中考數(shù)學(xué)必考特色題型講練(河南專用)【填空題】必考重點(diǎn)09相似三角形的判定與性質(zhì)(原卷版+解析)

【填空題】必考重點(diǎn)09相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)一直是江蘇省各地市考查的重點(diǎn)，難度中等或較難，常作為壓軸題考查。在解相似三角形的判定與性質(zhì)的有關(guān)題目時(shí)，首先要求考生掌握證明三角形相似的條件和方法，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)角平分線、中線、高的比等于相似比，相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。其次要能夠運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，列出方程，求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度或者探索各線段之間的數(shù)量關(guān)系?！?022·江蘇蘇州·中考母題】如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，分別以A，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，過M，N兩點(diǎn)作直線，與BC交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長(zhǎng)為______．【考點(diǎn)分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線分線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【思路分析】根據(jù)作圖可得，且平分，設(shè)與的交點(diǎn)為，證明四邊形為菱形，根據(jù)平行線分線段成比例可得為的中線，然后勾股定理求得，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【2022·江蘇常州·中考母題】如圖，在中，，，．在中，，，．用一條始終繃直的彈性染色線連接，從起始位置（點(diǎn)與點(diǎn)重合）平移至終止位置（點(diǎn)與點(diǎn)重合），且斜邊始終在線段上，則的外部被染色的區(qū)域面積是______．【考點(diǎn)分析】本題考查了直角三角形，相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求梯形的面積．【思路分析】過點(diǎn)作的垂線交于，同時(shí)在圖上標(biāo)出如圖，需要知道的是的被染色的區(qū)域面積是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四邊形的判定及性質(zhì)，求出相應(yīng)邊長(zhǎng)，即可求解．【2022·江蘇宿遷·中考母題】如圖，在矩形中，=6，=8，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形頂點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為．在這一運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是_____．【考點(diǎn)分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及弧長(zhǎng)等知識(shí)，判斷出點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．【思路分析】根據(jù)題意知EF在運(yùn)動(dòng)中始終與MN交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)H在以BQ為直徑的上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，求出BQ及的圓角，運(yùn)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果．【2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考母題】如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，若＝，則＝__．【考點(diǎn)分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．【思路分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比求出，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．1．（2022·江蘇淮安·一模）如圖，在正方形ABCD中，，點(diǎn)H在AD上，且，點(diǎn)E繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，且，在AE的上方作正方形AEFG，則線段FH的最小值是______．2．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖，在中，，，，則________．3．（2022·江蘇泰州·二模）定義：如果三角形中有兩個(gè)角的差為90°，則稱這個(gè)三角形為互融三角形，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=5，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若△ABD是“互融三角形”，則CD的長(zhǎng)為________．4．（2022·江蘇泰州·二模）如圖1，在中，，，D為AB的中點(diǎn)，P為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖像，且最低點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是，則AB＝______．5．（2022·江蘇淮安·一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD和四邊形CGFE的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則兩個(gè)四邊形重疊部分（陰影部分）的面積為__________．6．（2022·江蘇泰州·一模）如圖，直線l與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，AC是圓O的弦，OC∥AB，半徑OC的長(zhǎng)為10，弦AB的長(zhǎng)為12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△APC是直角三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為_____秒．7．