2025屆新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)01數(shù)列教師版

重難點(diǎn)01數(shù)列新高考中考查數(shù)列難度不大，但解答題中作為了必考內(nèi)容，一般是解答題的前兩題，會(huì)考察開放式的題型。學(xué)問點(diǎn)考查比較簡(jiǎn)潔，也是新高考中務(wù)必拿分題目，對(duì)于大部分人來(lái)說(shuō)，數(shù)列這一學(xué)問點(diǎn)是不容失分的。本專題是通過對(duì)高考中常見高考題型對(duì)應(yīng)學(xué)問點(diǎn)的探討而總結(jié)出來(lái)的一些題目，通過本專題的學(xué)習(xí)補(bǔ)充鞏固，讓你對(duì)高考中數(shù)列題目更加?jì)故?，做高考?shù)列題目更加得心應(yīng)手。1、通項(xiàng)公式的求法1）累加法（疊加法）若數(shù)列滿意，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。2）累乘法（疊乘法）：若數(shù)列滿意，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。3）由數(shù)列的前n項(xiàng)和與的關(guān)系求通項(xiàng)公式若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則不論數(shù)列是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，都有，可利用公式求通項(xiàng)。4）構(gòu)造新數(shù)列對(duì)于的形式，主要是利用的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；對(duì)于，主要采納的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算；對(duì)于一般采納轉(zhuǎn)化成的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算。2、數(shù)列求和問題1、常見裂項(xiàng)求和公式：，，eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)．；2、錯(cuò)位相減求和問題（1）要擅長(zhǎng)識(shí)別題目類型，特殊是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；（2）在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特殊留意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步精確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．（3）在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種狀況求解．3、分組求和問題，分為三種，一種是肯定值分組求和問題，另外一種是兩種不同數(shù)列的分組求和問題，還有一種是分奇偶項(xiàng)求和。熱點(diǎn)1：由遞推式求通項(xiàng)公式；熱點(diǎn)2：數(shù)列求和；熱點(diǎn)3：數(shù)列中的新定義與最值（范圍）問題；A卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·四川·內(nèi)江市教化科學(xué)探討所一模）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A．B．是等差數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．【答案】C【分析】當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；推理得到，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，化為所以?shù)列是等比數(shù)列.所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；,所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C2．（2024·黑龍江·勃利縣高級(jí)中學(xué)高三期中）“垛積術(shù)”是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等．某倉(cāng)庫(kù)中部分貨物堆放成如圖所示的“茭草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最終一層是n件．已知第一層貨物單價(jià)1萬(wàn)元，從其次層起，貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的．若這堆貨物總價(jià)是萬(wàn)元，則n的值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】先依次求出各層貨物總價(jià)，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得第一層貨物總價(jià)為1萬(wàn)元，其次層貨物總價(jià)為萬(wàn)元，第三層貨物總價(jià)為萬(wàn)元，，第層貨物總價(jià)為萬(wàn)元.設(shè)這堆貨物總價(jià)為萬(wàn)元，則，兩式相減，得，即，則，令，得.故選：B.3．（2024·江西高安·模擬預(yù)料）已知等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，有最小值，若，則使成立的的最大值為（）A．17 B．16 C．15 D．14【答案】C【分析】依題意可得，，再依據(jù)，即可得到，，且，再依據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為有最小值,所以，，所以，因?yàn)?，所以，，且，所以，，所以?dāng)時(shí)，所以使成立的的最大值為；故選：C4．（2024·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)料）高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).已知數(shù)列滿意，且，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A．4950 B．4953 C．4956 D．4959【答案】C【分析】由題利用累加法可得，進(jìn)而可得，分類探討的取值，即求.【詳解】由，可得，依據(jù)累加法可得所以，故，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此.故選：C.5．（2024·江蘇徐州·高三期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列是等差數(shù)列，則非零實(shí)數(shù)的值是（）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】依據(jù)求出通項(xiàng)公式，利用可求出，求出，依據(jù)等差數(shù)列的特點(diǎn)可得.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，，則，解得，則，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則通項(xiàng)公式不能出現(xiàn)次方項(xiàng)，所以，解得.