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文檔簡介
集合
(1)元素與集合的關(guān)系:屬于(e)和不屬于(?。?/p>
⑵集合中元素的特性:確定性、互異性、無序性
集合與元素
⑶集合的分類:按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為:有限集、無限集、空集
(4)集合的表示方法:列舉法、描述法(自然語言描述、特征性質(zhì)描述)、圖示法、區(qū)間法
子集:若xeA=>xeB,則AqB,即A是B的子集。
1、若集合A中有〃個(gè)元素,則集合A的子集有2"個(gè),真子集有(2"-1)個(gè)。
2、任何一個(gè)集合是它本身的子集,即A=A
注
關(guān)系,3、對于集合A,8,C,如果A=8,且8uC,那么A=C.
4、空集是任何集合的(真)子集。
集合真子集:若Ac8且A豐B(即至少存在%e8但與gA),則A是B的真子集。
集合相等:A±8FL42B=A=8
集合與集合定義:Ac8={x/xeA且xeB}
交集4
性質(zhì):AcA=A,Ac0=0,Ac8=3cA,AnBcA,AnBcB,AcBoAoB=A
定義:AuB={x/xwA敢eB}
并集
性質(zhì):Au4=4Ao0=A,AuB=BuA,AuBoA,AcB<=>AuB=B
運(yùn)算
Card(AuB)=Card(A)+Card(B)-Card(AnB)
‘定義:Cb.A={x/xEUSjciA}=A
補(bǔ)集,
性質(zhì):(CuA)c4=0,(G,A)uA=U,Cu(C“A)=4Cu(AnB)=(Cl/A)u(C(/B),
G/AuB—CMcCB)
函數(shù)
映射定義:設(shè)A,8是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系,使對于集合A中的任意一個(gè)元素X,
在集合8中都有唯一確定的元素),與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)6fB為從集合A到集合8的一個(gè)映射
傳統(tǒng)定義:如果在某變化中有兩個(gè)變量x,y,并且對于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值,
按照某個(gè)對應(yīng)關(guān)系了,y都有唯一確定的值和它對應(yīng)。那么y就是A的函數(shù).記作yf(x).
(近代定義:函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。
定義域
函數(shù)及其表示<函數(shù)的三要素1值域
對應(yīng)法則
I,
解析法
函數(shù)的表示方法,列表法
-圖象法
傳統(tǒng)定義:在區(qū)間[a,可上,若同<)2助,如/(刁)</(入2),則/'(1)在[a力]上遞增,⑸是
遞增區(qū)間:如/(同)>/(12),貝獷(x)在3力]上遞減,小句息的遞減區(qū)間。
單調(diào)性導(dǎo)數(shù)定義:在區(qū)間[a例上,若/(x)>0,則“尼在可上遞增,[a桌遞增區(qū)間:如f(x)<0
則/(x)在[a⑸上遞減,,可是的遞減區(qū)間。
最大值:設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:(1)對于任意的xb,都有
函數(shù)5曷佰J(2)存在和々,使得〃刈)="。則稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值
函數(shù)的基本性質(zhì)
取恒最小值:設(shè)函數(shù)產(chǎn)/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)N滿足:(1)對于任意的依/,都有了(x)2N;
(2)存在qd,使期(x())=M貝IJ稱N是函數(shù)產(chǎn)/(x)的最小值
「⑴/(T)=_〃X),X€定義域D貝,(x)叫做奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。
奇偶性(2)/(-x)=/(x),依定義域力,則八x)叫做偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱。
[奇偶函數(shù)碣定義域關(guān)于原點(diǎn)對森
周期性:在函數(shù)/(1)的定義域上恒有/?(x+T)=/(x)(7V0的常數(shù))則/(x)叫做周期函數(shù),丁為周期;
。向最小正值叫做〃x)的最小正周期,,簡稱周期
(1)描點(diǎn)連線法:列表、描點(diǎn)、連線
向左平移a個(gè)單位:y\=y,x\-a=x^>y=f(x+a)
向右平移a個(gè)單位:=y+?=x=>j=f(x-a)
平移變換,
向上平移6個(gè)單位:同=%,)]+b=y=>)」b=/(x)
向下平移〃個(gè)單位:x\=x,yj-b=yny+b=f(x)
橫坐標(biāo)變換:把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)習(xí)縮短(當(dāng)卬>1時(shí))或伸長(當(dāng)0<卬<1時(shí))
到原來的1/卬倍(縱坐標(biāo)不變),即可=必=>y=f(wx)
伸縮變換,
縱坐標(biāo)變換:把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)H伸長(4>1)或縮短(O<A<1)到原來的A倍
(橫座標(biāo)示變),禪yi=y/A=y=/(x)
函數(shù)圖象的畫法■
<2)變換法,關(guān)于點(diǎn)(X。,>0)對稱:[第二郅(第二鄭)二;=2)0-1(2對-*)
關(guān)于直線『)對稱出忙了尸=尸〃2卻一)
對稱變換<{y-y\
關(guān)于直線產(chǎn)w對稱《需,=2),0北受),0-),=2yQ-y=f(X)
