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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省S9聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知:1.本卷共4頁滿分150分,考試時間120分鐘;2.答題前,在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有〖答案〗必須寫在答題紙上,寫在試卷上無效;4.考試結(jié)束后,只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,則()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?,表示所有?除余2正整數(shù).所以.故選:C2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題得,則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:D.3.若,則(
)A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?,所?故選:D4.已知正方體的棱長為,則點(diǎn)到面的距離為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,所以,,設(shè)面的法向量為,,所以,令,則,所以,,所以到平面的距離,故選:C.5.已知函數(shù).若,則取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?,所以是上的增函?shù),因?yàn)樗?,解?故選:B.6.數(shù)列的前項(xiàng)的和滿足,則下列選項(xiàng)中正確的是()A.數(shù)列是常數(shù)列 B.若,則是遞增數(shù)列C.若,則 D.若,則的最小項(xiàng)的值為〖答案〗D〖解析〗A:當(dāng)時,;①當(dāng)時,,作差可得,代入可得,與①可能矛盾,故數(shù)列不一定是常數(shù)列,故A錯誤;B:由可得,且,所以數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列,故B錯誤;C:若,則由以上選項(xiàng)可知,所以當(dāng)時,的偶數(shù)項(xiàng)為,奇數(shù)項(xiàng)為,而,故C錯誤;D:若,則,,故時,的偶數(shù)項(xiàng)為,奇數(shù)項(xiàng)為,則的最小項(xiàng)的值為,故D正確;故選:D.7.直線,直線與平行,且直線與垂直,則()A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗B〖解析〗因?yàn)橹本€與平行,并且直線,所以,.又因?yàn)橹本€與垂直,所以,.所以.故選:B.8.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,漸近線方程為,焦距為8,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)為的右支上的一點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示由題意知,解得記的右焦點(diǎn)為,即,由雙曲線的定義,得,即所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線段上時等號成立,所以的最小值為.故選:C.二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對得6分,部分選對得部分分,有錯的0分.9.如圖,已知正方體的棱長為分別為棱的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的為()A. B.C. D.不是平面的一個法向量〖答案〗BD〖解析〗由為正方體,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則?.對于選項(xiàng),,則,故錯誤;對于選項(xiàng),,則,故正確;對于選項(xiàng),,故,故錯誤;對于選項(xiàng),,故不是平面的一個法向量,故正確.故選:.10.已知正數(shù)滿足,則下列選項(xiàng)正確的是()A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A,由題可得,即,故A正確;對于B,因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故B不正確;對于,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故正確;對于D,,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故D不正確.故選:AC.11.已知函數(shù),則()A.直線是曲線的切線B.有兩個極值點(diǎn)C.有三個零點(diǎn)D.存在等差數(shù)列,滿足〖答案〗BCD〖解析〗,A:令,而,由點(diǎn)斜式可知此時切線方程為;,由點(diǎn)斜式可知此時切線方程為;所以直線不是曲線的切線,故A錯誤;B:令,解得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故時取得極大值,取得極小值;故B正確;C:因?yàn)?,所以由單調(diào)性可知函數(shù)由三個零點(diǎn),故C正確;D:取,則,故D正確;故選:BCD非選擇題部分三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.在中,內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為,且則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)樵谥?,,所以,又,所以,因?yàn)?,所以故〖答案〗為?13.一個盒子中裝有4張卡片,卡片上分別寫有數(shù)字,現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片,若第一次抽取一張卡片,放回后再抽取1張卡片,則兩次抽取的卡片數(shù)字之和不大于6的概率是__________.〖答案〗〖解析〗兩次抽取的試驗(yàn)的樣本空間:,共16個,兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的事件,共3個,所以兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的概率是,則不大于6的概率為.故〖答案〗為:.14.已知圓系,圓過軸上的定點(diǎn),線段是圓在軸上截得的弦,設(shè).對于下列命題:①不論取何實(shí)數(shù),圓心始終落在曲線上;②不論取何實(shí)數(shù),弦的長為定值1;③式子的取值范圍是.④不論取何實(shí)數(shù),圓系的所有圓都與直線相切;其中真命題的序號是__________.(把所有真命題的序號都填上)〖答案〗②③〖解析〗對于①,由圓的方程知,圓心在曲線上,故①不正確.對于②,由弦長公式得:弦的長為,故②正確.對于③,在圓方程令,可得,或,即由圓方程知,由基本不等式得(當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立),中,由余弦定理得,的面積為,,,即,故③正確.對于④,圓心到直線的距離等于,而半徑為,二者不一定相等,故④不正確.故〖答案〗為:②③.四、解答題:本大題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中,角所對的邊分別是,在下面三個條件中任選一個作為條件,解答下列問題,三個條件為:①;②;③.(1)求角的大??;(2)若,求的值.解:(1)若選①:因?yàn)?,由正弦定理可得,且,則,可得,且,所以;若選②:因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?,且,則,可得,且,所以;若選③:因?yàn)椋瑒t,可得且,則,可得,且,所以.(2)由(1)可知:,由余弦定理可得:,又,即,解得.16.如圖,在四棱錐中,四邊形是菱形,.(1)證明:平面.(2)若,求三棱錐體積.解:(1)記,因?yàn)樗倪呅问橇庑?,所?因?yàn)槠矫嫫矫妫?,所以平?因?yàn)槠矫?,所?因平面平面,且,所以平面.(2)因?yàn)槠矫?,,所以點(diǎn)到平面的距離為,因?yàn)?,所以點(diǎn)到平面的距離是6,因?yàn)樗倪呅问沁呴L為8的菱形,且,所以,則四棱錐的體積,三棱錐的體積,三棱錐的體積,故三棱錐的體積.17.設(shè)數(shù)列滿足,且.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和,并證明.解:(1)因?yàn)?,所以,又,所以?shù)列是以4為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.(2)由(1)得,當(dāng)時,代入驗(yàn)證,也成立,所以;(3),所以,所以.18.已知橢圓的離心率為且橢圓經(jīng)過點(diǎn),為左右焦點(diǎn).(1)求橢圓方程;(2)P是橢圓上任意一點(diǎn),求的取值范圍;(3)過橢圓左焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),求面積的最大值.解:(1)由題意得,解得,橢圓的方程為;(2)設(shè)在橢圓上,,;(3)由(1)得,橢圓的左焦點(diǎn),右焦點(diǎn),則直線的斜率存在時方程為:,設(shè),聯(lián)立,消去,得,顯然,則,所以,點(diǎn)O到直線的距離,則,當(dāng)且僅當(dāng),即不存在時,取“=”,所以當(dāng)不存在時,面積的最大值為.19.(1)已知,求的最大值與最小值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(3)若關(guān)于的不等式存在唯一的整數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)因?yàn)椋?,令,解得的變化情況如下表所示.1+0-單調(diào)遞增單調(diào)遞減1所以,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.當(dāng)時,有極大值,也是的最大值.又因?yàn)椋?,所以,所以為的最小值?)且,當(dāng)時,在單調(diào)遞減;當(dāng)單調(diào)遞減,單調(diào)遞增(3)解法一:因?yàn)?,所以不等式可化為,由?)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.因?yàn)榈淖畲笾?,,所以時,最大,所以不等式,即存在唯一的整數(shù)解只能為1,所以,所以的取值范圍為;解法二:令
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