第14講 等腰三角形常用作輔助線的方法（解析版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（8年級人教版）

第14講等腰三角形常用作輔助線的方法【人教版】·模塊一作平行線·模塊二作垂線·模塊三倍長中線法·模塊四截長補短法·模塊五課后作業(yè)模塊一模塊一作平行線【例1】如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC到點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（

）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25【答案】C【分析】過P作BC的平行線交AC于F，通過AAS證明△PFD≌△QCD，得FD=CD，再由△APF是等邊三角形，即可得出DE=1【詳解】解：過P作BC的平行線交AC于F，∴∠Q=∠FPD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF，在△PFD中和△QCD中，∠FPD=∠Q∠PDF=∠QDC∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，∴AE=EF，∴AE+DC=EF+FD，∴DE=1∵AC=2，∴DE=1，故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【例2】P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）DE＝3．【分析】（1）過點P作PF∥BC交AC于點F；證出△APF也是等邊三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS證明△PDF≌△QDC，得出對應(yīng)邊相等即可；（2）過P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS證明△PFD≌△QCD，得出對應(yīng)邊相等FD=CD，證出AE+CD=DE=12【詳解】（1）如圖1所示，點P作PF∥BC交AC于點F．∵△ABC是等邊三角形，∴△APF也是等邊三角形，AP=PF=AF=CQ．∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中，∠PDF=∠QDC∠DFP=∠QCD∴△PDF≌△QDC（AAS），∴PD=DQ；（2）如圖2所示，過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，∠PDF=∠QDC∠DFP=∠QCD∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=12∵AC=6，∴DE=3．

【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定（AAS）與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定（AAS）與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．【變式1】如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的一點，且BD=CE，連接DE交BC于點M．求讓：MD=ME【答案】見詳解【分析】過點D作DE∥AC，交BC于點E，根據(jù)等邊三角形和平行線的性質(zhì)得∠MDE=∠MEC，DE=CE，從而證明?EMD??CME，進而即可得到結(jié)論．【詳解】過點D作DE∥AC，交BC于點E，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，∴△BDE是等邊三角形，∴BD=DE，∵BD=CE，∴DE=CE，又∵∠EMD=∠CME，∴?EMD??CME，∴MD=ME．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)定理，添加輔助線，構(gòu)造等邊三角形和全等三角形，是解題的關(guān)鍵．模塊二模塊二作垂線【例1】如圖，OC平分∠MON，A、B分別為OM、ON上的點，且BO＞AO，AC＝BC，求證：∠OAC+∠OBC＝180°．【答案】見解析.【分析】如圖，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．【詳解】如圖，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．∴CE＝CF，∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），∴∠ACF＝∠ECB，∴∠ACB＝∠ECF，∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ACB+∠AOB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.【例2】如圖，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,A(0,3),C(1,0)，則點B的坐標(biāo)為【答案】（4，1）【分析】如圖，過點B作BD⊥x軸于D，根據(jù)點A、點C坐標(biāo)可得OA、OC的長，根據(jù)同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可證明△OAC≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的長，進而可得答案．