故選：C.6．（2024·遼寧試驗(yàn)中學(xué)高三期中）數(shù)列中，，，使對(duì)隨意的（）恒成立的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出各項(xiàng)，找數(shù)列的規(guī)律，推斷到哪一項(xiàng)是等于，即可得答案.【詳解】由已知可得，數(shù)列：，可得規(guī)律為；；；此時(shí)將原數(shù)列分為三個(gè)等差數(shù)列：，；，；;因?yàn)?，所以滿意對(duì)隨意的恒成立的最大值為．故選：B.7．（2024·山東泰安·高三期中）若數(shù)列滿意，，則（）A．2 B． C．-1 D．-2【答案】C【分析】由題意得數(shù)列是周期為3的數(shù)列，即可得解.【詳解】由，代入可得，同理可得.由，得，從而有，即，從而有，所以數(shù)列的周期為3，所以.故選：C.8．（2024·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)料）數(shù)列滿意，，且其前項(xiàng)和為.若，則正整數(shù)（）A．99 B．103 C．107 D．198【答案】B【分析】依據(jù)遞推公式，構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列，求出數(shù)列通項(xiàng)，再并項(xiàng)求和，將用表示，再結(jié)合通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由得，∴為等比數(shù)列，∴，∴，，∴，①為奇數(shù)時(shí)，，；②為偶數(shù)時(shí)，，，∵，只能為奇數(shù)，∴為偶數(shù)時(shí)，無(wú)解，綜上所述，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式求通項(xiàng)，合理應(yīng)用條件構(gòu)造數(shù)列時(shí)解題的關(guān)鍵，考查并項(xiàng)求和，考查分類探討思想，屬于較難題.二、多選題9．（2024·河北邯鄲·高三期末）Look—and—say數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一種數(shù)列，它的名字就是它的推導(dǎo)方式：給定第一項(xiàng)之后，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的發(fā)音，例如第一項(xiàng)為3，其次項(xiàng)是讀前一個(gè)數(shù)“1個(gè)3”，記作13，第三項(xiàng)是讀前一個(gè)數(shù)“1個(gè)1，1個(gè)3”，記作1113，按此方法，第四項(xiàng)為3113，第五項(xiàng)為132113，….若Look—and—say數(shù)列第一項(xiàng)為11，依次取每一項(xiàng)的最右端兩個(gè)數(shù)組成新數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列的第四項(xiàng)為111221B．?dāng)?shù)列中每項(xiàng)個(gè)位上的數(shù)字不都是1C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列前10項(xiàng)的和為160【答案】AD【分析】A.列舉前四項(xiàng)可得答案；B.依據(jù)數(shù)列中最終讀的數(shù)字是1可得答案；C.列舉前四項(xiàng)可得答案；D.列舉可得數(shù)列中數(shù)的規(guī)律，進(jìn)而可求和.【詳解】，，，，A正確；數(shù)列中最終讀的數(shù)字總是1，故數(shù)列中每項(xiàng)個(gè)位上的數(shù)字都是1，B錯(cuò)誤；數(shù)列：11，21，11，21，…，不是等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；通過列舉發(fā)覺數(shù)列的第一，三，五，七，九項(xiàng)都為11，其次，四，六，八，十項(xiàng)為21，故前10項(xiàng)的和為，D正確．故選：AD．10．（2024·山東·泰安一中模擬預(yù)料）我國(guó)古代聞名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：“今有良馬和駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，良馬初日行一百九十三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，九日后二馬相逢.”其大意為今有良馬和駑馬從長(zhǎng)安動(dòng)身到齊國(guó)，良馬第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；駑馬第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良馬先到齊國(guó)，再返回迎接駑馬，9天后兩馬相遇.下列結(jié)論正確的是（）A．長(zhǎng)安與齊國(guó)兩地相距1530里B．3天后，兩馬之間的距離為里C．良馬從第6天起先返回迎接駑馬D．8天后，兩馬之間的距離為里【答案】AB【分析】A,設(shè)良馬第天行走的路程里數(shù)為，駑馬第天行走的路程里數(shù)為，求出良馬和駑馬各自走的路程即得A正確；B，計(jì)算得到3天后，兩馬之間的距離為里，即可推斷B正確；C,計(jì)算得到良馬前6天共行走了里里，故C不正確；D，計(jì)算得到8天后，兩馬之間的距離為390里，故D不正確.【詳解】解：設(shè)良馬第天行走的路程里數(shù)為，駑馬第天行走的路程里數(shù)為，則.良馬這9天共行走了里路程，駑馬這9天共行走了里路程，故長(zhǎng)安與齊國(guó)兩地相距里，A正確.3天后，良馬共行走了里路程，駑馬共行走了里路程，故它們之間的距離為328.5里，B正確.良馬前6天共行走了里里，故良馬行走6天還末到達(dá)齊國(guó)，C不正確.良馬前7天共行走了里里，則良馬從第7天起先返回迎接駑馬，故8天后，兩馬之間的距離即兩馬第9天行走的距離之和，由，知8天后，兩馬之間的距離為390里，故D不正確.故選：AB11．（2024·遼寧·大連市第一中學(xué)高三期中）如圖的形態(tài)出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，其次層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則（）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】依據(jù)已知條件求得，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意可知，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，A正確.，，C正確.，.D選項(xiàng)正確.故選：ACD12．（2024·江蘇如皋·高三期中）視察如下數(shù)陣：該數(shù)陣特點(diǎn)：在第行每相鄰兩數(shù)之間都插入它們的和得到第行的數(shù)，.設(shè)第行數(shù)的個(gè)數(shù)為，第行的全部數(shù)之和為，則（）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】由條件可得，即可推斷A，然后求出可推斷D，由，，，，可推斷B、C.