點1,-1和-1,-3在拋物線上，故A正確，不符合題意；B、a+b+c=-1①①+②得：整理得：c=-2-a．①-②得：解得：b=1，∴y=ax∵a>0，b=1>0，∴函數(shù)開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，∴拋物線與x軸負(fù)半軸必有一個交點，故B正確，不符合題意；C、∵a>0，b=1>0，c=-2-a<0，∴abc<0，故C不正確，符合題意；D、∵對稱軸在y軸左側(cè)，∴當(dāng)0≤x≤2時，y隨x增大而增大，∴當(dāng)x=2時，y有最大值y=4a+2-2-a=3a，故D正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識，會根據(jù)圖象判斷各個系數(shù)和式子的符號．8．函數(shù)y=ax2+bxa<0

A．5a+3b<1 B．4a+3b<2 C．2a+b<0 D．a(chǎn)+2b<0【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)y=ax2+bx圖象的對稱軸為直線x=-b2a<1，a<0，得出2a+b<0；當(dāng)x=2時，函數(shù)y=ax2+bx中y<0，得出4a+2b<0，根據(jù)當(dāng)x=1時，y<1，得出a+b<1，即可得出5a+3b<1；根據(jù)a+b<1，得出2a+2b<2，根據(jù)2a+b<0，得出4a+3b<2；根據(jù)-b2a【詳解】解：由圖象可知：函數(shù)y=ax2+bx的圖象∵a<0，∴2a+b<0，故C正確，不符合題意；∵當(dāng)x=2時，函數(shù)y=ax2+bx即4a+2b<0，當(dāng)x=1時，y<1，即a+b<1，∴5a+3b<1，故A正確，不符合題意；∵a+b<1，∴2a+2b<2，∵2a+b<0，∴4a+3b<2，故B正確，不符合題意；∵-b2a>∴b>-a，∴2b>-2a，∴a+2b>-a，∴a+2b>0，故D錯誤，符合題意．故選D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將圖象中特殊的點代入函數(shù)解析式，判定式子符號．9．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的頂點在第四象限，對稱軸是直線x=3，過第一、二、四象限的直線y=kx-4k（k是常數(shù)）與拋物線交于x軸上一點．現(xiàn)有下列結(jié)論：①ck>0；②c=7a；③4a+2b+c-5k>0；④當(dāng)拋物線與直線的另一個交點也在坐標(biāo)軸上時，k=-2a；⑤若m為任意實數(shù)，則m

