2024年江蘇常州中考一模數(shù)學(xué)試卷試題及答案詳解

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)九年級(jí)教學(xué)情況調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1．的倒數(shù)是（

）A． B．4 C． D．2．截止2024年1月31日，理想汽車?yán)塾?jì)交付量達(dá)到約輛，其中可用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．如圖是由5個(gè)完全相同的小正方體組成的幾何體，則該幾何體的主視圖是A． B． C． D．5．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根6．當(dāng)x＝2時(shí)，代數(shù)式ax3+bx+1的值為6，那么當(dāng)x＝﹣2時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值是（）A．1 B．﹣4 C．6 D．﹣57．如圖，為的六等分點(diǎn)，甲同學(xué)從中任取三點(diǎn)畫一個(gè)三角形，乙同學(xué)用剩下的點(diǎn)畫一個(gè)三角形，則甲乙兩位同學(xué)所畫的三角形全等的概率為（

）A． B．1 C． D．8．小麗從常州開(kāi)車去南京，開(kāi)了一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)油所剩不多了，于是開(kāi)到服務(wù)區(qū)加油，加滿油后又開(kāi)始勻速行駛，下面哪一幅圖可以近似的刻畫該汽車在這段時(shí)間內(nèi)的速度變化情況（

）A． B．C． D．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）9．4的算術(shù)平方根是．10．使有意義的x的取值范圍是．11．分解因式：x2y-4y=．12．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．13．已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍是．14．已知扇形的圓心角為，半徑為，則這個(gè)扇形的面積．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA＝．16．如圖，是的直徑，是的切線，交于點(diǎn)，連結(jié)，若，則的大小為．17．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，，，，則線段的長(zhǎng)為．18．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為．三、解答題（共84分，其中19至26題每題8分，27、28題每題10分）19．計(jì)算(1)(2)20．解方程和不等式(1)解方程：(2)解不等式組：21．為增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的了解，某校開(kāi)展了兩次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，從中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生兩次活動(dòng)的成績(jī)（百分制），并對(duì)數(shù)據(jù)（成績(jī)）進(jìn)行整理、描述和分析．如圖1是將這30名學(xué)生的第一次活動(dòng)成績(jī)作為橫坐標(biāo)，第二次活動(dòng)成績(jī)作為縱坐標(biāo)繪制而成．(1)學(xué)生甲第一次成績(jī)是分，則該生第二次成績(jī)是分．(2)兩次成績(jī)均達(dá)到或高于分的學(xué)生有個(gè)．(3)為了解每位學(xué)生兩次活動(dòng)平均成績(jī)的情況，如圖2是這30位學(xué)生兩次活動(dòng)平均成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖（數(shù)據(jù)分成8組：，，，，，，，），在的成績(jī)分別是77、77、78、78、78、79、79，則這30位學(xué)生平均成績(jī)的中位數(shù)是．(4)假設(shè)全校有1200名學(xué)生參加此次活動(dòng)，請(qǐng)估計(jì)兩次活動(dòng)平均成績(jī)不低于90分的學(xué)生人數(shù)．22．2024年春晚，魔術(shù)師表演了一個(gè)與紙牌相關(guān)的魔術(shù)，讓人大開(kāi)眼界，這個(gè)魔術(shù)中隱含了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題——約瑟夫問(wèn)題，春晚結(jié)束后，小華和小麗玩起了抽撲克牌游戲，他們從同一副撲克牌中選出四張牌，牌面數(shù)字分別為3，6，7，9．將這四張牌背面朝上，洗勻．(1)小麗從中隨機(jī)抽出一張牌，則抽到這張牌是奇數(shù)的概率是______；(2)小麗從中隨機(jī)抽取一張，記下牌面上的數(shù)字后放回，背面朝上，洗勻，接著小華再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，記下牌面上的數(shù)字，請(qǐng)求出他們抽到的兩張撲克牌牌面數(shù)字之和恰好是3的倍數(shù)的概率．23．如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，與相交于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求四邊形的周長(zhǎng)．24．《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“假設(shè)頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子．問(wèn)每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個(gè)問(wèn)題：(1)求每頭牛、羊各值多少兩銀子？(2)若某商人準(zhǔn)備用兩銀子買牛和羊共只，要求羊的數(shù)目不超過(guò)牛的數(shù)目的兩倍，且銀兩有剩余，請(qǐng)問(wèn)商人有幾種購(gòu)買方法？列出所有可能的購(gòu)買方案．25．