【詳解】第行個(gè)數(shù)為，第行個(gè)數(shù)為，∴，A對(duì)；，，，，，則B對(duì)C錯(cuò)；，∴，∴，∴是2為公比的等比數(shù)列，∴，∴，∴，D對(duì)，故選：ABD三、填空題13．（2024·江蘇·海門中學(xué)高三期中）已知數(shù)列滿意，則_________．【答案】50【分析】依據(jù)所給遞推關(guān)系，可得，兩式相減可得即相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和為2，即可求解.【詳解】?jī)墒较鄿p得則，故答案為：5014．（2024·福建·泉州鯉城北大培文學(xué)校高三期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________.【答案】【分析】項(xiàng)和轉(zhuǎn)換可得，可得數(shù)列從其次項(xiàng)起先是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分段表示即得解【詳解】由題意，故兩式相減可得：，在中，令，可得，即因此數(shù)列從其次項(xiàng)起先是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列有故答案為：15．（2024·河北·衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期中）在正項(xiàng)數(shù)列中，，且，令，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和___________．【答案】【分析】利用關(guān)系式的變換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【詳解】正項(xiàng)數(shù)列中，，整理得：，則，即，∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列．由于，則，即，∴，∴，∴，則．故答案為：﹒16．（2024·湖北·華中師大一附中高三期中）習(xí)近平同志提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要主動(dòng)培育本土人才，激勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．2024年1月8日，人力資源和社會(huì)保障部、財(cái)政部、農(nóng)業(yè)農(nóng)村部印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步推動(dòng)返鄉(xiāng)入鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)工作的看法》.看法指出，要實(shí)行黨中心、國(guó)務(wù)院的決策部署，進(jìn)一步推動(dòng)返鄉(xiāng)入鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)新帶動(dòng)創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè)，促進(jìn)農(nóng)村一、二、三產(chǎn)業(yè)融合發(fā)展，實(shí)現(xiàn)更充分、更高質(zhì)量就業(yè).為激勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，某鎮(zhèn)政府確定投入“創(chuàng)業(yè)資金”和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.預(yù)料該鎮(zhèn)政府每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金”構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位：萬(wàn)元），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金（萬(wàn)元）的3倍，已知．則該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為______萬(wàn)元）【答案】100【分析】依據(jù)題意，得到五年累計(jì)總投入資金的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意知，五年累計(jì)總投入資金為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為100萬(wàn)元.17．（2024·遼寧·育明中學(xué)高三期中）已知遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意（），則首項(xiàng)的取值范圍為__________．【答案】【分析】依據(jù)前項(xiàng)和的公式得到遞推公式，進(jìn)而化簡(jiǎn)整理得到，從而得列是偶數(shù)項(xiàng)以4為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)從起奇數(shù)項(xiàng)也是以4為公差的等差數(shù)列，從而知需滿意，然后將用表示后，解不等式組即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，即，又，故，所以數(shù)列是偶數(shù)項(xiàng)以4為公差的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)從起奇數(shù)項(xiàng)也是以4為公差的等差數(shù)列，若數(shù)列單調(diào)遞增，所以需滿意，又，所以，解得，故的取值范圍為.四、解答題18．（2024·江蘇·南京市中華中學(xué)高三期中）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，，且、、成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，為的前項(xiàng)的和，為數(shù)列的前項(xiàng)的和，且，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出等比數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用等比數(shù)列的求和公式求出、，進(jìn)而可求得的值.（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由已知可得，即，即，則，解得，因此，.（2）解：由（1）可知，則，，則，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，因此，.19．（2024·遼寧·高三期中）已知等差數(shù)列{an}滿意：S6=21，S7=28，其中是數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）令bn=，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）將條件用首項(xiàng)，公差表示，計(jì)算即可.（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.（1）數(shù)列為等差數(shù)列，依題意S6=21，S7=28，所以，所以d=1，所以（2）20．（2024·江蘇·南京師大附中高三期中）設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S2＝4，a32＝3a4．