高二年級下冊期末真題（壓軸60題35個考點）（高中全部內(nèi)容）-【滿分全攻略】2022-2023學年高二數(shù)學下學期核心考點+重難點講練與測試滬教版

高二下期末真題精選（壓軸60題35個考點專練）

一.元素與集合關系的判斷（共2小題）

1.（2022春?楊浦區(qū)校級期末）已知集合A=［S,s+/］IJ代，t+1］.其中1CA且st-記

f（x）J，工，且對任意xeA,都有f（x）CA,則s+r的值是_號或搟一

X-l

【分析】根據(jù)兩端區(qū)間和x=\的關系分三種情況討論：x=\在［s,s+工］U［f,什1］左邊，在［s,

6

［r,f+1］之間,在［s,U［6什1］右邊三種情況，根據(jù)單調(diào)性可得/（X）的值域，從而確定定義域與值

域的關系，列不等式求解即可.

【解答】解：①當S>1時，f（x）=1+看在區(qū)間即呻"，什1］上單調(diào)遞減,

:.f(X)6［1+2,1+—2“1+-2-

tt-1u至S-1

s6

25_21即一"一=t+12

+6-T+1,.,/-t-12=0,

t-lt-16t

Vt>1)/.t—4,s=3

2

.,.s+r=-^.

2

②當s+J^ClCf,即s<S時，此時區(qū)間［s,x=l左側(cè)，［f,r+l］在x=l右側(cè),

66

■：f(x)=三包在區(qū)間［s,s+1］上為減函數(shù),

x-l6

7

1s+F

當x6[s,s+,],f(x)G|—駕],

6s力sT

6

7

W，駕回s,

Z>1,?'

s+1-S-1

s^

s+1/1

<s+?

s-1

7

s+6

~5>s

5飛■

2_5__

s+1》s

'6s6

625

ss卞s

6

522s《《0

bb

2117j

SW>。

S~6

；.s2』s-二=0,即(25+1)(3s-7)=0,

6s6

1

—■1"f

62

此時區(qū)間［r,f+1］在x=l右側(cè),

當xe[r,r+1]時,

f(x)e[^-,

tt-l

?.?主2>i,[主！2,t+\],

ttt-l

t+1/1

三1<t+]

t>2,解得：f=2,

：.\，此時

t+2、(t-2)(t+l)<0

2

③當即/<0時，x=l在[s,s+&U[f,f+1]右邊.

6

此時f(x)=1+-2在區(qū)間［s,up,f+l］上單調(diào)遞減,

X-1

：.fCx)e[l+2,1+-^1U[1+—^―,1+—2_|,

tt-r$臣s-r

Hy>sg---D-

且，6

一2,1

]+2〔<t+1

s-1

t<-^-

S-1□

g----

一2,且，6

b卷4t

S^S-1

冬+產(chǎn)+L即一2_=t+12-12=0,

t-16tt-16t

Vr<l,Ar=-3,5=—,不滿足s+1"V九

36

綜上，s+r的值為旦或3.

22

故答案為：旦或3.

22

【點評】本題主要考查了根據(jù)單調(diào)性求解值域的問題，需要根據(jù)題意，結(jié)合分式函數(shù)的圖象，依據(jù)端點

與特殊值之間的關系進行分類討論，同時需要根據(jù)值域的包含關系確定參數(shù)的取值范圍.求解過程中需

要統(tǒng)一分析，注意不等式之間相似的關系整體進行求解.屬于難題.

2.(2020秋?楊浦區(qū)校級期末)己知集合4=[3f+l]U[f+4,r+9],OCA,存在正數(shù)入，使得對任意西4,都

有acA,則t的值是1或7.

a

【分析】1>0時，當。=，時，1二4t+9；當〃=汁9時，入=z(桂9)；當a=f+l時，義-2什4,當。=

aa

―4時，入=(r+1)(r+4),從而r(r+9)=(r+1)(r+4),解得，=1；當E+1V0V/+4時，當4日/,f+1]時，

則3?€上，r+1].當。曰/+4,1+9],當a=f時，義-Wf+l,當。=什1時，工-23即入=r(/+l),當〃=

aaa

什4時，——W/+9,當。=汁9時，入=(什4)(r+9),從而=(r+4)(r+9),解得￡=-3.當f+9

a

V0時，無解.