關(guān)于直線y=x對稱:卜二?=)'=廠1(X)
[y-y\
附:
一、函數(shù)的定義域的常用求法:
1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被開方數(shù)大于等
于零;3、對數(shù)的真數(shù)大于零;4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)
大于零且不等于1;5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中段0+多左eZ);
余切函數(shù)y=cotx中;6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式,
應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。
二、函數(shù)的解析式的常用求法:
1、定義法;2、換元法;3、待定系數(shù)法;4、函數(shù)方程法;
5、參數(shù)法;6、配方法
三、函數(shù)的值域的常用求法:
1、換元法;2、配方法;3、判別式法;4、幾何法;5、不
等式法;6、單調(diào)性法;7、直接法
四、函數(shù)的最值的常用求法:
1、配方法;2、換元法;3、不等式法;4、幾何法;5、單
調(diào)性法
五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論:
1、若〃x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù),則/(x)+g(x)在這
個(gè)區(qū)間上也為增(減)函數(shù)
2、若/(X)為增(減)函數(shù),則-/⑴為減(增)函數(shù)
3、若丁(<與g(x)的單調(diào)性相同,則y=f[g(x)]是增函數(shù);若f(x)
與g(x)的單調(diào)性不同,貝【Jy=是減函數(shù)。
4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上
的單調(diào)性相反。
5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答:比較大小、求值域、求最值、解
不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。
六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論:
1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義,則/(0)=0,如果一個(gè)函
數(shù)k了⑴既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),貝(反之不成立)
2、兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù);之積(商)
為偶函數(shù)。
3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。
4、兩個(gè)函數(shù)y=/(〃)和M=g(x)復(fù)合而成的函數(shù),只要其中有一
個(gè)是偶函數(shù),那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù);當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是
奇函數(shù)時(shí),該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。
5、若函數(shù)/(X)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,則/⑴可以表示為
/(x)=g"(x)+/(-x)]+g"(x)-/(-創(chuàng),該式的特點(diǎn)是:右端為一個(gè)
奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。
零點(diǎn):對于函數(shù)y=八外,我們把削(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)),=f(x)的零點(diǎn)。
定理:如果函數(shù)),=”])在區(qū)間[%。]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有/(。)?fib)<0,
零點(diǎn)與根的關(guān)系,那么,函數(shù).v=/(x)在區(qū)間[出加內(nèi)有零點(diǎn)。即存在cG(明力),使得/(e)=0,這個(gè)c也是方
程〃x)=0的根。(反之不成立)
關(guān)系:方程〃x)=0有實(shí)數(shù)根。函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)。函數(shù)y="X)的圖象與x軸有交點(diǎn)
1,
函數(shù)與方程<(1)確定區(qū)間—],驗(yàn)說(。)-f(b)<0,給定精確度打
(2)求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c;
函數(shù)的應(yīng)用<
(3)計(jì)算Ac);
二分法求方程的近似解<①若/1(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn);
②茍*(〃)-/(c)<0,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn),e(67,b));
③茍(e)-f(b)<0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn),€(c,b));
(4)判斷是否達(dá)到精確度£:即若a-b<£、則得到零點(diǎn)的近似值。(或6);否則重復(fù)2~4。