（2022·江蘇南京·一模）如圖，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，則四邊形的面積為______．8．（2022·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，AC與BE交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，若，則的值為______．9．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AF平分∠BAC，交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若BE＝BF＝2，則AD＝_____．10．（2022·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，在正方形中，，連接、交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，若，則__________．11．（2022·江蘇無(wú)錫·一模）如圖，在ΔABC中放置5個(gè)大小相等的正方形，若BC=12，則每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為____．12．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖，在矩形中，，．①以點(diǎn)為圓心，以不大于長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線分別交，于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，則長(zhǎng)為______．13．（2022·江蘇泰州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)（不包括三條邊），點(diǎn)F、G分別在AC、AB邊上，且EF⊥AC，EG⊥AB，垂足分別為F、G．點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，連接ED，若EF＜EG，則ED長(zhǎng)的取值范圍是_________．14．（2022·江蘇常州·二模）如圖，正六邊形中，G是邊上的點(diǎn)，，連接，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得交于點(diǎn)H，則線段的長(zhǎng)為__________．15．（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，在銳角三角形ABC中，，，于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，連接MN，則△AMN面積的最大值是______．16．（2022·江蘇南通·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，E為AD的中點(diǎn)，P為CE上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．17．（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）定義：等腰三角形底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（）．例如，在中，，頂角A的正對(duì)．當(dāng)時(shí)，______________．（結(jié)果保留根號(hào)）18．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，若，則___________．19．（2022·江蘇無(wú)錫·一模）如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，，過點(diǎn)作任意一直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，連接、、、，則線段長(zhǎng)度的最大值為________．20．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，在中，為斜邊的中線，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接，點(diǎn)G在線段上，連接，且．下列結(jié)論：①；②四邊形是平行四邊形；③；④．其中正確結(jié)論的是______．（填序號(hào)）21．（2022·江蘇連云港·一模）如圖，以為直徑的半圓內(nèi)有一條弦，是弦上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交半圓于點(diǎn)．若，，則的最大值是________．22．（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)梅苑雙語(yǔ)學(xué)校一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，BF，CE交于點(diǎn)M，若三角形BEM的面積為1，則四邊形AEMF的面積為________．23．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，E是BC的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)F，連接CF．若AE⊥BD，則CF的長(zhǎng)為_____．24．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，，，在邊上運(yùn)動(dòng)，、在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，且，連接、，則的最小值為______．25．（2022·江蘇·連云港市新海初級(jí)中學(xué)一模）如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點(diǎn)E在邊BC上，且BE∶EC=2∶1，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，過點(diǎn)E作EF⊥PE交矩形ABCD的邊于F，若線段EF的中點(diǎn)為M，則點(diǎn)P從C運(yùn)動(dòng)到D的過程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為_______．【填空題】必考重點(diǎn)09相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)一直是江蘇省各地市考查的重點(diǎn)，難度中等或較難，常作為壓軸題考查。在解相似三角形的判定與性質(zhì)的有關(guān)題目時(shí)，首先要求考生掌握證明三角形相似的條件和方法，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)角平分線、中線、高的比等于相似比，相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。