【解答】解：當/>0時，當花上，什1]時，則」^日什4,什9],

a

當。4/+4,7+9]時，則—E[6/+1],

a

即當。=/時，2^t+g；當a=/+9時，3-2%即入=/（什9）；

aa

入入

當〃=什1時，—^r+4,當〃=什4時，—^/+1,即入=（什1）（什4）,

aa

a

當aW[什4,什9],則。日桂4,r+9],

a

即當〃=/時，A^z+i,當〃=汁1時，三力，即人=/（什1）,

aa

入X

即當。=什4時，W/+9,當。=什9時，2什4,即入=（/+4）（什9）,

aa

.*.r(r+1)=(r+4)(什9),解得，=-3.

當什9<0時，同理可得無解.

綜上，f的值為1或-3.

故答案為：1或-3.

【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查元素與集合的關系、分類討論思想等基礎知識，考查運算求解能

力，是難題.

二.命題的真假判斷與應用(共2小題)

3.(2020秋?閔行區(qū)期末)已知函數(shù)f(乂)=|x4|，給出下列命題：

①存在實數(shù)小使得函數(shù)y=f(x)+fCx-a)為奇函數(shù)；

②對任意實數(shù)a,均存在實數(shù)〃?，使得函數(shù)y=/(x)+/'(x-a)關于對稱；

③若對任意非零實數(shù)a,/(x)+f(x-a)2%都成立，則實數(shù)上的取值范圍為(-8,4］；

④存在實數(shù)上使得函數(shù)(x)-無對任意非零實數(shù)。均存在6個零點.

其中的真命題是②③.(寫出所有真命題的序號)

【分析】利用特殊值法可判斷①的正誤；驗證g(a-x)=g(x),可判斷②的正誤；利用基本不等式可

判斷③的正誤；當。>0時，分析出函數(shù)gG)在(a,+8)上先遞減再遞增，記g(x)gg(xo),可

得出k>〃?辦｛a+生g(xo)),利用《>a+?支不恒成立，可判斷④錯誤，同理得知，當時，命題④也

aa

不成立，從而得出命題④為假命題.

【解答】解：令g(x)—f(x)+f(x-a),

函數(shù)的定義域為｛小云。｝,且/(-x)=\-x-—|=|x+—1=/(x),

XX

：.f(x)為偶函數(shù).

對于①，若。=0,則g(x)=2|x+」l，：.g(1)=2=g(-1),此時，函數(shù)g(x)不是奇函數(shù)；

X

若aKO,則g(x)的定義域為{4x#O,且x關a},

2

而g礙)=2八條)年華>0,g(-亮)=吟+2|+|等務>0,顯然g(由K-g(-A),

221al22a23a22

綜上所述，對任意x￡R,函數(shù)y=/(x)都不是奇函數(shù)，即①錯誤；

對于②，g(〃-x)=f(〃-x)4/(-x)=f(x-a)+f(x)=g(無),

函數(shù)y=/(x)+fCx-a)關于直線x=5對稱，

???對任意實數(shù)a,均存在實數(shù)〃?，使得函數(shù)y=/(x)+/(x-a)關于x=〃，對稱，即②正確；

=2

對于③，f(x)=|x+-i-|=|x|,當且僅當尢=±1時，等號成立，

f(x-a)=|(x-a)+—^|=|x-a\+~.--r>2./I?_aI__=2,當且僅當x=a±l時，等號成

x-aIx-aIVIx-aI

乂,

:?g(x)=f(x)+f(x-a)24,

???aW。，???當a=±2時，兩個等號可以同時成立，???AW4,

?,?實數(shù)攵的取值范圍是(-8,4],即③正確;

