高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)二輪用書數(shù)學(xué)(新高考)3.排列、組合與二項(xiàng)式定理

3.排列、組合與二項(xiàng)式定理1.(2023北京,5)2x-1x5的展開式中x的系數(shù)為A.-80 B.-40 C.40 D.802.(2023新高考Ⅱ,3)某學(xué)校為了了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果有()A.C40045·C200C.C40030·C2003.(多選題)(2023江蘇南京二模)在x-2x6A.常數(shù)項(xiàng)為160B.含x2項(xiàng)的系數(shù)為60C.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為15D.所有項(xiàng)的系數(shù)和為14.(2023全國甲,理9)現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動,在某一星期的星期六、星期日兩天,每天從這5人中安排2人參加公益活動,則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有()A.120種 B.60種 C.30種 D.20種5.(2022北京,8)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0+a2+a4=()A.40 B.41 C.-40 D.-416.(2023福建廈門模擬)甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動技能比賽,決出第1名到第5名的名次,甲和乙去詢問成績,回答者對甲說:“很遺憾,你沒有得到冠軍”,對乙說:“你不是最后一名”,從這兩個回答分析,5人名次的不同排列情況共有()A.72種 B.78種 C.96種 D.102種7.(2023廣東茂名二模)(x+a)(x-1)6的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為64,則含x4項(xiàng)的系數(shù)為()A.-28 B.28 C.-35 D.358.(2023廣東惠州一模)已知2x+1xn(n∈N*)的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,現(xiàn)從展開式中任取2項(xiàng),A.27 B.37 C.149.(2023江蘇海安高級中學(xué)模擬)若(2x+1)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,則2(a1+a3+…+a99)-3被8除的余數(shù)為()A.4 B.5 C.6 D.710.(2023河北邯鄲三模)如圖,在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,則此數(shù)列的前30項(xiàng)的和為()A.680 B.679 C.816 D.81511.(2023廣東廣州模擬)任何一個大于1的自然數(shù)N(N不為素?cái)?shù))能唯一地寫成N=p1a1·p2a2·…·pkak(其中pi是素?cái)?shù),ai是正整數(shù),1≤i≤k,p1<p2<…<pk),將上式稱為自然數(shù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式,且N的標(biāo)準(zhǔn)分解式中有(a1+a2+…+ak)個素?cái)?shù)A.6 B.13 C.19 D.6012.(2023河北衡水二中模擬)若C183n+6=C1813.(2022新高考Ⅰ,13)1-yx(x+y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為.(14.(2023新高考Ⅰ,13)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種.(用數(shù)字作答)

15.(2023浙江溫州三模)xlog43+log316.(2023山東濟(jì)南二模)已知abc表示一個三位數(shù),如果滿足a>b且c>b,那么我們稱該三位數(shù)為“凹數(shù)”,則沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”共個.(用數(shù)字作答)

17.(2023湖南長郡中學(xué)一模)已知a>0,若(x+a)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且a5=126,則a=.

18.(2023山東菏澤模擬)(x+3x+2)4的展開式中,含x的項(xiàng)的系數(shù)為.

19.(2023陜西寶雞模擬)某班舉行了以“禮贊二十大、奮進(jìn)新征程”為主題的聯(lián)歡晩會,原定的5個學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又臨時(shí)增加了兩個教師節(jié)目,如果將這兩個教師節(jié)目插入到原節(jié)目單中,那么不同的插法的種數(shù)為.