（1）求an和Sn；（2）設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1），；（2）Tn＝1－【分析】（1）依據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式列出方程求解即可；（2）由（1）寫出，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.（1）設(shè){an}的公比為q，則，而，所以解得，而，所以，則；（2）bn＝＝＝＝2(－)，∴Tn＝2(－＋－＋…＋－)＝2(－)＝1－．21．（2024·江蘇海安·高三期中）已知數(shù)列滿意a1＝1，an＋1＝.（1）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，寫出b1，b2，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；①bn＝a2n－1＋3；②bn＝a2n＋1－a2n－1．（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn．【答案】（1）所選條件見解析，；；（2）.【分析】（1）分為奇數(shù)和為偶數(shù)進(jìn)行探討，分別構(gòu)造數(shù)列即可求出結(jié)果.（2）分為奇數(shù)和為偶數(shù)進(jìn)行探討，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式以及分組求和即可求出結(jié)果.（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，且，則，即，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，且，，則，即，若選①，則，則；若選②，則，則，（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.22．（2024·陜西安康·高三期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若，，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減求得，得到數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由，得到，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減法，即可得數(shù)列的前n項(xiàng)和.（3）由，得到，令，結(jié)合的單調(diào)性，求得的最大值，即可求解.（1）解：由題意，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減得，即，所以，令，可得，解得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由，可得，則，可得，兩式相減得，所以.即數(shù)列的前n項(xiàng)和.（3）解：由，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，即有，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以，故的最小值為.B卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1．（2024·陜西臨渭·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=（）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)時(shí)，求出，當(dāng)時(shí)，利用可得是等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則.故選：A2．（2024·上海虹口·一模）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，假如，則（）A．且B．且C．且D．且【答案】B【分析】由可得，，結(jié)合前項(xiàng)和公式，推斷，的符合可得正確選項(xiàng).【詳解】∵，∴，，∵數(shù)列為等差數(shù)列，∴，，∴，，故選：B.3．（2024·江蘇鹽城·高三期中）已知數(shù)列滿意，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】變換得到，得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，計(jì)算得到答案.【詳解】，，易知，故，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，，故.故選：C.4．（2024·四川·高三期中）數(shù)列滿意對(duì)隨意，恒成立，且為常數(shù)，若是的前項(xiàng)和，且，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)已知條件得到，，從而得到，，再依據(jù)求解即可.【詳解】數(shù)列滿意對(duì)隨意，恒成立，所以，即，，解得.所以.故選：C5．（2024·山東·棗莊市第三中學(xué)高三期中）構(gòu)造數(shù)組，規(guī)則如下：第一組是兩個(gè)1，即，其次組是，第三組是，…，在每一組的相鄰兩個(gè)數(shù)之間插入這兩個(gè)數(shù)的和得到下一組．設(shè)第n組中有個(gè)數(shù)，且這個(gè)數(shù)的和為．則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】視察和的數(shù)組中的數(shù)的差異，它們之間的聯(lián)系，得出的遞推關(guān)系式，構(gòu)造出等比數(shù)列求得通項(xiàng)公式，從而易得．【詳解】設(shè)中數(shù)組是，即，則的數(shù)組是，比的數(shù)組中多了這些數(shù)：，這些數(shù)相加．除只出現(xiàn)1次外，均出現(xiàn)2次，而，所以，因此，又，，所以是等比數(shù)列，公比為3，，所以．從而，故選：D．6．（2024·山東煙臺(tái)·高三期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)值剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”依據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所以被除余的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列，全部被除余的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列，把和的公共項(xiàng)從小到大得到數(shù)列，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題意數(shù)列、都是等差數(shù)列，從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行推斷可得答案.【詳解】依據(jù)題意數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為5的等差數(shù)列，，數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大得到數(shù)列，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為15的等差數(shù)列，.對(duì)于A，，，，錯(cuò)誤對(duì)于B，，，，正確.