對于④，假設存在實數(shù)上使得直線y=Z與函數(shù)g(x)的圖象有6個交點,

若a>0,當0<x<a時，g(x)=x+—+a-x+——=a+—#~~—=a^--5-----------------

xa-xx(a-x)「a2

T《一萬)x

此時，函數(shù)g(x)在(0,A)上單調(diào)遞減，在(且，〃)上單調(diào)遞增,

22

2-A

當OVxV。時，g(X)min=g(―)=超+4.=〃+3

2aa

當時，任取犬I、X2E(〃，+8),且X1>_X2,即X1>JV2>〃，

貝!jg(xi)-g(X2)=(xi+-^-+xi-a+——-——)-(X2+—^-+A：2-a+——-——)

x?Xj-ax2X2-a

=2(XI-X2)+(—^-」-)+(——---——1-)

X[x2x「ax2-a

x9-xix9-xi

=2(XLX2)+-----------+--------------------r

x2lx】-a)(X2-aJ

=(xi-0[2---------------------------]，

Xjx2(X]-a)(x2-a)

*/x]>x2>a,.*.2--------------3---------丁隨著xi、X2的增大而增大,

X]乂2(X]-a)(x2-a)

當xi~*a且xi-^a時，[2---------------二------]-*-00;

X]X2⑸-a)(x2-a)

當+8且X2f+8時，[2—----------3-----—J->2,

勺(XI-a)(x2-a)

工存在％0>m使得2VxiVxo時，[2-——-------3....-]<0,則g(xi)Vg(%2),

Xjx2(x1一a)(x2-a)

.??函數(shù)g(x)在(4,XO)上單調(diào)遞減；

當Xl>X2>X0時，[2-----------3------]>0,則g(XI)>g(X2),

Xjx2(X[-a)(x2-a)

???函數(shù)g(X)在(刈，+8)上單調(diào)遞增，

???當時，g(X)min=g(XO).

若存在實數(shù)&,使得函數(shù))，=/(x)-%對任意非零實數(shù)。均存在6個零點，即直線)，=%與函

數(shù)g(x)的圖象有6個交點，

由于函數(shù)g(x)的圖象關于直線尸"I對稱，

則直線)，=%與函數(shù)g(x)在直線右側(cè)的圖象有3個交點，

..k>max\a+—ig(xo)}2。+生

aa

由于2為定值，當。22且當。逐漸增大時，什馬也在逐漸增大，

a

不可能恒成立，

a

...當a>0時，不存在實數(shù)k,使得函數(shù)y=/(x)(x-a)-k對任意非零實數(shù)。均存在6個零點，

同理可知，當”<0時，不存在實數(shù)A,使得函數(shù)y=f(x)t/lG-q)-%對任意非零實數(shù)a均存在6個

零點，

...④錯誤.

故答案為：②③.

【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，零點問題，恒成立與存在性等問題，具有很強的綜合性，考查學生的邏

輯推理能力、運算求解能力，屬于難題.

4.(2021秋?寶山區(qū)校級期末)己知真命題：“函數(shù)y=/(x)的圖象關于點尸(a,b)成中心對稱圖形”的

充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)-6是奇函數(shù)”.

(1)將函數(shù)g(x)=4-37的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應的函數(shù)

解析式，并利用題設中的真命題求函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標；

(2)求函數(shù)〃(X)=I。g0-在-圖象對稱中心的坐標；

(3)已知命題：“函數(shù)y=/(x)的圖象關于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)〃和6,使

得函數(shù))，=f(x+a)-6是偶函數(shù)”.判斷該命題的真假.如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請

說明理由，并類比題設的真命題對它進行修改，使之成為真命題(不必證明).

【分析】(1)先寫出平移后圖象對應的函數(shù)解析式為y=(x+1)3-3(x+1)2+2,整理得y=4-3x,由

于函數(shù)),=x3-3x是奇函數(shù)，利用題設真命題知，函數(shù)g(x)圖象對稱中心.

(2)設〃(x)=i0g2的對稱中心為PCa,b),由題設知函數(shù)刀(x+a)是奇函數(shù)，從而求出

24-x

a,〃的值，即可得出圖象對稱中心的坐標.

(3)此命題是假命題.舉反例說明：函數(shù)/(x)=x的圖象關于直線＞=-x成軸對稱圖象，但是對任意

實數(shù)。和b,函數(shù)y=f(x+a)-b,即y=x+a-6總不是偶函數(shù).修改后的真命題：“函數(shù)y=f(x)的圖

象關于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù))，=/(x+a)是偶函數(shù)”.