|幾類不同的增長函數(shù)模型
函數(shù)模型及其應(yīng)用《用已知函數(shù)模型解決問題
建立實(shí)際問題的函數(shù)模型
根式:崎,〃為根指數(shù),。為被井方數(shù)
分?jǐn)?shù)指數(shù)寨
rs"/、八c、
指數(shù)的運(yùn)算]aa=a(a>O,廠,$三2)
指數(shù)函數(shù)《性質(zhì)<)$=(a>O,廠,seQ)
(ab)〃=cirbs(a>O,>O,reQ)
定義:一般地把函數(shù)y=ax^a>O且ax1)叫做指數(shù)函數(shù)。
指數(shù)由數(shù)
性旗:見表1
‘對數(shù):x=loga7V,a為底數(shù),7V為真數(shù)
Plog^(A7-N)=logqM+log^N;
基本初容函數(shù)V
Io-空=log^M-log^TV;
對數(shù)的運(yùn)算,N
性質(zhì)V
對數(shù)函數(shù)4log6/=nlog6ZWa>O,ax1,A/>O,TV>O)
換底公式:b=6(0,c>OJEL6Z,ex1,Z?>O)
log,a
定義:一般士也:f巴函數(shù)y=logx(a>O且a工1)叫做對數(shù)函數(shù)
對數(shù)函數(shù)6Z
性質(zhì):見表1
寄函數(shù)[氏于普地’函數(shù),叫做嘉函數(shù),x是自變量,a是常數(shù)。
I十生質(zhì):見表2
a<ba>ha<ha>b
表2累函數(shù)y=(aeH)
a=Ka<00<tz<1a>1a=1
q
■/
\a.i)
P為奇數(shù)--/a,i)
寄函新
1/t?口J團(tuán)奴
q為奇數(shù)
(T,T)1-
/
/
〃為奇數(shù)、CM)
q為偶數(shù)/(,I.If
■
:\y
l
(-1,1)J
p為偶數(shù)\(1.1)H,1)X
-J偶函數(shù)
-t-------1------1~-——:------1—
q為奇數(shù)(-1,1)'v
第一象
減函數(shù)增函數(shù)過定點(diǎn)
限性質(zhì)(0,1)
高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)
一、直線與方程
(1)直線的傾斜角
定義:X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特
別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。
因此,傾斜角的取值范圍是0°WaV1800
(2)直線的斜率
①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直
線的斜率。直線的斜率常用k表示。即生三。斜率反映直線與
軸的傾斜程度。
當(dāng)&€[。。,90。)時(shí),kNO;當(dāng)ae(9(r,180。)時(shí),女<0;當(dāng)e=90。時(shí),
攵不存在。
②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式:心區(qū)二江區(qū)*/)
x2-x1
注意下面四點(diǎn):(1)當(dāng)項(xiàng)=當(dāng)時(shí),公式右邊無意義,直線的斜率不
存在,傾斜角為90°;
(2)4與尸卜尸2的順序無關(guān);(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由
直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;
⑷求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。
(3)直線方程
①點(diǎn)斜式:丁-弘=左。-內(nèi))直線斜率且過點(diǎn)(再,))1)
注意:當(dāng)直線的斜率為0°時(shí),k=0,直線的方程是尸?。
當(dāng)直線的斜率為90°時(shí),直線的斜率不存在,它的方程不
能用點(diǎn)斜式表示.但因/上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于為,所以它的方
程i7EX—Julo
②斜截式:y=kx+b,直線斜率為k直線在y軸上的截距為6
③兩點(diǎn)式:''(與小/產(chǎn)力)直線兩點(diǎn)&,)1),(々,力)
y2f工2-玉
④截矩式:土+白1
ab
其中直線/與X軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0力),即/與x軸、y軸的
截距分別為岫。
⑤一般式:Ax+By+C=0(A,3不全為0)
注意:①各式的適用范圍②特殊的方程如:
平行于%軸的直線:》=乂。為常數(shù));平行于y軸的直線:x=a
(a為常數(shù));
(5)直線系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線
(一)平行直線系
平行于已知直線4X+為y+C0=O(4,綜是不全為。的常數(shù))的直
線系:A/+B0y+c=o(。為常數(shù))
(二)過定點(diǎn)的直線系
(i)斜率為左的直線系:y-y0=k(x-x0),直線過定點(diǎn)(%,%);
(ii)過兩條直線4:4X+8J+G=0,4:4x+3,y+J=o的交點(diǎn)的直
線系方程為
(4尤+8]),+£)+尤(4》+32>+。2)=。(%為參數(shù)),其中直線4不在直線系中。
(6)兩直線平行與垂直一
當(dāng)4:y=左/+向,l2'.y-k2X+02時(shí),
Z,//Z9<=>匕=攵2,4w。2;A-L4=k[k?=—1
注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí),要注意斜率的存在與
否。
(7)兩條直線的交點(diǎn)
4:A/+8]y+G=0:+B,y+C2—()本目34.
