初升高數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）第12講 冪函數(shù)（教師版）

第12講冪函數(shù)1．理解冪函數(shù)的概念；2．會畫冪函數(shù)，，，，的圖象，結(jié)合這幾個冪函數(shù)的圖象，理解冪函數(shù)圖象的變化規(guī)律和性質(zhì)；3．能解決與冪函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題。一、冪函數(shù)的概念1、冪函數(shù)的概念：把形如函數(shù)y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．2、冪函數(shù)需要滿足三個條件：（1）系數(shù)為1；（2）指數(shù)α為常數(shù)；（3）后面不加任何項。例如，，等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．二、冪函數(shù)的圖象同一坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x1三、冪函數(shù)的性質(zhì)1、所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；2、如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；3、如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)x從原點趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；4、在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．四、畫冪函數(shù)圖象的技巧（類比具體冪函數(shù)）1、當(dāng)時，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸沒有交點，類似于的圖象；2、當(dāng)時，函數(shù)的圖象向軸彎曲，類似于的圖象；3、當(dāng)時，函數(shù)的圖象向軸彎曲，類似于的圖象。再結(jié)合函數(shù)的奇偶性就容易知道它們的圖象了。考點一：判斷是否為冪函數(shù)例1．下列函數(shù)為冪函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由冪函數(shù)的定義可知：是冪函數(shù)，，和的系數(shù)不為1，故不是冪函數(shù)，故選：D【變式訓(xùn)練】現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】冪函數(shù)滿足形式，故，滿足條件，共2個故選：B考點二：根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)例2．已知冪函數(shù)f(x)＝x(α為常數(shù))的圖象經(jīng)過點，則f(9)＝（）A．B．C．3D．【答案】C【解析】由題意f（2）＝2α＝，所以α＝，所以f(x)＝，所以f(9)＝＝3.故選：C【變式訓(xùn)練】冪函數(shù)在第一象限內(nèi)是減函數(shù)，則（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】由冪函數(shù)的定義可知，解得，由冪函數(shù)的單調(diào)性可知，所以．故選:D．考點三：冪函數(shù)的定義域問題例3．函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，則，可得，故函數(shù)的定義域為.故選：D.【變式訓(xùn)練】給出5個冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中定義域為的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】C【解析】①的定義域為，不符合.②的定義域為，符合.③的定義域為，不符合.④的定義域為，符合.⑤的定義域為，不符合.所以符合的是②④.故選：C考點四：冪函數(shù)的圖象判斷與應(yīng)用例4．如圖，下列3個冪函數(shù)的圖象，則其圖象對應(yīng)的函數(shù)可能是（）A．①，②，③B．①，②，③C．①，②，③D．①，②，③【答案】A【解析】由函數(shù)是反比例函數(shù)，其對應(yīng)圖象為①；函數(shù)的定義域為，應(yīng)為圖②；因為的定義域為且為奇函數(shù)，故應(yīng)為圖③.故選：A.【變式訓(xùn)練】如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)在第一象限的圖象，已知取，四個值，則相應(yīng)于，，，的依次為（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】B【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象:當(dāng)時，越大，遞增速度越快，故的，的；當(dāng)時，越大，曲線越陡峭，所以曲線的，曲線的.故選:B考點五：冪函數(shù)圖象過定點例5．當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒過定點A，則點A的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】由于對任意的，恒經(jīng)過點，所以函數(shù)的圖象恒過定點,故答案為：【變式訓(xùn)練】不論實數(shù)取何值，函數(shù)恒過的定點坐標(biāo)是___________．【答案】【解析】因為，故當(dāng)，即時，，即函數(shù)恒過定點.故答案為：.考點六：冪函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性例6．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于在為單調(diào)遞減函數(shù)，在時無意義，A錯誤；在為單調(diào)遞增函數(shù)，B正確；定義域為，在無意義，C錯誤；在為單調(diào)遞減函數(shù)，D錯誤，故選：B【變式訓(xùn)練1】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則在定義域內(nèi)（）A．單調(diào)遞增B．單調(diào)遞減C．有最大值D．