【解答】解：(1)平移后圖象對應的函數(shù)解析式為y=(x+1)3-3(x+1)2+2,整理得y=/-3x,

由于函數(shù)y=4-3x是奇函數(shù)，由題設真命題知，函數(shù)gG)圖象對稱中心的坐標是(1,-2).

(2)設〃(x)二知名上工的對稱中心為P(a,b),

由題設知函數(shù)/?(x+a)-Z?是奇函數(shù).

lx+a)

設/(x)=h(x+n)-b,則f(x)=log,.--h,

524-(x+a)

+d

即/(X)=log2y*^-b-

^4-x-a

由不等式絲!2曳〉0的解集關于原點對稱，則-“+(4”)=0,得4=2.

4-x-a

2x+2

此時。(x)=lngn'\'-b,A-e(-2,2).

iog

24-(x+2)

任取球(-2,2),由f(-x)+f(x)=0,得6=1,

所以函數(shù)"(x)=i°g.圖象對稱中心的坐標是(2,1).

(3)此命題是假命題.

舉反例說明：函數(shù)f(x)=》的圖象關于直線y=-x成軸對稱圖象，

但是對任意實數(shù)。和b,函數(shù)y=/(x+a)-b,即y=x+a-總不是偶函數(shù).

修改后的真命題：“函數(shù)y=/(x)的圖象關于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)(x+a)

是偶函數(shù)”.

【點評】本小題主要考查命題的真假判斷與應用，考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)的

對稱性等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.

三.簡單線性規(guī)劃(共1小題)

3x-y-6<0

5.(2021春?黃浦區(qū)校級期末)設x,y滿足約束條件,x-y+2》0,若目標函數(shù)z=ar+勿(。>0,Z?>0)

x)0,y》0

的值是最大值為12,則2e的最小值為25.

ab一6一

【分析】先根據(jù)條件畫出可行域，設z=or+3y,再利用幾何意義求最值，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，

只需求出直線z=or+by,過可行域內(nèi)的點(4,6)時取得最大值，從而得到一個關于a,b的等式，最后

利用基本不等式求最小值即可.

【解答】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,

當直線以+8y=z(a>0,匕>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(4,6)時,

目標函數(shù)z="x+外(a>0,6>0)取得最大12,

艮fl4a+6匕=12,即2a+36=6,

畔告得)膂？抬)痔+2嚕

故答案為：25.

6

【點評】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值,

屬于基礎題.

四.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷(共1小題)

6.(2020秋?虹口區(qū)期末)設/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x20時，/(x)=/,若對任意的

t+2],不等式/(x+f)^2f(x)恒成立，則實數(shù)f的取值范圍是()

A.[V2,―)B.[2,+8)C.(0,2]D.[-V2,-1]U[V2,V3]

【分析】法一：2/'(x)由題意可知f(x)為R上的增函數(shù)，故對任意的f+2],不等式

f(x+/)Xx)恒成立可轉(zhuǎn)化為x+t)J5x對任意的X6［f，r+2］恒成立，此為一次不等式恒成立，解決

即可.也可取那個特值排除法.

法二：當x20時，/(x)=/,當xWO時，/(x)=-7,/(x)是R上的增函數(shù)，從而/(x+f)邛近X)，

x+f>V^x，進而(2-衣)f22(V2-1)，由此能求出結(jié)果.

【解答】解法一：(排除法)當t=&貝iJx€［亞，亞+2］得f鼠偵)》2f(X)，

即仁+\^)2〉2*2=*2-2&*-240在代［&，亞+2］時恒成立，

而*2-2五x-2最大值，是當x=J1+2時出現(xiàn)，故x2-2五x-2的最大值為

則/(x+r)>2f(X)恒成立，排除B項，

同理再驗證f=3時，f(x+t)^2f(x)恒成立，排除C項，

f=-1時，f(x+f)訓(x)不成立，故排除D項

故選：A.

解法二：???/(x)是R上的奇函數(shù)，當天20時，/(x)=/,

???當xWO時，f(x)=-，，

：.f(x)是R上的增函數(shù)，

??,對任意尤上，什2),f(x+r)^2f(x)恒成立，

.??/(x+r)之(我x)，Ax+r>V2x.