交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組(A'+B"G=。的一組解。
[A2x+B2y+C2=0
方程組無解。;方程組有無數(shù)解=4與4重合
(8)兩點(diǎn)間距離公式:設(shè)A(%,y),B5,%)是平面直角坐標(biāo)系中的兩
個(gè)點(diǎn),
則|AB|=4-)2+(%一行
(9)點(diǎn)到直線距離公式:一點(diǎn)叫,y。)到直線4:及+向,+。=0的距離
_\Ax0+By0+C|
ylA2+B2
(10)兩平行直線距離公式
在任一直線上任取一點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求
解
二:圓的方程
1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓,
定點(diǎn)為圓心,定長為圓的半徑。
2、圓的方程
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a/+(y-)y=產(chǎn),圓心(。㈤,半徑為r;
(2)一般方程,+y2+Dx+Ey+F=0
當(dāng)。2+石2一4F>0時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為仁,半徑為
[2,萬,
r=-^D2+E2-4F
2
當(dāng)。2+爐一4歹=0時(shí),表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)。2+爐一4/<0時(shí),方程不
表示任何圖形。
(3)求圓方程的方法:
一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立
條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn),以
此來確定圓心的位置。
3、直線與圓的位置關(guān)系:
直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況,基本上由下
列兩種方法判斷:
(1)設(shè)直線/:Ax+8y+C=0,圓C:(x-a)2+(y-A)2=/,圓心㈤到/
的距離為〃=必絲3,則有4>r0/與離;[=r=/與C相切;
ylA2+B2
d<ro/與。相交
(2)設(shè)直線」:Ax+3y+C=0,圓C:(x-〃)?+(2贏款酬皤消
元,得到一個(gè)一元二次方程之后,令
△<0=/與C相離;A=0o/與。相切;/^。?/與^相交
注:如果圓心的位置在原點(diǎn),可使用公式"°+?。=產(chǎn)去解直線與
圓相切的問題,其中國,)口表示切點(diǎn)坐標(biāo),r表示半徑。
(3)過圓上一點(diǎn)的切凄方隹:,一
9圓%2+>2=7,直1工一點(diǎn)為(xo,yo),則過此點(diǎn)的切線方程為
町)+?0=廠2(課本命題匕
②圓(%-。/+(廣勿2=戶,匐一
10,,。),則過此點(diǎn)的切線方程為
上噓借窗雷微至彖飛過兩圓半徑的和(差),與圓心距")
之旬的大小比較來確定。
設(shè)3C,:(x-a,)2+(y-b.)2=r'>I2=R2
兩圓的彳立置關(guān)系用通過]D,與圓心距(d)之間
的大小比較來確定。
當(dāng)d>H+/?時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線四條;
當(dāng)"=/?+〃時(shí)兩圓外切,連心線過切點(diǎn),有外公切線兩條,內(nèi)公切
線一條;
雪+r時(shí)兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公
切線;
當(dāng)d=R-r時(shí),兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過切點(diǎn),只有一條公切線;
當(dāng)d<R-r時(shí),兩圓內(nèi)含;當(dāng)d=0時(shí),為同心圓。
三、立體幾何初步
(1)棱柱:定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且
每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所
圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、
五棱柱等。
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱A8COE-A力或用對角線的端
點(diǎn)字母,如五棱柱AD
幾何特征:兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對角面都
是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面
是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角
形,由這些面所圍成的幾何體
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、
五棱錐等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐P-ABtDE
幾何特征:側(cè)面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面
相似,其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺:定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面
和底面之間的部分
分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、
五棱臺等
表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺P-ABC。/
幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形
③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)
(4)圓柱:定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋
轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓
的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。
(5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周