其次要能夠運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，列出方程，求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度或者探索各線段之間的數(shù)量關(guān)系?！?022·江蘇蘇州·中考母題】如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，分別以A，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，過M，N兩點(diǎn)作直線，與BC交于點(diǎn)E，與AD交于點(diǎn)F，連接AE，CF，則四邊形AECF的周長(zhǎng)為______．【考點(diǎn)分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線分線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)與判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【思路分析】根據(jù)作圖可得，且平分，設(shè)與的交點(diǎn)為，證明四邊形為菱形，根據(jù)平行線分線段成比例可得為的中線，然后勾股定理求得，根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【答案】10【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，根據(jù)作圖可得，且平分，，四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，四邊形是平行四邊形，垂直平分，，四邊形是菱形，，，，，為的中點(diǎn)，中，，，，，四邊形AECF的周長(zhǎng)為．故答案為：．【2022·江蘇常州·中考母題】如圖，在中，，，．在中，，，．用一條始終繃直的彈性染色線連接，從起始位置（點(diǎn)與點(diǎn)重合）平移至終止位置（點(diǎn)與點(diǎn)重合），且斜邊始終在線段上，則的外部被染色的區(qū)域面積是______．【考點(diǎn)分析】本題考查了直角三角形，相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求梯形的面積．【思路分析】過點(diǎn)作的垂線交于，同時(shí)在圖上標(biāo)出如圖，需要知道的是的被染色的區(qū)域面積是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四邊形的判定及性質(zhì)，求出相應(yīng)邊長(zhǎng)，即可求解．【答案】21【詳解】解：過點(diǎn)作的垂線交于，同時(shí)在圖上標(biāo)出如下圖：，，，，在中，，，．，，，四邊形為平行四邊形，，，解得：，

，，，

，，，同理可證：，

，，，的外部被染色的區(qū)域面積為，故答案為：21．【2022·江蘇宿遷·中考母題】如圖，在矩形中，=6，=8，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形頂點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為．在這一運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是_____．【考點(diǎn)分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及弧長(zhǎng)等知識(shí)，判斷出點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．【思路分析】根據(jù)題意知EF在運(yùn)動(dòng)中始終與MN交于點(diǎn)Q，且點(diǎn)H在以BQ為直徑的上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為的長(zhǎng)，求出BQ及的圓角，運(yùn)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果．【答案】【詳解】解：∵點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接MN，則四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=6，AM=BN=AD==4，根據(jù)題意知EF在運(yùn)動(dòng)中始終與MN交于點(diǎn)Q，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∴∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，則NF=，∴BF=BN+NF=4+2=6，∴AB=BF=6∴是等腰直角三角形，∴∵BP⊥AF，∴由題意得，點(diǎn)H在以BQ為直徑的上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為長(zhǎng)，取BQ中點(diǎn)O，連接PO，NO，∴∠PON=90°，又∴，∴，∴的長(zhǎng)為=故答案為：【2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考母題】如圖，點(diǎn)D，E分別在△ABC的邊AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，若＝，則＝__．【考點(diǎn)分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．【思路分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比求出，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．【答案】【詳解】解：∵M(jìn)，N分別是DE，BC的中點(diǎn)，∴AM、AN分別為△ADE、△ABC的中線，∵△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝()2＝，故答案為：．1．（2022·江蘇淮安·一模）如圖，在正方形ABCD中，，點(diǎn)H在AD上，且，點(diǎn)E繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，且，在AE的上方作正方形AEFG，則線段FH的最小值是______．【答案】【思路分析】連接CA、AF、CH，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得△BAE∽△CAF，從而得到，進(jìn)而得到點(diǎn)F在以A為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則有當(dāng)A、C、F三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)H最小，求出CH，即可求解．