(V2-1)x,其中9t+2］,

(a-1)(t+2)，

.,心(V2-I)t+2(V2-1),

(2-V2)e2(V2-1),

...2(V2-1)=yf2.

2-V2

故選：A.

【點評】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應用：利用單調(diào)性處理不等式恒成立問題.將不等式化為/(〃)kS

形式是解題的關鍵.

五.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷(共1小題)

7.(2022春?上海期末)設a為實數(shù)，函數(shù)/(x)=?+|x-a|-1,xGR

(1)討論f(x)的奇偶性;

(2)求f(x)的最小值.

【分析】(1)用特殊值法判斷函數(shù)及不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；

(2)先判斷函數(shù)的單調(diào)性再求最值.

【解答】解：(1)當a—0時，函數(shù)/(-x)—(-x)2+|-x|-1=x2+|x-a|-1=f(x),此時，f(x)為

偶函數(shù).

當aWO時，f(a)=a2-1,/(-a)=a2+2|a|-bf(a)Wf(-a),f(a)W-/(-a),

此時/(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(2)①當xWa時，f(尤)=)+|x-a\-\-x+a-1=(x-—)2+a-—,

24

當?時，函數(shù)/(x)在(-8,0上單調(diào)遞減，從而函數(shù)/(外在(-8,0上的最小值為/(〃)=

a2-1.

若。>"則函數(shù)/(x)在(-8,上的最小值為f(A)=a-

②當x^a時，函數(shù)f(x)=x2+|x--l=/+x-a-1=(x+—)2-a--,

24

若工時，則函數(shù)/(x)在［a,+8)上的最小值為/(-工)

224

若則函數(shù)/(X)在［〃，+8)上單調(diào)遞增，從而函數(shù)/(X)在3,4-00)上的最小值為/(〃)=

a2-

綜上，當〃W-時，函數(shù)/(工)的最小值為-a-

24

時，函數(shù)/G)的最小值為“2-1,

當時，函數(shù)f(x)的最小值為a-5.

24

【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及二次函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值，考查分類討論思想，

綜合性較強，運算量較大.

六.奇偶函數(shù)圖象的對稱性(共1小題)

8.(2020秋?楊浦區(qū)校級期末)若直角坐標平面內(nèi)兩點P、。滿足條件：①P、。都在函數(shù)/(X)的圖象上；

②P、Q關于原點對稱，則對稱點(P,。)是函數(shù)/(x)的一個“友好點對”(點對(P,Q)與(。，P)

2X2+4X+1,X<0

看作同一個“友好點對”).已知函數(shù)f(x)=［2則/~(x)的“友好點對”有2個.

—X,x/0

e

【分析】根據(jù)題意：“友好點對”，可知，欲求/(x)的“友好點對”，只須作出函數(shù)y=2?+4x+l(xVO)

的圖象關于原點對稱的圖象，看它與函數(shù)y=2.(x20)交點個數(shù)即可.

X

e

【解答】解：根據(jù)題意：“友好點對”，可知，

只須作出函數(shù)y=2?+4x+l(x<0)的圖象關于原點對稱的圖象，

看它與函數(shù)y=2(x>0)交點個數(shù)即可.

X

e

如圖，

觀察圖象可得：它們的交點個數(shù)是：2.

即/(x)的“友好點對”有：2個.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了奇偶函數(shù)圖象的對稱性，以及數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關鍵在于對“友好點對”

的正確理解，合理地利用圖象法解決.

七.抽象函數(shù)及其應用(共1小題)

9.(2022春?長寧區(qū)校級期末)(理)已知定義在R上的函數(shù)/(x),對任意實數(shù)xi,X2都有/(X1+X2)=\+f

(xi)+fCx2),且/(I)=1.

(1)若對任意正整數(shù)〃，有加=/(工)+1,求G、a2的值，并證明｛?｝為等比數(shù)列：

2n

(2)設對任意正整數(shù)”，有bn———若不等式匕“+1+匕"+2+…+62”>-CLlog2(x+1)對任意不小于2的

f(n)35

正整數(shù)〃都成立，求實數(shù)x的取值范圍.