【詳解】如圖，過點B作BD⊥x軸于D，∵A（0，3），C（1，0），∴OA=3，OC=1，∵∠ACB=90°，∴∠OCA+∠DCB=90°，∵∠OAC+∠OCA=90°，∴∠OAC=∠DCB，在△OAC和△DCB中，∠AOC=∠CDB∠OAC=∠DCB∴△OAC≌△DCB，∴BD=OC=1，CD=OA=3，∴OD=OC+CD=4，∴點B坐標(biāo)為（4，1）．故答案為：（4，1）【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．【例3】如圖，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，BA=BD，BC=BE，延長CB交DE于F.求證：EF=DF.【答案】詳見解析【分析】如圖，過點D作DG⊥CF的延長線于點G，易證ΔABC≌ΔBDG，再證ΔBFE≌GFD即可得答案.【詳解】如圖，過點D作DG⊥CF的延長線于點G，∵∠ABC+∠DBG=90°，∠BDG+∠DGB=90°，∴∠ABC=∠BDG，又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，∴ΔABC≌ΔBDG，∴BC=DG，又∵BC=BE，∴BE=DG，又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，∴ΔBFE≌△GFD，∴EF=DF.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，學(xué)會添加常用輔助線，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.【變式1】如圖，D是CB延長線上一點，且BD=BC，E是AB上一點，DE=AC，求證：∠BAC=∠BED.【答案】詳見解析【分析】分別過點D、C作AB的垂線，構(gòu)建RtΔDFE與RtΔCGA【詳解】如圖，過點C作CG⊥AB于點G，過點D作DF⊥AB的延長線于點F，則有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，∴ΔDBF≌ΔCBG，∴DF=CG，.又∵DE=AC，∴RtΔDFE≌Rt∴∠BAC=∠BED.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵.【變式2】如圖，已知AD為△ABC的中線，點E為AC上一點，連接BE交AD于點F，且AE＝FE.求證：BF＝AC．【答案】證明見解析【分析】方法一：當(dāng)題中有三角形中線時，常加倍中線構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)證得結(jié)論．方法二：向中線作垂線，證明ΔBDG?ΔCDH，得到BG=CH，再根據(jù)AE＝FE，得到角的關(guān)系，從而證明ΔBGF?ΔCHA，最終得到結(jié)論.【詳解】方法一：延長AD到G，使DG＝AD，連接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四邊形ABGC是平行四邊形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC方法二：如圖，分別過點B、C作BG⊥AD，CH⊥AD，垂足為G、H，則∠BGD=∠CHD=90°.∵BD=CD，∠BDG=∠CDH，∴ΔBDG?ΔCDH，∴BG=CH.∵AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，∵∠BFG=∠EFA，∴∠BFG=∠CAH，又∵∠BGF=∠CHA=90°，∴ΔBGF?ΔCHA，∴BF=AC.【點睛】本題是較為典型的題型，至少可以用到兩種方法來解題，此題的特點就是必須有中線這個條件才能構(gòu)造平行四邊形或雙垂線.模塊三模塊三倍長中線法【例1】如圖，在△ABC中，AD為BC邊的中線，E為AD上一點，連接BE并延長交AC于點F，若∠AEF=∠FAE，BE=4，EF=1.6，則CF的長為____________．【答案】2.4【分析】延長AD到點G，使DG=AD，首先證明△BDG≌△CDASAS，然后得到∠G=∠CAD，BG=AC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BG=BE=AC=4【詳解】如解圖，延長AD到點G，使DG=AD，∵AD為BC邊的中線，∴BD=CD∵∠BDG=∠CDA，DG=AD∴△BDG≌△CDA∴∠G=∠CAD，BG=AC∵∠AEF=∠FAE∴∠G=∠BEG∴BG=BE=AC=4∵∠AEF=∠FAE，EF=1.6∴AF=EF=1.6∴CF=AC-AF=2.4．故答案為：2.4．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．【例2】已知三角形的兩邊長分別是2和4，設(shè)第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是______．【答案】1＜x＜3【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，即可求解．