如圖，，，反比例函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求和的值．(2)過(guò)點(diǎn)作軸，與雙曲線交于點(diǎn)，求的面積．26．定義：若實(shí)數(shù)滿足（為常數(shù)，），則在平面直角坐標(biāo)系中，稱點(diǎn)為的“值友好點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是點(diǎn)的“1值友好點(diǎn)”．(1)在，，，四點(diǎn)中，點(diǎn)______是點(diǎn)的“值友好點(diǎn)”．(2)設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)的“值友好點(diǎn)”．①當(dāng)時(shí)，求的值．②若點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)以及的值．27．如圖，拋物線，拋物線交軸于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），交軸于點(diǎn)，拋物線與拋物線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．①作軸，垂足為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．②請(qǐng)求出的最大值．28．如圖1，小明借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：中，，，是邊的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），邊關(guān)于對(duì)稱的線段為，連接．(1)當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，的大小為_(kāi)_____．(2)圖2，延長(zhǎng)，交射線于點(diǎn)．①請(qǐng)問(wèn)的大小是否變化？如果不變，請(qǐng)求出的大??；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．②若，則的面積最大為_(kāi)_____，此時(shí)______．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．A【分析】本題考查倒數(shù)的定義，掌握乘積等于1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，即可解題．【詳解】解：的倒數(shù)是，故選：A．2．C【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值大于與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．【詳解】解：，故選：C．3．D【分析】本題考查了冪的乘方與積的乘方，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，由此計(jì)算即可．【詳解】解：，故選：D．4．A【分析】根據(jù)從正面看得到的視圖是主視圖，觀察即可得答案．【詳解】從正面看第一層是三個(gè)小正方形，第二層左邊一個(gè)小正方形，如圖所示，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，解題的關(guān)鍵是明確從正面看得到的視圖是主視圖．5．B【詳解】解：根據(jù)題意得：△=，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B6．B【分析】根據(jù)題意可得，再將x＝﹣2代入代數(shù)式，即可求解．【詳解】解：∵當(dāng)x＝2時(shí)，代數(shù)式ax3+bx+1的值為6，∴，∴，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求代數(shù)的值，利用整體代入思想解答是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】本題主要考查了幾何概率，由對(duì)稱性可知甲從六個(gè)點(diǎn)中選擇任意的三個(gè)點(diǎn)組成的三角形，與剩下的三個(gè)點(diǎn)組成的三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等，可得甲乙兩人所畫的三角形一定全等，據(jù)此可得答案．【詳解】解；∵為的六等分點(diǎn)，∴由對(duì)稱性可知甲從六個(gè)點(diǎn)中選擇任意的三個(gè)點(diǎn)組成的三角形，與剩下的三個(gè)點(diǎn)組成的三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等，∴甲乙兩人所畫的三角形一定全等，∴甲乙兩位同學(xué)所畫的三角形全等的概率為1，故選：B．8．B【分析】主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力和函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合的應(yīng)用．橫軸表示時(shí)間，縱軸表示速度，根據(jù)加速、勻速、減速時(shí)，速度的變化情況，進(jìn)行選擇．【詳解】解：汽車經(jīng)歷：加速?勻速?減速到站?加速?勻速，加速：速度增加，勻速：速度保持不變，減速：速度下降，到站：速度為0.觀察四個(gè)選項(xiàng)的圖象是否符合題干要求，只有B選項(xiàng)符合.故選B.9．2【分析】本題考查了算術(shù)平方根的定義，熟練掌握算術(shù)平方根的概念是解題的關(guān)鍵；根據(jù)算術(shù)平方根的概念即可求出結(jié)果．【詳解】解：，4的算術(shù)平方根是2，故答案為：2．10．【詳解】由條件得：3x﹣1≥0，解得：x≥，故答案為x≥．11．y(x+2)(x-2)【分析】要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有公因式，則把它提取出來(lái)，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式．【詳解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，故答案為：y(x+2)(x-2)．【點(diǎn)睛】提公因式法和應(yīng)用公式法因式分解．12．