【分析】(1)利用賦值法，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明｛⑶｝為等比數(shù)列：

(2)求出岳的表達式，利用數(shù)列的單調(diào)性，即可求出x的取值范圍.

【解答】解：⑴令Xi=X2="得f(l)=l+f(,)+f(/)，

則fg)=0,a[=f6)+1=1“7分

令x1=x2春得fgE+fe)+f令)，

則f4)=等22=4)+4“2分

,

^x1=x2=-ir得f(-+f

*42"+i2n十12n+i212【

即f&)=l+2fTf)，…4分

2n2nH

則f(±)+1=2[1+fTr)]，?！?2〃〃+1

2n2nH

所以，數(shù)列｛“八｝是等比數(shù)列，公比q=/,首項“1=1.…6分

(2)令Xl=〃，X2=l,得f(k+l)=1^(1)即f(〃+1)=f(72)+2

則｛/(〃)｝是等差數(shù)列，公差為2,首項/(I)=1,

故/(〃)=1+(n-1)*2=2n-1,…8分

設g(n)=bn+1+L+2+…+b2n號熹+…福，

-=>0,

則g(n+1)-g(n)=4n+1,4n+32n+l(4n+l)(4n+3)(2n+l)

所以｛g(〃)｝是遞增數(shù)列，g1nm=g(2)V啜，…”分

從而提"log?(x+l)<景，即log2(x+1)<2…12分

ob乙ob

x+l>°,解得xe(-1,3).…14分.

則4

x+l<4

【點評】本題主要考查等比數(shù)列的定義和應用，綜合考查學生的計算能力，運算量較大，難度不小.

A.函數(shù)恒成立問題(共3小題)

"nxx40

10.(2021春?楊浦區(qū)校級期末)已知f(x)=]'、.

log2x,x>0

(1)s>0,>0,sWf,比較/(s)+『(t)+1與/(s)+f(r)+f(5)f(r)的大??；

(2)設k和〃?均為實數(shù)，滿足以下兩個條件：

①當xe(-8,加]時，/a)的最大值為1,此時機的取值集合記為A；

②對任意且xe(-8,加],不等式/(x)-(%-2)"?+3Z-10恒成立；求女的取值范圍:

(3)設r為實數(shù)，若關于x的方程,/[/(x)]-log2(f-x)=0恰有兩個不相等的實數(shù)根xi、且xi<x2.

試將2々+1082乂2+2-除「1|+除2-1］表示為關于，的函數(shù)，并寫出此函數(shù)的定義域.

【分析】(1)設/(s)=x,f(r)=y,x^y,將原式變換成/+/+1-(x+y+xy),再結(jié)合配方的知識,

即可求解.

(2)①由于/(x)的最大值為1,分xWO、x>0兩種情況討論，②結(jié)合含參方程得求法、以及均值不等

式，即可求解.

(3)當xWl時:2x=t-x,1</<3,當x>l時，log2x=f-x,f>l,再結(jié)合對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)得知

識，即可求解.

【解答】解：(1)設f(s)=x,f(t)=y,

由題意可得，jr+y2+l-(x+y+xy)=y(x2-2x+l)+y(y2-2y+l)+y(x2_2xy+y2)

=y(x-l)2-*-y(y-l)2+y(x-y)2>0>

(s)+f(r)+1>/(y)+f(r)t/(s)f(t).

(2)①令log”=l,得尤=2,令2"=1得x=l,

.??0W/MW2,即m={，川0WmW2}.

②二?不等式f(x)Wm2-(攵-2)"?+3Z-10恒成立,

???根2-(%-2)m+3k-102/(x)max—1,

Am2-(攵-2)m+3Z-11，0對任意能10,2］都成立,

???*3-團<3,

??k》(m-3)-^+8，

m-3

(m-3)-4+8=4，當且僅當初-3=—即機=1時等號成立,

m-3m-3

?■?攵24,

???攵得取值范圍為［4,+8).

