2023-2024學(xué)年重慶市南開中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年重慶市南開中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)i1+2i的虛部為(

)A.25 B.25i C.12.直線3x+3y+5=0的傾斜角為A.π6 B.π4 C.2π33.已知向量a與b滿足|a|=2,|b|=3，且a與b的夾角為A.3 B.2 C.2 D.4.如圖，在三棱錐P?ABC中，PM=2MC,N為BC的中點，設(shè)AB=a,AC=b,A.13a+16b?c

5.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足b2=a2+c2?ac，△ABCA.1 B.2 C.3 D.46.廡殿頂是中國古代殿宇建筑屋頂?shù)某Ｒ姌邮剑蓓敯粭l正脊、四條垂脊，四個屋頂面.已知南開中學(xué)午晴堂側(cè)樓屋頂為廡殿頂樣式，整個屋頂長20m，寬7.2m，正脊長12.8m，四個屋頂面坡度均為1：2.4，其中坡度是指坡面的垂直高度和水平寬度的比值，則午靜堂側(cè)樓屋頂面積為(

)

A.144m2 B.156m2 C.7.如圖，已知圓臺O1O2，AB為上底面圓O1的一條直徑，且AB=2，CD是下底面圓O2的一條弦，∠CO2D=60°，矩形A.62π

B.510π8.已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2AB+AC)⊥BC，BA在BC上的投影向量的模長為A.64 B.35 C.二、多選題：本題共3小題，共9分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.對于平面α，β，γ，α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，若a//b，則b//c

B.對于平面α和直線a，b，若a⊥b，b//α，則a⊥α

C.對于平面α，β和直線a，b，若a⊥b，a//α，b//β，則α⊥β

D.對于平面α，β和直線a，若a⊥β，α⊥β，a?α，則a//α10.已知圓C：x2+y2?mx?ny+1=0，圓心C關(guān)于直線l：y=?x+1對稱點為A(?1,0)，M，N為圓C上兩點，且滿足AM?A.m=2，n=4 B.y軸與圓C相切

C.線段MN的中點軌跡為圓 D.|MN?11.如圖，棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P為A1A.平面B1DQ⊥平面ACD1

B.直線PQ與平面CC1D1D所成角為θ，則sinθ的取值范圍是(23,1)

C.設(shè)C1D∩平面BPD1=Q三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l1：(a?2)x+y?3=0和直線l2：x+ay+1=0垂直，則實數(shù)a=______．13.已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D為線段AC的中點，B=π3,|BD|=14.已知三棱錐S?ABC中，AB⊥BC，SC⊥BC，AB=2BC=2，三棱錐S?ABC的體積為23，則當(dāng)SA取最小值時，三棱錐S?ABC外接球的體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3(c?bcosA)=bsinA．

(1)求B；

(2)若a=3,b=13，求16.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中AB=BC=CC1=2，AC=22，M，N分別是AB，B1C1的中點．

(1)17.(本小題15分)

已知圓C：x2+y2?2ax?2by+a2=0滿足：①a>1，b>0；②與圓O：x2+y2=1外切；③被直線x=1分成兩段圓弧，其弧長的比為1：2．

(1)求圓C的方程；

(2)若直線18.(本小題17分)

已知在平行四邊形ABCD中，E是CD邊上一點，且滿足CE=3ED，∠CAE=2∠DAE，AD2=DE?DC．

(1)求∠DAE的大小；

(2)現(xiàn)以AC為折痕把△ACD折起，使點D到達點P的位置，且AE⊥BE.如圖：

(i)證明：平面PAB⊥平面ABC；

(ii)求平面EAB19.(本小題17分)

如圖，已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，且AB=3，AD=4，∠DAB=π3，M為BC的中點，點P在平面ABCD內(nèi)的射影為點H，且AH⊥DM．

(1)求證：PA⊥DM；

(2)當(dāng)△PAB為等邊三角形時，求點H到平面PBC的距離；

(3)若PA=m(m>21),∠PAH=θ，記三棱錐P?ABH的外接球表面積f(θ)，當(dāng)函數(shù)f(θ)取最小值時，平面BPC與平面DPC夾角的大小為