【詳解】解：連接CA、AF、CH，在正方形ABCD和AEFG中，∠BCA=∠ECF=45°，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，AD=AB=CD=8，∴，∠BAE=∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴，∵，∴，∴點(diǎn)F在以A為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A、C、F三點(diǎn)共線時(shí)，F(xiàn)H最小，∴，∵AH=2，∴DH=6，在Rt△CDH中，CD=8，DH=6，∴CH=10，∴FH=．故答案為：2．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖，在中，，，，則________．【答案】【思路分析】由題意易得△CAB是等腰三角形，且△CAB∽△ABD，由相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于AD的方程，解方程即可．【詳解】∵AB=AD，，∴．∵AD=CD，∴，∴∠CAB=∠BAD+∠CAD=72°=∠ABD．∴BC=AC=2CA．∵∠ABD=∠ADB=∠CAB=∠ABD=72°，∴△CAB∽△ABD．∴即．∵AB=AD，，∴．解得：或（舍去）．∴．故答案為：．3．（2022·江蘇泰州·二模）定義：如果三角形中有兩個(gè)角的差為90°，則稱這個(gè)三角形為互融三角形，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，BC=5，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若△ABD是“互融三角形”，則CD的長(zhǎng)為________．【答案】3或【思路分析】根據(jù)互融三角形的概念，分兩種情況進(jìn)行討論：①；②，其中第一種情況證明，從而運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求得CD長(zhǎng)，第二種情況證明是等腰三角形，從而求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：由題意可作圖如下：∵△ABD是“互融三角形”，∴分以下兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，即，∵，，∴，∵，∴，∴,∵∠BAC=90°，AB=4，BC=5，∴，∴，設(shè)，，∵，∴，即，化簡(jiǎn)得，，解得，．時(shí)，∵，∴，∵，∴．故答案為：3或．4．（2022·江蘇泰州·二模）如圖1，在中，，，D為AB的中點(diǎn)，P為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖像，且最低點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是，則AB＝______．【答案】3【思路分析】過點(diǎn)B作關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE、CE、PE，連接BE交AC于點(diǎn)O，先證明四邊形ABCE是正方形，設(shè)，，已知最低點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是，即當(dāng)最小時(shí)，，故當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，通過證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】過點(diǎn)B作關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE、CE、PE，連接BE交AC于點(diǎn)O，，，，，，四邊形ABCE是正方形，設(shè)AB=2t，設(shè)，，，已知最低點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是，即當(dāng)最小時(shí)，，故當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，D為AB的中點(diǎn)，，，，，，，即，解得，，在中，，即，解得或（舍去），，故答案為：3．5．（2022·江蘇淮安·一模）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD和四邊形CGFE的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則兩個(gè)四邊形重疊部分（陰影部分）的面積為__________．【答案】【思路分析】根據(jù)題意，由網(wǎng)格的特點(diǎn)可知，，可得，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定分別求得，即可求解．【詳解】解：標(biāo)注字母如圖，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)可知，，，，，，則，兩個(gè)四邊形重疊部分（陰影部分）的面積為6．（2022·江蘇泰州·一模）如圖，直線l與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，AC是圓O的弦，OC∥AB，半徑OC的長(zhǎng)為10，弦AB的長(zhǎng)為12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△APC是直角三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為_____秒．【答案】16或20【思路分析】利用分類討論的方法分兩種情況解答：①當(dāng)∠時(shí)，連接過點(diǎn)作于點(diǎn)利用垂徑定理和矩形的判定定理解答即可；②當(dāng)∠時(shí)，連接過點(diǎn)作于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)，同①方法，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：①當(dāng)∠時(shí)，連接過點(diǎn)作于點(diǎn)如圖，∵，∴∴，∵∴四邊形為矩形，∴∴∵點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度前進(jìn)，∴；②當(dāng)∠時(shí)，連接過點(diǎn)作于點(diǎn)過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，∵，∴，∴，∵，，，∴四邊形為矩形，∴，，

