高一數(shù)學(xué)必修1知識網(wǎng)絡(luò)

集合

(1)元素與集合的關(guān)系：屬于（e）和不屬于（?。?/p>

⑵集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性

集合與元素

⑶集合的分類：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集

(4)集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質(zhì)描述）、圖示法、區(qū)間法

子集：若xeA=>xeB,則AqB,即A是B的子集。

1、若集合A中有〃個(gè)元素，則集合A的子集有2"個(gè)，真子集有（2"-1）個(gè)。

2、任何一個(gè)集合是它本身的子集，即A=A

注

關(guān)系，3、對于集合A,8,C,如果A=8,且8uC,那么A=C.

4、空集是任何集合的（真）子集。

集合真子集：若Ac8且A豐B（即至少存在%e8但與gA）,則A是B的真子集。

集合相等：A±8FL42B=A=8

集合與集合定義：Ac8={x/xeA且xeB}

交集4

性質(zhì)：AcA=A,Ac0=0,Ac8=3cA,AnBcA,AnBcB,AcBoAoB=A

定義：AuB={x/xwA敢eB}

并集

性質(zhì)：Au4=4Ao0=A,AuB=BuA,AuBoA,AcB<=>AuB=B

運(yùn)算

Card(AuB)=Card(A)+Card(B)-Card(AnB)

‘定義：Cb.A={x/xEUSjciA}=A

補(bǔ)集,

性質(zhì)：(CuA)c4=0,(G，A)uA=U,Cu(C“A)=4Cu(AnB)=(Cl/A)u(C(/B),

G/AuB—CMcCB)

函數(shù)

映射定義：設(shè)A,8是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個(gè)元素X,

在集合8中都有唯一確定的元素），與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)6fB為從集合A到集合8的一個(gè)映射

傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量x,y,并且對于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，

按照某個(gè)對應(yīng)關(guān)系了,y都有唯一確定的值和它對應(yīng)。那么y就是A的函數(shù).記作yf(x).

（近代定義：函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。

定義域

函數(shù)及其表示＜函數(shù)的三要素1值域

對應(yīng)法則

I,

解析法

函數(shù)的表示方法，列表法

-圖象法

傳統(tǒng)定義：在區(qū)間［a,可上，若同＜）2助，如/（刁）＜/（入2），則/'（1）在［a力］上遞增,⑸是

遞增區(qū)間：如/（同）＞/（12），貝獷（x）在3力］上遞減,小句息的遞減區(qū)間。

單調(diào)性導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間［a例上，若/（x）＞0,則“尼在可上遞增,［a桌遞增區(qū)間:如f（x）＜0

則/（x）在［a⑸上遞減,，可是的遞減區(qū)間。

最大值：設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的xb,都有

函數(shù)5曷佰J（2）存在和々，使得〃刈）="。則稱M是函數(shù)y=/（x）的最大值

函數(shù)的基本性質(zhì)

取恒最小值：設(shè)函數(shù)產(chǎn)/（x）的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)N滿足：（1）對于任意的依/,都有了（x）2N；

（2）存在qd,使期（x（））=M貝IJ稱N是函數(shù)產(chǎn)/（x）的最小值

「⑴/（T）=_〃X）,X€定義域D貝,（x）叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。

奇偶性（2）/（-x）=/（x）,依定義域力，則八x）叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱。

［奇偶函數(shù)碣定義域關(guān)于原點(diǎn)對森

周期性：在函數(shù)/（1）的定義域上恒有/?（x+T）=/（x）（7V0的常數(shù)）則/（x）叫做周期函數(shù)，丁為周期；

。向最小正值叫做〃x）的最小正周期，,簡稱周期

（1）描點(diǎn)連線法：列表、描點(diǎn)、連線

向左平移a個(gè)單位：y\=y,x\-a=x^＞y=f（x+a）

向右平移a個(gè)單位：=y+?=x=＞j=f（x-a）

平移變換，

向上平移6個(gè)單位：同=%,）］+b=y=＞）」b=/（x）

向下平移〃個(gè)單位：x\=x,yj-b=yny+b=f（x）

橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)習(xí)縮短（當(dāng)卬＞1時(shí)）或伸長（當(dāng)0＜卬＜1時(shí)）

