2023-2024學(xué)年重慶市南開中學(xué)高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷(含答案)_第1頁
2023-2024學(xué)年重慶市南開中學(xué)高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷(含答案)_第2頁
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文檔簡介

第=page11頁,共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年重慶市南開中學(xué)高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)i1+2i的虛部為(

)A.25 B.25i C.12.直線3x+3y+5=0的傾斜角為A.π6 B.π4 C.2π33.已知向量a與b滿足|a|=2,|b|=3,且a與b的夾角為A.3 B.2 C.2 D.4.如圖,在三棱錐P?ABC中,PM=2MC,N為BC的中點,設(shè)AB=a,AC=b,A.13a+16b?c

5.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足b2=a2+c2?ac,△ABCA.1 B.2 C.3 D.46.廡殿頂是中國古代殿宇建筑屋頂?shù)某R姌邮剑蓓敯粭l正脊、四條垂脊,四個屋頂面.已知南開中學(xué)午晴堂側(cè)樓屋頂為廡殿頂樣式,整個屋頂長20m,寬7.2m,正脊長12.8m,四個屋頂面坡度均為1:2.4,其中坡度是指坡面的垂直高度和水平寬度的比值,則午靜堂側(cè)樓屋頂面積為(

)

A.144m2 B.156m2 C.7.如圖,已知圓臺O1O2,AB為上底面圓O1的一條直徑,且AB=2,CD是下底面圓O2的一條弦,∠CO2D=60°,矩形A.62π

B.510π8.已知△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2AB+AC)⊥BC,BA在BC上的投影向量的模長為A.64 B.35 C.二、多選題:本題共3小題,共9分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.對于平面α,β,γ,α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,若a//b,則b//c

B.對于平面α和直線a,b,若a⊥b,b//α,則a⊥α

C.對于平面α,β和直線a,b,若a⊥b,a//α,b//β,則α⊥β

D.對于平面α,β和直線a,若a⊥β,α⊥β,a?α,則a//α10.已知圓C:x2+y2?mx?ny+1=0,圓心C關(guān)于直線l:y=?x+1對稱點為A(?1,0),M,N為圓C上兩點,且滿足AM?A.m=2,n=4 B.y軸與圓C相切

C.線段MN的中點軌跡為圓 D.|MN?11.如圖,棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中,點P為A1A.平面B1DQ⊥平面ACD1

B.直線PQ與平面CC1D1D所成角為θ,則sinθ的取值范圍是(23,1)

C.設(shè)C1D∩平面BPD1=Q三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知直線l1:(a?2)x+y?3=0和直線l2:x+ay+1=0垂直,則實數(shù)a=______.13.已知△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,D為線段AC的中點,B=π3,|BD|=14.已知三棱錐S?ABC中,AB⊥BC,SC⊥BC,AB=2BC=2,三棱錐S?ABC的體積為23,則當(dāng)SA取最小值時,三棱錐S?ABC外接球的體積為______.四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且3(c?bcosA)=bsinA.

(1)求B;

(2)若a=3,b=13,求16.(本小題15分)

如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1中AB=BC=CC1=2,AC=22,M,N分別是AB,B1C1的中點.

(1)17.(本小題15分)

已知圓C:x2+y2?2ax?2by+a2=0滿足:①a>1,b>0;②與圓O:x2+y2=1外切;③被直線x=1分成兩段圓弧,其弧長的比為1:2.

(1)求圓C的方程;

(2)若直線18.(本小題17分)

已知在平行四邊形ABCD中,E是CD邊上一點,且滿足CE=3ED,∠CAE=2∠DAE,AD2=DE?DC.

(1)求∠DAE的大小;

(2)現(xiàn)以AC為折痕把△ACD折起,使點D到達點P的位置,且AE⊥BE.如圖:

(i)證明:平面PAB⊥平面ABC;

(ii)求平面EAB19.(本小題17分)

如圖,已知四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,且AB=3,AD=4,∠DAB=π3,M為BC的中點,點P在平面ABCD內(nèi)的射影為點H,且AH⊥DM.

(1)求證:PA⊥DM;

(2)當(dāng)△PAB為等邊三角形時,求點H到平面PBC的距離;

(3)若PA=m(m>21),∠PAH=θ,記三棱錐P?ABH的外接球表面積f(θ),當(dāng)函數(shù)f(θ)取最小值時,平面BPC與平面DPC夾角的大小為

參考答案1..C

2..C

3..C

4..B

5..B

6..B

7..D

8..D

9..AD

10..ACD

11.AD

12..1

13..1314..9π2

15..解:(1)因為3(c?bcosA)=bsinA,

由正弦定理可得3(sinC?sinBcosA)=sinBsinA,

在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

可得3sinAcosB=sinBsinA,

又因為sinA>0,

可得tanB=3,

又因為B∈(0,π),

所以B=π3;