有最小值【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，即，則函數(shù)的定義域為，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，沒有最大值和最小值.故選：B.【變式訓(xùn)練2】已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則的值為_________．【答案】【解析】由已知得，解得或，當(dāng)時，，其圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)時，，其圖象關(guān)于原點對稱.故答案為：考點七：利用冪函數(shù)單調(diào)性解不等式例7．已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.【答案】【解析】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且是遞減函數(shù)，因為，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【變式訓(xùn)練】若冪函數(shù)過點，則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，其圖像過點，則，解得；∴，函數(shù)定義域為，在上單調(diào)遞增，不等式等價于，解得；則實數(shù)的取值范圍是.故答案為：考點八：冪函數(shù)的綜合應(yīng)用例8．已知冪函數(shù)，且滿足：①在區(qū)間上是增函數(shù)；②對任意的，都有.（1）求同時滿足①②的冪函數(shù)的解析式，（2）在（1）條件下，求時的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）對任意的，都有，∴是奇函數(shù).且，則當(dāng)時，，滿足①不滿足②；當(dāng)時，，滿足①②；當(dāng)時，，不滿足①②.故冪函數(shù)的解析式為；（2），，故的值域為.【變式訓(xùn)練】已知冪函數(shù)(Z)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是單調(diào)遞減函數(shù)．（1）求的值；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為冪函數(shù)(Z)的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)是偶函數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，因為函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，解得，因為Z，則，，，當(dāng)時，為偶數(shù)，舍去；當(dāng)時，為奇數(shù)，當(dāng)時，為偶數(shù)，舍去；故；（2）由（1）可得，定義域為，且在上是單調(diào)遞減函數(shù)，為偶函數(shù)，又，即，且，解得且，所以不等式的解集為．1．下列函數(shù)，既是冪函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義：形如的函數(shù)是冪函數(shù)，排除A；的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以是非奇非偶的函數(shù)，所以排除B;是偶函數(shù)，所以排除C；，既是冪函數(shù)，又是奇函數(shù)，所以選D.故選：D.2．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則該冪函數(shù)的大致圖象是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，因為該冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，即，解得，即函數(shù)，也即，則函數(shù)的定義域為，所以排除選項CD；又，函數(shù)單調(diào)遞減，故排除B，故選：A.3．冪函數(shù)的圖象過點，則下列說法正確的是（）A．偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間B．偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間C．偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間D．奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)為，則，解得，所以，定義域為，關(guān)于原點對稱，又，故為偶函數(shù)；顯然其單調(diào)增區(qū)間為.故選：C.4．冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，所以由圖像得：，故選：D5．（多選）下列關(guān)于函數(shù)的描述中，正確的是（）A．是冪函數(shù)B．是指數(shù)函數(shù)C．是對數(shù)函數(shù)D．不是二次函數(shù)【答案】ACD【解析】因為，所以是冪函數(shù);因為，所以不是指數(shù)函數(shù);因為，所以是對數(shù)函數(shù);不是二次函數(shù)．故選：ACD.6．（多選）下列函數(shù)為冪函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得結(jié)果.故選：BD.7．（多選）下列關(guān)于冪函數(shù)說法正確的是（）A．圖像必過點B．可能是非奇非偶函數(shù)C．都是單調(diào)函數(shù)D．圖像不會位于第四象限【答案】ABD【解析】冪函數(shù)的解析式為，當(dāng)時，無論取何值，都有，圖像必過點，A選項正確；當(dāng)時，，定義域為，此函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，定義域為，此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以可能是非奇非偶函數(shù)，B選項正確；當(dāng)時，，此函數(shù)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，則都是單調(diào)函數(shù)不成立，C選項錯誤；當(dāng)時，無論取何值，都有，所以圖像不會位于第四象限，D選項正確；故選：ABD.8．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為________．