所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展
開圖是一個(gè)扇形。
(6)圓臺:定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面
和底面之間的部分
幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);
③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。
(7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)
一周形成的幾何體
幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等
于半徑。
2、空間幾何體的三視圖
定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);
側(cè)視圖(從左向右)、
俯視圖(從上向下)
在:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的
口X俯視窗反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的
長度和寬度;
側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高
度和寬度。
3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法
斜二測畫法特點(diǎn):①原來與X軸平行的線段仍然與X平行且長度
不變;
②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長度
為原來的―i半。
4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積
(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。
(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長,h為高,人為斜高,
1為母線)
C*_cLCC___1-C1,,C*_
cn
U直棱柱側(cè)面積一Q圓柱側(cè)一乙兀D正棱錐側(cè)面積二5。圓錐側(cè)面積一
S正棱臺側(cè)面積=~(c\+。2)〃'S回臺側(cè)面積=(尸+A)加
S圓柱表=+,)S閱錐表=m(r+/)S圓臺表=7r[r2+〃+M+A?)
(3)柱體、錐體、臺體的體積公式
峪=S/z/柱=Sh=Trr-h/=;Sh
%=;(S.+炳+S)〃唳臺=;(5'+7??+5)力=;萬(尸+rR+R2)h
區(qū)網(wǎng)罩
s
[1上底擴(kuò)大1上底縮小1
4S球面=4萬R2
(4)球體的表面積和體積公式:V球一期R
3
4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系
(1)平面
①平面的概念:A.描述性說明;B.平面是無限伸展的;
②平面的表示:通常用希臘字母a、B、丫袤示,如平面a(通
常寫在一個(gè)銳角內(nèi));
也可以用兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母來表示,如平面BC。
③點(diǎn)與平面的關(guān)系:點(diǎn)A在平面a內(nèi),記作Aea;點(diǎn)A不在平面a
內(nèi),記作
點(diǎn)與直線的關(guān)系:點(diǎn)A的直線/上,記作:AG/;點(diǎn)A在
直線/外,記作/小
直再寫牛面的關(guān)系:直線/在平面a內(nèi),記作/ua;直線/不
在平面a內(nèi),記作ea。
(2)公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線
是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。
(即直線在平面內(nèi),或者平面經(jīng)過直線)
應(yīng)用:檢驗(yàn)桌面是否平;判斷直線是否在平面內(nèi)
用符號語言表示公理1:=
(3)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。
推論:一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線確定一平
面;兩平行直線確定一平面。
公理2及其推論作用:①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是
證明平面重合的依據(jù)
(4)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且
只有一條過該點(diǎn)的公共直線
#4:#面a和B相交,交線是a,記作anB=a。
公理3
直說目
線必百
一與首前議判斷點(diǎn)在直綾上即證若干個(gè)點(diǎn)夬線的重要依據(jù)
鬲鋁瓶晶罐置需直線互知平行
①異擊直謖定義:家向在任荷一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線
②異面直線性質(zhì):既不平行,又不相交。
③異面直線判定:過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不
過該店的直線是異面直線
④異面直線所成角:直線。、b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)
0,分別引直線。'〃。,?!ǚ謩t把直線。'和夕所成的銳角(或直
角)叫做異面直線。和匕所成的角。兩條異面直線所成角的范圍
是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩
條異面直線互相垂直。
說明:(1)判定空間直線是異面直線方法:①根據(jù)異面直線的定
義;②異面直線的判定定理
(2)在異面直線所成角定義中,空間一點(diǎn)O是任取的,而和點(diǎn)O
的位置無關(guān)。
②求異面直線所成角步驟:
A、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移
到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出
的角即為所求角C、利用三角形來求角
(7)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,
那么這兩角相等或互補(bǔ)。
(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系
直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).