【詳解】解：如圖所示，AB＝2，AC＝4，延長AD至E，使AD＝DE，在△BDE與△CDA中，∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，∴△BDE≌△CDA，∴AE＝2x，BE＝AC＝4，在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即4﹣2＜2x＜4+2，∴1＜x＜3．故答案為：1＜x＜3．【點睛】本題考查了三角形的中線、三角形三邊關(guān)系，有關(guān)三角形的中線問題，通常要倍數(shù)延長三角形的中線，把三角形的一邊變換到與另一邊和中線的兩倍組成三角形，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可．【例3】如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BE是AC的中線，點D在AC的延長線上，連接BD，若∠ABE=∠D．(1)猜想BD=________BE；(2)完成（1）的證明過程．【答案】(1)2(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意可進行求解；（2）延長BE至F，使得EF=BE，連接CF，易證△ABE≌△CFE，則有∠ABE=∠F，由題意易得∠EBC=∠DBC，∠D=∠F，然后可證△BCF≌△BCD，則BD=（1）解：BD=2BE；延長BE至F，使得EF=BE，連接CF，如圖所示：∵BE是AC的中線，∴AE=∵∠AEB=∠CEF，∴△ABE≌△CFE（SAS），∴∠ABE=∠F，∵∠ABC=∠ABE+∠CBE,∠ACB=∠D+∠DBC，且∠ABC=∠ACB，∠ABE=∠D，∴∠EBC=∠DBC，∠D=∠F，∵BC=BC，∴△BCF≌△BCD（AAS），∴BD=BF=2BE．故答案為2；（2）證明：延長BE至F，使得EF=BE，連接CF，如圖所示：∵BE是AC的中線，∴AE=∵∠AEB=∠CEF，∴△ABE≌△CFE（SAS），∴∠ABE=∠F，∵∠ABC=∠ABE+∠CBE,∠ACB=∠D+∠DBC，且∠ABC=∠ACB，∠ABE=∠D，∴∠EBC=∠DBC，∠D=∠F，∵BC=BC，∴△BCF≌△BCD（AAS），∴BD=BF=2BE．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，AD是△ABC的中線，點E在AD上，且BE＝AC，求證：∠BED＝∠CAD．【答案】見解析【分析】延長AD到E，使FD＝AD，連接BF，易證△ADC≌△FDB，得到BF＝AC，∠F＝∠CAD，而BE＝AC，所以BF＝BE，得∠BED＝∠F，等量代換即可．【詳解】證明：延長AD到E，使FD＝AD，連接BF在△ADC和△FDB中，BD=CD∠BDF=∠ADC∴△ADC≌△FDB（SAS）∴BF＝AC，∠F＝∠CAD．∵BE＝AC，∴BF＝BE∴∠BED＝∠F，∴∠BED＝∠CAD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，倍長中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，已知AP//BC，點E是DC的中點，且AD+BC=AB，求證：【答案】證明見解析【分析】延長AE、BC交于點M，利用AAS證出△ADE≌△MCE，從而得出AD=MC，AE=ME，結(jié)合已知條件即可證出BM=AB，再利用SSS即可證出△BAE≌△BME，從而得出∠BEA=∠BEM，根據(jù)垂直定義即可證出結(jié)論．【詳解】解：延長AE、BC交于點M，如下圖所示∵點E是DC的中點，∴DE=CE，∵AP∴∠1=∠M在△ADE和△MCE中{∴△ADE≌△MCE∴AD=MC，AE=ME∵AD+BC=AB∴MC＋BC=AB∴BM=AB在△BAE和△BME中{∴△BAE≌△BME∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴AE⊥BE【點睛】此題考的是全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和垂直的定義，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和垂直的定義是解題關(guān)鍵．模塊四模塊四截長補短法【例1】如圖，在△ABC中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于點D，若AC+CD=AB，求∠C的度數(shù)．【答案】∠C=90°【分析】在AB上截取AE=AC，連接DE，證明△ADC≌△ADE，再證明DE=BE，設(shè)∠B=x，再得到∠BAC=∠B=∠EDB=x，證明∠C=2x,然后利用內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：如圖，在AB上截取AE=AC，連接DE．∵AD平分∠BAC，∠EAD=∠CAD．∵AE=AC,AD=AD，∴△ADC≌△ADE，∴CD=DE,∠AED=∠C,∵AC+CD=AB，AE+BE=AB，∴CD=BE，∴DE=BE，∴∠B=∠EDB．∵AC=BC，∴∠BAC=∠B．設(shè)∠BAC=∠B=∠EDB=x，則∠AED=∠B+∠EDB=2x=∠C．∵在△ABC中，x+x+2x=180°，解得x=45°，∴∠C=90°．【點睛】本題考查的是角平分線的定義，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【例2】如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠BCD=150°，CB=CD，M、N分別為AB、AD上的動點，且∠MCN=75°．