對(duì)于C，，，，，錯(cuò)誤.對(duì)于D，，，，，錯(cuò)誤.故選：B.7．（2024·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是其前和，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】依據(jù)分類探討確定的表達(dá)式，再依據(jù)恒成立問題的解法即可求出．【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式變形得，，因?yàn)?，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式變形得，，因?yàn)?，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，若為偶數(shù)，則不等式變形得，，即，若該不等式恒成立，則，即，所以設(shè)，，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)該不等式不行能恒成立；當(dāng)時(shí)，，若該不等式恒成立，只需，解得（舍去）或，綜上，；若為奇數(shù)，不等式變形得，，滿意題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．8．（2024·浙江省杭州其次中學(xué)高三期中）已知數(shù)列滿意（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且對(duì)隨意的都存在，使得成立，則數(shù)列的首項(xiàng)須滿意（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先推斷數(shù)列的單調(diào)性，再依據(jù)選項(xiàng)作取舍.【詳解】設(shè)，令，得到.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.即.要使對(duì)隨意的都存在，使得成立，明顯時(shí)，，肯定能滿意題意；當(dāng)時(shí)，，如圖此時(shí)不滿意題意；當(dāng)時(shí)，，如圖此時(shí)滿意題意；綜上，.故選：C二、多選題9．（2024·福建·三明一中高三期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（）A．若點(diǎn)在函數(shù)為常數(shù)的圖象上，則為等差數(shù)列B．若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列C．若為等差數(shù)列，，，則當(dāng)時(shí)，最大D．若，則為等比數(shù)列【答案】AB【分析】結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的學(xué)問對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】A，依題意，所以為等差數(shù)列，A正確.B，依題意，，所以為等比數(shù)列，B正確.C，，所以或，最大，C錯(cuò)誤.D，，所以不是等比數(shù)列.故選：AB10．（2024·福建省泉州第一中學(xué)高三期中）已知數(shù)列滿意，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和.若對(duì)隨意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABCD【分析】由和與通項(xiàng)的關(guān)系先求出，進(jìn)而求出，，再用裂項(xiàng)相消求出即可獲解.【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由題意得，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，也滿意，所以故故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：ABCD.11．（2024·湖北·高三期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則B．若，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為49C．若，則的最大值為25D．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則當(dāng)時(shí)，的最大值為2024【答案】CD【分析】由與的關(guān)系求出，可推斷A；由題意求出數(shù)列的前10項(xiàng)可推斷B；由等差數(shù)列的和結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可推斷C；由等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式可推斷D【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，檢驗(yàn)時(shí)，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，則，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由可知數(shù)列是等差數(shù)列，則，易知時(shí)，的最大值為25，故C正確；對(duì)于D：由數(shù)列為等差數(shù)列，且，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為2024，故D正確；故選：CD12．（2024·遼寧丹東·高三期中）參與工作年的小郭，因工作須要向銀行貸款萬(wàn)元購(gòu)買一臺(tái)小汽車，與銀行約定：這萬(wàn)元銀行貸款分年還清，貸款的年利率為，每年還款數(shù)為萬(wàn)元，則（）A． B．小郭第年還款的現(xiàn)值為萬(wàn)元C．小郭選擇的還款方式為“等額本金還款法” D．小郭選擇的還款方式為“等額本息還款法”【答案】BD【分析】因?yàn)樾」磕赀€款錢數(shù)相等，所以小郭選擇為“等額本息還款法”，所以利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，再設(shè)小郭第3年還款的現(xiàn)值為，依據(jù)復(fù)利規(guī)則求出．【詳解】解：小郭與銀行約定，每年還一次欠款，并且每年還款的錢數(shù)都相等，小郭靖選擇的還款方式為“等額本息還款法”，故D正確，C錯(cuò)誤，設(shè)每年應(yīng)還元，還款10次，則該人10年還款的現(xiàn)金與利息和為，銀行貸款元10年后的本利和為．，，即，故A錯(cuò)誤．設(shè)小郭第三年還款的現(xiàn)值為，則，所以，故B正確；故選：BD三、填空題13．（2024·黑龍江·勃利縣高級(jí)中學(xué)高三期中）各項(xiàng)均為正數(shù)且公比q＞1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1a5＝4，a2+a4＝5，則的最小值為_____．【答案】8【分析】先依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出首項(xiàng)、公比，然后將結(jié)論表示出來(lái)，最終利用換元法結(jié)合基本不等式求最小值，留意取最小值時(shí)等號(hào)要成立．【詳解】解：由題意：a1a5＝a2a4＝4，又由a2+a4＝5，又公比q＞1，∴a2＝1，a4＝4，故，故q＝2，．∴，．∴，令t＝2n﹣1∈{1，2，22，23，……}，則原式，當(dāng)且僅當(dāng)t＝＝2，即n＝2時(shí)取等號(hào)．