【答案】/【解析】設(shè)冪函數(shù)，的圖象過點，即，解得，所以.所以（4）.故答案為：.9．已知函數(shù)（為不等于0的常數(shù)）的圖象恒過定點P，則P點的坐標(biāo)為_______.【答案】【解析】因為的圖象恒過，所以的圖象恒過定點.故答案為：10．已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)值是______.【答案】【解析】因為冪函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，解得.故答案為：11．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點，若，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】因為冪函數(shù)的圖像過點，所以，，易知函數(shù)在上是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，所以可化為，即，解得，故取值范圍為.故答案為：12．已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過四點中的兩點，且在上為減函數(shù)．（1）求的解析式；（2）若，求實數(shù)a的值．【答案】（1）；（2）實數(shù)a的值為4或．【解析】（1）解法一：設(shè)，易知冪函數(shù)的圖像必過點，當(dāng)冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點時，，所以，在上為增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點時，，所以，在上為減函數(shù)，符合題意；當(dāng)冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點時，，所以，在上為增函數(shù)，不符合題意：故；解法二：設(shè)，易知冪函數(shù)的圖像必過點，因為在上為減函數(shù)，所以在的圖像上，所以，所以，故；（2）易知的定義域為，且為偶函數(shù)，由可得，，解法一：兩邊平方整理得，，解之得或．故實數(shù)a的值為4或．解法二：或，解之得或．故實數(shù)a的值為4或．13．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞增.（1）求m和n的值；（2）求滿足不等式的a的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】（1）∵是冪函數(shù)，∴，解得m=3.由在上單調(diào)遞增得，解得.∵，∴或.當(dāng)時，函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，符合題意.當(dāng)時，函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，不合題意.綜上，，.（2）由（1）得，，∴.∵函數(shù)在和上均單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，.∴滿足不等式的條件為或或，解得或，∴滿足不等式的的取值范圍.1．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】A選項中，，故它是冪函數(shù)．B選項是冪函數(shù)．C選項的系數(shù)為3，所以它不是冪函數(shù)．D選項是冪函數(shù)．2．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】形如（為常數(shù)且）為冪函數(shù)，所以，函數(shù)為冪函數(shù)，函數(shù)、、均不是冪函數(shù).故選：C.3．若冪函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，則的圖象（）A．關(guān)于原點對稱B．關(guān)于x軸對稱C．關(guān)于y軸對稱D．不具有對稱性【答案】A【解析】∵冪函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，∴，且，解得.∴是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱.故選：A4．在下列冪函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上是嚴格增函數(shù)的是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，在上是嚴格減函數(shù)，A錯，函數(shù)不是偶函數(shù)，在上是嚴格減函數(shù)，B錯，函數(shù)是奇函數(shù)，在上是嚴格增函數(shù)，C錯，函數(shù)是偶函數(shù)，在上是嚴格增函數(shù)，D對，故選：D.5．已知冪函數(shù)的圖象過點，則下列關(guān)于說法正確的是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．在單調(diào)遞減D．定義域為【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)，由題意得：，故，定義域為，故D錯誤；定義域不關(guān)于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)，A，B錯誤；由于，故在單調(diào)遞減，C正確，故選：C6．函數(shù)的圖像可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意知，函數(shù)，則滿足，解得，故函數(shù)的定義域為，又，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，可得選項C符合題意．故選：C7．如圖是冪函數(shù)的部分圖像，已知分別取這四個值，則與曲線相應(yīng)的依次為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)時，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以相應(yīng)曲線的依次為.故選：A8．已知冪函數(shù)的圖像過點，則=______.【答案】4【解析】設(shè)冪函數(shù)，故，解得：，則，則.故答案為：49．若函數(shù)是冪函數(shù)，則當(dāng)時的函數(shù)值為______．【答案】2