直線不在平面內(nèi)押交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).
(或直線在平面外)j平行一一沒有公共點(diǎn).
三種位置關(guān)系的符號表示:auaana=Aa〃a
(9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行——沒有公共點(diǎn);a〃8
相交一一有一條公共直線。a
n8=b
5、空間中的平行問題
(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)
線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,
則該直線與此平面平行。
線線平行一線面平行
線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直
線的平面和這個(gè)平面相交,
那么這條直線和交線平行。線面平行n線線
平行
(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)
兩個(gè)平面平行的判定定理
(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么
這兩個(gè)平面平行
(線面平行一面面平行),
(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi),各有兩組相交直線對應(yīng)平行,那么這兩
個(gè)平面平行。
(線線平行f面面平行),
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理
(1)如果兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面
平行。(面面平行一線面平行)
(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平
行。(面面平行一線線平行)
7、空間中的垂直問題
(1)線線、面面、線面垂直的定義
①兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就
說這兩條異面直線互相垂直。
藏吸舞洲翻耦翻1個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂邕
「如
乙如不士走真線邳一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,
么篁S直線童直這個(gè)羊面。
質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平
耀慧直敘鷲鞫翳第理
一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩
金王頑互相磨直。一._
「稔豳物重-........,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他
3鬻顛矗所成的角
F隔軸線相交其中不大于直角的角,
lillllO
,“注£角:過空回任心星Q,4分別作與四條基
理填緩,,噓騫曲交直斑立兩條相交直
做兩條舁面直線法成的角。
■麗f斐e行ilw繾的v角-:規(guī)-定為0。。②平面的垂線與平
JE為90"o
一~的>:產(chǎn)面的1條斜繾也已連平面內(nèi)的
鬟匾需獺溫叫魄做這鎏條懸直線鞭和督金番蜃落住盛角,?小
孱面直線所成漁:“一作,二
證三計(jì)算”。
二點(diǎn)到面的垂線定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上
在解跚的塞魯挖掘題成中兩個(gè)主襄信息:⑴斜線上一點(diǎn)到面
的墨段屋!”博科裝上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直,由
面而垂直性質(zhì)易得垂線?一一一
做晨條直線愈做三
做二面
…圓的面J1一
:以二
《面角。一.
真二反填去工如果兩個(gè)平面
瞿杳關(guān)點(diǎn),過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于
儂粳的科別射致經(jīng)傳卷王到IJ丁聿面角
垂南法:人且知三面第內(nèi);7點(diǎn)到兩2面的垂綾肘,過兩垂線作平面
與兩個(gè)面的父緩耳成的角為二面片的平面角
7、Di
Bi
(1嫦)定義鱷:如*圖徵,OB疆CD—D廣ABC是、單位正
口」,
巫
1)0一叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2)軸,yZ軸叫做坐標(biāo)軸.3)過
每兩個(gè)^^^13貍口O
3葉且n日lx八八,ITz、艮指強(qiáng)需為yMJE
X
iz軸正向,?這使坤可以決靄二軸回電確立置。
向3電荒指…間…見氟需皤逃耦1盤疆急,轡
標(biāo),一記作M(xyz)(x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),
z叫做點(diǎn)M的.豎坐標(biāo))
222
(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式:d=7(X2-X.)+(J2-J.)+(Z2-Z,)
高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題
§1算法初步
?秦九韶算法:通過一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的
值,對于一個(gè)n次多項(xiàng)式,只要作n次乘法和n次加法即可。表
達(dá)式如下:
na
anx++…+a[=((((*x+an_x)x+an_2)x+...)x+%卜+\
例題:秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式
3X6+4X5+5X4+6X3+7X2+8X+1,當(dāng)x=0.4時(shí),
需要做幾次加法和乘步運(yùn)算?答案:6,6
即:(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)%+8)x+1
?理解算法的含義:一般而言,對于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的
求解方法稱為算法,其意義具有廣泛的含義,如:廣播操圖解是
廣播操的算法,歌譜是一首歌的算法,空調(diào)說明書是空調(diào)使用的
算法...(algorithm)
1.描述算法有三種方式:自然語言,流程圖,程序設(shè)計(jì)語言
(本書指偽代碼).
