高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層設(shè)計(jì)（全國I卷）學(xué)案第一層練悟篇　第5講　數(shù)學(xué)文化

第5講數(shù)學(xué)文化立體幾何中的數(shù)學(xué)文化[題組練透]1．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析：選B米堆的體積為eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8×4,2π)))2×5＝eq\f(320,3π)(立方尺)，從而這堆米約有eq\f(320,3×3×1.62)≈22(斛)．故選B.2．(2019·浙江高考)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A．158 B．162C．182 D．324解析：選B如圖，該柱體是一個(gè)五棱柱，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個(gè)直角梯形組合而成，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3.則底面面積S＝eq\f(2＋6,2)×3＋eq\f(4＋6,2)×3＝27，因此，該柱體的體積V＝27×6＝162.故選B.3．《九章算術(shù)》中對一些特殊的幾何體有特定的稱謂，例如，將底面為直角三角形的直三棱柱稱為塹堵．將一塹堵沿其一頂點(diǎn)與相對的棱所在平面切開，得到一個(gè)陽馬(底面是長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐)和一個(gè)鱉臑(四個(gè)面均為直角三角形的四面體)．在如圖所示的塹堵ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝5，AB＝3，BC＝4，則陽馬C1-ABB1AA．25π B．50πC．100π D．200π解析：選B由題意得陽馬C1-ABB1A1的外接球即為塹堵ABC-A1B1C1的外接球，球心在正方形ACC1A1的中心，所以外接球的半徑R＝eq\f(5\r(2),2)，表面積為4πR2＝50π.故選B.4．(2019·全國卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體．其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.解析：由題知挖去的四棱錐的底面是一個(gè)菱形，對角線長分別為6cm和4cm，故V挖去的四棱錐＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)．又V長方體＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的體積為V長方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．答案：118.85．(2019·全國卷Ⅱ)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖①)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖②是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長為________．解析：先求面數(shù)有如下兩種方法．eq\a\vs4\al(法一：)由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分有9個(gè)面，共有2×9＋8＝26(個(gè))面．eq\a\vs4\al(法二：)一般地，對于凸多面體頂點(diǎn)數(shù)(V)＋面數(shù)(F)－棱數(shù)(E)＝2.(歐拉公式)由題圖知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24.故由V＋F－E＝2，得面數(shù)F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱長．作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長為x，則正八邊形的邊長即為棱長．連接AF，過H，G分別作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分別為M，N，則AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f(\r(2),2)x.又AM＋MN＋NF＝1，即eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1.解得x＝eq\r(2)－1，即半正多面體的棱長為eq\r(2)－1.答案：26eq\r(2)－1[題后悟通]立體幾何中的數(shù)學(xué)文化題一般以我國古代發(fā)現(xiàn)的球的體積公式、圓柱的體積公式、圓錐的體積公式、圓臺(tái)的體積公式和“牟合方蓋”“陽馬”“鱉臑”“塹堵”“芻薨”等中國古代幾何名詞為背景考查空間幾何體的三視圖、幾何體的體積與表面積等.數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化[題組練透]1．大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…A．220 B．200C．180 D．162解析：選B由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為a2n＝2n2(n∈N*)．則此數(shù)列的第20項(xiàng)為2×102＝200.故選B.2．《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗．苗主責(zé)之粟五斗．羊主曰：“我羊食半馬”．馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何．其意思是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟．羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例償還，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個(gè)問題中，牛主人比羊主人多賠償()A.eq\f(50,7)斗粟 B．eq\f(10,7)斗粟C.eq\f(15,7)斗粟 D．eq\f(20,7)斗粟解析：選C法一：設(shè)羊、馬、牛主人賠償?shù)乃诘亩窋?shù)分別為a1，a1，a3，則這3個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，公比q＝2，所以a1＋2a1＋4a1＝5，解得a1＝eq\f(5,7)，故a3＝eq\f(20,7)，a3－a1＝eq\f(20,7)－eq\f(5,7)＝eq\f(15,7).故選C.法二：羊、馬、牛主人賠償?shù)谋壤?∶2∶4，故牛主人應(yīng)賠償5×eq\f(4,7)＝eq\f(20,7)(斗)，羊主人應(yīng)賠償5×eq\f(1,7)＝eq\f(5,7)(斗)，故牛主人比羊主人多賠償了eq\f(20,7)－eq\f(5,7)＝eq\f(15,7)(斗)．故選C.3．“斐波那契”數(shù)列是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)的．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱為神奇數(shù)．具體數(shù)列為：1,1,2,3,5,8,13，…，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)開始，每個(gè)數(shù)字都等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列{an}為“斐波那契”數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a2021＝m，則S2019＝()A．2m B．eq\f(2m－1,2)C．m＋1 D．m－1解析：選D因?yàn)閍n＋2＝an＋an＋1＝an＋an－1＋an＝an＋an－1＋an－2＋an－1＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－2＝…＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋…＋a2＋a1＋a2＝Sn＋1，所以S2019＝a2021－1＝m－1.故選D.[題后悟通]1．?dāng)?shù)列中的數(shù)學(xué)文化題一般以古代數(shù)學(xué)名著中的數(shù)列問題為背景，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及遞推關(guān)系．2．解決這類問題的關(guān)鍵是將古代實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)代數(shù)學(xué)問題，掌握等比(差)數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.算法中的數(shù)學(xué)文化[題組練透]1．公元三世紀(jì)中期，數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并因此創(chuàng)立了割圓術(shù)．利用割圓術(shù)，劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”．