2X,x<0

(3)f(x)=<

log2x,x>0

X,x<1

"ffCx)=|log(logx),

22x>f

①當時，方程j\f(x)］-log2(/-X)=0變?yōu)閄=log2(/-X),

即1VW3,

②當X>1時，方程/(/(x)］-log2(f-x)=0變?yōu)閘og2(10g2X)=log2(L"),

KPlog2x=r-x,r>L

X2分別是方程2』LR,log2X=LX的兩個根且工1VX2<7,

X：+,

,*?t=2+xJ=log2X2x2得乂2二2*3將其代入，=2~+x1可得用+—，

*/2，i+1ogXs>+2T%i-”+lk-1|=(r-xi)+(r-X2)+2-(1-xi)+(x2-1)=2t,

22

.??函數(shù)得定義域為(1,3］.

【點評】本題考查一元二次函數(shù)的配方、以及不等式恒成立問題，以及對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的知識，綜

合性強，屬于難題.

11.(2021秋?浦東新區(qū)校級期末)已知f(x)^

(1)分別求/(X)、g(x)的定義域，并求(x)的值；

(2)求/(x)的最小值并說明理由；

(3)若『G+x+l，b=/,c=x+l,是否存在滿足下列條件的正數(shù)f,使得對于任意的正數(shù)x,人

從c都可以成為某個三角形三邊的長？若存在，則求出f的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)利用被開放數(shù)大于0可求函數(shù)的定義域，直接相乘化簡即可；

(2)先考慮我去>2,再說明函數(shù)才與丫^乂4+1在(-8,1］上均為減函數(shù)，在口,

+8)上均為增函數(shù)，從未求出函數(shù)的最小值.

(3)利用構(gòu)成三角形的條件，轉(zhuǎn)化為恒成立問題利用(1)(2)的結(jié)論可確定.

【解答】解：⑴f(x)、g(x)的定義域均為(0,+8)；…(2分)

f(x)"g(x)=(Vx+r~)2-(x+^+1)=1.…(4分)

VxX

(2)',',x/x+^2,(Vx+r-)2>4nx+^>2?…(7分)

VJX-VXX

易知函數(shù)y二4二^與在(-8,1］上均為減函數(shù)，在［1,+8)上均為增函數(shù)，

?t?f(x)mi?=f(1)=2+V3--(10分)

⑶：aWx2+x+l<x+l=c，…（11分）

+tVx>x+l

+（x+i）>

由⑴知，f（x）?g（x）=l=g（x）1y，

Vf（x）>2+V3.-g（）=z1<2-V3?BIJt>2-V3.…（匕分）

xfixx）

由（2）知，f（x）>2+73.t<2+V3.???（17分）

綜上，存在tE(2-V3,2+V3),滿足題設條件.…(18分)

【點評】本題主要考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，將是否存在性問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題時解題的關

鍵.

12.(2021秋?浦東新區(qū)校級期末)對于函數(shù)y=/(x),xED,設區(qū)間/是。上的一個子集，對于區(qū)間/上任

意的XI,X2,X3.當X1<%2VX3時，如果總有---------------<----------------,則稱函數(shù)y=/(x)

-X

X2lX3-X2

是區(qū)間/上的T函數(shù).

(1)判斷下列函數(shù)是否是定義域上的T函數(shù)：①y=f,②y=2x+l；

(2)已知定義域上的嚴格增函數(shù)y=/(x)也是定義域上的T函數(shù)，試問：(x)是否是定義域上

的T函數(shù)？若是，請給出證明；若不是，請說明理由；

(3)若函數(shù)y=f(x)為區(qū)間/上的T函數(shù)，證明：對于任意的xi,X2日和任意的入€(0,1),總有五右1+

(1-入)X2]<Af(XI)+(1-A)f(X2).

【分析】(1)利用作差法，結(jié)合7函數(shù)的定義即可逐個判定；

(2)y=f'(x)不是定義域上的7函數(shù)，由反函數(shù)的性質(zhì)及7函數(shù)的定義即可證明；

(3)假設用<%2,則幻<右1+(1-X)X2<X2,利用T函數(shù)的定義化簡即可得證.