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，考查用基本不等式求最值，求最值時(shí)要留意等號(hào)成立的條件．14．（2024·海南·三模）已知數(shù)列滿意，若對(duì)于隨意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【分析】由，得，所以，通過解不等式，即可得到本題答案.【詳解】由，整理得，等式兩邊同時(shí)除以得，所以為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為-5，公差為1，所以，所以，所以，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與不等式恒成立問題的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的實(shí)力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想.15．（2024·湖北省團(tuán)風(fēng)中學(xué)模擬預(yù)料）將個(gè)數(shù)排成行列的一個(gè)數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）．已知，，記這個(gè)數(shù)的和為．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的是______．（填寫全部正確答案的序號(hào)）【答案】①③④【分析】依據(jù)第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，從而求出通項(xiàng)，進(jìn)而可得，再依據(jù)分組求和法，每一行求和可得S，由此可以推斷各命題的真假．【詳解】∵，，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），①正確；∴，③正確；當(dāng)時(shí)，，②不正確；∴，，④正確；故答案為:①③④.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法干脆求和；（2）對(duì)于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和；（3）對(duì)于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對(duì)于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.16．（2024·廣東順德·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列，，，且，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為______．【答案】150【分析】由題目條件可以得到，進(jìn)而得到，由此得出是常數(shù)數(shù)列，最終求出答案.【詳解】依據(jù)題意，所以，即是常數(shù)數(shù)列，而，所以的前100項(xiàng)的和為：.故答案為：150.17．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)料）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意，那么___________.【答案】【分析】利用與關(guān)系可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可求得，由此可得，采納裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，；數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，，.故答案為：.18．（2024·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬預(yù)料）假如數(shù)列滿意，且，則這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)等于___________.【答案】【分析】由，化簡(jiǎn)得，則為等差數(shù)列，結(jié)合已知條件得．【詳解】由，化簡(jiǎn)得，且，，得，所以是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于利用已知遞推關(guān)系構(gòu)造等差數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式．四、解答題19．（2024·福建·模擬預(yù)料）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿意．（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）記，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）依據(jù)，整理后，依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列（2）先對(duì)進(jìn)行放縮，然后利用分母有理化進(jìn)行裂項(xiàng)后求和.（1）解：由題意得：等式兩邊同乘，得整理得，由，得，即是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列∴，；（2），∴，，∴，綜上可證：．20．（2024·上海嘉定·一模）某公司2024年投資4千萬(wàn)元用于新產(chǎn)品的研發(fā)與生產(chǎn)，安排從2024年起，在今后的若干年內(nèi)，每年接著投資1千萬(wàn)元用于新產(chǎn)品的維護(hù)與生產(chǎn)，2024年新產(chǎn)品帶來(lái)的收入為0.5千萬(wàn)元，并預(yù)料在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里新產(chǎn)品帶來(lái)的收入均在上年度收入的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)25%.記2024年為第1年，為第1年至此后第年的累計(jì)利潤(rùn)（注：含第年，累計(jì)利潤(rùn)=累計(jì)收入-累計(jì)投入，單位：千萬(wàn)元），且當(dāng)為正值時(shí)，認(rèn)為新產(chǎn)品贏利.（1）試求的表達(dá)式；（2）依據(jù)預(yù)料，該新產(chǎn)品將從哪一年起先并持續(xù)贏利?請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）該新產(chǎn)品將從2029年起先并持續(xù)贏利，理由見解析【分析】（1）由題意求出累計(jì)投入，可推斷出每年的收入為等比數(shù)列，依據(jù)等比數(shù)列求和公式求解出累計(jì)收入，從而表示出；（2）由（1）可得，依據(jù)的正負(fù)推斷出從第4項(xiàng)起先單調(diào)遞增，再推斷的正負(fù)，從而推斷出該新產(chǎn)品將從第9年起先并持續(xù)贏利.（1）由題意知，第1年至此后第年的累計(jì)投入為（千萬(wàn)元）.設(shè)第年的收入為，前年的累計(jì)收入為，由題意得，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的一個(gè)等比數(shù)列，則有（千萬(wàn)元），（千萬(wàn)元），所以，即（千萬(wàn)元）