浙江省S9聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省S9聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有〖答案〗必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，表示所有?除余2正整數(shù).所以.故選：C2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題得，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.3.若，則（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所?故選：D4.已知正方體的棱長(zhǎng)為，則點(diǎn)到面的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)面的法向量為，，所以，令，則，所以，，所以到平面的距離，故選：C.5.已知函數(shù).若，則取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，所以是上的增函?shù)，因?yàn)樗裕獾?故選：B.6.數(shù)列的前項(xiàng)的和滿足，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.數(shù)列是常數(shù)列 B.若，則是遞增數(shù)列C.若，則 D.若，則的最小項(xiàng)的值為〖答案〗D〖解析〗A：當(dāng)時(shí)，；①當(dāng)時(shí)，，作差可得，代入可得，與①可能矛盾，故數(shù)列不一定是常數(shù)列，故A錯(cuò)誤；B：由可得，且，所以數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，故B錯(cuò)誤；C：若，則由以上選項(xiàng)可知，所以當(dāng)時(shí)，的偶數(shù)項(xiàng)為，奇數(shù)項(xiàng)為，而，故C錯(cuò)誤；D：若，則，，故時(shí)，的偶數(shù)項(xiàng)為，奇數(shù)項(xiàng)為，則的最小項(xiàng)的值為，故D正確；故選：D.7.直線，直線與平行，且直線與垂直，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橹本€與平行，并且直線，所以，.又因?yàn)橹本€與垂直，所以，.所以.故選：B.8.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，漸近線方程為，焦距為8，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為的右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示由題意知，解得記的右焦點(diǎn)為，即，由雙曲線的定義，得，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)的0分.9.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.C. D.不是平面的一個(gè)法向量〖答案〗BD〖解析〗由為正方體，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則?.對(duì)于選項(xiàng)，，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，則，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，，故，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，故不是平面的一個(gè)法向量，故正確.故選：.10.已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，由題可得，即，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B不正確；對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D不正確.故選：AC.11.已知函數(shù)，則（）A.直線是曲線的切線B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.有三個(gè)零點(diǎn)D.存在等差數(shù)列，滿足〖答案〗BCD〖解析〗，A：令，而，由點(diǎn)斜式可知此時(shí)切線方程為；，由點(diǎn)斜式可知此時(shí)切線方程為；所以直線不是曲線的切線，故A錯(cuò)誤；B：令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時(shí)取得極大值，取得極小值；故B正確；C：因?yàn)椋杂蓡握{(diào)性可知函數(shù)由三個(gè)零點(diǎn)，故C正確；D：取，則，故D正確；故選：BCD非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵谥?，，所以，又，所以，因?yàn)?，所以故〖答案〗為?13.一個(gè)盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字，現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片，若第一次抽取一張卡片，放回后再抽取1張卡片，則兩次抽取的卡片數(shù)字之和不大于6的概率是__________.〖答案〗〖解析〗兩次抽取的試驗(yàn)的樣本空間:，共16個(gè)，兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的事件，共3個(gè)，所以兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的概率是，則不大于6的概率為.故〖答案〗為：.14.已知圓系，圓過(guò)軸上的定點(diǎn)，線段是圓在軸上截得的弦，設(shè).對(duì)于下列命題：①不論取何實(shí)數(shù)，圓心始終落在曲線上；②不論取何實(shí)數(shù)，弦的長(zhǎng)為定值1；③式子的取值范圍是.④不論取何實(shí)數(shù)，圓系的所有圓都與直線相切；其中真命題的序號(hào)是__________.（把所有真命題的序號(hào)都填上）〖答案〗②③〖解析〗對(duì)于①，由圓的方程知，圓心在曲線上，故①不正確.對(duì)于②，由弦長(zhǎng)公式得：弦的長(zhǎng)為，故②正確.對(duì)于③，在圓方程令，可得，或，即由圓方程知，由基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），中，由余弦定理得，的面積為，，，即，故③正確.對(duì)于④，圓心到直線的距離等于，而半徑為，二者不一定相等，故④不正確.故〖答案〗為：②③.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，角所對(duì)的邊分別是，在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，解答下列問(wèn)題，三個(gè)條件為：①；②；③.（1）求角的大??；（2）若，求的值.解：（1）若選①：因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選②：因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選③：因?yàn)?，則，可得且，則，可得，且，所以.（2）由（1）可知：，由余弦定理可得：，又，即，解得.16.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.（1）證明：平面.（2）若，求三棱錐體積.解：（1）記，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因平面平面，且，所以平面.（2）因?yàn)槠矫?，，所以點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離是6，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為8的菱形，且，所以，則四棱錐的體積，三棱錐的體積，三棱錐的體積，故三棱錐的體積.17.設(shè)數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明.解：（1）因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，代入驗(yàn)證，也成立，所以；（3），所以，所以.18.已知橢圓的離心率為且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為左右焦點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）P是橢圓上任意一點(diǎn)，求的取值范圍；（3）過(guò)橢圓左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值.解：（1）由題意得，解得，橢圓的方程為；（2）設(shè)在橢圓上，，；（3）由（1）得，橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，則直線的斜率存在時(shí)方程為：，設(shè)，聯(lián)立，消去，得，顯然，則，所以，點(diǎn)O到直線的距離，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即不存在時(shí)，取“=”，所以當(dāng)不存在時(shí)，面積的最大值為.19.（1）已知，求的最大值與最小值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）若關(guān)于的不等式存在唯一的整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，令，解得的變化情況如下表所示.1+0-單調(diào)遞增單調(diào)遞減1所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，有極大值，也是的最大值.又因?yàn)?，而，所以，所以為的最小值?）且，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增（3）解法一：因?yàn)?，所以不等式可化為，由?）可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因?yàn)榈淖畲笾?，，所以時(shí)，最大，所以不等式，即存在唯一的整數(shù)解只能為1，所以，所以的取值范圍為；解法二：令