到原來的1/卬倍（縱坐標(biāo)不變），即可=必=＞y=f（wx）

伸縮變換，

縱坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)H伸長（4＞1）或縮短（O＜A＜1）到原來的A倍

（橫座標(biāo)示變），禪yi=y/A=y=/（x）

函數(shù)圖象的畫法■

＜2）變換法，關(guān)于點(diǎn)（X。，＞0）對稱:［第二郅（第二鄭）二;=2）0-1（2對-*）

關(guān)于直線『）對稱出忙了尸=尸〃2卻一）

對稱變換＜{y-y\

關(guān)于直線產(chǎn)w對稱《需，=2），0北受），0-），=2yQ-y=f（X）

關(guān)于直線y=x對稱:卜二?=）'=廠1（X）

[y-y\

附:

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等

于零；3、對數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)

大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中段0+多左eZ);

余切函數(shù)y=cotx中；6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，

應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法;

5、參數(shù)法；6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不

等式法；6、單調(diào)性法；7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單

調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若〃x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)在這

個(gè)區(qū)間上也為增(減)函數(shù)

2、若/(X)為增(減)函數(shù)，則-/⑴為減(增)函數(shù)

3、若丁(<與g(x)的單調(diào)性相同,則y=f[g(x)]是增函數(shù);若f(x)

與g(x)的單調(diào)性不同，貝【Jy=是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上

的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解

不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個(gè)函

數(shù)k了⑴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，貝(反之不成立)

2、兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)

為偶函數(shù)。

3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù)y=/(〃)和M=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一

個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是

奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)/(X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則/⑴可以表示為

/(x)=g"(x)+/(-x)]+g"(x)-/(-創(chuàng)，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)

奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。

零點(diǎn)：對于函數(shù)y=八外，我們把削(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù))，=f(x)的零點(diǎn)。

定理：如果函數(shù))，=”］)在區(qū)間［%。］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(。)?fib)<0,

零點(diǎn)與根的關(guān)系，那么，函數(shù).v=/(x)在區(qū)間［出加內(nèi)有零點(diǎn)。即存在cG(明力)，使得/(e)=0,這個(gè)c也是方

程〃x)=0的根。(反之不成立)

關(guān)系：方程〃x)=0有實(shí)數(shù)根。函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)。函數(shù)y="X)的圖象與x軸有交點(diǎn)

1,

函數(shù)與方程<(1)確定區(qū)間—］,驗(yàn)說(。)-f(b)<0,給定精確度打

(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;

函數(shù)的應(yīng)用<

(3)計(jì)算Ac)；

二分法求方程的近似解<①若/1(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②茍*(〃)-/(c)<0,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn),e(67,b))；

③茍(e)-f(b)<0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn),€(c,b))；

(4)判斷是否達(dá)到精確度￡：即若a-b<￡、則得到零點(diǎn)的近似值。(或6);否則重復(fù)2~4。

|幾類不同的增長函數(shù)模型

函數(shù)模型及其應(yīng)用《用已知函數(shù)模型解決問題

建立實(shí)際問題的函數(shù)模型

根式：崎，〃為根指數(shù)，。為被井方數(shù)

分?jǐn)?shù)指數(shù)寨

rs"/、八c、

指數(shù)的運(yùn)算］aa=a(a>O,廠,$三2)

指數(shù)函數(shù)《性質(zhì)<)$=(a>O,廠,seQ)

(ab)〃=cirbs(a>O,>O,reQ)

定義：一般地把函數(shù)y=ax^a>O且ax1)叫做指數(shù)函數(shù)。

指數(shù)由數(shù)

性旗：見表1

‘對數(shù)：x=loga7V,a為底數(shù)，7V為真數(shù)

Plog^(A7-N)=logqM+log^N;

基本初容函數(shù)V

Io-空=log^M-log^TV;

對數(shù)的運(yùn)算，N

性質(zhì)V

對數(shù)函數(shù)4log6/=nlog6ZWa>O,ax1,A/>O,TV>O)

換底公式：b=6(0,c>OJEL6Z,ex1,Z?>O)

log,a

定義：一般士也:f巴函數(shù)y=logx(a>O且a工1)叫做對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)6Z

性質(zhì)：見表1

寄函數(shù)［氏于普地’函數(shù)，叫做嘉函數(shù)，x是自變量，a是常數(shù)。

I十生質(zhì)：見表2

a<ba>ha<ha>b

表2累函數(shù)y=(aeH)

a=Ka<00<tz<1a>1a=1

q

■/

\a.i)

P為奇數(shù)--/a,i)

寄函新

1/t?口J團(tuán)奴

q為奇數(shù)

(T,T)1-

/

/

〃為奇數(shù)、CM)

q為偶數(shù)/(,I.If

■

:\y

l

(-1,1)J

p為偶數(shù)\(1.1)H,1)X

-J偶函數(shù)

-t-------1------1~-——:------1—

q為奇數(shù)(-1,1)'v

第一象

減函數(shù)增函數(shù)過定點(diǎn)

