高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練新人教A版必修4

2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【基礎(chǔ)練習(xí)】1．已知i，j分別是方向與x軸正方向、y軸正方向相同的單位向量，O為原點(diǎn)，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(x∈R)，則A位于()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】∵x2＋x＋1＞0，－(x2－x＋1)＜0，∴點(diǎn)A位于第四象限．故選D．2．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a且Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))，又λ＝eq\f(1,2)，則λa等于()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，－1)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，1)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－3))【答案】A【解析】a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－2))，λa＝eq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，－1)).故選A．3．(2018年北京期末)若向量a＝(0，－1)，b＝(3,2)，則向量2a＋b的坐標(biāo)是()A．(3,1) B．(5,0)C．(3,4) D．(3,0)【答案】D【解析】根據(jù)題意，向量a＝(0，－1)，b＝(3,2)，則2a＝(0，－2)，2a＋b＝(3,0)．故選D．4．(2019年云南模擬)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(0,2)，若向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(3，－2) B．(2，－2)C．(－3，－2) D．(－3,2)【答案】D【解析】由A(－1,1)，B(0,2)，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,2)－(－1,1)＝(1,1)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．故選D．5．(2018年安徽黃山一模)已知平面上三點(diǎn)A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，則eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))的坐標(biāo)是________．【答案】(－3,6)【解析】根據(jù)題意，A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－10,14)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－8,4)，則eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－5,7)，eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2,1)，則eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－3,6)．6．(2019年河南模擬)在平行四邊形ABCD中，已知A(1,2)，B(－2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－3)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________．【答案】(6,1)【解析】設(shè)D(x，y)，由A(1,2)，B(－2,0)，可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)．由平行四邊形ABCD，可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，即(2，－3)＝(－3，－2)＋(x－1，y－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝－3＋x－1，,－3＝－2＋y－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝1，))則D(6,1)．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．已知點(diǎn)D在線段BC上且eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，求線段AD的長(zhǎng)度．【解析】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，由eq\o(BD,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝3(－2－x，－1－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝－6－3x，,y－3＝－3－3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1,0)．又點(diǎn)A(－1，－2)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝(0,2)，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，即線段AD的長(zhǎng)度為2.8．若平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－1,3)，B(3,4)，C(2,2)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)．可得(4,1)＝(2－x,2－y)，解得x＝－2，y＝1.故頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2,1)．【能力提升】9．已知向量a，b滿足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，則a，b的坐標(biāo)分別為()A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)【答案】C【解析】∵a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，∴2a＝(1,3)＋(3，－3)＝(4,0)，2b＝(1,3)－(3，－3)＝(－2,6)．∴a＝(2,0)，b＝(－1,3)．10．(2019年廣東梅州月考)已知點(diǎn)O為原點(diǎn)，A(－1,3)，B(2，－4)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))，若點(diǎn)P在y軸上，則實(shí)數(shù)m＝()A．0 B．1C．－1 D．－2【答案】B【解析】eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＝2(－1,3)＋m(2，－4)＝(2m－2，－4m＋6)，則P(2m－2，－4m＋6)．若點(diǎn)P在y軸上，則2m－2＝0，解得m＝1.故選B．11．已知平面內(nèi)三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，則滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m＝________，n＝________.【答案】eq\f(5,9)eq\f(8,9)【解析】∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝－m＋4n，,2＝2m＋n，))解得m＝eq\f(5,9)，n＝eq\f(8,9).12．已知向量u＝(x，y)與向量ν＝(y,2y－x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用ν＝f(u)表示．(1)設(shè)a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐標(biāo)；(2)求使f(c)＝(p，q)(p，q為常數(shù))的向量c的坐標(biāo)；(3)求證：對(duì)于任意向量a，b及常數(shù)m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．【解析】(1)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(2)設(shè)c＝(x，y)，則f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)．∴y＝p,2y－x＝q.∴x＝2p－q.∴向量c＝(2p－q，p