求證：MN=BM+DN．【答案】見解析【分析】延長AB至點E，使得BE=DN，連接CE，根據(jù)同角的補角相等得∠CBE=∠CDN，根據(jù)SAS證明ΔCBE?ΔCDN，則∠BCE=∠DCN，進而證明∠ECM=∠MCN=75°，根據(jù)SAS證明ΔECM?ΔNCM，得到MN=ME，則MN=BM+BE=BM+DN．【詳解】證明：延長AB至點E，使得BE=DN，連接CE，∵四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠CBE=∠CDN，在ΔCBE和ΔCDN中，CB=CD∠CBE=∠CDN∴ΔCBE?ΔCDN(SAS)，∴∠BCE=∠DCN，CN=CE，∵∠BCD=150°，∠MCN=75°，∴∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=75°，∴∠MCN=∠MCE，在ΔECM和ΔNCM中，MC=MC∠MCN=∠MCE∴ΔECM?ΔNCM(SAS)，∴MN=ME=BM+BE=BM+DN．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，△ABC為等邊三角形，若∠DBC=∠DAC=α(0°<α<60°)，則∠BCD=__________（用含α的式子表示）．【答案】120°-α/-α+120°【分析】在BD上截取BE=AD，連結(jié)CE，可證得△BEC?△ADC，從而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，從而得到△DCE是等邊三角形，進而得到∠BDC=60°，則有∠BCE=60°-α，即可求解．【詳解】解：如圖，在BD上截取BE=AD，連結(jié)CE，∵△ABC為等邊三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵∠DBC=∠DAC=α，BE=AD，∴△BEC?△ADC，∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，∴△DCE是等邊三角形，∴∠BDC=60°，∴∠BCD=180°-60°-α=120°-α．故答案為：120°-α【點睛】本題主要考查了等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上一點，且∠MDN=60°．試探BM，MN，CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】CN=MN+BM，見解析【分析】采用“截長補短”法，在CN上截取點E，使CE=BM，連接DE，結(jié)合等邊及等腰三角形的性質(zhì)利用SAS可證△MBD≌△ECD，繼而可證△MND≌△END，由全等的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】解：CN=MN+BM．證明：如圖，在CN上截取點E，使CE=BM，連接DE，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°．又∵△BDC為等腰三角形，且∠BDC=120°，∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．∴∠MBD=∠ABD=∠ECD=90在△MBD和△ECD中，BD=CD，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．∴∠MDN=∠EDN．在△MND與△END中，ND=ND，∴△MND≌△END（SAS）．∴MN=NE．∴CN=NE+CE=MN+BM．【點睛】本題考查了等邊及等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，并采用了截長補短法，靈活利用已知條件證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.模塊五模塊五課后作業(yè)1．如圖，四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，點P是△OCD角平分線的交點，點M是AB的中點，給出下列結(jié)論：①∠CPD＝135°；②BA＝BP；③△PAC≌△PDB；④S△ABP＝S△DCP；⑤PM＝12CD．其中正確的是___【答案】①③④⑤【分析】由角平分線的定義，可得∠CDP+∠DCP=12∠CDO+12∠DCO=45°，進而即可判斷①；先證△ACP≌△DCP，可得△APD是等腰直角三角形，進而得△PAC≌△PDB，即可判斷③；過點A作AN∥BP交PM的延長線于點N，可得△AMN≌△BMP，再證明△APN≌△PDC，從而得PM＝12CD，即可判斷⑤；由S【詳解】解：∵AC⊥BD，點P是△OCD角平分線的交點，∴∠DOC=90°，∠ODC+∠OCD=90°，∠CDP=12∠CDO，∠DCP=12∠∴∠CDP+∠DCP=12∠CDO+12∠DCO∴∠CPD＝180°-（∠CDP+∠DCP）=135°，故①正確；∵CP，DP分別平分∠DCO，∠CDO，∴∠DCP=∠ACP，∠CDP=∠BDP，∵AC＝CD，PC=PC，∴△ACP≌△DCP，∴AP=DP，∠CAP=∠CDP=∠BDP，∠APC=∠DPC=135°，∴∠DPA=360°-135°-135°=90°，∴△APD是等腰直角三角形，又∵AC=BD，∠CAP=∠BDP，AP=DP，∴△PAC≌△PDB，故③正確；∴∠DPB=∠APC=135°，PB=PC，∴∠BPC=360°-135°-135°=90°，∴△BPC是等腰直角三角形，找不到證明BA=BP的條件，故②錯誤；過點A作AN∥BP交PM的延長線于點N，∵∠N=∠BPM，∠PAN+∠APB=180°，∵點M是AB的中點，即AM=BM，又∵∠AMN=∠BMP，∴△AMN≌△BMP，∴MN=PM=12PN，AN=PB=PC，∵∠DPA=∠BPC=90°，∴∠APB+∠DPC=180°，又∵∠PAN+∠APB=180°，∴∠PAN=∠DPC，又∵AP=DP，AN=PC，∴△APN≌△PDC，∴CD=PN=2PM，即：PM＝12CD，故⑤∵S△APN=S∴S△ABP∴S△ABP=S故正確的是①③④⑤．