(2)a=3,b=13,

由正弦定理可得asinA=bsinB,

即sinA=ab?sinB=16..(1)證明:取A1B1的中點E,連接EN,EM,

又因為M,N分別是AB,B1C1的中點,

可得ME//AA1,EN//A1C1,

ME?平面ACC1A1,AA1?平面ACC1A1,

所以ME//平面ACC1A1;

同理可得EN/?/平面ACC1A1,

ME∩EN=E,

所以平面MNE//平面ACC1A1,

而MN?平面MNE,

所以MN//平面ACC1A1;

(2)解:取AA1的中點E,連接EN,EM,A1N,

可得EM//A1B,且ME=12A1B,

所以EM與MN所成的角等于異面直線A1B與MN所成的角,

而∠EMN或其補角為EM與MN所成的角,

因為AB=BC=CC1=2,AC=22,

可得AB⊥BC,

所以17..解:(1)如圖所示,x=1與圓C交于P,Q,過C作CC1垂直于x=1于C1點.

由于C:x2+y2?2ax?2by+a2=0,配方得(x?a)2+(y?b)2=b2則圓心為C(a,b),半徑r1=b.

O:x2+y2=1,圓心為O(0,0),半徑r2=1.由于圓C與圓O外切,則|OC|=r1+r2?a2+b2=1+b?a2=1+2b(?).

圓C被直線x=1分成兩段圓弧,其弧長的比為1:2.則∠QCP=2π3?∠QCC1=π3?∠CQC1=π6,

則|CC1|=12|CQ|?a?1=12b(??),與(?)聯(lián)立方程,

解得a=3(a>1,b>0).因此b=4,則圓C的方程為:(x?3)218..解:根據(jù)題意,設(shè)∠DAE=α,DE=a,則∠CAE=2α,CE=3a,

由AD2=DE?DC=a?4a=4a2,所以AD=2a,

且ADDE=DCAD,∠ADE=∠CDA,

所以△ADE?△CDA,

所以∠ACD=∠EAD=α,

則∠AED=3α,

在△ADE中,DEsinα=ADsin3α,

即2sinα=sin3α,

所以2sin(2α?α)=sin(2α+α),

即2sin2αcosα?2cos2αsinα=sin2αcosα+cos2αsinα,

可得2sinαcos2α=3sinαcos2α,

化簡得cos2α=34,

因為0<α<π2,

所以α=π6,

即∠DAE=π6.

(2)(i)證明:根據(jù)(1),∠DAC=π2,即AC⊥AD,AE⊥CD,

則AE⊥CP,又AE⊥BE,CP∩BE=E,CP,BE?平面PBC,

所以AE⊥平面PBC,BC?平面PBC,則AE⊥BC,

又AC⊥BC,AE∩AC=A,AE,AC?平面PAC,

所以BC⊥平面PAC,PA?平面PAC,則BC⊥AP,

由AC⊥AD,即AC⊥AP,AC∩BC=C,AC,BC?平面ABC,

所以PA⊥平面ABC,PA?平面PAB,

所以平面PAB⊥平面ABC;

(ii)以A為原點,AD,AC,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),C(0,23a,0),P(0,0,2a),B(?2a,23a,0),E(0,32a,32a),

AP=(0,0,2a),AB=(?2a,23a,0),AE=(0,32a,319..解:(1)證明:∵PH⊥平面ABCD,DM?平面ABCD,∴PH⊥DM,AH⊥DM,

∵PH∩AH=H,∴DM⊥平面PAH,

∵PA?平面PAH,∴PA⊥DM.

(2)作HE⊥AB,HF⊥BC,垂足分別為E,F(xiàn),連接PE,PF,

若△PAB為等邊三角形,則E為AB中點,

∵PH⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,則PH⊥BC,

∵PH∩HF=H,∴BC⊥平面PHF,

∵PF?平面PHF,∴BC⊥PF,

對于平面四邊形ABCD,以A為坐標(biāo)原點,AB為x軸,在平面ABCD中,過A作AB的垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,

則A(0,0),B(3,0),C(5,23),D(2,23),M(4,3),E(32,0),

設(shè)H(x,y),則AH=(x,y),DM=(2,?3),

若AH⊥DM,則AH?DM=2x?3y=0,∴y=23x,

∵E為AB中點,∴x=32,則y=3,即H(32,3),

由B(3,0),C(5,23),可知直線BC:y=3(x?3),且BC=(2,23),

設(shè)F(a,3(a?3)),則HF=(a?32,3a?43),

由HF⊥BC,得HF?BC=2a?3+6a?24=0,

解得a=278,即HF=(158,?538),

則AH=212,HF=534,

∴三棱錐P?HBC的高PH=PA2?AH2=152,

在△PBC中,邊BC的高PF=PH2+HF

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