∴∵∠，，∴△∴，∴，∴，∴∵點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度前進(jìn)，∴，綜上，當(dāng)△是直角三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為16秒或20秒，故答案為：16或20．7．（2022·江蘇南京·一模）如圖，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，，則四邊形的面積為______．【答案】10【思路分析】利用△AED和△DFC相似和30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可以解決．【詳解】過點(diǎn)E做EG⊥BC于點(diǎn)G，∵DE∥BC，DF∥AB，∴∠AED=∠B=∠DFC=30°，∠FDC=∠A，∴△AED∽△DFC，∴，∴，∴，在△BEG中，∴S=．8．（2022·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，AC與BE交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，若，則的值為______．【答案】【思路分析】先根據(jù)AB∥CD，利用兩角相等求證△FAB∽△FCE，利用相似比得出的比值，再通過求證△FGC∽△ABC即可推出的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAB=∠FCE，∠FBA=∠FEC，∴△FAB∽△FCE，又∵＝∴＝=，又∵FG⊥BC，AB⊥BC，∴FG∥AB，∴△FGC∽△ABC，∴，∵＝，∴=，即=，故答案為：．9．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AF平分∠BAC，交BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，若BE＝BF＝2，則AD＝_____．【答案】【思路分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得AD＝DE，設(shè)∠BEF＝∠AED＝∠DAF＝x，又AF平分∠BAC，得∠BAF＝∠CAF，設(shè)∠BAF＝∠CAF＝y(tǒng)，則∠DAC＝∠DAF﹣∠CAF＝x﹣y，然后利用相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BFE，∵BE＝BF＝2，∴∠BEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠AED＝∠BFE＝∠DAF，∴AD＝DE，設(shè)∠BEF＝∠AED＝∠DAF＝x，又∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF，設(shè)∠BAF＝∠CAF＝y(tǒng)，則∠DAC＝∠DAF﹣∠CAF＝x﹣y，∵∠ABD＝∠AED﹣∠BAF＝x﹣y，，∴∠DBA＝∠DAO，又∵∠ADO＝∠BDA，∴△ADO∽△BDA，設(shè)AD＝DE＝m，∴，∴BD＝BE+DE＝2+m，∴DO＝BD＝（2+m），∴，∴2m2＝（2+m）2＝m2+4m+4，∴m1＝2+2，m2＝2﹣2＜0（舍），經(jīng)檢驗(yàn)m＝2+2是分式方程的解，∴AD＝2+2，故答案為：．10．（2022·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，在正方形中，，連接、交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，若，則__________．【答案】【思路分析】先證△ABE≌△BCF（SAS），得AE=BF，∠BAE=∠CBF，從而得∠AHB=90°，又因?yàn)?，所以∠BAH=30°，AH=3，所以∠CBF=∠BAH=30°，則BE=2HE，在Rt△BHE中，由勾股定理，求得HE=1，從而得BE=2HE=2，再證△ADH∽△EGH,得，即，解得EG=，則由BG=BE-EG可求解．【詳解】解：∵正方形，∴AB=BC=AD，∠ABE=∠BCF=90°，∵BE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF，∠BAE=∠CBF，∵∠CBF+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠BAE+∠ABH=90°∴∠AHB=90°，∵，∴BH=，∴∠BAH=30°，AH=，∴∠CBF=∠BAH=30°，∴BE=2HE，在Rt△BHE中，由勾股定理，得HE2=BE2-BH2=（2HE）2-（）2，∴HE=1，∴BE=2HE=2，∵正方形，∴ADBC，即ADEG，∴△ADH∽△EGH,∴，∴，∴EG=,∴BG=BE-EG=2-=．故答案為：11．（2022·江蘇無(wú)錫·一模）如圖，在ΔABC中放置5個(gè)大小相等的正方形，若BC=12，則每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為____．【答案】3【思路分析】如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)相似三角形的高之比等于相似比，列方程，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作，交BC于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)G，交MN于點(diǎn)P，如圖，由題可知，，，，，，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，，，，，，，，化簡(jiǎn)得，將代入，得，解得．正方形的邊長(zhǎng)為3．故答案為3．12．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖，在矩形中，，．①以點(diǎn)為圓心，以不大于長(zhǎng)為半徑作弧，分別交邊，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線分別交，于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)，為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，則長(zhǎng)為______．【答案】【思路分析】由作圖步驟可知AG是的角平分線，MN是CQ的垂直平分線，則BQ=AB=1，利用勾股定理可得AQ=QG=，因?yàn)锳D∥BQ，所以，則，即，解得OQ=，所以O(shè)G=OQ+QG=．【詳解】由題意可知：AG是的角平分線，MN是CQ的垂直平分線，=45°，BQ=AB=1，在中，，AD∥BQ，，即，解得OQ=，OG=OQ+QG=．13．（2022·江蘇泰州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)（不包括三條邊），點(diǎn)F、G分別在AC、AB邊上，且EF⊥AC，EG⊥AB，垂足分別為F、G．點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，連接ED，若EF＜EG，則ED長(zhǎng)的取值范圍是_________．