【解答】解：（1）①當XI<X2時，

f（X）-f（Xj）f（X）-f（X）x2-xJ222

2322X3-X2

（）（+）<0

--------v-------V-------------v-------V---------------v------Vv-V-----------------X---?--+--X---i--O-X乙OXn1=Xu<-Xq>

x2x1x3x2x2x1x3x2

所以①是定義域上的T函數(shù)；

I,,f（x）-f（x1）f（x）-f（x）

②當JC1<X2<X3時，----2--------J-------------3------------2=

-X

X2lX3-X2

（2xn+l）~（2xi+l）（2xo+l）~（2Xo+1）

------4----------------1----------------i-------------々-------=2-2=0,

x2-xlx3-x2

所以②不是定義域上的7函數(shù).

(2)y=f'(x)不是定義域上的7函數(shù)，理由如下：

因為y=/(x)是定義域上的嚴格增函數(shù)，

所以當X1<JC2<A3時，f(XI)<f(X2)<f(X3)>即丫1<”<>3,

若原函數(shù)為增函數(shù)，則反函數(shù)也是增函數(shù)，即若X1<X2<X3,則「1(XI)</'(X2<f](X3),

f(X)-f(X)f(x)—f(X)

又因為y=/(x)是定義域上的T函數(shù)，即當x\<X2<X3時,總有0<---------------<-------------,

-x

x2lX3-X2

_Xn-X1、Xq-Xn,

所以_2__1_>_3_2_,即當?Vm時，

f(x2)-f(xPf(x3)-f(x2)

fT(y2)-fT(yP〉fT(y3)-fT(y2)

"丫\丫372

綜上所述，W(x)不是定義域上的7函數(shù).

(3)證明：若對于任意的尤1,X2已和任意的加(0,1),假設加〈"，

則Xi<AJCI+(1-A)X2<X2>

因為函數(shù)y=/(x)為區(qū)間/上的T函數(shù)，所以

f(x1+(l-^)x2)-f(x1)f(x2)-f(Xj+d-^)x2)

入X]+(l-入)乂2-乂]的-[入X]+(l-入)乂21

仍簡得f(入Xi+(l")x2)-f(xjf⑸)-”“Xi+(「")X2)

(1-X)(x2-X1)、%(X2-X1)'

VjT2>Xl,Z.X2-XI>0,

.f(入X]+(l-入)x2)-f(x[)f(X2)-f(入X]+(l-入)X2)

(T^<X

.,.A/,(Axi+(1-A)X2)-XfCxi)<(1-X)f(X2)-(1-A)f(Axi+(1-A)X2)?

(Axi+(1-A)X2)<A/(xi)+(1-A)/(%2).

【點評】本題主要考查函數(shù)恒成立問題，解題的關鍵是對新函數(shù)定義的理解與應用，考查邏輯推理能力，

屬于難題.

九.函數(shù)的值(共1小題)

13.(2022春?徐匯區(qū)校級期末)函數(shù)y=/(x)的定義域為R,若存在常數(shù)〃>0,使得|f(x)對一切

實數(shù)x均成立，則稱f(x)為“圓錐托底型”函數(shù).

(1)判斷函數(shù)/(X)=2r,g(x)=/是否為“圓錐托底型”函數(shù)？并說明理由.

(2)若/(x)=?+1是“圓錐托底型”函數(shù)，求出M的最大值.

(3)問實數(shù)鼠b滿足什么條件，/(x)=fcv+b是“圓錐托底型”函數(shù).

【分析】(1)根據(jù)條件/(x)I'Mxl對一切實數(shù)x均成立進行判斷，即可得到結(jié)論.

(2)根據(jù)『(x)對一切實數(shù)x均成立，建立條件關系，即可求出結(jié)論，

(3)利用函數(shù)是“圓錐托底型”函數(shù).則滿足條件I/(x)對一切實數(shù)x均成立，即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)V|2x|=2k|>2W，即對于一切實數(shù)x使得(x)]22國成立，

：.f(x)=2%是“圓錐托底型”函數(shù).…(2分)

對于g(x)=/,如果存在M>0滿足而當xj號時，由虐|3〉H|田

得MWO,矛盾，

.?.g(x)=/不是“圓錐托底型”函數(shù).…(5分)

(2)V/(x)=7+1是“圓錐托底型”函數(shù)，故存在M>0,使得|/(x)對于任意實數(shù)恒

成立.

.?.當xWO時，|X」|=團+3^，此時當x=±l時，因+1二取得最小值2,.…(9分)