限性質(zhì)(0,1)

高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)

一、直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義：X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特

別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。

因此，傾斜角的取值范圍是0°WaV1800

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直

線的斜率。直線的斜率常用k表示。即生三。斜率反映直線與

軸的傾斜程度。

當(dāng)&€［。。,90。）時(shí)，kNO;當(dāng)ae（9（r,180。）時(shí)，女<0;當(dāng)e=90。時(shí)，

攵不存在。

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：心區(qū)二江區(qū)*/）

x2-x1

注意下面四點(diǎn)：（1）當(dāng)項(xiàng)=當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不

存在，傾斜角為90°；

（2）4與尸卜尸2的順序無關(guān)；（3）以后求斜率可不通過傾斜角而由

直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；

⑷求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

（3）直線方程

①點(diǎn)斜式：丁-弘=左。-內(nèi)）直線斜率且過點(diǎn)（再,））1）

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0,直線的方程是尸?。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不

能用點(diǎn)斜式表示.但因/上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于為，所以它的方

程i7EX—Julo

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為k直線在y軸上的截距為6

③兩點(diǎn)式：''（與小/產(chǎn)力）直線兩點(diǎn)&,）1）,（々，力）

y2f工2-玉

④截矩式：土+白1

ab

其中直線/與X軸交于點(diǎn)（a,0）,與y軸交于點(diǎn)（0力）,即/與x軸、y軸的

截距分別為岫。

⑤一般式：Ax+By+C=0（A,3不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于％軸的直線：》=乂。為常數(shù)）；平行于y軸的直線：x=a

（a為常數(shù)）；

（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

（一）平行直線系

平行于已知直線4X+為y+C0=O（4,綜是不全為。的常數(shù)）的直

線系：A/+B0y+c=o（。為常數(shù)）

（二）過定點(diǎn)的直線系

（i）斜率為左的直線系：y-y0=k（x-x0）,直線過定點(diǎn)（%,%）；

（ii）過兩條直線4：4X+8J+G=0，4：4x+3,y+J=o的交點(diǎn)的直

線系方程為

（4尤+8]）,+￡）+尤（4》+32>+。2）=。（％為參數(shù)），其中直線4不在直線系中。

（6）兩直線平行與垂直一

當(dāng)4:y=左/+向，l2'.y-k2X+02時(shí)，

Z,//Z9<=>匕=攵2,4w。2；A-L4=k[k?=—1

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與

否。

（7）兩條直線的交點(diǎn)

4:A/+8]y+G=0:+B,y+C2—（）本目34.

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組（A'+B"G=。的一組解。

[A2x+B2y+C2=0

方程組無解。；方程組有無數(shù)解=4與4重合

（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A（%,y）,B5,%）是平面直角坐標(biāo)系中的兩

個(gè)點(diǎn)，

則|AB|=4-）2+（%一行

（9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)叫,y。）到直線4：及+向，+。=0的距離

_\Ax0+By0+C|

ylA2+B2

（10）兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求

解

二:圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，

定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。

2、圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a/+（y-）y=產(chǎn)，圓心（。㈤，半徑為r；

（2）一般方程,+y2+Dx+Ey+F=0

當(dāng)。2+石2一4F>0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為仁,半徑為

［2,萬,

r=-^D2+E2-4F

2

當(dāng)。2+爐一4歹=0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)。2+爐一4/<0時(shí)，方程不

表示任何圖形。

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立

條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以

此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下

列兩種方法判斷：

(1)設(shè)直線/:Ax+8y+C=0,圓C:(x-a)2+(y-A)2=/,圓心㈤到/

的距離為〃=必絲3，則有4>r0/與離；［=r=/與C相切；

ylA2+B2

d<ro/與。相交

(2)設(shè)直線」:Ax+3y+C=0，圓C:(x-〃)?+(2贏款酬皤消

元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令

△<0=/與C相離；A=0o/與。相切；/^。?/與^相交

注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式"°+?。=產(chǎn)去解直線與

圓相切的問題，其中國,)口表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。

(3)過圓上一點(diǎn)的切凄方隹：，一

9圓％2+>2=7，直1工一點(diǎn)為(xo，yo),則過此點(diǎn)的切線方程為

町)+?0=廠2(課本命題匕

②圓(%-。/+(廣勿2=戶，匐一

10,，。)，則過此點(diǎn)的切線方程為

上噓借窗雷微至彖飛過兩圓半徑的和(差)，與圓心距")