【答案】【思路分析】根據(jù)題設(shè)條件，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，DE的值是最大的．當(dāng)點(diǎn)E在的平分線上且時(shí)，DE的值是最小的．通過分別計(jì)算以上兩種情況下，DE的長(zhǎng)度，得到DE的取值范圍．【詳解】解：如圖1，當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，DE的值是最大的．∵在中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴．∵點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)E是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)（不包括三條邊），∴．如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在的平分線上且時(shí)，DE的值是最小的．此時(shí)，設(shè)AE延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作于點(diǎn)M，∵AH平分，∠C=90°，，∴，，，∴，∴，．∵，，∴．∵BC=8，，∴，在中，∵，∴，∴，解得．在中，∵，，，∴．又∵在和中，∵，∴，∴，∴．又∵EF＜EG，∴點(diǎn)E在AH上方，∴，綜上所述，．14．（2022·江蘇常州·二模）如圖，正六邊形中，G是邊上的點(diǎn)，，連接，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得交于點(diǎn)H，則線段的長(zhǎng)為__________．【答案】【思路分析】連接AC根據(jù)正六邊形求出AC和AG的長(zhǎng)，進(jìn)而求出CG的長(zhǎng)，過G作GM∥AB交BC于M，過A作AN∥BC交GM于N，可得平行四邊形ABMN和等邊三角形ANG，求出MG的長(zhǎng)，再證明求出CH的長(zhǎng)，最后根據(jù)求值即可．【詳解】連接AC，過G作GM∥AB交BC于M，過A作AN∥BC交GM于N，則四邊形ABMN是平行四邊形∴∵正六邊形中，G是邊上的點(diǎn)，，∴，∴∴,∴∵GM∥AB

∴∵AN∥BC∴∴△ANG是等邊三角形∴∴∵∴∵∴∵∴∴∴∴∴．故答案為：．15．（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）如圖，在銳角三角形ABC中，，，于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，連接MN，則△AMN面積的最大值是______．【答案】【思路分析】先解直角三角形可得，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理可得，利用可得，從而可得，最后利用三角形的面積公式即可得出答案．【詳解】解：，，，點(diǎn)在以為直徑的圓上，，在和中，，，，即，設(shè)，則，，，，即，，即，，解得，，則面積的最大值是，故答案為：．16．（2022·江蘇南通·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，E為AD的中點(diǎn)，P為CE上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【思路分析】建立平面直角坐標(biāo)系，作點(diǎn)B關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)F，BF交CE于點(diǎn)H，連接AF交CE于點(diǎn)P，過點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，證明和，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得出結(jié)論．【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，作點(diǎn)B關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)F，BF交CE于點(diǎn)H，連接AF交CE于點(diǎn)P，過點(diǎn)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，∴BP=FP根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，的最小值為AF的長(zhǎng)，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA=5，∴A（0，5）∵點(diǎn)E為AB的貴點(diǎn)，∴,由勾股定理得，又，∴∴∴∴∴∵,∴，∴,∴∴F（8，4）又A（0，5）∴,∴的最小值為，故答案為17．（2022·江蘇揚(yáng)州·二模）定義：等腰三角形底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（）．例如，在中，，頂角A的正對(duì)．當(dāng)時(shí)，______________．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【思路分析】過點(diǎn)B作BD平分∠ABC交AC于D，設(shè)BC=x，AB=y；由三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的判定和性質(zhì)求得DA=DB=BC=x，則CD=y-x；由△BCD∽△ACB求得；令t=，解關(guān)于t的方程即可解答；【詳解】解：由題意作圖如下：過點(diǎn)B作BD平分∠ABC交AC于D，設(shè)BC=x，AB=y，△ABC中：∠A=36°，AB=AC，則∠ABC=∠ACB=（180°-36°）=72°，BD平分∠ABC，則∠CBD=∠DBA=∠ABC=36°，△BCD中：∠BDC=180°-∠CBD-∠DCB=72°=∠BCD，∴BC=BD=x，∴△DAB中：∠DAB=∠DBA=36°，∴DA=DB=x，∴CD=AC-AD=y-x，△BCD和△ACB中：∠CBD=∠CAB，∠BCD=∠ACB，∴△BCD∽△ACB，∴，∴，令t=，則，解得：t=，經(jīng)檢驗(yàn)t=符合題意；∴，故答案為：；18．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，若，則___________．【答案】48【思路分析】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)證，得出，根據(jù)等高關(guān)系求出的面積為4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得：和邊和高的比例關(guān)系得出，從而得出梯形的面積為12，進(jìn)而得出的面積為12，同理可得，即可得出的面積．