參考答案1..C

2..C

3..C

4..B

5..B

6..B

7..D

8..D

9..AD

10..ACD

11.AD

12..1

13..1314..9π2

15..解：(1)因為3(c?bcosA)=bsinA，

由正弦定理可得3(sinC?sinBcosA)=sinBsinA，

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

可得3sinAcosB=sinBsinA，

又因為sinA>0，

可得tanB=3，

又因為B∈(0,π)，

所以B=π3；

(2)a=3，b=13，

由正弦定理可得asinA=bsinB，

即sinA=ab?sinB=16..(1)證明：取A1B1的中點E，連接EN，EM，

又因為M，N分別是AB，B1C1的中點，

可得ME//AA1，EN//A1C1，

ME?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，

所以ME//平面ACC1A1；

同理可得EN/?/平面ACC1A1，

ME∩EN=E，

所以平面MNE//平面ACC1A1，

而MN?平面MNE，

所以MN//平面ACC1A1；

(2)解：取AA1的中點E，連接EN，EM，A1N，

可得EM//A1B，且ME=12A1B，

所以EM與MN所成的角等于異面直線A1B與MN所成的角，

而∠EMN或其補角為EM與MN所成的角，

因為AB=BC=CC1=2，AC=22，

可得AB⊥BC，

所以17..解：(1)如圖所示，x=1與圓C交于P，Q，過C作CC1垂直于x=1于C1點．

由于C：x2+y2?2ax?2by+a2=0，配方得(x?a)2+(y?b)2=b2則圓心為C(a,b)，半徑r1=b．

O：x2+y2=1，圓心為O(0,0)，半徑r2=1.由于圓C與圓O外切，則|OC|=r1+r2?a2+b2=1+b?a2=1+2b(?)．

圓C被直線x=1分成兩段圓弧，其弧長的比為1：2.則∠QCP=2π3?∠QCC1=π3?∠CQC1=π6，

則|CC1|=12|CQ|?a?1=12b(??)，與(?)聯(lián)立方程，

解得a=3(a>1,b>0).因此b=4，則圓C的方程為：(x?3)218..解：根據(jù)題意，設(shè)∠DAE=α，DE=a，則∠CAE=2α，CE=3a，

由AD2=DE?DC=a?4a=4a2，所以AD=2a，

且ADDE=DCAD，∠ADE=∠CDA，

所以△ADE?△CDA，

所以∠ACD=∠EAD=α，

則∠AED=3α，

在△ADE中，DEsinα=ADsin3α，

即2sinα=sin3α，

所以2sin(2α?α)=sin(2α+α)，

即2sin2αcosα?2cos2αsinα=sin2αcosα+cos2αsinα，

可得2sinαcos2α=3sinαcos2α，

化簡得cos2α=34，

因為0<α<π2，

所以α=π6，

即∠DAE=π6．

(2)(i)證明：根據(jù)(1)，∠DAC=π2，即AC⊥AD，AE⊥CD，

則AE⊥CP，又AE⊥BE，CP∩BE=E，CP，BE?平面PBC，

所以AE⊥平面PBC，BC?平面PBC，則AE⊥BC，

又AC⊥BC，AE∩AC=A，AE，AC?平面PAC，

所以BC⊥平面PAC，PA?平面PAC，則BC⊥AP，

由AC⊥AD，即AC⊥AP，AC∩BC=C，AC，BC?平面ABC，

所以PA⊥平面ABC，PA?平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABC；

(ii)以A為原點，AD，AC，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，C(0,23a,0)，P(0,0,2a)，B(?2a,23a,0)，E(0,32a,32a)，

AP=(0,0,2a)，AB=(?2a,23a,0)，AE=(0,32a,319..解：(1)證明：∵PH⊥平面ABCD，DM?平面ABCD，∴PH⊥DM，AH⊥DM，

∵PH∩AH=H，∴DM⊥平面PAH，

∵PA?平面PAH，∴PA⊥DM．

(2)作HE⊥AB，HF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接PE，PF，

若△PAB為等邊三角形，則E為AB中點，

∵PH⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，則PH⊥BC，

∵PH∩HF=H，∴BC⊥平面PHF，

∵PF?平面PHF，∴BC⊥PF，

對于平面四邊形ABCD，以A為坐標(biāo)原點，AB為x軸，在平面ABCD中，過A作AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,0)，B(3,0)，C(5,23)，D(2,23)，M(4,3)，E(32,0)，

設(shè)H(x,y)，則AH=(x,y)，DM=(2,?3)，

若AH⊥DM，則AH?DM=2x?3y=0，∴y=23x，

∵E為AB中點，∴x=32，則y=3，即H(32,3)，

由B(3,0)，C(5,23)，可知直線BC：y=3(x?3)，且BC=(2,23)，

設(shè)F(a,3(a?3))，則HF=(a?32,3a?43)，

由HF⊥BC，得HF?BC=2a?3+6a?24=0，

解得a=278，即HF=(158,?538)，

則AH=212，HF=534，

∴三棱錐P?HBC的高PH=PA2?AH2=152，

在△PBC中，邊BC的高PF=PH2+HF