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【分析】①分別判定出k<0，c>0，即可得出ck<0，得出①錯誤；②根據(jù)一次函數(shù)解析式和拋物線對稱軸，求出拋物線與x軸的一個交點為(2,0)，得出4a+2b+c=0，根據(jù)拋物線的對稱軸為x=3，得出-b2a=3，求出b=-6a，得出4a+2×③根據(jù)4a+2b+c=0，k<0，得出4a+2b+c-5k>0，判斷③正確；④根據(jù)題意得出-4k=c，即k=-c4，由②得c=8a，從而得出k=-c⑤當(dāng)x=3時，拋物線取得最小值，最小值為：y=9a+3b+c，當(dāng)x=m時，代入y=ax2+bx+c得am2【詳解】解：①直線y=kx-4k（k是常數(shù)）的圖象過一、二、四象限，∴k<0，∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴c>0，∴ck<0，故①錯誤；②∵y=kx-4k=k(x-4),令x=4得y=0，∴直線y=kx-4k與x軸交點為(4,0)，∴拋物線與y=kx-4k也交于(4,0)，∵拋物線的對稱軸為x=3，∴拋物線與x軸的另一個交點為(2,0)，把(2,0)代入y=ax2+bx+c∵拋物線的對稱軸為x=3，∴-b解得：b=-6a，∴4a+2×-6a解得：c=8a，故②錯誤；③由②知，拋物線過點(2,0)，∴4a+2b+c=0，∵k<0，∴4a+2b+c-5k>0，故③正確；④根據(jù)題意知，當(dāng)x=0時，直線與拋物線的y值相等，∴-4k=c，∴k=-c由②得c=8a，∴k=-c4=-⑤當(dāng)x=3時，拋物線取得最小值，最小值為：y=9a+3b+c，當(dāng)x=m時，代入y=ax2+bx+c即a∴mam+b≥9a+3b，故綜上分析可知，正確的結(jié)論有3個，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)）關(guān)于直線x=1對稱．下列五個結(jié)論：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】由拋物線的開口方向、與y軸交點以及對稱軸的位置可判斷a、b、c的符號，由此可判斷①正確；由拋物線的對稱軸為x=1，得到-b2a=1，即可判斷②；可知x=2時和x=0時的y值相等可判斷③正確；由圖知x=1時二次函數(shù)有最小值，可判斷④錯誤；由拋物線的對稱軸為x=1可得b=-2a，因此y=a【詳解】①∵拋物線的開口向上，∴a>0.∵拋物線與y軸交點在y軸的負(fù)半軸上，∴c<0.由-b2a>0∴abc>0，故①正確；②∵拋物線的對稱軸為x=1，∴-b∴b=-2a，∴2a+b=0，故②正確；③由拋物線的對稱軸為x=1，可知x=2時和x=0時的y值相等．由圖知x=0時，y<0，∴x=2時，y<0．即4a+2b+c<0．故③錯誤；④由圖知x=1時二次函數(shù)有最小值，∴a+b+c≤am∴a+b≤ama+b≤m(ax+b）故④錯誤；⑤由拋物線的對稱軸為x=1可得-b∴b=-2a，∴y=ax當(dāng)x=-1由圖知x=-∴3a+c>0.故⑤正確．綜上所述：正確的是①②⑤，有3個，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的對稱軸及頂點位置．熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．11．如圖，直線x=1是二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0的圖象的對稱軸，則下列結(jié)論：①abc>0；②b+2aA．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】由開口方向、對稱軸及拋物線與y軸的交點位置可判斷結(jié)論①；由對稱軸x=1及對稱軸公式可判斷結(jié)論②；拋物線的對稱軸直線x=1，由x=-1時，y<0，即可判斷結(jié)論③；由x=2時，y>0，即可判斷結(jié)論④．【詳解】解：①∵∴a<0，∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴-b∴b>0，∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c>0，∴abc<0，故結(jié)論錯誤；②∵對稱軸為直線x=1∴-b∴2a+b=0．故結(jié)論正確；③∵2a+b=0，∴b=-2a，∵當(dāng)x=-1時，y=a-b+c<0，∴a-(-2a)+c=3a+c<0，故結(jié)論不正確；④當(dāng)x=2時，4a+2b+c>0，故結(jié)論正確；綜上所述，正確的結(jié)論是②④．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，圖象與y軸交點，函數(shù)增減性并會綜合運用是解決本題的關(guān)鍵．12．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=-1，且過點1，0頂點位于第二象限，其部分圖象如圖所示給出以下判斷：①ab>0，且c<0；②4a-2b+c>0；③8a+c>0；④c=3a-3b；⑤直線y=2x+2與拋物線

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】∵拋物線對稱軸x=-1，經(jīng)過點1，∴-b2a=-1∴b=2a，∵a<0，∴b<0，∴ab>0且c>0，故①錯誤，∵拋物線對稱軸x=-1，經(jīng)過1，∴-3,0和1，∴x=-2時，y>0，∴4a-2b+c>0，故②正確，∵拋物線與x軸交于-3,0，∴x=-4時，y<0，∴16a-4b+c<0，∵b=2a，∴16a-8a+c<0，即8a+c<0，故③錯誤，∵c=-3a=3a-6a，b=2a，∴c=3a-3b，故④正確，∵直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c∴方程ax2+∴x1+x2∴x1+x2+x1故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上的點的特征，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．13．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c滿足：（1）a<b<c；（2）a+b+c=0；（3）圖像與x軸有2個交點，且兩交點間的距離小于2①a<0；②a-b+c＜0；③a-2b>0；④【答案】①②④【分析】由a+b+c＝0可得圖像過1,0點，由a<b<c、a+b+c＝0可得a<0，c>0可判斷①；圖像與x軸有2個交點，且兩交點間的距離小于2，則另一交點坐標(biāo)在-1,0右側(cè)，再代入解析式可判斷②且圖像對稱軸一定在x軸的正半軸，即0<-b2a<1；再結(jié)合a，b異號可判定③；由a+b+c=0【詳解】解：∵a+b+c∴圖像過1,0點∵a<b<c，a+b+c＝∴a<0，c>0，故∵圖像與x軸有2個交點，且兩交點間的距離小于2∴圖像一