新教材2025版高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)七等比數(shù)列的定義新人教B版選擇性必修第三冊

課時作業(yè)(七)等比數(shù)列的定義一、選擇題1．在數(shù)列{an}中，對隨意的n∈N＋，都有an＋1＋2an＝0(an≠0)，則eq\f(a3－2a4,a1－2a2)等于()A．－2B．2C．4D．－42．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，則a4＋a5的值為()A．16B．27C．36D．813．已知等比數(shù)列{an}的公比為q，首項a1>0，則“q<1”是“等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．(多選)已知正項等比數(shù)列{an}滿意a1＝2，a4＝2a2＋a3，若設(shè)其公比為q，則()A．q＝2B．a(chǎn)n＝2nC．18是數(shù)列中的項D．a(chǎn)n＋an＋1<an＋2二、填空題5．已知等比數(shù)列{an}中，a3＝3，a10＝384，則該數(shù)列的通項an＝________．6．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an，則an＝________．7．設(shè)等比數(shù)列{an}滿意a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，則a4＝________．三、解答題8．在等比數(shù)列{an}中．(1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；(2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通項公式．9．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)推斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求{an}的通項公式．[尖子生題庫]10．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．課時作業(yè)(七)等比數(shù)列的定義1．解析：由an＋1＋2an＝0知an＋1＝－2an，故{an}是以－2為公比的等比數(shù)列，所以eq\f(a3－2a4,a1－2a2)＝eq\f(a1q2－2a1q3,a1－2a1q)＝eq\f(a1q2（1－2q）,a1（1－2q）)＝q2＝4.答案：C2．解析：已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9，∴q＝3或－3(舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.答案：B3．解析：若q<0，則等比數(shù)列{an}為搖擺數(shù)列，由于等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，則q>0.若a1>0，則an＝a1qn－1>0，由an＋1<an，所以q<1；所以a1>0，等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列?0<q<1，所以若a1>0，“q<1”是“等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列”的必要不充分條件．答案：B4．解析：由題意2q3＝4q＋2q2，得q2－q－2＝0，解得q＝2(負(fù)值舍去)，選項A正確；an＝2×2n－1＝2n，選項B正確，C錯誤；an＋an＋1＝3an，而an＋2＝4an>3an，選項D正確．答案：ABD5．解析：由已知得eq\f(a10,a3)＝eq\f(a1q9,a1q2)＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.答案：3×2n－36．解析：因為an＋1＝3an且a1＝2，所以eq\f(an＋1,an)＝3，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以an＝2×3n－1.答案：2×3n－17．解析：由{an}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＝－1，,a1－a3＝－3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q＝－1，①,a1－a1q2＝－3，②))明顯q≠1，a1≠0，eq\f(②,①)得，1－q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.答案：－88．解析：(1)∵eq\f(a7,a3)＝eq\f(a1q6,a1q2)＝q4＝4，∴q2＝2，又∵q>0，∴q＝eq\r(2)，∴an＝a3·qn－3＝4·(eq\r(2))n－3＝2eq\s\up6(\f(n＋1,2))(n∈N＋).(2)∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.當(dāng)q＝2時，an＝a1qn－1＝2×2n－1＝2n，當(dāng)q＝－2時，an＝a1qn－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴數(shù)列{an}的公比為2或－2，對應(yīng)的通項公式分別為an＝2n或an＝(－1)n－12n.9．解析：(1)由條件可得an＋1＝eq\f(2（n＋1）,n)an.將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．由條件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，(構(gòu)造法)即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.10．解析：證明：(1)方法一因為an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，從而an＋1≠0.所以eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2(n∈N＋).所以數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列．方法二由a1＝1，知a1＋1≠0，從而an＋1≠0.因為eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(2an