之旬的大小比較來確定。

設(shè)3C,:(x-a,)2+(y-b.)2=r'>I2=R2

兩圓的彳立置關(guān)系用通過］D,與圓心距(d)之間

的大小比較來確定。

當(dāng)d>H+/?時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

當(dāng)"=/?+〃時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切

線一條；

雪+r時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公

切線；

當(dāng)d=R-r時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線;

當(dāng)d<R-r時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=0時(shí)，為同心圓。

三、立體幾何初步

(1)棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且

每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所

圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、

五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱A8COE-A力或用對角線的端

點(diǎn)字母，如五棱柱AD

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都

是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面

是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角

形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、

五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P-ABtDE

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面

相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面

和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、

五棱臺等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺P-ABC。/

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形

③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋

轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓

的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周

所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展

開圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面

和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);

③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)

一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等

于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影)；

側(cè)視圖(從左向右)、

俯視圖(從上向下)

在：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的

口X俯視窗反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的

長度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高

度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法

斜二測畫法特點(diǎn)：①原來與X軸平行的線段仍然與X平行且長度

不變;

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度

為原來的―i半。

4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高,人為斜高,

1為母線）

C*_cLCC___1-C1,,C*_

cn

U直棱柱側(cè)面積一Q圓柱側(cè)一乙兀D正棱錐側(cè)面積二5。圓錐側(cè)面積一

S正棱臺側(cè)面積=~（c\+。2）〃'S回臺側(cè)面積=（尸+A）加

S圓柱表=+，）S閱錐表=m（r+/）S圓臺表=7r[r2+〃+M+A?)

（3）柱體、錐體、臺體的體積公式

峪=S/z/柱=Sh=Trr-h/=；Sh

%=；（S.+炳+S）〃唳臺=；（5'+7??+5）力=；萬（尸+rR+R2)h

區(qū)網(wǎng)罩

s

[1上底擴(kuò)大1上底縮小1

4S球面=4萬R2

（4）球體的表面積和體積公式：V球一期R

3

4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

（1）平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母a、B、丫袤示，如平面a（通

常寫在一個(gè)銳角內(nèi)）；

也可以用兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母來表示，如平面BC。

③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面a內(nèi)，記作Aea;點(diǎn)A不在平面a

內(nèi)，記作

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線/上，記作：AG/；點(diǎn)A在

直線/外，記作/小

直再寫牛面的關(guān)系：直線/在平面a內(nèi)，記作/ua；直線/不

在平面a內(nèi)，記作ea。

（2）公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線

是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號語言表示公理1：=

（3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平

面；兩平行直線確定一平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是

證明平面重合的依據(jù)

（4）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且

只有一條過該點(diǎn)的公共直線

#4：#面a和B相交，交線是a,記作anB=a。

公理3

直說目

線必百

一與首前議判斷點(diǎn)在直綾上即證若干個(gè)點(diǎn)夬線的重要依據(jù)

鬲鋁瓶晶罐置需直線互知平行

①異擊直謖定義：家向在任荷一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不

過該店的直線是異面直線

④異面直線所成角：直線。、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)

0,分別引直線。'〃。，?！ǚ謩t把直線。'和夕所成的銳角（或直

角）叫做異面直線。和匕所成的角。兩條異面直線所成角的范圍

是（0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩

條異面直線互相垂直。

說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定

義；②異面直線的判定定理

（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O

的位置無關(guān)。

②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移

到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出

的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，

那么這兩角相等或互補(bǔ)。

（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

直線不在平面內(nèi)押交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).

（或直線在平面外）j平行一一沒有公共點(diǎn).

三種位置關(guān)系的符號表示：auaana=Aa〃a

(9)平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒有公共點(diǎn)；a〃8

相交一一有一條公共直線。a

n8=b

5、空間中的平行問題

(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,

則該直線與此平面平行。

線線平行一線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直

線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行n線線

平行

(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個(gè)平面平行的判定定理

(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么

這兩個(gè)平面平行

(線面平行一面面平行)，

(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩

個(gè)平面平行。

(線線平行f面面平行)，

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

(1)如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面

平行。(面面平行一線面平行)

(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平

行。(面面平行一線線平行)