【分析】本題主要考查了關(guān)于垂直坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，根據(jù)題意得出，即可求解．【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，∴，解得，，∴．故答案為：．13．##【分析】本題主要查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，隨增大而減小列不等式求解即可．【詳解】解：反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，，解得．故答案為：．14．【分析】本題考查了扇形面積的計(jì)算，直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：依題意，，故答案為：．15．【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直角三角形一直角邊與斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長(zhǎng)，運(yùn)用三角函數(shù)的定義解答．【詳解】由sinA＝知，可設(shè)a＝4x，則c＝5x，b＝3x，∴tanA＝=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系．求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過(guò)設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．16．【分析】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，三角形內(nèi)角和定理，利用切線的性質(zhì)求出，由三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出．【詳解】解：是的直徑，是的切線，，，，，，，，，故答案為：．17．【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意得出，得出，則，可得，進(jìn)而列出比例式，代入數(shù)據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為，，，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，，∴，∴∴∴解得：，故答案為：．18．【分析】連接，根據(jù)已知得出四點(diǎn)共圓，則是直徑，進(jìn)而證明是等腰直角三角形，，得出，則，勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵四邊形是正方形，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，∴四點(diǎn)共圓，∵∴是直徑∴∵為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴在中，∴∴∴在中，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明是解題的關(guān)鍵．19．(1)(2)【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，整式的乘法運(yùn)算；（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式，平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）（2）20．(1)(2)【分析】本題考查了解分式方程，一元一次不等式組；（1）先去分母，然后化為整式方程，解方程并檢驗(yàn)，即可求解；（2）分別解兩個(gè)不等式，求公共部分的解集，即可求解．【詳解】（1）解：∴解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，∴原方程的根為（2）解：解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：．21．(1)75(2)8(3)79(4)1200名學(xué)生參加此次活動(dòng)，估計(jì)兩次活動(dòng)平均成績(jī)不低于90分的學(xué)生人數(shù)為360人．【分析】（1）找到橫坐標(biāo)為時(shí)，對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)的值即可得解；（2）找到橫縱坐標(biāo)均大于等于的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得解；（3）將數(shù)據(jù)進(jìn)行排序后，找到第15和第16位數(shù)據(jù)，兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，即為中位數(shù)；（4）利用總?cè)藬?shù)乘以抽樣中兩次活動(dòng)平均成績(jī)不低于90分的占比即可得解．【詳解】（1）解：由圖1可知，橫坐標(biāo)為時(shí)，對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)為，∴該生第二次成績(jī)是75分；故答案為：75；（2）由圖1可知：橫縱坐標(biāo)均大于等于的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)，∴兩次成績(jī)均達(dá)到或高于分的學(xué)生有8個(gè)；故答案為：8；（3）解：將平均成績(jī)按從低到高排序，可知，中位數(shù)為第15個(gè)和第16個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，∴中位數(shù)位于這一組數(shù)據(jù)中，第15個(gè)和第16個(gè)數(shù)據(jù)均為，∴中位數(shù)為79；（4）解：由直方圖可知，兩次活動(dòng)平均成績(jī)不低于90分的學(xué)生人數(shù)有：人，∴1200名學(xué)生參加此次活動(dòng)，估計(jì)兩次活動(dòng)平均成績(jī)不低于90分的學(xué)生人數(shù)為：人；答：1200名學(xué)生參加此次活動(dòng)，估計(jì)兩次活動(dòng)平均成績(jī)不低于90分的學(xué)生人數(shù)為360人．