20.(2023山東青島三模)若13x+xn展開式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

3.排列、組合與二項(xiàng)式定理1.D解析2x-1x5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5r(2x)5-r·-1xr=(-1)r25-rC5rx5-2r.令5-2r=1,得r=2,所以2x-1x52.D解析由題意,初中部和高中部總共有400+200=600(人),按照分層隨機(jī)抽樣的原理,應(yīng)從初中部抽取400600×60=40(人),從高中部抽取200600×60=20(人第一步,從初中部抽取40人,有C40040種方法,第二步,從高中部抽取20人,有C根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,一共有C40040C200203.BD解析x-2x6展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6rx6-r-2xr=C6r(-2)rx6-2r.令6-2r=0,得r=3,令6-2r=2,得r=2,則含x2項(xiàng)的系數(shù)為C62×(-2)2=60,故B展開式第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C63=20,故C取x=1得到所有項(xiàng)的系數(shù)和為1-216=1,故選BD.4.B解析方法一:先在5名志愿者中安排1名在這兩天都參加公益活動,有5種安排方法.再在星期六、星期日,每天從剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者參加公益活動,有4×3=12種安排方法.由乘法原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有5×12=60種.方法二:在5名志愿者中安排2名在星期六參加公益活動,有C52=10種安排方法.再從星期六參加公益活動的2名志愿者中安排1名及從剩下的3名志愿者中安排1名在星期日參加公益活動,有2×3=6種.由乘法原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有10×6=60方法三:從5名志愿者中,在星期六、星期日兩天各安排2名參加公益活動,有C52×C52=100種安排方法,星期六、星期日兩天的志愿者全不相同的安排方法有C52×C32=30種,全相同的安排方法有C52=10種,所以恰有5.B解析令x=1,可得1=a4+a3+a2+a1+a0;令x=-1,可得(-3)4=a4-a3+a2-a1+a0,兩式相加可得a4+a2+a0=34+12=41,6.B解析由題意可得,甲不是冠軍,乙不是最后一名.因?yàn)?人名次的不同排列共有A55種,其中甲是冠軍的排列方法有A44種,乙是最后一名的排列方法有A44種,甲是冠軍且乙是最后一名的排列方法有A33種7.C解析設(shè)(x+a)(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則令x=1,可得a0+a1+…+a7=(a+1)×0=0,①令x=-1,可得a0-a1+a2+…-a7=(a-1)×26=64(a-1),②①-②整理得a1+a3+a5+a7=0-64(a-1)2=32(1-a)=64,解得a=-1,所以(x+a)(x-所以含x4的項(xiàng)為C73x4(-1)3=-35x4,其系數(shù)為-8.A解析因?yàn)檎归_式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以展開式共有7項(xiàng),故n=6.展開式的通項(xiàng)Tr+1=C6r(2x)6-r1xr=C6r26-rx6-32r,當(dāng)r是偶數(shù)時(shí),該項(xiàng)為有理項(xiàng),故r=9.B解析在已知等式中,取x=1,得a0+a1+a2+…+a100=3100,取x=-1,得a0-a1+a2-…+a100=1,兩式相減得2(a1+a3+a5+…+a99)=3100-1,即2(a1+a3+a5+…+a99)-3=3100-4.因?yàn)?100-4=950-4=(8+1)50-4=C500×850+C501×849+…+C50r×850-r+…+C5049×8+C5050-4=C500×850+C501×849+…+C50r×850-r+…+C5049×8-3=C500×850+C501×849因?yàn)镃500×850+C501×849+…+C50r×850-r+…+C5049×8-8能被8整除,所以C500×850+C501×849+…+C50r×850-r即2(a1+a3+a5+…+a99)-3被8整除的余數(shù)為5.10.D解析根據(jù)“楊輝三角”,得1+2+3+3+6+4+10+5+…=C22+故此數(shù)列的前30項(xiàng)和為S30=C22+C21+C32+C31+C42+C41+C52+C51+…+C162+C161=(C22+C21)+(C32+C31)+11.C解析根據(jù)N的標(biāo)準(zhǔn)分解式可得360=23×32×5,故從2,2,2,3,3,5這6個素?cái)?shù)中任取3個組成三位數(shù),情況如下:①選取3個2,可以組成1個三位數(shù);②選取2個2后,再從3或5中選一個,可以組成C21×C③選取1個2后,再選2個3,可以組成C31×C④選取2,3,5,可以組成A33=6⑤選取3,3,5,可以組成C31=3所以從360的標(biāo)準(zhǔn)分解式中任取3個素?cái)?shù),一共可以組成1+6+3+6+3=19個不同的三位數(shù).12.36解析由組合數(shù)的性質(zhì)可得3n+6≤18,4n-2≤18,解得n≤4.又因?yàn)镃183n+6=C184n-2,所以3n+6=4n-2或3n+613.-28解析∵原式=(x+y)8-yx(x+y)8,∴展開式中含有x2y6的項(xiàng)為C86x2y6-yxC85x3y5=(C86-C85)x2y6=-28x14.64解析(方法一直接法)若選2門課,只需體育類和藝術(shù)類各選1門,有C41×若選3門課,分兩類.體育類選1門、藝術(shù)類選2門,體育類選2門、藝術(shù)類選1門,有C41×C42+C4(方法二間接法)由題意可知,從8門課中選擇2門或者3門共有C82+C83=84種不同的選課方案,只選擇體育類或藝術(shù)類的有2(C42+C43)15.32解析xlog43+log32x4展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C4r(xlog43)4-rlog32xr=(log43)4-r·(log32)rC4rx4-2r,r∈N,r≤4.令4-2r=0,所以xlog416.240解析a,b,c為取自0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的不同的三個數(shù)字,最小的數(shù)字放置在中間,余下兩個數(shù)字可排百位或個位,故共有“凹數(shù)”的個數(shù)為2×C103=2×120=17.2解析因?yàn)?x+a)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,所以令(x+a)9=[(x+1)+a-1]9,則展開式通項(xiàng)為Tr+1=C9r(x+1)9-r(a-1)r,a5是展開式第5項(xiàng)的系數(shù),則r=4,故a5=C94(a-1)4=126,解得a=0或a=2.又a>0,故實(shí)數(shù)18.248解析(x+3x+2)4的展開式中,含x的項(xiàng)有以下兩類:第一類:4個因式中有1個取到x,其余3個都取到2,即C41x·23=32第二類:4個因式中有2個取到3x,其余2個都取到2,即C42(3x)2·22=2