【詳解】解：是的中位線，、分別為、的中點(diǎn)，如圖過作交于點(diǎn)，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，，，，，，為的中位線，，，，，是的中位線，，，，故答案為：48．19．（2022·江蘇無(wú)錫·一模）如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，，過點(diǎn)作任意一直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，將點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，連接、、、，則線段長(zhǎng)度的最大值為________．【答案】【思路分析】先證明點(diǎn)Q是在以點(diǎn)B為圓心，半徑為1的圓上，連接PR,再證明△PQR是等腰直角三角形，過點(diǎn)B作BC⊥AB于點(diǎn)且BC＝BP＝1，連接PC，BQ，CR，得到，再證得△BPQ∽△CPR，CR＝，證得點(diǎn)R是在以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓上，故當(dāng)點(diǎn)A、C、R三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2所示，線段長(zhǎng)度取最大值，再求出此時(shí)的長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴l(xiāng)垂直平分PQ∴BQ＝BP＝1∵直線是過點(diǎn)作的任意直線∴點(diǎn)Q是在以點(diǎn)B為圓心，半徑為1的圓上如圖1，連接PR，BQ，∵點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°∴△PQR是等腰直角三角形∴∠RPQ＝∠PRQ＝45°，PR＝如圖1，過點(diǎn)B作BC⊥AB交圓于點(diǎn)長(zhǎng)C，于點(diǎn)且BC＝BP＝1，連接PC，CR，∴∠ABC＝90°，△PBC是等腰直角三角形∴∠CPB＝∠RPQ＝45°，CP＝∴∵∠QPB＝∠CPB－∠CPQ，∠RPC＝∠RPQ－∠CPQ，∴∠QPB＝∠RPC∴△BPQ∽△CPR∴∴CR＝∴點(diǎn)R是在以點(diǎn)C為圓心，為半徑的圓上，故當(dāng)點(diǎn)A、C、R三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2所示，線段長(zhǎng)度取最大值，在Rt△ABC中，BC＝1，AB＝3，∠ABC＝90°∴AC＝∵CR＝∴AR＝AC＋CR＝＋∴線段長(zhǎng)度取最大值為＋．故答案為：＋．20．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，在中，為斜邊的中線，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使，連接，點(diǎn)G在線段上，連接，且．下列結(jié)論：①；②四邊形是平行四邊形；③；④．其中正確結(jié)論的是______．（填序號(hào)）【答案】①②③④【思路分析】根據(jù)題意先證DE是△ABC的中位線，則DE=BC；①正確；證出DF=BC，則四邊形DBCF是平行四邊形；②正確；由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD=AB=BD，則CF=CD，得出∠CFE=∠CDE，證∠CDE=∠EGF，則∠CFE=∠EGF，得出EF=EG，③正確；作EH⊥FG于H，由等腰三角形的性質(zhì)得出FH=GH=FG=1，證△EFH∽△CEH，則，求出EH=2，由勾股定理的EF=，進(jìn)而得出BC=2，④正確．【詳解】解；∵CD為斜邊AB的中線，∴AD=BD，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位線，∴AE=CE，DE=BC；①正確；∵EF=DE，∴DF=BC，∴四邊形DBCF是平行四邊形；②正確；∴CF∥BD，CF=BD，∵∠ACB=90°，CD為斜邊AB的中線，∴CD=AB=BD，∴CF=CD，∴∠CFE=∠CDE，∵∠CDE+∠EGC=180°，∠EGF+∠EGC=180°，∴∠CDE=∠EGF，∴∠CFE=∠EGF，∴EF=EG，③正確；作EH⊥FG于H，如圖所示：則∠EHF=∠CHE=90°，∠HEF+∠EFH=∠HEF+∠CEH=90°，F(xiàn)H=GH=FG=1，∴∠EFH=∠CEH，CH=GC+GH=3+1=4，∴△EFH∽△CEH，∴，∴EH2=CH×FH=4×1=4，∴EH=2，∴EF=，∴BC=2DE=2EF=2，④正確.故答案為：①②③④．21．（2022·江蘇連云港·一模）如圖，以為直徑的半圓內(nèi)有一條弦，是弦上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交半圓于點(diǎn)．若，，則的最大值是________．【答案】【思路分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連接BC，此時(shí)易證得：，又由勾股定理可求得，由對(duì)應(yīng)線段比值相等可知只需求出DE最大值即可，由圓的相關(guān)性質(zhì)可知：時(shí)，DE取最大值，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連接BC，是圓的直徑，，，當(dāng)DE取最大值是時(shí)，值最大，當(dāng)時(shí)，此時(shí)DE取最大值，此時(shí)由垂徑定理可知：的最大值為．故答案為：．22．（2022·江蘇·揚(yáng)州市邗江區(qū)梅苑雙語(yǔ)學(xué)校一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，BF，CE交于點(diǎn)M，若三角形BEM的面積為1，則四邊形AEMF的面積為________．【答案】4【思路分析】連接BD，延長(zhǎng)BF、CD交于N，根據(jù)已知條件求出DF＝AF，AE＝BE＝＝，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠N＝∠ABF，根據(jù)全等三角形的判定得出△DNF≌△ABF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DN＝AB，求出BE＝AB＝CN，根據(jù)相似三角形的判定得出△BEM∽△NCM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，求出，求出△BCM的面積即可．【詳解】解：連接BD，延長(zhǎng)BF、CD交于N，∵E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝＝，DF＝AF，∴S△ABF＝S△DFB＝S△ABD＝S平行四邊形ABCD，同理S△BCE＝S平行四邊形ABCD，∴S△ABF＝S△BCE，∴S△ABF﹣S△BEM＝S△BCE﹣S△BEM，∴S四邊形AEMF＝S△BCM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