【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖，頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，以及利用樣本估計(jì)總體，解題的關(guān)鍵是從統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖中，有效的獲取信息．22．(1)(2)【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式；（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中抽到這張牌是奇數(shù)的結(jié)果有3種，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及他們抽到的兩張撲克牌牌面數(shù)字之和恰好是3的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】（1）解：由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中抽到這張牌是奇數(shù)的結(jié)果有：，，，共種，抽到這張牌是奇數(shù)的概率為．故答案為：．（2）列表如下：共有種等可能的結(jié)果，其中他們抽到的兩張撲克牌牌面數(shù)字之和恰好是的倍數(shù)的結(jié)果有：，，，，，，，，，共種，他們抽到的兩張撲克牌牌面數(shù)字之和恰好是的倍數(shù)的概率為23．(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）如圖，首先證明四邊形是平行四邊形，然后證明，即可解決問(wèn)題．（2）如圖，首先證明，；運(yùn)用勾股定理求出，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是菱形∴，∴四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形為菱形，∴，，，由勾股定理得：，而，∴，由（1）得四邊形是矩形，∴四邊形的周長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形和矩形的性質(zhì)并能靈活運(yùn)用．24．(1)每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子；(2)有商人種購(gòu)買方案，①購(gòu)買頭牛，只羊；②購(gòu)買頭牛，只羊；③購(gòu)買頭牛，只羊．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，（1）設(shè)每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，根據(jù)頭牛、只羊，值兩銀子；頭牛、只羊，值兩銀子．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)購(gòu)買頭牛，則購(gòu)買只羊，根據(jù)某商人準(zhǔn)備用兩銀子買牛和羊共只，要求羊的數(shù)目不超過(guò)牛的數(shù)目的兩倍，且銀兩有剩余，列出一元一次不等式組，解不等式組，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：設(shè)每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子，由題意得：，解得：，答：每頭牛值兩銀子，每只羊值兩銀子；（2）設(shè)購(gòu)買頭牛，則購(gòu)買只羊，依題意得：，解得：，為整數(shù)，，，，有商人種購(gòu)買方案：①購(gòu)買頭牛，只羊；②購(gòu)買頭牛，只羊；③購(gòu)買頭牛，只羊．25．(1)(2)【分析】本題考查了反比例函數(shù)值的幾何意義，相似三角形的性質(zhì)與判定，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（1）根據(jù)條件可得，利用一線三垂在得到，利用相似比求出點(diǎn)坐標(biāo)即可解得值；（2）根據(jù)軸可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，可得，依據(jù)代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，即，，，如圖所示，作軸，軸，垂足分別為，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，．（2）軸，，將代入中，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所在的直線為，當(dāng)時(shí)，即，，26．(1)(2)①；②時(shí)，，時(shí)，【分析】（1）根據(jù)“k值友好點(diǎn)”的定義代入驗(yàn)證即可；（2）①先求得，進(jìn)而根據(jù)得出，根據(jù)點(diǎn)是點(diǎn)的“值友好點(diǎn)”．得出，進(jìn)而根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解．②設(shè)的中點(diǎn)為，則即

，作軸，軸，交于點(diǎn)，則，根據(jù)圓周角定理可得，進(jìn)而根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解．【詳解】（1）解：若是的“k值友好點(diǎn)”，則，不合題意；若是的“k值友好點(diǎn)”，則，不合題意；若是的“k值友好點(diǎn)”，則，不合題意，若是的“k值友好點(diǎn)”，則，符合題意，故答案為：；（2）①∵∴∵∴∵點(diǎn)是點(diǎn)的“值友好點(diǎn)”．∴∴∴即解得：②∵，設(shè)的中點(diǎn)為，則即

如圖所示，作軸，軸，交于點(diǎn)，則∴是直角三角形，∴，且，以為圓心為半徑作圓，∴∴∵，∴解得：（舍去）或∴同理可得當(dāng)以為圓心時(shí)，，綜上所述，時(shí)，，時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，新定義，勾股定理，圓周角定理，理解新定義是解題的關(guān)鍵．27．(1)，；(2)①P的橫坐標(biāo)為；②的最大值為：．【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)可得的表達(dá)式，再令，求解，的坐標(biāo)即可；（2）①如