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握中線倍長模型和旋轉(zhuǎn)全等模型，是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分線，求證：AE+BE=BC．【答案】見解析【分析】延長BE到F，使BF=BC，連接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通過△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，證得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長BE到F，使BF=BC，連接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，連接EF′，在△FCE與△F′CE中，CF=CF∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE與△F′BE中，∠A=∠BF∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求證：AB=CD．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證AB=CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形請用二種不同的方法證明．【答案】見解析【分析】方法一：如圖1，作BF⊥DE交DE的延長線于點F，CG⊥DE于點G，先證明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再證明△ABF≌△DCG即可；方法二：如圖2中，作CF∥AB交DE的延長線于點F，先證明CF=CD，再證明△ABE≌△FCE即可．【詳解】證明：方法一：如圖1，作BF⊥DE交DE的延長線于點F，CG⊥DE于點G．∴∠F=∠CGE=90°，在△BFE和△CGE中，∠BEF=∠GEC∠BFE=∠CGE∴△BFE≌△CGE（AAS），∴BF=CG，在△ABF和△DCG中，∠F=∠DGC=90∴△ABF≌△DCG（AAS），∴AB=CD；方法二：如圖2，作CF∥AB交DE的延長線于點F．∴∠F=∠BAE．又∵∠BAE=∠D，∴∠F=∠D，∴CF=CD，在△ABE和△FCE中，∠F=∠BAE∠AEB=∠FEC∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB=CF，∴AB=CD．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．4．【閱讀理解】數(shù)學(xué)興趣小組活動時，老師提出如下問題：如圖1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明提出了如下解決方法，延長線段AD至點E，使DE=AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法回答下列問題．(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是____________．A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL(2)探究得出AD的取值范圍___________．A．6<AD<8

B．6≤AD≤8

C．1<AD<7

D．1≤AD≤7【問題解決】(3)如圖2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE．【答案】(1)B(2)C(3)見解析【分析】（1）根據(jù)AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可，據(jù)此即可判定；（2）根據(jù)全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6<2AD<8+6，求出即可；（3）延長AE到F，使AE=EF，連接DF，證明△ABE≌△DFESAS，得出AB=DF，∠F=∠BAE，證明△ADF≌△ADCSAS，得出【詳解】（1）解：∵AD是△ABC中線，∴BD=DC，在△ADC與△EDB中，AD=ED∴△ADC≌故選：B；（2）解：由1知：△ADC≌∴BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三邊之間的關(guān)系可得：AB-BE<AE<AB+BE，即8-6<2AD<8+6，解得：1<AD<7，故選：C；（3）證明：延長AE到F，使AE=EF，連接DF，如圖所示：∵AE是△ABD中線