如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖，則輸出的n為(參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)()A．12 B．24C．36 D．48解析：選B按照程序框圖執(zhí)行，n＝6，S＝3sin60°＝eq\f(3\r(3),2)，不滿足條件S≥3.10，執(zhí)行循環(huán)；n＝12，S＝6sin30°＝3，不滿足條件S≥3.10，執(zhí)行循環(huán)；n＝24，S＝12sin15°≈12×0.2588＝3.1056，滿足條件S≥3.10，跳出循環(huán)，輸出n的值為24.故選B.2．1927年德國漢堡大學(xué)的學(xué)生考拉茲提出一個(gè)猜想：對于任意一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，對它乘3再加1，如果它是偶數(shù)，對它除以2，這樣循環(huán)，最終結(jié)果都能得到1.該猜想看上去很簡單，但有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為“該猜想任何程度的解決都是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步，將開辟全新的領(lǐng)域”．至于如此簡單明了的一個(gè)命題為什么能夠開辟一個(gè)全新的領(lǐng)域，這大概與其蘊(yùn)含的“奇偶?xì)w一”思想有關(guān)．如圖是根據(jù)考拉茲猜想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，則①處應(yīng)填寫的條件及輸出的結(jié)果i分別為()A．a(chǎn)是偶數(shù)？6 B．a(chǎn)是偶數(shù)？8C．a(chǎn)是奇數(shù)？5 D．a(chǎn)是奇數(shù)？7解析：選D由已知可得，①處應(yīng)填寫“a是奇數(shù)？”．a(chǎn)＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5；a＝2，i＝6；a＝1，i＝7，退出循環(huán)，輸出的i＝7.故選D.[題后悟通]輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)、秦九韶算法、進(jìn)位制和割圓術(shù)都是課本上出現(xiàn)的算法案例．其中，更相減損術(shù)和秦九韶算法是中國古代的優(yōu)秀算法，課本上的進(jìn)位制案例原本不滲透中國古代數(shù)學(xué)文化，但命題人巧妙地將烽火戍邊的故事作為背景，強(qiáng)化了試題的“文化育人”功能.概率中的數(shù)學(xué)文化[題組練透]1．(2019·全國卷Ⅲ)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8解析：選Ceq\a\vs4\al(法一：)設(shè)調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為x，則x＋80－60＝90，解得x＝70，所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為eq\f(70,100)＝0.7.故選C.eq\a\vs4\al(法二：)用Venn圖表示調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數(shù)之間的關(guān)系如圖：易知調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70，所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為eq\f(70,100)＝0.7.故選C.2．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是()A.eq\f(π,15) B．eq\f(2π,5)C.eq\f(2π,15) D．eq\f(4π,15)解析：選C因?yàn)樵撝苯侨切蝺芍苯沁呴L分別為5步和12步，所以其斜邊長為13步，設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為r，則eq\f(1,2)×5×12＝eq\f(1,2)(5＋12＋13)r，解得r＝2.由幾何概型的概率公式，得此點(diǎn)取自內(nèi)切圓內(nèi)的概率P＝eq\f(4π,\f(1,2)×5×12)＝eq\f(2π,15).故選C.3．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場比賽，田忌獲勝的概率是()A.eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)解析：選A從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹馬進(jìn)行一場比賽，對陣情況如下表：齊王的馬上上上中中中下下下田忌的馬上中下上中下上中下雙方馬的對陣中，有3種對抗情況田忌能贏，所以田忌獲勝的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).故選A.4．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位．現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步；正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田．若在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹，求該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為()A.eq\f(2,15) B．eq\f(2,5)C.eq\f(4,15) D．eq\f(1,5)解析：選B由題意可得邪田的面積S＝eq\f(1,2)×(10＋20)×10＝150，圭田的面積S1＝eq\f(1,2)×8×5＝20，則所求的概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(20,150)＝eq\f(2,15).故選B.5.太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，它形象化地表達(dá)了陰陽輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬物生成變化根源的哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的形式美．按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓O被函數(shù)y＝3sineq\f(π,6)x的圖象分割為兩個(gè)對稱的魚形圖案，如圖所示，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)從大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()A．eq\f(1,36) B．eq\f(1,18)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,9)解析：選B函數(shù)y＝3sineq\f(π,6)x的圖象與x軸相交于點(diǎn)(6,0)和點(diǎn)(－6,0)，則大圓的半徑為6，面積為36π，而小圓的半徑為1，兩個(gè)小圓的面積和為2π，所以所求的概率是eq\f(2π,36π)＝eq\f(1,18).故選B.[題后悟通]概率中的數(shù)學(xué)文化題一般以優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為背景，考查古典概型和幾何概型．解決此類問題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題背景中概括出相關(guān)的概率模型求解.函數(shù)中的數(shù)學(xué)文化題[題組練透]1.中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．定義：圖象能夠?qū)AO的周長和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，給出下列命題：①對于任意一個(gè)圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個(gè)；②函數(shù)f(x)＝ln(x2＋eq\r(x2＋1))可以是某個(gè)圓的“太極函數(shù)”；③正弦函數(shù)y＝sinx可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”；④函數(shù)y＝f(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y＝f(x)的圖象是中心對稱圖形．其中正確的命題為()A．①③ B．①③④C．②③ D．①④解析：選A過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分，故對于任意一個(gè)圓O，其“太極函數(shù)”有無數(shù)個(gè)，故①正確；函數(shù)f(x)＝ln(x2＋eq\r(x2＋1))的圖象如圖所示，故其不可能為圓的“太極函數(shù)”，故②錯(cuò)誤；將圓的圓心放在正弦函數(shù)y＝sinx圖象的對稱中心上，則正弦函數(shù)y＝sinx是該圓的“太極函數(shù)”，從而正弦函數(shù)y＝sinx可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“太極函數(shù)”，故③正確；函數(shù)y＝f(x)的圖象是中心對稱圖形，則y＝f(x)是“太極函數(shù)”，但函數(shù)