7、空間中的垂直問題

(1)線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就

說這兩條異面直線互相垂直。

藏吸舞洲翻耦翻1個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂邕

「如

乙如不士走真線邳一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，

么篁S直線童直這個(gè)羊面。

質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平

耀慧直敘鷲鞫翳第理

一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩

金王頑互相磨直。一._

「稔豳物重-........,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他

3鬻顛矗所成的角

F隔軸線相交其中不大于直角的角,

lillllO

，“注￡角：過空回任心星Q,4分別作與四條基

理填緩，，噓騫曲交直斑立兩條相交直

做兩條舁面直線法成的角。

■麗f斐e行ilw繾的v角-：規(guī)-定為0。。②平面的垂線與平

JE為90"o

一~的>:產(chǎn)面的1條斜繾也已連平面內(nèi)的

鬟匾需獺溫叫魄做這鎏條懸直線鞭和督金番蜃落住盛角,？小

孱面直線所成漁:“一作，二

證三計(jì)算”。

二點(diǎn)到面的垂線定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上

在解跚的塞魯挖掘題成中兩個(gè)主襄信息：⑴斜線上一點(diǎn)到面

的墨段屋!”博科裝上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由

面而垂直性質(zhì)易得垂線？一一一

做晨條直線愈做三

做二面

…圓的面J1一

:以二

《面角。一.

真二反填去工如果兩個(gè)平面

瞿杳關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于

儂粳的科別射致經(jīng)傳卷王到IJ丁聿面角

垂南法:人且知三面第內(nèi);7點(diǎn)到兩2面的垂綾肘，過兩垂線作平面

與兩個(gè)面的父緩耳成的角為二面片的平面角

7、Di

Bi

(1嫦)定義鱷：如*圖徵，OB疆CD—D廣ABC是、單位正

口」,

巫

1)0一叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2)軸，yZ軸叫做坐標(biāo)軸.3)過

每兩個(gè)^^^13貍口O

3葉且n日lx八八,ITz、艮指強(qiáng)需為yMJE

X

iz軸正向，?這使坤可以決靄二軸回電確立置。

向3電荒指…間…見氟需皤逃耦1盤疆急,轡

標(biāo),一記作M(xyz)(x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，

z叫做點(diǎn)M的.豎坐標(biāo))

222

(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：d=7(X2-X.)+(J2-J.)+(Z2-Z,)

高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

§1算法初步

?秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的

值，對于一個(gè)n次多項(xiàng)式，只要作n次乘法和n次加法即可。表

達(dá)式如下：

na

anx++…+a[=((((*x+an_x)x+an_2)x+...)x+%卜+\

例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式

3X6+4X5+5X4+6X3+7X2+8X+1,當(dāng)x=0.4時(shí)，

需要做幾次加法和乘步運(yùn)算？答案：6,6

即:(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)%+8)x+1

?理解算法的含義：一般而言，對于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的

求解方法稱為算法，其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是

廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明書是空調(diào)使用的

算法...(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語言

(本書指偽代碼).

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的

進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而

且必須有輸出，輸出可以是一個(gè)或多個(gè)。沒有

輸出的算法是無意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可

以通過手工或者機(jī)器在一定時(shí)間內(nèi)可以完成,

在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)

運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等②控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，

循環(huán)結(jié)構(gòu)

?流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的

文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清

晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)

成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程，反

過來再檢查，比如：遇到判斷框時(shí)，往往臨界的范圍或者條件

不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫好大致流程，然后檢查

這個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號的問題，這時(shí)候也就可

以有幾種書寫方法了。

3.在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出a一二定要用流程線把所

有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)由「PhU'一|

?算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)AIIv

直到型循環(huán)

當(dāng)型循環(huán)

I.順序結(jié)構(gòu)(sequencestructure)：是一種最簡單最基本的

結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)

順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。

II.選擇結(jié)構(gòu)(selectionstructure)：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其

中的判斷框，書寫時(shí)主要是注意臨界條件的確定。它有一個(gè)

入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語句，不能同時(shí)執(zhí)行,

其中的A,B兩語句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只

是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語句，至于不成立時(shí)，不執(zhí)

行該語句，也不執(zhí)行其它語句。

III.循環(huán)結(jié)構(gòu)(cyclestructure)：它用來解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)

操作問題，分直到型(until)和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見

上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)(即不知

道循環(huán)次數(shù)時(shí))用當(dāng)型循環(huán)。

?基本算法語句：本書中指的是偽代碼(pseudocode),且是

使用BASIC語言編寫的,是介于自然語言和機(jī)器語言之間的

文字和符號，是表達(dá)算法的簡單而實(shí)用的好方法。偽代碼沒

有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意

符號要相對統(tǒng)一,避免引起混淆o如:賦值語句中可以用x=y,

也可以用x-y；表示兩變量相乘時(shí)可以用“*”，也可以

用“x”

I.賦值語句(assignmentstatement)：用<-表示，如：x—y,

表示將y的值賦給x,其中x是一個(gè)變量，y是一個(gè)與x

同類型的變量或者表達(dá)式.

一般格式：“變量一表達(dá)式“，有時(shí)在偽代碼的書寫時(shí)也可以用

y”，但此時(shí)的“二