2.算法的特征:
①有限性:算法執(zhí)行的步驟總是有限的,不能無休止的
進(jìn)行下去
②確定性:算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切,而
且必須有輸出,輸出可以是一個(gè)或多個(gè)。沒有
輸出的算法是無意義的。
③可行性:算法的每一步都必須是可執(zhí)行的,即每一步都可
以通過手工或者機(jī)器在一定時(shí)間內(nèi)可以完成,
在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度
3.算法含有兩大要素:①操作:算術(shù)運(yùn)算,邏輯運(yùn)算,函數(shù)
運(yùn)算,關(guān)系運(yùn)算等②控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu),選擇結(jié)構(gòu),
循環(huán)結(jié)構(gòu)
?流程圖:(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的
文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu)的一種圖形程序,它直觀、清
晰、易懂,便于檢查及修改。
注意:1.畫流程圖的時(shí)候一定要清晰,用鉛筆和直尺畫,要養(yǎng)
成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣
2.拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程,反
過來再檢查,比如:遇到判斷框時(shí),往往臨界的范圍或者條件
不好確定,就先給出一個(gè)臨界條件,畫好大致流程,然后檢查
這個(gè)條件是否正確,再考慮是否取等號的問題,這時(shí)候也就可
以有幾種書寫方法了。
3.在輸出結(jié)果時(shí),如果有多個(gè)輸出a一二定要用流程線把所
有的輸出總結(jié)到一起,一起終結(jié)由「PhU'一|
?算法結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu),選擇結(jié)構(gòu)AIIv
直到型循環(huán)
當(dāng)型循環(huán)
I.順序結(jié)構(gòu)(sequencestructure):是一種最簡單最基本的
結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作,一個(gè)
順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。
II.選擇結(jié)構(gòu)(selectionstructure):或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其
中的判斷框,書寫時(shí)主要是注意臨界條件的確定。它有一個(gè)
入口,兩個(gè)出口,執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語句,不能同時(shí)執(zhí)行,
其中的A,B兩語句可以有一個(gè)為空,既不執(zhí)行任何操作,只
是表明在某條件成立時(shí),執(zhí)行某語句,至于不成立時(shí),不執(zhí)
行該語句,也不執(zhí)行其它語句。
III.循環(huán)結(jié)構(gòu)(cyclestructure):它用來解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)
操作問題,分直到型(until)和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見
上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)(即不知
道循環(huán)次數(shù)時(shí))用當(dāng)型循環(huán)。
?基本算法語句:本書中指的是偽代碼(pseudocode),且是
使用BASIC語言編寫的,是介于自然語言和機(jī)器語言之間的
文字和符號,是表達(dá)算法的簡單而實(shí)用的好方法。偽代碼沒
有統(tǒng)一的格式,只要書寫清楚,易于理解即可,但也要注意
符號要相對統(tǒng)一,避免引起混淆o如:賦值語句中可以用x=y,
也可以用x-y;表示兩變量相乘時(shí)可以用“*”,也可以
用“x”
I.賦值語句(assignmentstatement):用<-表示,如:x—y,
表示將y的值賦給x,其中x是一個(gè)變量,y是一個(gè)與x
同類型的變量或者表達(dá)式.
一般格式:“變量一表達(dá)式“,有時(shí)在偽代碼的書寫時(shí)也可以用
y”,但此時(shí)的“二
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